19 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Analisis Regresi Perubahan nilai suatu variabel dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel-variabel lain yang mempengaruhinya.misalnya pada seorang karyawan terhadap perubahan tingkat produktivitas karena adanya perubahan upah yang diterimanya. Dalam artian bahwa karyawan tersebut semakin produktif sebagai akibat adanya tambahan upah yang diterimanya. Dalam hal ini berarti bahwa perubahan produktivitas disebabkan oleh adanya perubahan upah. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan pada variabel lain berakibat pada perubahan variabel yang lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisis hal-hal semacam ini disebut dengan analisis regresi. Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan(prediction). Dengan demikian,analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak selalu tepat dengan nilai riilnya,semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai prediksi dengan nilai riilnya,maka semakin tepat persamaan regresi yang kita bentuk. Sehingga dapat didefinisikan bahwa : analisa regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan bentuk hubungan antara variabel-
20 variabel, dengan tujuan pokok dalam penggunaan metode ini adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari suatu variabel lain yang diketahui. 2.2 Persamaan Regresi Persamaan Regresi (regression equation) adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lain yang nilainya belum diketahui. Sifat hubungan antarvariabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (causal relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan regresi dalam menjelaskan hubungan antara dua atau lebih variabel,maka perlu diyakini terlebih dahulu bahwa secara teoritis atau perkiraan sebelumnya,dua atau lebih variabel tersebut memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang nilainya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut dengan variabel bebas(independent variabel),sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel tergantung (dependent variabel). 2.2.1 Persamaan Regresi Linier Sederhana
21 Regresi linier sederhana yaitu suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk persamaan antara variabel bebas tunggal dengan variabel tak bebas tunggal. Regresi linier sederhana hanya memiliki satu peubah bebas X yang dihubungkan dengan satu peubah tak bebas Y. Bentuk umum dari persamaan regresi linier untuk populasi adalah sebagai berikut : µ y,x = β 0 + β 1 X Dengan β 0 dan β 1 merupakan parameter-parameter yang ada dalam regresi itu. Jika β 0, β 1 ditaksir oleh b0 dan b1,maka bentuk regresi linier sederhana untuk sampel adalah sebagai berikut : Ŷ = b 0 + b 1 X 2.2.2 Persamaan Regresi Linier Berganda Banyak persoalan penelitian/pengamatan yang terjadi sebagai akibat lebih dari dua variabel, atau dengan kata lain memerlukan lebih dari satu peubah bebas dalam membentuk model regresi. Sebagai salah satu contoh,ipk (Indeks Prestasi Kumulatif) seorang mahasiswa (Y) bergantung pada jumlah jam belajar (X 1 ),banyaknya buku yang dibaca (X 2 ),jumlah uang (X 3 ) dan banyak faktor lainnya. Untuk memberikan gambaran tentang suatu permasalahan/persoalan,biasanya sangat sulit ditentukan sehingga diperlukan suatu model yang dapat memprediksi dan meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut,yaitu regresi linier berganda. Bentuk umum model regresi linier berganda untuk populasi adalah : µ y,x = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + + β k X k
22 Dimana β 0, β 1, β 2,, β k adalah koefisien atau parameter model. Model regresi linier berganda untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sebuah sampel acak yang berukuran n dengan model regresi linier berganda untuk sampel,yaitu : Dengan : Ŷ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + + b k X k Ŷ = nilai penduga bagi variabel Y b 0 = dugaan bagi parameter konstanta β 0 b 1,b 2,,b k e = dugaan bagi parameter konstanta β 1, β 2,, β k = galat dugaan (error) Untuk mencari nilai b 0, b 1,b 2,,b k diperlukan n buah pasang data (X 1,X 2,.,X k,y) yang dapat disajikan dalam tabel berikut. Tabel 2.1 : Data Hasil Pengamatan dari n Responden (X 1,X 2,.,X k,y) Responden X 1 X 2.. X k Y 1 X 11 X 21.. X k1 Y 1 2 X 12 X 22.. X k2 Y 2.................. n X 1n X 2n... X kn Y n
23 Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa Y 1 berpasangan dengan X 11,X 21,.,X k1, data Y 2 berpasangan dengan X 12,X 22,.,X k2 dan umumnya data Y n berpasangan dengan X 1n,X 2n,,X kn. Persamaan regresi berganda dengan dua variabel bebas X 1,X 2 ditaksir oleh : Ŷ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 Dan diperoleh tiga persamaan normal yaitu : ΣY i = b 0 n + b 1 ΣX 1i + b 2 ΣX 2i ΣY i Σ 1i = b 0 ΣX 1i + b 1 ΣX 1i 2 + b 2 ΣX 1i X 2i ΣY i ΣX 2i = b 0 ΣX 2i + b 1 ΣX 2i X 1 + b 2 ΣX 2i 2 Sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan : = Dalam penelitian ini,penulis menggunakan regresi linier berganda dengan 4 variabel, yaitu satu variabel tak bebas (dependent variable) dan tiga variabel bebas (independent variabel). Untuk regresi linier berganda dengan tiga variabel X 1,X 2,X 3 ditaksir oleh : Ŷ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 Untuk rumus di atas harus diselesaikan dengan empat persamaan normal yaitu :
24 ΣY i = b 0 n + b 1 ΣX 1i + b 2 Σ 2i + b 3 ΣX 3i ΣY i X 1i = b 0 ΣX 1i + b 1 ΣX 1i 2 + b 2 ΣX 1i X 2i + b 3 ΣX 1i X 3i ΣY i X 2i = b 0 ΣX 2i + b 1 ΣX 2i X 1i + b 2 ΣX 2i 2 + b 3 ΣX 2i X 3i ΣY i X 3i = b 0 ΣX 3i + b 1 ΣX 3i X 1i + b 2 ΣX 2i X 3i + b 3 ΣX 3i 2 Sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan : = Dengan : Ŷ = variabel terikat ( nilai duga Y ) X 1,X 2,X 3 = variabel bebas b 0,b 1,b 2,dan b 3 = koefisien regresi linier berganda b 0 = nilai Y, apabila X 1 =X 2 =X 3 =0 b 1 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X 1 naik/turun satu satuan dimana X 2,X 3 konstan. b 2 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X 2 naik/turun satu satuan dimana X 1,X 3 konstan. b 3 = kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X 3 naik/turun satu satuan dimana X 1,X 2 konstan. = atau - = tanda yang menunjukkan arah hubungan antara Y dengan variabel bebas X. Harga-harga b 0,b 1,b 2 dan b 3 yang telah didapat kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga diperoleh model regresi linier berganda Y atas X 1,X 2,X 3.
25 Dalam persamaan model regresi linier yang diperoleh,maka antara nilai Y dengan Ŷ akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kekeliruan baku taksiran S 2 y.12 k, yang dapat ditentukan oleh rumus : S 2 y.12 k = Dengan : Yi Ŷ n k = nilai data hasil pengamatan =nilai hasil regresi = ukuran sampel = banyak variabel bebas 2.3 Uji Regresi Linier Berganda Pengujian hipotesis bagi koefisien-koefisien regresi linier berganda dapat dilakukan secara serentak atau keseluruhan. Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel-variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1) Menentukan formulasi hipotesis H 0 :b 1 =b 2 =b 3 = =b k =0(X 1,X 2, X k tidak mempengaruhi Y) H 1 : minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan nol atau mempengaruhi Y.
26 2) Menentukan taraf nyata α dan nilai F tabel dengan derajat kebebasan v 1 =k dan v 2 =n-k-1. 3) Menentukan kriteria pengujian H 0 diterima bila F hitung F tabel H 0 ditolak bila F hitung > F tabel 4) Menentukan nilai statistik F dengan rumus : F = Dengan : JK reg JK res = jumlah kuadrat regresi = jumlah kuadrat residu(sisa) (n-k-1) = derajat kebebasan JK reg = + + Dengan : x 1i = X 1i - x 2i = X 2i - x ki = X ki - JK res = 5) Membuat kesimpulan apakah H 0 diterima atau ditolak. 2.4 Koefisien Determinasi Koefisien determinasi yang dinyatakan dengan R 2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi adalah untuk mengetahui proporsi keberagaman total dalam variabel tak bebas Y yang dapat
27 dijelaskan atau diterangkan oleh variabel-variabel bebas X yang ada dalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama-sama. Maka R 2 akan ditentukan oleh rumus : Dengan : JK reg = jumlah kuadrat regresi R 2 = = 2.5 Koefisien Korelasi Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui adanya derajat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel yang lain. Hubungan antara satu variabel dengan variabel yang lainnya dapat merupakan hubungan yang kebetulan belaka,tetapi dapat juga merupakan hubungan sebab akibat. Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis hubungan sebagai berikut : 1. Korelasi Positif Terjadinya korelasi positif apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang sama (berbanding lurus). Artinya,apabila variabel yang satu meningkat,maka akan diikuti dengan peningkatan variabel lain.
28 2. Korelasi Negatif Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik ). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain dan sebaliknya. 3. Korelasi nihil Korelasi nihil terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti perubahan pada variabel yang lain dengan arah yang tidak teratur ( acak ), artinya apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel yang lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain dinytakan dengan koefisien korelasi yang disimbolkan dengan r. Besarnya koefisien korelasi berkisar antara -1 r +1. dengan rumus: Untuk mencari korelasi antara variabel Y terhadap X i atau r y.1,2,,k dapat dicari r y.1,2,,k = Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :
29 1. Koefisien korelasi antara X 1 dan X 2 r 12 = 2. Koefisien korelasi antara X 1 dan X 3 r 13 = 3. Koefisien korelasi antara X 2 dan X 3 r 23 = Nilai koefisien korelasi adalah -1 r 1. Jika dua variabel berkorelasi negatif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien korelasi akan mendekati 0 ; sedangkan jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1. Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keeratan antara variabel tersebut,dapat dilihat pada perumusan berikut : -1,00 r -8,00 berarti berkorelasi kuat secara negatif -0,79 r -0,50 berarti berkorelasi sedang secara negatif -0,49 r 0,49 berarti berkorelasi lemah 0,50 r 0,79 berarti berkorelasi sedang secara positif 0,80 r 1,00 berarti berkorelasi kuat secara positif
30 2.6 Uji Koefisien Regresi Ganda Keberartian adanya variabel-variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk menunjukkan seberapa besar pengaruh yang diberikan pada variabel tak bebas. Dan cara yang tepat untuk mengujinya adalah dengan menggunakan uji statistik t ( t- student). Dimisalkan populasi mempunyai model regresi berganda sebagai berikut : µ y,x = β 0 + β 1 X 1 β 2 X 2 + β k X k yang akan ditaksir oleh regresi berbentuk : Ŷ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + + b k X k. Adanya kriteria bahwa variabel-variabel tersebut memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tak bebas akan diuji hipotesis H 0 melawan hipotesis tandingan H 1 dalam bentuk: H 0 = βi = 0,i = 1,2,k. H 1 = βi 0,i = 1,2,k. Untuk menguji hipotesis tersebut digunakan kekeliruan baku taksiran. Jadi untuk melihat kekeliruan baku dari koefisien b i adalah : Dengan :
31 Perhitungan statistik t : t i = Dengan distribusi t-student serta dk = (n-k-1), t tabel =,dimana kriteria pengujian adalah: tolak H 0 jika t i > t tabel, dan terima H 0 jika t i < t tabel.