Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR Kuliah FI-1101 Fisika 004 Dasar Dr. Linus Dr Pasasa Edy Supriyanto MS Bab 6-1
Jurusan Fisika-Unej Bahan Cakupan Gerak Rotasi Vektor Momentum Sudut Sistem Partikel Momen Inersia Dalil Sumbu Sejajar Dinamika Benda Tegar Menggelinding Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar Statika Benda Tegar Kuliah Dr. Fisika Linus Dasar Pasasa Dr MS Edy /Fisika Supriyanto Dasar I Bab 6-
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi. Dalam proses rotasi, pergeseran sudut: Δθ = θ θ 1 Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad) 1rad 360 = = 57, 3 π Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-3
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut kecepatan sudut rata-rata: kecepatan sudut sesaat: ω Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s) = θ t θ 1 t 1 = Δ θ Δt Δθ ω = lim ω = lim = Δt 0 Δt 0 Δt Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut. dθ dt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-4
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut Arah kecepatan sudut: Aturan tangan kanan Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-5
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut Percepatan sudut rata-rata: α = ω 1 t ω t 1 = Δ ω Δt Percepatan sudut sesaat: Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s ) Δω α = lim = Δ t 0 Δtt d ω dt Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-6
Persamaan Kinematika Rotasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-7
Perumusan Gerak Rotasi Kecepatan tangensial: v = ( ω dalam rad/s) { { rω kecepatan linear kecepatan tangensial Percepatan tangensial: a = ( α dalam rad/s ) { { rα percepatan linear percepatan tangensial Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-8
Perumusan Gerak Rotasi Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam): v = r a r = ω r Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-9
Torsi Momen gaya Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-10
Torsi Momen gaya Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam. Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m) Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-11
Vektor Momentum Sudut Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb: r r r r r L = r p = m( r v ) l = mvr sin φ = rp = = rp= rmv rmv Satuan SI adalah Kg.m /s. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-1
Vektor Momentum Sudut Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh: d L dt d = r dt ( p) d d r d p ( r p) = p r dt dt + dt Jadi ( v mv) = = 0 d L dp = r l ingat F dt dt EXT d p = dt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-13
Vektor Momentum Sudut Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh: dl L dt dl dp = r = r FEXT dt dt Akhirnya kita peroleh: τ EXT d = L dt dp Analog dengan F EXT =!! dt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-14
Hukum Kekekalan Momentum Sudut dl τ dimana dan EXT = L L = r p τ EXT = r F EXT dt Jika torsi resultan = nol, maka τ EXT dl L = = 0 dt Hukum kekekalan momentum sudut I = ω I ω 1 1 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-15
Hukum Kekekalan Momentum Linear o Jika ΣF = 0, maka p konstan. Rotasi o Jika Στ = 0, maka L konstan. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-16
p = mv Momentum Sudut: Defenisi i & Penurunan Untuk gerak linear sistem partikel berlaku F EXT dp = Momentum kekal jika dt F EXT = 0 Bagaimana dng Gerak Rotasi? Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi Analog momentum p adalah momentum sudut τ= r F L = r p Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-17
Sistem Partikel Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total: r r r r r n r L = l1+ l + l3+ + l = n li i=1 r r n n dl dli r r = = τ net, i = τ net dt dt i= 1 i= 1 Perubahan momentum sudut sistem stem hanya disebabkan oleh torsi gaya luar saja. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-18
Sistem Partikel Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing momentum sudut partikel: L = r p = mr v i i i i i i i = mr v kˆ i i i i (krn r i dan v i tegak lurus) Arah L sejajar sumbu z Gunakan v i = ω r i, diperoleh r L = m r ω kˆ i i i L Analog dng p = mv!! = I r ω v m j v 1 r i r 1 m 1 ω m 3 r 3 v3 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-19
Vektor Momentum Sudut DEFINISI Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut. r L = I r ω Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi): r r r r d L d ( Iω ) dω r τ = = = I = Iα dt dt dt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-0
Vektor Momentum Sudut L = Iω Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal I = i i mr L= Iω L= Iω Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-1
Momen Inersia Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai I 1 1 = m r = m r + m r i i i +... I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-
Momen Inersia Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral I I = dv m r I = i i i = r dm = ρr dv Dimana Elemen Volume = rdr d θ dl r dm z y dm x Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-3
Momen Inersia dv = rdr dθ dl dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-4
Momen Inersia Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral I ( rdr d dl) = r ρ θ Asumsi rapat massa ρ konstan Kita dapat membaginya dalam 3i integral sbb: I R π ( rdr ) ( d θ ) ( dl ) = ρ r d dl 0 0 0 L Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-5
Momen Inersia 4 Hasilnya adalah r I = [ θ ] π ρ [ l] Massa dari lempengan tersebut M = ρ π R L I = 4 4 R 0 R ρ 4 ρ ππ 0 L L 0 Momen Inersia benda I = 1 MR Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-6
Dalil Sumbu Sejajar Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (I CM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan: Dalil Sumbu Sejajar I = I + cm Mh Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-7
Momen Inersia: l 1 I = 1 = 1 ml I 3 ml l R R I = mr I = 1 mr 1 I = m( a + b 1 ) a b I = mr 5 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-8
Dinamika Benda Tegar Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb: W θ ω = τdθ = Iωdω = Iω Iω1 θ ω 1 1 1 1 1 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-9
Energi Kinetik Rotasi Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah K 1 m = i i 1 ( ) ( ) ωr m r ω = i i K = 1 ω I Dimana I adalah momen inersia, I = m i r i Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-30
Energi Kinetik Rotasi Linear K = Rotasi 1 1 Mv K = Iω Massa Kecepatan Linear Momen Inersia Kecepatan Sudut Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-31
Prinsip Kerja-Energi Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: W θ ω 1 1 = τdθ = Iωdω = Iω θ 1 ω 1 I ω 1 W = ΔK dimana K rotasi r τ W = 0 Krotasi = rotasi Bila = 0,maka sehingga ΔK rot = 0 1 Iω Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-3
Menggelinding Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-33
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi s = θ R Ban bergerak dengan laju ds/dt dθ v = =ω R com dt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-34
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-35
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi The kinetic energy of rolling K = I ω I = I + MR 1 P P com K = I ω + MR ω 1 1 com K = 1 1 Icomω + Mvcom = Kr + Kt Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-36
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring N r F sinθ R acom g θ θ F r g f r s x Gunakan: torsi = I α R F sinθ = I Maka: P Fg cosθ a g MR g com P = α R P α sinθ = Ia P com I = I + MR com g sinθ = 1 + I / MR com Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-37
Menggelinding Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. 1 1 0 K = mv + I0 ω V 0 ω Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-38
Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-39
Kesetimbangan Benda Tegar Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama dengan nol. Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol: ΣF x = 0 dan ΣF y = 0 Στ = 0 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-40
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi Linear Rotasi x (m) θ (rad) v (m/s) ω (rad/s) a (m/s ) α (rad/s ) m(kg) I (kg m ) F (N) τ (N m) p (N s) L (N m s) Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-41
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi perpindahan kecepatan percepatan massa gaya Hk. Newton s energi kinetik Kerja linear Δx angular Δ θ v = dx / dt ω = d θ / dt a = dv / dt α = d ω / dt m = I m i r i F r r r r τ = F F = ma τ = Iα K = ( 1/ ) Iω K = ( 1/ ) mv W = Fdx W = τdθ Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-4