PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE (Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014) (Skripsi) Oleh SELLA NOFRISKA SUDRIMO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRACT FORECASTING PERIODIC DATA USING TRIPLE EXPONENTIAL SMOOTHING METHOD By Sella Nofriska Sudrimo The aim of this study is determined the best time series model to predict the number of passengers at Juanda Airport with a triple exponential smoothing method. The first step is to test the assuming stationer the data with graphs ACF and the unit root test, assuming trends with graphs time series and unit root test and then seasonal assumptions using time series charts and seasonal index. The best predicts of passengers at Juanda Airport is measured by the smallest value of Mean Absolute Percentage Error (MAPE) and Mean Absolute Deviation (MAD). The results showed that the number of passengers at Juanda Airport is most affected by seasonal influences and less affected by the influence of the trend. Keywords : Triple exponential smoothing method, MAPE ( Mean Absolute Percentage Error ), MAD ( Mean Absolute Deviation ).
ABSTRAK PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE Oleh SELLA NOFRISKA SUDRIMO Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model deret waktu terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan metode pemulusan eksponensial triple. Langkah pertama adalah menguji asumsi kestasioneran data dengan grafik ACF dan uji akar unit, asumsi trend dengan grafik deret waktu dan uji akar unit dan asumsi musiman dengan menggunakan grafik deret waktu serta indeks musiman. Model terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda adalah yang memiliki nilai Mean Absolute Persentage Error (MAPE) dan Mean Absolute Deviation (MAD) terkecil Hasil penelitian menunjukkan bahwa jumlah penumpang di Bandara Juanda sangat dipengaruhi oleh pengaruh musiman dan kurang dipengaruhi oleh pengaruh trend. Kata kunci: Metode pemulusan eksponensial triple, MAPE ( Mean Absolute Percentage Error), MAD (Mean Absolute Deviation)
PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE (Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014) Oleh SELLA NOFRISKA SUDRIMO Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung pada tanggal 26 November 1994, merupakan anak kedua dari Bapak Ir. Sudrimo dan Ibu Kamilawati. Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Xaverius Terbanggi Besar pada tahun 1999-2000, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Xaverius Terbanggi Besar pada tahun 2000-2006, kemudian bersekolah di SMP Xaverius 4 Bandar Lampung pada tahun 2006-2009, kemudian bersekolah di SMA Al-Azhar 3 Bandar Lampung pada tahun 2009-2012. Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur SBMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila 2013/2014 (sebagai anggota Bidang Eksternal) dan HIMATIKA FMIPA Unila 2014/2015 (sebagai anggota Biro Dana dan Usaha. Pada bulan Februari tahun 2015 melakukan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung dan pada bulan Agustus tahun 2016 melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Wonokerto, kec. Tulang Bawang Tengah, kab. Tulang Bawang Barat, Lampung.
PERSEMBAHAN Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam hidupku dan dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku untuk orang - orang yang telah memberi makna dalam hidupku. Ayah dan Ibu tersayang yang telah menjadi motivasi terbesarku selama ini. Kakakku Ridwan Benni Saputra yang menjadi penyemangatku untuk menjadi adik yang bisa dibanggakan. Orang yang selalu disampingku saat suka maupun duka Reno Bagus Saputra Keluarga besar kutercinta yang selalu memberikan semangat dan dukungan. Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh sahabat-sahabatku dan Almamaterku Universitas Lampung
KATA INSPIRASI Maka Nikmat Tuhanmu Yang Mana Lagi Yang Kamu Dustakan? (Q.S. Ar-Rahman 55) Jika ingin sukses bersiaplah untuk diposes dan diuji (Anonim) Saat muda ini habiskan lah waktu kegagalan kita sehingga saat tua kita dapat menghabiskan waktu kesuksesan kita (Anonim)
SANWACANA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul Peramalan Data Deret Berkala Menggunakan Pemulusan Eksponensial Triple disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada : 1. Netti Herawati, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk bimbingan dan kesedian waktunya selama penyusunan skripsi ini. 2. Dr. Muslim Ansori selaku Dosen Pembimbing II dan Pembimbing Akademik, terimakasih untuk bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi. 3. Nusyirwan, M.Si. selaku Dosen Penguji, terimakasih atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini. 4. Tiryono Ruby, P.hD. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 5. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika. 6. Keluargaku tercinta, Ibu yang tak pernah berhenti melantunkan doanya untuk kesuksesanku, Ayah yang selalu mendukung dan memberikan banyak pembelajaran hidup serta kakakku Ridwan Benni S yang senantiasa memberi semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini
7. Keluarga kecilku di kampus, RUSUH (Anisa, Grita, Naelu, Lina, Citra, Hana, dan Merda) atas bantuannya dan motivasinya selama ini. 8. Reno Bagus S yang selalu memberi motivasi, ilmu, dan waktunya sehingga terselesaikannya skripsi ini. 9. Sahabat-sahabat seperjuangan matematika 2012. 10. Semua pihak yang telah membantu saya dalam menyusun skripsi ini. 11. Almamterku tercinta Universitas Lampung. Akhir kata, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak Bandar Lampung, 2016 Penulis SELLA NOFRISKA S
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR...iii DAFTAR TABEL...iv I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah... 1 1.2. Tujuan Penelitian... 2 1.3. Manfaat Penelitian... 2 II. III. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Deret Waktu... 3 2.2 Definisi Musiman... 3 2.3 Definisi Trend... 4 2.4 Definisi Siklis... 4 2.5 Metode Peramalan... 5 2.6 Definisi Kestasioneran... 5 2.7 Uji Akar Unit... 6 2.8 Autokorelasi... 8 2.9 Indeks Musiman... 10 2.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial... 11 2.11 Deret Pangkat... 12 2.12 Metode Pemulusan... 13 2.12.1 Metode Perataan... 13 2.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial... 13 2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple... 15 2.14 Nilai Awal... 20 2.15 Kriteria Kabaikan Model... 21 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian... 23 3.2 Data Penelitian... 23 3.3 Metode Penelitian... 24
ii IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Uji Asumsi Data... 26 4.1.1 Uji Stasioner... 26 4.1.1 Uji Trend... 27 4.1.2 Uji Musiman... 28 4.2 Nilai Awal... 29 4.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Eksponensial... 29 4.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Trend... 30 4.2.2 Nilai Awal Untuk Pemulusan Musiman... 30 4.3 Peramalan dengan Pemulusan Eksponensial Triple... 31 4.3.1 Penentuan Nilai Pembobotan,, Dan... 31 4.3.2 Perhitungan Peramalan Pemulusan Eksponensial Triple.. 32 4.4 Pemilihan Model Terbaik... 33 4.5 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda pada Bulan Januari 2015 - Desember 2015... 35 V. KESIMPULAN... 39 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL Tabel Halaman 1. Jumlah Penumpang Pesawat di Bandara Juanda Tahun 2008-2014.... 23 2. Nilai pengujian asumsi data memiliki akar unit dengan menggunakan E-Views... 27 3. Nilai pengujian asumsi data mengandung trend dengan menggunakan E-Views... 28 4. Perhitungan Indeks Musiman... 29 5. Nilai MAPE dan MAD untuk mencari model terbaik... 34 6. Nilai Pemulusan dan Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan Model Terbaik... 35
DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1. Grafik Musiman.... 3 2. Grafik Trend... 4 3. Grafik Siklus.... 4 4. Grafik ACF Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2014... 26 5. Grafik Deret Waktu Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2014... 28 7. Grafik Deret Waktu Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda pada Bulan Januari 2015 Desember 2015... 38
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat kuantitatif yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan (Santoso dan Hamdani, 2007). Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan. Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan eksponensial triple dan sebagainya. Pada peneliti terdahulu (Lestari, 2006) telah dibahas pemulusan eksponensial tunggal dan ganda. Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data yang stasioner dan pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang
2 mengandung trend, namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung unsur musiman (Makridakis, dkk., 1999). Maka dari itu penulis akan membahas metode pemulusan eksponensial triple atau biasa dikenal dengan Holt s Winter Method. Metode ini dapat digunakan untuk data yang mengandung musiman dan trend. Metode eksponensial triple merupakan pendekatan yang sangat penting dalam peramalan. Dalam penelitian ini, akan dibahas peramalan data deret berkala menggunakan pemulusan eksponensial triple. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk meramalkan data deret berkala menggunakan pemulusan eksponensial triple. 1.3 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang mengandung trend dan musiman.
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Deret Waktu Analisis deret waktu merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006). Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama. Pada umumnya pengamatan dan pencatatan itu dilakukan dalam jangka waktu tertentu, misalnya akhir tahun, tiap permulaan tahun, tiap sepuluh tahun, dan sebagainya (Hadi,1995). 2.2 Definisi Musiman Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berubah sendiri setelah selang waktu yang tetaap. Pola musiman dapat berupa kwartal (4 bulan), semesteran (6 bulan), atau tahunan (12 bulan) (Makridakis, dkk., 1992). Gambar 1. Grafik Musiman
4 2.3 Definisi Trend Jika dalam suatu deret terdapat gerakan naik ataupun turun dalam jangka panjang, maka deret tersebut dikatakan deret yang mengandung unsur trend (Makridakis, dkk., 1992). S ca tte r plot of P D R B (juta R upia h) v s Ta hun 180000000 160000000 PDRB (jutarupiah) 140000000 120000000 100000000 80000000 60000000 40000000 20000000 2000 2002 2004 2006 2008 Ta hun 2010 2012 2014 Gambar 2. Grafik Trend 2.4 Definisi Siklis Suatu deret berkala dikatakan mengandung siklis jika data tersebut dipengaruhi oleh fluktuasi jangka panjang yang bisa terjadi secara periodik ataupun tidak (Makridakis, dkk., 1992 ) Gambar 3. Grafik Siklus
5 2.5 Metode Peramalan Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat kuantitatif yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan (Santoso dan Hamdani, 2007). 2.6 Definisi Kestasioneran Jika proses pembangkitan yang mendasari suatu deret berkala didasarkan pada nilai tengah ( ) konstan dan ragam ( stasioner (Makridakis, dkk., 1992). ) yang konstan, maka deret berkala berupa Ciri-ciri data yang stasioner: 1. Apabila diplot maka akan sering melewati sumbu horizontal. 2. Autokorelasinya akan menurun mendekati nol setelah lag kedua atau ketiga. Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu : 1. Stasioner dalam rata-rata Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai ratarata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner. Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat
6 dilakukan pengurangan antar data sehingga data tersebut stasioner dalam ratarata. 2. Stasioner dalam ragam Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam ragam apabila struktur dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan grafik deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu. Apabila tidak stasioner dalam variansi maka perlu dilakukan perhitungan dengan metode box-cox sehingga data tersebut stasioner dalam variansi (Wei, 2006). 2.7 Uji Akar Unit Uji Akar Unit dengan metode ADF (Augmented Dickey Fuller) dapat dilakukan dengan melihat secara grafis sehingga dapat diketahui apakah pada variabel mengandung trend atau tidak. Pada prinsipnya, uji ini dimaksudkan untuk mengamati apakah koefisien tertentu dari model Autoregresif (AR) mempunyai nilai satu atau tidak. Untuk mencari uji akar unit, pertama kita menghitung nilai dari model persamaan berikut: Dimana Jika adalah nilai galat dan merupakan nilai autoregresinya(1 < (2.1) 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (mengandung trend). Sedangkan apabila (stasioner). < 1, maka deret tersebut tidak mengandung akar unit < 1).
7 Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan 2.1 oleh Ordinary Least Square (OLS) dan menguji hipotesis bahwa 1 dengan uji t biasanya karena uji tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi persamaan 2.1 dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan, sehingga persamaan menjadi:,, ( 1) (2.2) (2.3) (2.4) Dimana, adalah selisih antara Yt dan, serta 1. Selanjutnya, uji ADF dapat diterapkan dengan mengestimasi model berikut:, Dimana, dengan 0, merupakan persamaan untuk menentukan trend. 0 dan (2.5) 0. Dalam metode ADF, untuk menguji kestasioneran dapat dilakukan dengan mengestimasi persamaaan 2.1 sebelumnya dan menguji apakah dengan mengestimasi persamaan 2.4 dan menguji apakah menujukkan bahwa nilai koefisien 1 atau sama 0. Dickey fuller akan mengikuti distribusi statistik (tau) dan menyusun statistik sebagai titik kritis pengujian. Hal ini menyebabkan pengujian dengan estimasi persamaan 2.4 dikenal sebagai uji Dickey Fuller. Distribusi statistik kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Mackinnon dan dikenal sebagai distribusi statistik Mackinnon. Untuk pengujian augmented dickey fuller dilakukan dengan menghitung nilai -statistik dengan rumus: ( ) (2.6)
8 Hipotesis yang digunakan untuk menentukan apakah data deret mengandung akar unit, yaitu: H0 : 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner atau memiliki trend) H1 : 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner) Apabila <, maka H0 diterima, yang artinya data deret tidak stasioner (Gujarati and Porter, 2009). 2.8 Autokorelasi Autokorelasi merupakan suatu alat untuk menujukkan tingkat asosiasi atau hubungan diantara variabel-variabel yang sama, tetapi waktu terjadinya berbeda. Dengan mengetahui koefisien autokorelasi dapat diketahui ciri, pola dan jenis data. Sehingga dapat mengidentifikasi model tentative yang disesuaikan dengan data (Makridakis, dkk., 1992). Dari proses stasioner suatu data deret waktu (Xt) diperoleh E(Xt) µ dan variansi Var (Xt) E (Xt - µ)2 σ2, yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xtk), yang fungsinya hanya pada perbedaan waktu t- (t-k). Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xt dan Xtk sebagai berikut : Cov (Xt,Xtk) E (Xt - µ)(xtk - µ) (2.7) dan korelasi antara Xt dan Xtkdidefinisikan sebagai Dimana dan ( ( ), ( merupakan rata-rata data, ) ) (2.8) merupakan autokovarians pada lag ke-k, merupakan autokorelasi pada lag ke-k, serta t waktu pengamatan ke t untuk semua t adalah 1, 2,..., dst.
9 ( ) Notasi ( autokovarian dan waktu, dan ). Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis deret menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xtk dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k. Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1. Var ( ) ; 2. 3. untuk semua k, ; dan dan 1. (2.9) 1. (2.10) (2.11) adalah fungsi yang sama dan simetrik lag ke-k 0. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan. Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag non negatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram. Pengujian koefisien autokorelasi : H0 : 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan) H1 : 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan) Dimana jika terletak dalam selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup bukti untuk menolak H0 sehingga dapat disimpulkan data stasioner. Sebaliknya, jika terletak di luar selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup bukti untuk terima H0 sehingga dapat disimpulkan data tidak stasioner (Wei, 2006). Statistik uji : (2.12)
10 dengan ( SE ( ) dimana: ( )( ) ) (2.13) (2.14) uji t SE ( ) galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k autokorelasi pada saat lag ke-j k time lag T banyak observasi dalam data deret waktu Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai t hitung > tα/2,df dengan derajat bebas df t-1, t merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang diuji (Pankratz, 1991). 2.9 Indeks Musiman Indeks musiman dapat digunakan untuk menguraikan perkiraan/ ramalan penjualan tahunan menjadi perkiraan penjualan perbulan pada tahun mendatang. Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana, yaitu dengan rumus Indeks musiman Dimana, 100% 12 (2.15) merupakan rata-rata data bulan ke-i tiap tahun (i 1,2,..,12) dan merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke-j (j 1,2,,n). Indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan bahwa data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).
11 2.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial Fungsi eksponen diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler dengan lambang. Fungsi eksponen didefinisikan bahwa huruf real positif unik sedemikian rupa sehingga ln menyatakan bilangan 1. Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang mempunyai satu konstanta baris dan satu peubah eksponen, disebut fungsi eksponensial. exp (ln ) exp (x ln a) (2.16) Persamaan 2.16 disebut fungsi eksponensial berbasis a dan x sebagai eksponen. Definisi 2: untuk a>0 dan sebarang bilangan real x, maka (Purcell, dkk., 2004) Bobot yang diberikan untuk setiap data pada model pemulusan eksponensial menurun secara eksponensial, sebagaimana persamaan sebagai berikut: Ft (1 ) (1 ) Sehingga bobot pemulusan adalah (Y) membentuk suatu deret pangkat. (1 ) (2.17), (1 ), (1 )2,, dst dan Secara umum persamaan 2.17 dituliskan sebagai berikut: (Y) (1 )n yang menurun secara eksponensial (Makridakis, dkk., 1983). (2.18)
12 2.11 Deret Pangkat Teorema 1: Deret pangkat adalah konvergen seragam dan mutlak dalam sebarang interval yang terletak seluruhnya di dalam interval konvergensinya. Jika deret konvergen pada satu (atau kedua) titik ujung interval konvergensi, maka kita dapat membuktikan suatu fungsi kontinu dan suku demi suku pada deret dapat diintegrasikan sehingga menghasilkan integral. Teorema 2: Teorema Abel. Ketika deret pangkat konvergen sampai dan termasuk titik ujung dari interval konvergensinya, maka interval konvergensi seragam tersebut juga diperluas hingga termasuk titik ujung ini. Untuk penyederhanaan pembuktian, kita asumsikan deret pangkat sebagai dengan titik ujung dari interval konvergensinya pada x 1, sehingga deret tersebut sudah pasti konvergen untuk 0 1. Dengan demikian, kita harus memperlihatkan bahwa deret konvergen seragam dalam interval ini. Misalkan Apabila ( ) disubtitusikan pada (2.19), pada persamaan 2.19 dengan demikian dapat ditulis sebagai berikut: ( )( [ ) ( ( (1 ) ) ) ( ( ) ) Dimana n > N dan N tidak tergantung pada x tertentu dalam interval 0 (Ayres and Medelson, 2012) (2.20) 1
13 2.12 Metode Pemulusan Metode pemulusan adalah metode peramalan yang dilakukan dengan cara mengambil rata-rata dari nilai-nilai pada beberapa tahun untuk menaksir nilai pada suatu tahun. Metode ini merupakan metode yang menghaluskan gerak/pergerakan data, dari periode ke periode berikutnya. Metode ini dapat dikelompokkan menjadi 2 kelompok: metode perataan dan metode pemulusan eksponensial (Makridakis, dkk., 1992). 2.12.1 Metode Perataan Metode perataan adalah metode yang memperlakukan data masa lalu yang menjadi bagian dari perhitungan dengan bobot yang sama untuk nilai tengah dan rata-rata bergerak tunggal dan bobot yang berbeda untuk rata-rata bergerak ganda dan kombinasi rata-rata bergerak lainnya. Untuk semua kasus, tujuannya adalah memanfaatkan data masa lalu untuk mengembangkan suatu peramalan (Makridakis, dkk., 1992). 2.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan.
14 Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan eksponensial triple. Metode pemulusan eksponensial yang mendasarkan, ramalan yang prinsip perataan - perataan (penghalusan) galat masa lalu dengan menambahkan persentase galat kepada persentase ramalan sebelumnya (Makridakis, dkk., 1992). Persamaan berikut yang dapat digunakan untuk menghitung ramalan dengan metode pemulusan eksponensial: [ Dimana: ] (2.21) dugaan baru atau nilai ramalan waktu t dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu terakhir) data aktual pada periode sekarang. konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < <1) merupakan galat peramalan Pada persamaan 2.18 dapat ditulis dalam bentuk: (1 )[ ] (2.22) Peramalan pada metode ini dapat ditulis sebagai berikut: Ft Ft Ft Ft (1 ) (1 )[ (1 ) (1 ) (2.23) ] (1 ) (1 ) (1 ) [ (2.24) (2.25) (1 ) Apabila proses pada persamaan 2.22 berulang, subtitusi, Ft dengan komponen (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ] (2.26) dengan komponen dan seterusnya, maka hasilnya sebagai berikut: (1 ) (1 ) Secara sederhana persamaan 2.23 dapat ditulis dalam notasi peramalan: (2.27)
15 Ft dimana: Ft (1 ) (2.28) dugaan baru atau nilai ramalan untuk waktu t data aktual pada periode sekarang dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu terakhir). 2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data yang stasioner dan pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang mengandung trend, namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung unsur musiman (Makridakis, dkk., 1999). Metode pemulusan eksponensial triple atau yang biasa dikenal dengan Holt s Winter Method merupakan metode peramalan yang dikemukakan oleh Holt dengan menggunakan persamaan kuadrat. Metode ini lebih sesuai jika digunakan untuk membuat peramalan dari suatu data yang berfluktuasi atau mengalami gelombang pasang surut (Subagyo, 2002). Metode ini dapat mengatasi masalah data dengan menggunakan pola komponen data trend dan musiman yang tidak dapat diatasi oleh metode moving average dan metode pemulusan eksponensial lainnya. Apabila identifikasi pada historis dari data aktual permintaan menunjukkan adanya fluktuasi musiman, perlu dilakukan penyesuaian terhadap pengaruh musiman itu melalui menghitung indeks musiman. Sebagai contoh untuk menjelaskan pengaruh musiman menggunakan angka indeks musiman (Triana, 2015).
16 Metode pemulusan eksponensial triple digunakan dalam peramalan data runtut waktu yang mengikuti suatu pola musiman. Didasarkan pada 3 persamaan pemulusan, yaitu: untuk unsur eksponensial, trend, dan musiman. Persamaan metode pemulusan eksponensial secara umum ditulis sebagai berikut: ( ( Dimana ) ) (1 ) (2.25) St Pemulusan eksponensial pada tahun ke-t xt Data ke-t konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) Persamaan 2.25 merupakan persamaan yang digunakan pada metode pemulusan eksponensial tunggal dimana pada metode tersebut hanya menggunakan satu konstanta pemulusan yaitu dengan nilai pembobotan 0 < < 1. Namun pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut. Oleh karena itu, Holt menambahkan unsur trend pada persamaan 2.25. Sehingga persamaan baru tersebut dapat ditulis: ( ( ( ( 1)( Dimana: (1 ) ) ) ) (1 ) ) (2.26)
17 St Pemulusan eksponensial pada tahun ke-t xt Data ke-t pemulusan faktor musiman L panjang musiman bt pemulusan trend konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) Persamaan 2.26 tersebut kemudian yang dikenal dengan metode pemulusan eksponensial ganda. Metode ini juga biasa dikenal Holt s Linear. Untuk menghitung pemulusan trend nya digunakan persamaan sebagai berikut: ( (. ) (1 ) ) (1 ) ) (1 ).. ( Dimana: (2.27) konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1) St pemulusan eksponensial pada tahun ke-t bt pemulusan trend merupakan selisih antar pemulusan eksponensial Karena menggunakan dua konstanta pemulusan yaitu dan, maka dari itu metode tersebut dikenal metode pemulusan eksponensial ganda. Namun pada metode pemulusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data yang mengandung trend tapi tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung musiman, sehingga Holt (1960) mengembangkan metode ini dengan memasukkan unsur musiman pada data. Sehingga persamaan baru tersebut dapat ditulis: ( ( ) ( (1 ) ) (1 )( (1 ) ) ) (2.28)
18 Dimana St Pemulusan eksponensial pada tahun ke-t xt Data ke-t pemulusan faktor musiman L panjang musiman bt pemulusan trend konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) Persamaan 2.28 dikenal dengan metode pemulusan eksponensial triple. Metode ini juga biasa dikenal Holt s Winter. Karena pada metode ini menggunakan unsur trend dan musiman maka perlu juga dilakukan perhitungan pemulusan trend dan pemulusan musimannya. Persamaan untuk menghitung pemulusan trend ditulis sebagai berikut: ( Dimana: ) (1 ) (2.29) konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1) St pemulusan eksponensial pada tahun ke-t bt pemulusan trend merupakan selisih antar pemulusan eksponensial Selanjutnya persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai berikut: ( (. ) (1 ) ) (1 ) ) (1 ).. Dimana: ( konstanta pembobot pemulusan untuk musiman (0 < pemulusan faktor musiman xt Data ke-t L panjang musiman (L3, L4, L6, atau L12) (2.30) < 1)
19 Untuk menentukan konstanta pemulusan apabila data yang digunakan memiliki pola historis yang tidak stabil maka nilai konstanta pemulusan memiliki nilai yang mendekati 1, namun apabila data yang digunakan memiliki pola historis yang tidak berfluktuasi atau relatif stabil maka nilai konstanta pemulusan memiliki nilai yang mendekati 0. Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensia triple yaitu dengan menghitung pemulusan eksponensial, pemulusan trend, dan pemulusan musiman. Setelah ketiga faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah peramalan data pada periode p yang akan datang dengan rumus: 1. 3. Dimana: 2.... (2.31) Nilai yang ingin diramalkan pemulusan faktor musiman L panjang musiman St pemulusan eksponensial pada tahun ke-t bt pemulusan trend p periode waktu yang akan diramalkan Metode ini menggunakan tiga konstanta pemulusan yaitu,, dan pembobotannya berada antara 0 sampai 1 (Makridakis, dkk., 1999). dengan nilai
20 2.14 Nilai Awal Nilai awal adalah nilai yang digunakan untuk menduga nilai awal pada koefisien,,,. Jika data deret berkala tidak ada untuk memenuhi koefisien tersebut, maka untuk menentukan nilai tersebut dapat dilakukan dengan menghitung nilai prediksinya dengan menganalogikan dengan beberapa metode. Berikut adalah metode yang digunakan untuk menentukan nilai awal : 1) Nilai awal untuk pemulusan eksponensial Nilai awal untuk pemulusan total yaitu dengan menghitung rata-rata pada data di tahun pertama. Jika ditulis dalam notasi adalah sebagai beriku: Dimana, atau ( ) (2.32) Nilai awal pemulusan eksponensial x Data ke-t L panjang periode musiman (L3, L4, L6, atau L12) 2) Nilai awal untuk pemulusan trend (2.33) Dimana, atau Nilai awal untuk faktor trend x Data ke-t L panjang periode musiman (L3, L4, L6, atau L12)
21 3) Nilai awal untuk pemulusan musiman... Dimana, (2.34) Nilai awal untuk faktor musiman ke-k x Data ke-t k periode musiman, (k 1,2,,L) (Makridakis, dkk., 1983). 2.15 Kriteria Kebaikan Model Dalam melakukan permalan, ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari ramalannya. Dari beberapa metode tersebut akan dicari metode manakah yang paling baik dan cocok untuk meramalkan data tertentu. Sebuah model dengan galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih untuk melakukan prediksi di masa mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat peramalan, sebagai berikut : a. Mean Absolute Precentage Error (MAPE) Persentase galat rata rata mutlak (MAPE) memberikan petunjuk seberapa besar galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya. ( ) ( 100 ) ( ) 100 (2.35)
22 Dimana : n banyaknya data yang diamati peramalan ke-t Yt data ke-t Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai MAPE dibawah 10% b. Mean Absolute Deviation (MAD) Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan merataratakan nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti pada data aslinya (2.36) Dimana: n banyaknya data yang diamati peramalan ke-t Yt data ke-t (Makridakis, dkk., 1999).
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester ganjil Tahun Ajaran 2015/2016 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. 3.2 Data Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda pada tahun 2008-2014. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut: Tabel 1. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda Tahun 2008-2014 Tahun Bulan 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Jan 36783 37289 45980 48350 52029 75029 76063 Feb 30831 34154 36094 44405 50785 59691 66733 Mar 36016 38497 44646 54560 57386 61132 72501 Apr 33293 35404 39799 45742 52720 60353 68315 May 34617 37981 39363 50127 52604 64384 71341 Jun 41212 44522 48620 58210 59982 71637 71210 Jul 40251 41238 45032 52658 48206 55163 55537 Aug 37648 36308 38335 49643 57501 92622 80665 Sep 34031 41741 55997 63390 69700 84801 69489 Oct 46388 52822 50353 58000 64800 76940 98232 Nov 42627 47911 55043 52940 65061 74757 74874 Dec 46024 54584 61665 63347 68807 92658 83161
24 3.3 Metode Penelitian Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah 1. Menguji Asumsi A. Stasioner 1) Mengidentifikasi dengan grafik fungsi autokorelasi (ACF). 2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented Dickey-Fuller. a) Menentukan nilai t hit ADF dengan uji statistik dengan menggunakan software E-Views. b) Menentukan nilai kritik untuk t hit dengan rumus pada persamaan 2.6 dengan nilai taraf uji 1%, 5%, dan 10% menggunakan software E-Views. c) Menguji hipotesis untuk masing-masing. B. Trend 1) Menyajikan grafik deret waktu. Apabila grafik deret waktu menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data mengandung trend. 2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji Augmented Dickey- Fuller. C. Musiman 1) Menyajikan grafik deret waktu 2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung dengan metode rata-rata sederhana.
25 2. Nilai awal A. Nilai awal untuk pemulusan eksponensial 1 1 (2.32) B. Nilai awal untuk pemulusan trend (2.33) C. Nilai awal untuk pemulusan musiman (2.34) 3. Menghitung nilai pemulusan eksponensial triple sebagai berikut: A. Pemulusan keseluruhan ( ) (1 ) ( ) (2.28) B. Penghalusan trend ( ) (1 ) (2.29) C. Penghalusan musiman ( ) (1 ) (2.30) 4. Menghitung peramalan pemulusan eksponensial triple dengan : (2.31) 5. Memilih model pemulusan eksponensial tripel terbaik dengan melihat nilai kesalahan (error) terkecil. ( ) 100 (2.35) ( ) (2.36)
V. KESIMPULAN 1. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada tahun 2008 sampai 2014 mengandung faktor trend dan faktor musiman sehingga dapat diramalkan menggunakan metode pemulusan eksponensial triple. 2. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada bulan Januari 2008 sampai Desember 2014 memiliki pola historis yang tidak berfluktuasi (relatif stabil) sehingga konstanta pemulusan eksponensial ( ) yang baik digunakan adalah yang memiliki nilai mendekati 0 3. Nilai galat terkecil pada MAPE dan MAD berturut-turut adalah 0.553261% dan 273.7696 yaitu pada 0.0000001, 0.0001, dan 0.9834 4. Banyaknya penumpang pada bandara tersebut sangat dipengaruhi oleh pengaruh musiman namun kurang dipengaruhi oleh faktor trend sehingga nilai peramalan yang dihasilkan tidak jauh berbeda dengan nilai pada data sebelumnya.
DAFTAR PUSTAKA Ayres, F. dan Medelson, E. 2012. Schaum s Outline of Calculus. Edisi 6. McGraw-Hill, New York. Gujarati, D. N. dan Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, New York. Hadi, S.1995. Statistik 2. Andi Offset, Yogyakarta. Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1983. Forecasting Methods and Application. Jhon Wiley and son, New York. Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta. Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods and Application. Erlangga, Jakarta. Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models.Willey Intersciences Publication, Canada. Santoso, P. B. dan Hamdani, M. 2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga. Erlangga, Jakarta. Subagyo, P.1986. Forecasting Konsep dan Aplikasi. BPFE, Yogyakarta. Triana, R. 2015. Aplikasi Permalan Penjualan Menggunakan Metode Winter Pada Milkiwae. UPN Veteran, Yogyakarta. Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods Second Edition. Pearson Education Inc., Canada. Yulianto, M. A. 2012. Analisa Time Series. 30 November 2015. https://digensia.wordpress.com/2012/08/24/analisa-time-series.