MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) oleh SILVIA KRISTANTI M0109060 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i
perpustakaan.uns.ac.id ii
ABSTRAK Silvia Kristanti, 2013. MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS) merupakan model yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya individu terinfeksi dipandang sebagai proses stokastik dalam selang waktu kontinu sehingga dapat digambarkan dengan model stokastik SIS. Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIS. Penyelesaian model stokastik SIS diperoleh dengan menggunakan formula Ito dan fungsi probabilitas variabel random dari banyaknya individu terinfeksi memenuhi persamaan diferensial Kolmogorov maju. Selanjutnya, model stokastik SIS diterapkan untuk penyebaran penyakit pertussis. Model disimulasikan dengan mengambil laju kontak β yang berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika nilai parameter β > γ, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin banyak juga individu yang terinfeksi. Tetapi jika nilai parameter β < γ, maka semakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi mencapai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi. Kata kunci: formula Ito, model stokastik SIS, persamaan diferensial Kolmogorov maju. iii
ABSTRACT Silvia Kristanti, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) STOCHASTIC EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. The susceptible infected susceptible SIS epidemic model is a model that explained the spread of disease which characteristics of each individual can be reinfected because it has no permanent immune system. The spread of disease are considered as a random events which depend on the time variable so it is called stochastic processes. The changes of the number of infected individuals are a stochastic process in continuous time interval that can be explained by SIS stochastic model. The purpose of this research is to construct the SIS stochastic model. The solution of the SIS stochastic model is obtained by Ito s formula and probability function of random variables from the number of infected individuals satisfy forward Kolmogorov differential equations. The SIS stochastic model is applied to the spread of pertussis disease. Model is simulated by taking a different values of the contacts rate β. The results of simulation show that the if value of β is greater than γ, then the more rapid increase in the spread of disease and the more number of infected individuals. But if the value of β is smaller than γ, then the more rapid decrease in the spread of disease and the infected individuals is zero means no disease transmission occurs again. Keywords : Forward Kolmogorov differential equations, Ito s formula, SIS stochastic model. iv
PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Bapak, Ibu, dan Mbak Dina atas segala doa dan semangat yang telah diberikan v
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada 1. Sri Kuntari, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penyelesaian model epidemi stokastik SIS dan simulasi, 2. Dra. Respatiwulan, M.Si. Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penurunan dan penyelesaian model epidemi stokastik SIS, 3. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan saran dalam hal simulasi numerik, dan 4. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Surakarta, Juli 2013 Penulis vi
Daftar Isi ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v KATA PENGANTAR........................... vi DAFTAR ISI............................... viii DAFTAR GAMBAR............................ ix I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan Penelitian........................... 2 1.4 Manfaat Penelitian.......................... 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori Penunjang............................ 4 2.2.1 Model SIS........................... 5 2.2.2 Proses Stokastik........................ 6 2.2.3 Proses Wiener......................... 7 2.2.4 Model Stokastik SIS..................... 8 2.2.5 Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju.......... 8 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 9 III METODE PENELITIAN 10 vii
IV PEMBAHASAN 11 4.1 Model Stokastik SIS......................... 11 4.2 Penyelesaian Model Stokastik SIS.................. 15 4.3 Penerapan dan Simulasi....................... 16 V PENUTUP 20 5.1 Kesimpulan.............................. 20 5.2 Saran.................................. 21 DAFTAR PUSTAKA 22 viii
Daftar Gambar 2.1 Skema Model SIS........................... 6 4.1 Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 t 70... 17 4.2 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.25, 0.3, 0.4, 0.55 dan γ = 0.04 pada selang waktu 0 t 100.............. 18 4.3 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.025, 0.01, 0.0075, 0.005 dan γ = 0.04 pada selang waktu 0 t 30............. 19 ix