BAB I PENDAHULUAN Bab I merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan pula mengenai rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, serta manfaat yang diharapkan dari kajian yang akan dilakukan oleh penulis. 1.1. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang dimanfaatkan sebagai sumber dari segala ilmu pengetahuan dan pada perkembangannya tidak tergantung pada ilmu lain. Matematika merupakan suatu bidang ilmu yang banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh menghitung jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain. Matematika sendiri mempunyai beberapa cabang ilmu yang spesifik, diantaranya adalah statistik, aljabar, geometri, dan matematika diskrit. Matematika diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini dapat diartikan sebagai yang saling terpisah (lawan dari kontinu). Beberapa hal yang dibahas dalam matematika diskrit ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf dan lain-lain (Munir, 2003). Teori graf merupakan salah satu sub cabang dari matematika diskrit yang sudah lama menjadi pokok bahasan, namun saat ini mempunyai banyak terapan. Teori graf juga mempunyai banyak aplikasi praktis dalam berbagai disiplin, misalnya dalam biologi, ilmu komputer, ekonomi, teknik, informatika, linguistik, matematika, kesehatan, dan ilmu-ilmu sosial. Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( ( ), ( )), yang dalam hal ini ( ) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek yang disebut titik (vertice atau node), dan ( ) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak 1
berurutan dari titik-titik berbeda di ( ) yang disebut sisi ( edges). Graf pada umumnya dinotasikan = {, } (Abdussakir dkk, 2009). Menurut Cahyono (2000), terdapat beberapa graf khusus diantaranya graf lengkap ( complete graph), graf bipartisi ( bipartite graph), graf bipartisi lengkap (complete bipartite graph), graf Petersen, graf kubus (cube graph), dan masih banyak lagi. Graf bipartisi lengkap, disebut graf bintang (star) dan dinotasikan dengan (Abdussakir dkk, 2009). Penggabungan dua buah graf yaitu misalkan terdapat graf = ( 1, 1) dan = ( 2, 2) maka graf merupakan penggabungan dua buah graf (ditulis sebagai = yang mana himpunan simpul = dan himpunan garis = ). Salah satu materi yang banyak berkembang akhri-akhir ini dalam teori graf adalah Teori Ramsey. Teori Ramsey pertama kali diperkenalkan pada tahun 1928 dalam konteks permasalahan mencari prosedur untuk menentukan benar tidaknya suatu formula logika yang diberikan. Kemudian teori Ramsey menjadi terkenal setelah Erdös dan Szekeres (1935) mengaplikasikannya ke dalam teori graf (Surahmat, 2003). Party Problem merupakan salah satu persoalan yang terkait dengan teori Ramsey. Persoalan tersebut yaitu menentukan berapa banyak minimal orang yang harus hadir dalam suatu pesta agar dapat dengan pasti ditemukan hubungan tiga orang yang saling mengenal atau tiga orang yang saling tidak mengenal (Dickson,2011). Persoalan tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk graf lengkap. Menurut Robertson dan Landman (2003), Teorema Ramsey menyebutkan apabila terdapat dua buah bilangan asli a dan b dengan 2 dan 2, maka bilangan Ramsey (, ) adalah bilangan asli terkecil n, sedemikian sehingga jika graf lengkap dengan n titik diwarnai dengan warna merah atau biru, maka graf tersebut akan selalu memuat graf lengkap dengan a titik merah atau dengan b titik biru sebagai subgraf. Bilangan (, ) ini disebut sebagai bilangan Ramsey klasik. 2
Konsep bilangan Ramsey klasik kemudian diperluas dalam berbagai bentuk. Salah satu di antaranya adalah bilangan Ramsey graf. Seperti yang dikemukakan oleh Sari (2012), diberikan dua graf dan, bilangan Ramsey graf (, ) didefinisikan sebagai bilangan asli terkecil sedemikian sehingga untuk setiap graf dengan titik memenuhi sifat : memuat graf atau komplemen dari memuat. Hasil kajian Baskoro dkk.(2002) tentang bilangan Ramsey untuk pohon dan roda menunjukkan bahwa struktur yang paling berpengaruh pada penentuan bilangan Ramsey untuk pohon adalah bintang, meskipun struktur bintang tersebut adalah struktur pohon yang paling sederhana. Penentuan bilangan Ramsey untuk graf bintang dan graf bipartit lengkap juga telah dikaji, walaupun hasilnya masih sedikit. Hal ini dilakukan oleh Chvatal dan Harary (1972), Lawrence (1973), Parsons (1975), dan Rosyida (2004). Beberapa hasil penelitian yang membuat penulis termotifasi untuk mengkaji bilangan Ramsey diantaranya hasil penelitian dari Hasmawati (2007) untuk bilangan Ramsey,, = 8 dan,, = 10. Kemudian hasil penelitian dari Rosyida (2004) untuk graf bintang dan graf bipartit lengkap di peroleh bilangan Ramsey,, = + + 2 dengan, = 2,,, = + 5 untuk q genap dan = 2 serta,, = + 6 untuk q ganjil dan = 3. Berdasarkan hasil penelitian yang ada, maka penulis tertarik untuk menindaklanjuti hasil yang telah diperoleh, dengan mengkaji penentuan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 6 < < 10. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan di atas maka muncul beberapa permasalahan yang akan dikaji lebih lanjut. Permasalahan-permasalahan yang muncul akan menjadi acuan untuk melakukan penelitian dan memfokuskan masalah yang akan diteliti. Sebelum melakukan penelitian seorang peneliti harus menentukan rumusan masalah terlebih dahulu. Hal ini bertujuan agar penelitian yang 3
akan dilakukan sesuai dengan latar belakang, oleh karena itu rumusan masalah pada penulisan tugas akhir ini adalah bagaimana menentukan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 6 < < 10. 1.3 Pembatasan Masalah Bilangan Ramsey untuk bintang dan bipartit lengkap,,,, pada umumnya belum diketahui. Beberapa yang diketahui, diantaranya adalah (,, ) untuk 2 dan 2, dan (,, ) untuk 2. Untuk,, dan yang lain, nilai (,, ) belum diketahui. Bilangan Ramsey untuk bintang dan bipartit lengkap belum banyak yang mengkaji, sehingga penulis tertarik untuk mengkaji bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap. Berdasarkan rumusan masalah dan agar masalah yang dikaji tidak terlalu meluas, maka perlu dijelaskan batasan masalah. Pada kajian ini batasan masalahnya adalah penentuan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 7 hanya dibatasi pada = 7, 8, dan 9. Bilangan Ramsey yang dibahas hanya bilangan Ramsey graf dua warna. 1.4 Tujuan Kajian Tujuan pada hakikatnya adalah hal-hal yang ingin dicapai ketika melakukan suatu aktivitas. Pada kajian ini bertujuan untuk menentukan bilangan Ramsey dari gabungan suatu graf, dalam menentukan bilangan Ramsey dari suatu graf yang perlu diperhatikan adalah sifat-sifat dari graf tersebut. Bilangan Ramsey pada umumnya menentukan bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga untuk setiap graf dengan titik memenuhi sifat : memuat graf atau komplemen dari memuat. Berdasarkan rumusan dan batasan masalah yang telah disajikan maka lebih khusus kajian ini bertujuan untuk menentukan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 7. 4
1.5 Manfaat Kajian Melalui kajian bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 7 diharapkan mampu memberikan masukan yang bermanfaat dalam bidang matematika khususnya pada kajian tentang teori graf. Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah : 1. Menambah informasi atau ilmu pengetahuan dibidang matematika, khususnya tentang bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 7. 2. Dapat dijadikan referensi tambahan dalam menentukan bilangan Ramsey untuk gabungan graf yang lain. 1.6 Metode Kajian Metode yang digunakan dalam pembahasan skripsi ini adalah metode kajian studi literatur ( library research) atau studi kepustakaan yaitu pembahasan yang dilakukan dengan mengkaji teori-teori yang relevan untuk memecahkan masalah. Studi literatur ini dilakukan agar terjadi keselarasan antara teori yang tela ada dengan masalah kajian atau pengembangan dari teori yang ditemukan. a. Sumber Kajian Sumber penulisan kajian ini berdasarkan beberapa data literatur. Data tersebut merupakan data sekunder berasal dari tahapan-tahapan pengumpulan data dengan pembacaan secara kritis terhadap ragam literatur berupa buku, jurnal, skripsi terdahulu, disertasi terdahulu, maupun data dari internet. Selanjutnya data-data tersebut dikelompokkan dan diseleksi berdasarkan kategori dan relevansi terhadap materi penentuan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 6 < < 10. b. Cara Kajian Penulis suatu kajian skripsi selalu diawali dengan melakukan penetapan masalah dan kemudian mancari sumber informasi mengenai masalah tersebut dengan 5
mengkaji materi yang mendukung dalam pembahasan. Materi yang dipelajari dalam skripsi ini yaitu graf, berdekatan dan terkait, derajat titik, isomorfik, subgraf, komplemen suatu graf, gabungan graf, graf khusus, pewarnaan graf, bilangan kromatik, dan bilangan Ramsey. Selanjutnya data-data tersebut akan diolah sehingga dapat menjawab permasalahan mengenai penentuan bilangan Ramsey untuk gabungan graf bintang dan graf bipartit lengkap (,, ) untuk 6 < < 10. 6