Optimisasi (Abdu H) OPTIMISASI MULTIOBJEKTIF UNTUK PEMBENTUKAN PORTOFOLIO Abdu Hoyyi 1, Dwi Ispriyanti 1 1 Staf Pengajar Jurusan Statistika FSM UNDIP Abstract Investing in asset such as stock; besides generate profit (return), it is aso dea with a risk of oss, so that portofoio diversification is needed to reduce the risk. In the estabishment of stock portofoio, the investors seeking to maximize the expected return of investment with a certain eve of risk that sti can be accepted. Portofoios that can achieve the above objectives caed optima portofoios. The appication of mutiobjective optimization on the estabishment of the optima portofoio is to maximize the return and minimize the risk at the same time. The aim of this research is to anaize the proportion of each stock in order to form an optima portofoio and to anayze the eve of benefits and risks of the portofoio which is formed in accordance with the preferences of investors. The data used are monthy stock data of ASII, TLKM, SMGR, LPKR and BBNI. The optima portofoio for risk seeker investors is a portofoio that used coefficient k =0,01, namey by investing in SMGR whist the optima portofoio for risk indifference investors is a portfoia which has coefficient 1 k 100 namey by investing in ASII, TLKM, SMGR, LPKR, and BBNI. Whereas, the optima portofoio for risk averse investors is a portfoio which has coefficient k =1000 that is by investing in ASII, TLKM, SMGR, LPKR, and BBNI. Keywords: Portofoio, Muti Objective Optimization 1. Pendahuuan Investasi pada aset berisiko seperti saham tidak hanya akan menghasikan keuntungan (return) tetapi juga harus menghadapi kerugian (risk). Tingkat pengembaian dapat diukur dari expected return sedangkan risiko dapat diukur dari varian atau standar deviasi. Oeh karena itu dibutuhkan adanya diversifikasi untuk mengurangi risiko. Diversifikasi portofoio diartikan sebagai pembentukan portofoio sedemikian rupa sehingga dapat mengurangi risiko portofoio tanpa mengorbankan pengembaian yang dihasikan [4]. Professor Harry Markowitz merupakan pencetus teori diversifikasi portofoio yang seanjutnya dikena dengan teori diversifikasi Markowitz. Fabozzi menyatakan bahwa jika menggunakan diversifiksi Markowitz investor dapat mempertahankan tingkat pengembaian yang diharapkan dan mengurangi risiko portofoio dengan menggabungkan aktiva dengan koreasi ebih rendah. Investor diasumsikan cenderung menghindari risiko dan akan memiih portofoio yang menawarkan pengembaian tertinggi dengan tingkat risiko tertentu. Konsep portofoio efisien Markowitz disebut juga dengan Mean Variance Efficient Portfoio (MVEP). Mean Variance Efficient Portfoio (MVEP) sebagai portofoio yang memiiki varian minimum diantara keseuruhan kemungkinan portofoio yang dapat dibentuk [7]. Portofoio yang mungkin adaah portofoio yang dapat dibentuk oeh investor dari aktiva yang tersedia. Pada pembentukan portofoio ada banyak situasi dimana entitas (perseorangan maupun perusahaan) menghadapi trade-off antara dua piihan. Teori piihan ini menjeaskan proses pembuatan keputusan dengan bantuan suatu konsep yang disebut fungsi kegunaaan (utiity function). Daam teori portofoio, fungsi kegunaan menyatakan preferensi (piihan) dari entitas ekonomi sehubungan dengan pengembaian dan risiko yang dihadapi [4]. 31
Media Statistika, Vo. 8 No. 1, Juni 015: 31-39 Portofoio yang optima adaah tergantung pada preferensi investor. Weston dan Copeand membagi jenis investor menjadi tiga goongan berdasarkan preferensinya, yaitu keompok yang senang menghadapi risiko (risk seeker), keompok anti risiko (risk averse), dan keompok yang acuh terhadap risiko (risk indifference) [9]. Konsep portofoio yang dicetuskan oeh Markowitz merupakan optimisasi portofoio yang ditujukan untuk investor standar karena hanya mengacu pada satu penjeasan dari return portofoio [8]. Duan menggunakan pendekatan mutiobjektif untuk membentuk portofoio yang optima. Mutiobjektif merupakan saah satu metode optimisasi dimana pengoptimaan tidak hanya diihat pada satu sudut pandang tetapi optimisasi berdasarkan ebih dari satu sudut pandang. Penerapan optimisasi mutiobjektif pada pembentukan portofoio yang optima adaah dengan memaksimumkan return dan meminimumkan risiko secara bersamaan. Investor cenderung mengharapkan portofoio yang menghasikan return atau niai pengembaian yang besar dengan risiko yang keci. Sehingga portofoio yang optima adaah portofoio yang dapat memaksimakan return dan meminimakan risiko. Optimisasi mutiobjektif menawarkan beberapa aternatif investasi tergantung pada preferensi investor.. Tinjauan Pustaka.1. Return Return merupakan pendapatan yang akan diterima jika menginvestasikan uang pada suatu aktiva finansia (saham, obigasi) atau aktiva rii (property, tanah) [5]. Return saham dirumuskan sebagai berikut [6] dengan: R t = return saham pada periode t, t = 1,,.... n p = harga saham pada periode t, t = 1,,.... n t p t1 = harga saham pada periode t-1, t = 1,,.... n Jika terdapat n (jumah observasi) return, maka ekspektasi return dapat diestimasi dengan mean return, yaitu.. Metode Portofoio Mutiobjektif Mutiobjektif merupakan saah satu metode optimisasi dengan pengoptimaan tidak hanya diihat pada satu sudut pandang tetapi optimisasi berdasarkan ebih dari satu sudut pandang. Penerapan optimisasi mutiobjektif pada efisiensi mesin misanya sebuah perusahaan ingin memaksimakan hasi produksi dari mesin yang digunakan dengan meminimakan energi yang digunakan mesin sehingga biaya produksi dapat ditekan seminima mungkin. Dua objektif dikatakan dapat memenuhi optimisasi mutiobjektif jika meningkatkan pada satu objektif dan menurunkan pada satu objektif ainnya [1]. Optimisasi mutiobjektif dapat dirumuskan sebagai berikut Meminimumkan (merupakan fungsi yang akan dioptimakan) dengan kendaa : (m pertidaksamaan kendaa) (p persamaan kendaa) Kunci untuk mencapai strategi portofoio yang optima adaah teretak pada seberapa besar investor tersebut menanamkan moda pada masing-masing aset [3]. Sehingga variabe 3
Optimisasi (Abdu H) penentu pada optimasi portofoio adaah vektor bobot aset, dengan expected return masing-masing aset di portofoio dituiskan daam bentuk vektor. Pendekatan optimisasi mutiobjektif mengkombinasikan banyak fungsi objektif f 1 (w), f (w),..., f N (w) ke daam satu fungsi objektif dengan memasukkan bobot pada masing-masing fungsi objektif. Sousinya adaah dengan meminimumkan jumah dari fungsi bobot menggunakan metode singe-objektif, yaitu Meminimumkan F(w) = a 1 f 1 (w) +... + a N f N (w) dengan a i > 0 dan i = 1,,..., N Teori portofoio modern mengasumsikan bahwa pada tingkat risiko yang diberikan investor cenderung untuk memaksimakan return, dan pada tingkat return yang diberikan investor cenderung untuk meminimakan risiko. Ada juga investor yang cenderung untuk memaksimakan return tanpa memperhatikan risiko dan ada investor yang cenderung meminimakan risiko tanpa memperhatikan return. Preferensi investor dapat dituiskan daam ima mode saah satunya adaah memaksimumkan expected return dan meminimumkan risiko [3] Memaksimumkan : Meminimumkan : (1) Tujuan investasi pada Persamaan (1) adaah meminimumkan risiko portofoio dan memaksimumkan expected return portofoio adaah ekuivaen dengan meminimumkan negatif expected return portofoio dan risiko portofoio Meminimumkan : kendaa :. Sehingga diperoeh formua untuk mode (1) adaah Optimisasi mutiobjektif ini dapat diseesaikan dengan skaarisasi yang merupakan suatu teknik standar untuk menemukan poin-poin optima untuk setiap permasaahan pengoptimuman vektor. Dengan memberikan dua koefisien pembobotan untuk fungsi tujuan dan secara berturut-turut. Diberikan dan sehingga diperoeh penyeesaian optima dari permasaahan optimisasi vektor yaitu Meminimumkan : kendaa : Koefisien pembobot k menunjukkan seberapa besar seorang investor mengambi risiko atas expected return. Seorang investor dapat mempertimbangkan k sebagai konstanta atau indeks risk aversion (menghindari risiko) yang mengukur toeransi risiko dari seorang investor. Niai k yang keci mengindikasikan bahwa investor tersebut termasuk investor yang suka terhadap risiko (risk seeking), semakin besar niai k mengindikasikan bahwa investor tersebut semakin menghindari risiko (risk averse) [3]. Jika k mendekati 0 maka variansi portofoio (akan menuju no) dan fungsi sasarannya didominasi oeh expexted return. Ha ini berarti investor hanya ingin memaksimakan expected return tanpa memperhatikan risiko (tipe investor risk 33
Media Statistika, Vo. 8 No. 1, Juni 015: 31-39 seeking). Jika k mendekati maka variansi dan fungsi sasarannya didominasi oeh. Ha ini berarti investor hanya ingin meminimakan risiko tanpa memperhatikan expected return. Dengan memberikan berbagai niai k dapat dihasikan berbagai macam mode optimisasi [3]. Permasaahan optimisasi mutiobjektif tersebut dapat diseesaikan dengan bantuan Fungsi Lagrange sebagai berikut () Untuk mendapatkan penyeesaian niai optima terhadap w, Persamaan () diturunkan terhadap w. Sehingga diperoeh bobot sebagai berikut (3) dengan substitusi Persamaaan (3) ke persamaan Maka diperoeh niai (4) Substitusikan Persamaan (4) ke Persamaan (3), sehingga diperoeh L Karena k 0. Sehingga Persamaan (5) merupakan bobot optima dengan k w T w suatu tetapan (k > 0).3. Uji Normaitas Diagnostik norma mutivariat dapat diakukan secara visua dengan membuat pot Chi Kuadrat yaitu pot antara jarak mahaanobis ke- ( d ) yang sudah terurut dengan kuanti Chi Kuadrat. Jarak mahaanobis ditentukan dengan rumus sebagai berikut untuk =1,,3,...n dan S adaah matriks varian-kovarian sampe return saham. Seain secara visua diakukan uji forma dengan uji Komogorov Smirnov. Jika pot Chi Kuadrat merupakan garis urus dan jarak mahaanobis berdistribusi Chi Kuadrat pada uji Komogorov Smirnov maka dapat disimpukan bahwa data return saham berdistribusi norma mutivariat []. 3. Bahan dan Metode 3.1. Sumber Data Data yang digunakan daam peneitian ini adaah data sekunder yaitu data pergerakan harga saham yang terdaftar di Bursa Efek Indonesia (BEI) atau Indonesia Stock Exchange (IDX), khususnya saham yang termasuk daam 50 saham teraktif berdasarkan pengumuman yang dipubikasikan oeh Bursa Efek Indonesia (BEI). Objek peneitian yang digunakan adaah harga saham buanan dari 5 saham LQ45 dari sektor yang berbeda untuk periode Juni 009 Juni 014. Saham yang dipiih sebagai objek peneitian adaah ASII (Astra Internationa), TLKM (Tekom), SMGR (Semen Gresik), LPKR (Lippo Karawaci), dan BBNI (Bank Negara Indonesia). Pemiihan keima saham sebagai objek peneitian berdasarkan (5) 34
Optimisasi (Abdu H) pertimbangan untuk menghindari pemiihan saham yang kurang aktif diperdagangkan sehingga dianggap kurang tepat sebagai indikator kegiatan pasar moda. 3.. Metode Anaisis 1. Menghitung niai return dari masing-masing saham.. Menghitung niai matriks varian-kovarian sampe return saham. 3. Menghitung niai expected return dari masing-masing saham. 4. Meakukan uji norma mutivariat terhadap data return saham. 5. Menghitung bobot masing-masing saham dengan pendekatan optimisasi mutiobjektif dengan kombinasi niai µ yang berbeda-beda. 6. Menghitung niai pengembaian dari masing-masing return portofoio yang terbentuk menggunakan metode optimisasi mutiobjektif. 4. Hasi dan Pembahasan Sebeum diakukan uji norma mutivariat, diakukan perhitungan return masingmasing saham. Niai return saham untuk 3 pengamatan pertama sebagai berikut: Tabe 1. Niai Return Masing-Masing Saham untuk 3 Pengamatan Pertama No. ASII TLKM SMGR LPKR BBNI 1 0,3109 0,193333 0,1486 0,059701 0,098837 0,09010-0,06145 0-0,09859 0,06455 3 0,106136 0,0976 0,05884 0,046875 0,095361 Perhitungan diakukan sampai dengan pengamatan terakhir. Sedangkan matriks variankovariannya sampe return untuk keima saham sebagai berikut: 0,005809 0,001017 S = 0,003940 0,00351 0,003154 0,001017 0,004463 0,001870 0,000536 0,00180 0,00394 0,00187 0,00686 0,00691 0,00348 0,00351 0,000536 0,00691 0,01454 0,003677 0,003154 0,00180 0,00348 0,003677 0,008179 Niai expected return dan varian return untuk masing-masing saham dituis daam Tabe. Tabe. Niai Expected Return dan Varian Return Saham Saham Expected Return Varian ASII 0,0157344 0,00580933 TLKM 0,0104957 0,00446985 SMGR 0,00468 0,00685608 LPKR 0,018654 0,01453765 BBNI 0,010974 0,008178894 Berdasarkan Tabe expected return terbesar terdapat pada saham SMGR dan expexted return saham terkeci terdapat pada saham TLKM, menunjukkan bahwa investasi yang memberikan pengembaian terbesar adaah investasi pada saham SMGR dan investasi yang menghasikan pengembaian terkeci adaah investasi pada saham TLKM. 35
Media Statistika, Vo. 8 No. 1, Juni 015: 31-39 Niai varian return saham merupakan diagona utama dari matriks varian-kovarian return saham. Varian terbesar terdapat pada saham LPKR dan varian terkeci terdapat pada saham TLKM, menunjukkan bahwa investasi yang paing berisiko adaah investasi pada saham LPKR dan investasi yang berisiko rendah adaah investasi pada saham TLKM. Diagnostik secara visua untuk norma mutivariat diakukan dengan membuat Q-Q pot yang terbentuk dari jarak mahaanobis dengan niai quanti distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat bebas banyaknya saham yang diinvestasikan. Niai jarak mahaanobis dan niai quanti distribusi Chi-Kuadrat untuk tiga amatan pertama sebagai berikut: Tabe 3. Jarak Mahaanobis dan Kuanti Chi-Kuadrat No. Jarak Mahaanobis Kuanti Chi-Kuadrat ( ) ( d ) 0.5) ( 5 ;( ) ) n 1 0.7345583 0.5181 0.7973569 0.831116 3 1.039350 1.0511764 Perhitungan diakukan sampai dengan amatan terakhir. Pot antara jarak mahaanobis dan kuanti distribusi Chi-Kuadrat atau Q-Q pot sebagai berikut Gambar 1. Pot Chi-Kuadrat Berdasarkan pot Chi-Kuadrat pada Gambar 1 dapat diihat bahwa pot membentuk garis urus, sehingga dapat disimpukan bahwa data return saham berdisribusi norma mutivariat. Pengujian secara forma dengan α = 5% menggunakan uji Komogorov Smirnov. Hipotesis H 0 : F( d ) = F 0 ( d ) untuk semua niai d (jarak mahaanobis mengikuti distribusi Chi-Kuadrat atau data return saham mengikuti distribusi norma mutivariat) H 1 : F( d ) F 0 ( d ) untuk sekurang-kurangnya sebuah niai d (jarak mahaanobis tidak mengikuti distribusi Chi-Kuadrat atau data return saham tidak mengikuti distribusi norma mutivariat). 36
Optimisasi (Abdu H) Hasi perhitungan diperoeh niai D = 0,1091 < W (0,95) = 0,017558, sehingga diperoeh kesimpuan bahwa data return saham berdistribusi norma mutivariat. 4.. Pembentukan Portofoio dengan Pendekatan Optimisasi Mutiobjektif Pembentukan portofoio saham dengan pendekatan optimisasi mutiobjektif merupakan pembentukan portofoio optima saham yang mempunyai return atau pengembaian yang besar dengan risiko yang keci. Sehingga portofoio yang optima adaah portofoio yang dapat memaksimakan return dan meminimakan risiko. Portofoio yang optima tergantung pada preferensi investor. Investor risk seeker cenderung memiih untuk berinvestasi pada saham dengan risiko yang tinggi, investor risk averse cenderung untuk berinvestasi pada saham dengan risiko rendah, sedangkan risk indifference cenderung memiih risiko yang berada di tengah. Optimisasi mutiobjektif menawarkan beberapa aternatif investasi tergantung pada preferensi investor. Perhitungan bobot masing-masing saham pada pembentukan portofoio dengan pendekatan mutiobjektif dibantu dengan fungsi Lagrange. Dengan meminimumkan fungsi Lagrange maka diperoeh bobot dimana koefisien pembobot k menunjukkan seberapa besar seorang investor mengambi risiko atas expected return. Seorang investor dapat mempertimbangkan k sebagai konstanta atau indeks risk aversion (menghindari risiko) yang mengukur toeransi risiko dari seorang investor. Proporsi saham pada pembentukan portofoio dengan pendekatan mutiobjektif dengan koefisien pembobot k yang berbeda dapat digambarkan daam diagram batang pada Gambar berikut: Gambar. Komposisi Saham pada Pembentukan Portofoio dengan Pendekatan Optimisasi Mutiobjektif Berdasarkan Gambar dapat diihat bahwa dengan menggunakan koefisien pembobot k = 0,01 (k mendekati no) saham yang diinvestasikan hanyaah saham SMGR dengan proporsi semua moda diinvestasikan terhadap saham SMGR. Investasi pada semua saham SMGR cocok untuk investor dengan tipe risk seeker. Pada koefisien pembobot k = 1 proporsi saham SMGR sudah berkurang, dari 100% menjadi 36,56% dan sisanya diinvestasikan pada saham ASII dan BBNI. Dengan menggunakan koefisien pembobot 37
Media Statistika, Vo. 8 No. 1, Juni 015: 31-39 k = 10 proporsi saham SMGR semakin berkurang, dari 36,56% menjadi 8,87% dan sisanya diinvestasikan pada saham ASII, TLKM, LPKR, dan BBNI. Dengan menggunakan koefisien pembobot k yang semakin mendekati biangan tak hingga maka proporsi saham yang berisiko tinggi seperti ASII, SMGR, dan BBNI mengaami penurunan. Pada koefisien pembobot 1 k 100 terjadi perubahan yang signifikan pada proporsi saham, koefisien pembobot ini cocok digunakan oeh investor tipe risk indifference, sedangkan pada koefisien pembobot k > 100 tidak terjadi perubahan yang signifikan pada proporsi saham, koefisien pembobot yang mendekati biangan tak hingga cocok digunakan oeh investor tipe risk averse. 4.. Perhitungan Keuntungan Portofoio Tingkat keuntungan yang diharapkan dari suatu investasi merupakan expected vaue dari tingkat keuntungan tersebut. Pada studi kasus ini jika diambi contoh dengan menginvestasikan moda sebesar Rp 50.000.000,00 maka keuntungan yang diharapkan pada masing-masing portofoio dengan koefisien pembobot berbeda-beda adaah sebagai berikut Tabe 4. Niai Expected Return dan Keuntungan yang Diharapkan pada Masing-Masing Portofoio k Expected Return Keuntungan 0,01 1 0,00468 0,0169095 Rp 1.110.34,00 Rp 1.084.548,00 0,0119844 Rp 1.059.9,00 10 0,01611139 Rp 805.569,00 50 0,01504776 Rp 75.388,00 100 0,01491481 Rp 745.740,00 1000 0,01479515 Rp 739.757,00 10000 0,01478319 Rp 739.159,00 0000 0,014785 Rp 739.16,00 50000 0,014781 Rp 739.106,00 Berdasarkan Tabe 4 dapat diihat bahwa tingkat keuntungan terbesar didapat pada portofoio dengan koefisien pembobot k = 0,01. Sedangkan tingkat keuntungan terkeci didapat pada portofoio dengan koefisien pembobot k = 50000. 5. Kesimpuan Pembentukan portofoio optima dengan pendekatan optimisasi mutiobjektif dapat digunakan oeh semua tipe investor baik risk averse, risk seeker maupun risk indifference. Pembentukan portofoio dengan pendekatan optimisasi mutiobjektif mempertimbangkan koefisien pembobot (niai k). Pemiihan koefisien pembobot yang mendekati no, moda diaokasikan pada semua saham yang mempunyai tingkat pengembaian paing besar, sedangkan pemiihan koefisien pembobot yang mendekati biangan tak hingga, proporsi moda pada saham yang mempunyai varian besar akan cenderung mengeci sehingga meminimakan risiko. 38
Optimisasi (Abdu H) DAFTAR PUSTAKA 1. Coete, Y., Siarry, P., Mutiobjective Optimization: Principe and Case Studies, Springer-Verag Berin Heideberg, New York, 004.. Danie, W. W., Statistika Parametrik Terapan, Aex Tri Kantjono W, Penerjemah Gramedia, Jakarta, Terjemahan dari: Appied Nonparametric Statistics, 1989. 3. Duan, Y. C., A Muti-objective Approach to Portfoio Optimization, The Rose- Human Undergraduate Mathematics Journa, 007, Vo. 8, No. 1. 4. Fabozzi, F. J., Manajemen Investasi, Tim Penerjemah Saemba Empat, Penerjemah Saemba Empat, Jakarta, Terjemahan dari: Investment Management, 1995. 5. Ghozai, I., Manajemen Risiko Perbankan: Pendekatan Kuaitatif Vaue at Risk (VaR), Badan Penerbit Universitas Diponegoro, Semarang, 007. 6. Harde, W., and Simar, L., Appied Mutivariate Statistica Anaysis, Second Edition, Springer Berin Heideberg, New York, 007. 7. Maruddani, D.A.I. dan Purbowati, A., Pengukuran Vaue at Risk pada Aset Tungga dan Portofoio dengan Simuasi Monte Caro, Media Statistika, Desember 009, Vo., No. : 93-104. 8. Steuer. R. E., Qi, Y., Hirschberger, M., Mutipe Objectives in Portfoio Seection. Journa of Financia Decision Making, September 005, Vo. 1, No.1. 9. Weston, J. F., Copeand T. E., Manajemen Keuangan. Kribrandoko, Jaka Wasana, dan Supranoto Dipokusumo, penerjemah, Erangga, Jakarta, Terjemahan dari: Manageria Finance, 1986. 39