Bab 3 MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 3.1 Model Matematika Pada bab ini akan dimodelkan proses ekspresi gen dengan kontrol yang dilakukan oleh protein repressor. Kemudian kita analisis model yang diperoleh yakni mencari solusi steady-state dan kestabilannya. Sementara itu, dengan analisis numerik kita akan menentukan parameter yang sangat berpengaruh pada proses ini. Kita misalkan protein yang dihasilkan oleh ekspresi gen ini adalah protein repressor. Sebagaimana ditulis pada Bab 2, ekspresi gen terdiri dari transkripsi dan translasi. Mula-mula ketika repressor tidak berikatan dengan DNA, DNA tersebut akan ditranskripsi berdasarkan suatu reaksi kimia sehingga terbentuk mrna di nukleus. Reaksi kimia tersebut diberikan oleh [6] : DNA + ρr k +1 k 1 R DNA (3.1.1) DNA + NTP k +2 DNA NTP k 3 DNA + mrna (3.1.2) k 2 dengan R menyatakan protein repressor, R DNA, DNA NT P adalah senyawa kompleks dan NTP adalah substansi kimia nukleotida trifosfat. 22
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 23 mrna yang terbentuk dari proses transkripsi di nukleus tersebut akan menuju ribosom untuk mentranslasikan diri sehingga terbentuk protein yang dikodenya. Dalam perjalanannya menuju ribosom, mrna harus melalui membran inti yang memiliki permeabilitas tertentu dan berdifusi di sitoplasma menuju ribosom yang diasumsikan terletak pada suatu jarak tertentu dari nukleus. Proses translasi yang terjadi dinyatakan oleh reaksi [6] : mrna + AA k +4 mrna AA k 5 mrna + R (3.1.3) k 4 dengan AA menyatakan asam amino. Untuk memodelkan permasalahan ini, kita bagi sel menjadi dua kompartemen (ruang bagian), yaitu nukleus sebagai kompartemen pertama dan sitoplasma sebagai kompartemen kedua yang mengandung ribosom, Gambar 3.1. Kedua kompartemen tersebut dipisahkan oleh membran inti yang menyelubungi nukleus. Selain itu, sel tersebut dibatasi oleh dinding sel yang impermeabel. Pada kompartemen pertama terjadi reaksi kimia yakni reaksi pada proses trans- u (t) 2 v (t) 2 Dinding sel yang impermeabel Gambar 3.1: Model dengan 2 kompartemen kripsi. DNA berkombinasi secara reversibel dengan sejumlah ρ molekul repressor (R) membentuk senyawa kompleks R DNA yang dinyatakan oleh reaksi (3.1.1) dengan konstanta laju reaksi K 1. Sehingga diperoleh : K 1 = DNA R ρ DNA.R ρ (3.1.4)
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 24 Sementara itu, DNA yang tidak berkombinasi dengan repressor berkombinasi dengan NTP (nukleotida trifosfat) membentuk mrna berdasarkan reaksi (3.1.2) dengan konstanta K 2. Sehingga kita peroleh : K 2 = DNA NTP DNA.NT P (3.1.5) DNA T = DNA + R DNA + DNA NTP (3.1.6) = DNA(1 + K 1.R ρ + K 2.NT P ) Secara biologi, jumlah atau konsentrasi DNA T (DNA total) tetap yang diberikan oleh persamaan (3.1.6) sedangkan konsentrasi mrna dapat berubah-ubah tergantung pada kondisi sel. Jika pada sel terdapat substrat maka DNA akan memerintahkan untuk memproduksi enzim untuk mengubah substrat tersebut menjadi produk akhir yang diinginkan dengan membentuk salinan perintahnya yang terkandung dalam mrna. Sebagai contoh, bila di sel terdapat laktosa sebagai substrat glukosa, sel akan menghidupkan lac operon-nya yang akan mencetak mrna yang membawa perintah untuk mensintesa enzim beta-galaktosidase yang akan memecah laktosa menjadi glukosa dan galaktosa. Jika diasumsikan laju penghancuran mrna dan repressor terjadi secara linier maka persamaan diferensial untuk konsentrasi mrna, pembentukan dan penghancuran, dapat dirumuskan sebagai berikut [6]. Misal u 1 menyatakan konsentrasi (molar) mrna dan v 1 menyatakan konsentrasi (molar) repressor pada kompartemen pertama maka diperoleh persamaan laju perubahan konsentrasi mrna dan repressor pada kompartemen pertama sebagai berikut : u 1 (t) = R(v 1 ) b 1 u 1 (t)+a 1 (u 2 (t) u 1 (t)) v 1 (t) = a 2 (v 2 (t) v 1 (t)) b 2 v 1 (t) R(v 1 ) menyatakan laju pembentukan mrna berdasarkan reaksi (3.1.1) dan (3.1.2), b 1 dan b 2 masing-masing adalah konstanta laju penghancuran mrna dan repressor serta a 1 dan a 2 masing-masing adalah kontanta permeabilitas yang berasosiasi dengan u 1 dan v 1.
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 25 Kita tinjau R(v 1 ), dari reaksi (3.1.2) dan bahwa DNA pada reaksi (3.1.2) adalah DNA yang ditranskripsi sementara ada bagian lain dari DNA yang tidak dapat ditranskripsi yaitu pada reaksi (3.1.1), maka diperoleh [9] : R(v 1 )=k 3 DNA NTP.f(v 1 ) (3.1.7) Dengan f(v 1 ) adalah fraksi dari DNA yang dapat ditranskripsi. Dari persamaan (3.1.5), (3.1.6) dan (3.1.7) diperoleh : dengan τ = k 3 K 2 DNA T.NT P 1+K 2.NT P, k = R(v 1 )= τ 1+k[v 1 (t)] ρ (3.1.8) k +1 k 1 (1+K 2.NT P ), K 2 = k +2 k 2. Persamaan (3.1.8) belum memperhitungkan waktu yang diperlukan untuk transkripsi, sebut r 1. Jika kita masukkan r 1 pada persamaan (3.1.8) maka r 1 akan menjadi waktu tunda sehingga unsur v 1 (t) menjadi v 1 (t r 1 ). Pada kompartemen kedua, mrna ditranslasi oleh ribosom untuk memproduksi protein. Waktu yang dibutuhkan oleh mrna untuk berdifusi dari nukleus ke ribosom relatif kecil dibandingkan dengan waktu untuk transkripsi dan translasi. Oleh karena itu, kita abaikan proses difusi tersebut. Dari reaksi (3.1.3) diperoleh : K 4 = mrna AA mrn A.AA (3.1.9) Misal u 2 menyatakan konsentrasi (molar) mrna dan v 2 menyatakan konsentrasi (molar) repressor pada kompartemen kedua maka diperoleh : u 2 (t) = a 3 (u 1 (t) u 2 (t)) b 1 u 2 (t) v 2 (t) = S(u 2 ) b 2 v 2 (t)+a 4 (v 1 (t) v 2 (t)) dengan a 3 dan a 4 masing-masing merupakan konstanta permeabilitas yang berasosiasi dengan u 2 (t) dan v 2 (t). S(u 2 ) menyatakan laju pembentukan protein repressor berdasarkan reaksi (3.1.3). Dengan demikian, kita peroleh : S(u 2 )=k 5 mrna AA (3.1.10)
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 26 Dari persamaan (3.1.9) dan (3.1.10) diperoleh : S(u 2 )=c 0 u 2 (t) (3.1.11) dengan c 0 = k 5 K 4 AA, K 4 = k +4 k 4. Jika pada persamaan (3.1.11) kita masukkan waktu yang diperlukan untuk translasi, sebut r 2, maka r 2 akan menjadi waktu tunda sehingga unsur u 2 (t) menjadi u 2 (t r 2 ). Dengan melihat keseluruhan proses, kita mendapatkan model yang dicari yaitu berupa SPD dengan waktu tunda r 1 dan r 2 sebagai berikut : τ u 1 (t) = 1+k[v 1 (t r 1 )] b 1u ρ 1 (t)+a 1 (u 2 (t) u 1 (t)) v 1 (t) = a 2 (v 2 (t) v 1 (t)) b 2 v 1 (t) (3.1.12) u 2 (t) = a 3 (u 1 (t) u 2 (t)) b 1 u 2 (t) v 2 (t) = c 0 u 2 (t r 2 ) b 2 v 2 (t)+a 4 (v 1 (t) v 2 (t)) 3.2 Analisa Model 3.2.1 Analisa Masalah Steady-State Pada sub bab ini akan dibahas persamaan yang independen terhadap waktu yang diperoleh dari model (3.1.12). Artinya, untuk waktu yang sangat lama model tersebut akan memberikan solusi yang konstan atau konvergen ke suatu nilai. Oleh karena itu, bentuk diferensial pada (3.1.12) bernilai nol sehingga diperoleh persamaan steady-state sebagai berikut : R( v 1 ) b 1 ū 1 + a 1 (ū 2 ū 1 ) = 0 a 2 ( v 2 v 1 ) b 2 v 1 = 0 a 3 (ū 1 ū 2 ) b 1 ū 2 = 0 c 0 ū 2 b 2 v 2 + a 4 ( v 1 v 2 ) = 0
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 27 Dari persamaan steady-state di atas terdapat empat variabel dengan empat persamaan. Dengan demikian, dapat diperoleh solusi steady-state nya adalah : v 1 = v 1 v 2 = b 2 + a 2 a 2 v 1 ū 1 = b 2 + a 2 a 2 ū 2 ū 2 = B 2 c 0 v 1 dengan v 1 memenuhi R( v 1 )= B 1B 2 c 0 v 1 dengan B 1 = b2 1 +a 1b 1 +a 3 b 1 a 3, B 2 = b2 2 +a 2b 2 +a 4 b 2 a 2. 3.2.2 Kestabilan Lokal Dari model (3.1.12) dengan r 2 = 0 disekitar titik kesetimbangan dapat dituliskan sebagai berikut : u 1 (t) (a 1 + b 1 ) 0 a 1 0 u 1 (t) v 1 (t) 0 (a = 2 + b 2 ) 0 a 2 v 1 (t) u 2 (t) a 3 0 (a 3 + b 1 ) 0 u 2 (t) v 2 (t) 0 a 4 c 0 (a 4 + b 2 ) v 2 (t) 0 R(v 1 (t r 1 )) 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 Pertama kita analisis terlebih dahulu jika R = 0. Dengan asumsi tersebut, diperoleh persamaan karakteristik : (b 1 + λ)(b 2 + λ)(a 1 + a 3 + b 1 + λ)(a 2 + a 4 + b 2 + λ) =0
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 28 Dengan demikian, diperoleh : λ 1 = b 1 λ 2 = b 2 λ 3 = (a 1 + a 3 + b 1 ) λ 4 = (a 2 + a 4 + b 2 ) Maka syarat kestabilan dari model (3.1.12) adalah : b 1 > 0 b 2 > 0 (a 1 + a 3 + b 1 ) > 0 (a 2 + a 4 + b 2 ) > 0 Selanjutnya tinjau kasus R = 0. Persamaan karakteristiknya adalah : λi J 0 J r1 e λr 1 =0 dengan J 0 = g x(t), J r 1 = Sehingga diperoleh : g x(t r 1 ),ẋ = g(x(t),x(t r 1)) dan x(t) =[u 1 (t),v 1 (t),u 2 (t),v 2 (t)]. (b 1 +λ)(b 2 +λ)(a 1 +a 3 +b 1 +λ)(a 2 +a 4 +b 2 +λ) c 0 a 2 a 3 g (x 2 (t r 1 ))e λr 1 = 0 (3.2.1) Tidaklah mudah untuk menentukan nilai λ yang memenuhi persamaan 3.2.1. Oleh sebab itu, analisa pengaruh parameter pada model dengan waktu tunda akan dilakukan secara numerik dan dijelaskan pada bab selanjutnya.