ANALISIS NONLINIER UNTUK STRUKTUR BAJA (ADVANCED ANALYSIS FOR STEEL STRUCTURES) Nathan Madutujuh 1 ; Bambang Suryoatmono 2 1 Direktur Engineering Software Research Centre (ESRC), Bandung 2 Direktur Program Pasca Sarjana Unpar, Bandung ABSTRAK Sampai saat ini aplikasi analisis nonlinier dalam perencanaan struktur sehari-hari sangat jarang dilakukan, kecuali untuk struktur yang khusus atau pada fungsi struktur yang sangat penting. Hal ini disebabkan oleh beberapa alasan antara lain: Kecepatan dan kapasitas analisis komputer yang masih terbatas, ketersediaan software nonlinier, dan keterbatasan dalam kemampuan perencana dalam memodelkan dan mengolah hasil analisis nonlinier. Dengan demikian, metode analisis yang digunakan adalah metode analisis elastik orde pertama saja, dimana efek geometri nonlinier (pengaruh tekuk) dan efek gradual yielding dan strain hardening tidak diperhitungkan. Namun dengan perkembangan komputer sekarang ini model nonlinier dapat diterapkan dengan lebih mudah, cepat dan murah. Karena banyak perencana belum memiliki latar belakang yang memadai mengenai analisis nonlinier ini maka dalam tulisan ini akan dibahas beberapa aspek pemodelan dan analisis nonlinier yang perlu diketahui oleh perencana. 1. Pendahuluan Kata NONLINIER berarti segala sesuatu yang tidak memenuhi syarat LINIER. Dengan demikian, Analsisi Nonlinier adalah analisis yang jauh lebih luas dari analisis linier, karena aspek ketidaklinierannya bisa lebih dari satu, bahkan tidak terbatas. Contohnya: material nonlinier, nonlinier geometri, nonlinier terhadap temperatur, nonlinier terhadap waktu (creep), nonlinier terhadap berat jenis dan tekanan sekitar (soil) dsb. Dengan analisis nonlinier kita membuka suatu dunia baru, dimana perlu kehati-hatian dalam memilih efek nonlinier mana yang paling menentukan. Dalam pemodelan baja nonlinier, ketidaklinieran dijumpai dalam perilaku material nonlinier (efek gradual yielding dan elasto-plastik strain hardening) dan dalam respons terhadap gaya aksial (efek tekuk) atau disebut juga nonlinier geometri. Dalam tulisan ini akan dibahas bagaimana menerapkan kedua efek ini didalam pemodelan dan analisis. Metode perencanaan struktur baja yang sekarang digunakan di dunia adalah Allowable Stress Design (ASD), Plastic Design (PD) dan Load and Resistance Factor Design (LRFD). ASD menggunakan analisis elastik orde pertama dimana efek nonliner geometri (tekuk kolom) diberikan secara implisit dalam persamaan disain untuk batang. PD menggunakan analisis sendi-plastis orde pertama, dimana efek nonliner geometri juga belum diperhitungkan, sehingga harus dimasukkan dalam persamaan elemen. Dalam LRFD, dua pendekatan dapat dilakukan, yaitu analisis elastik orde pertama dengan faktor amplifikasi atau metode analisis elastik orde kedua langsung. Model material nonlinier juga sangat penting, terutama dalam disain terhadap beban gempa yang berdasarkan pada kapasitas penampang, dimana penampang sudah berada pada daerah nonlinier. Namun dalam penerapannya kurang praktis, terutama untuk analisis struktur selain truss dan membran, karena pada struktur yang memiliki momen lentur, bentuk penampang menjadi sangat menentukan, padahal pada struktur baja terdapat banyak sekali bentuk penampang. 2. Model Material Nonlinier Salah satu alasan mengapa analisis dengan model material nonlinier tidak dilakukan dalam dunia praktis adalah karena ada banyak model yang harus dipilih, sedangkan pada analisis linier hanya ada satu model saja. Model material nonlinier untuk baja berbeda dengan untuk beton, dan juga berbeda untuk kayu, apalagi untuk tanah. Bandung, 17-18 Juli 2009 1
Model material untuk baja sendiri terdapat beberapa macam: model untuk baja biasa (mild steel), untuk baja mutu tinggi (high strength steel), untuk baja prategang (prestressing steel), untuk baja giling dingin (cold-formed steel), untuk baja anti karat (stainless steel), untuk baja cor, untuk aluminium, dan sebagainya. Beberapa aspek yang perlu diperhatikan dalam pemilihan model material nonlinier material baja adalah: Modulus Elastisitas awal (E o ), Titik leleh (F y ), Tegangan ultimit (F u ), Regangan leleh (ε y ) dan regangan putus (e u ). Bila terjadi kenaikan yang signifikan dari F u terhadap F y maka dikatakan terjadi efek strain hardening. E t =E 1 E E H p (2) Sifat dari persamaan inkremental ini yang dapat dikatakan merupakan diferensiasi 1 tingkat dari persamaan linier memungkinkan untuk dilakukan penyederhanaan dari matriks kekakuan yang ada, dengan melakukan penurunan 1 tingkat dari persamaan orde tinggi yang ada sehingga didapatkan persamaan yang lebih sederhana (Linearization). Dengan kata lain, pada satu tahapan beban, dapat digunakan model dan analisis linier dengan menggunakan sifat material dan kondisi deformasi/regangan dan tegangan pada saat itu. Model Elasto-plastik dengan Strain Hardening Bila tidak digunakan kurva aktual teganganregangan dari hasil uji laboratorium, maka untuk baja tipikal dapat digunakan kurva sederhana bilinier yaitu kurva elasto-plastik dengan strain hardening sebagai pendekatan yang cukup akurat dengan data minimal. Gambar 1. Kurva Tegangan-Regangan Tipikal untuk Baja (Wikipedia, 2009) Keterangan Gambar: 1. Tegangan Ultimit (Fu) A. Tegangan tampak (F/Ao) 2. Tegangan Leleh (Fy) B. Tegangan aktual (F/A) 3. Tegangan Putus (Fr) 4. Daerah Strain Hardening 5. Daerah terjadi Necking Pada analisis elasto-plastik ada tiga hal yang berperan: kriteria kelelehan (yield criteria), flow rule dan hardening rule. Dimana yield criteria menentukan kapan suatu material memasuki titik leleh, flow rule menyatakan hubungan antara perubahan tegangan dan perubahan regangan plastis, sedangkan hardening rule menyatakan perubahan titik leleh dan yield criteria setelah material mengalami kelelehan. Ada macam strain hardening yaitu: Isotropic Hardening dan Kinematic Hardening, bisa juga campuran dari keduanya (Mixed Hardening). Hubungan Tegangan Regangan Analisis nonlinier selalu dilakukan dengan cara inkremental (Incremental Analysis), dimana beban tidak diberikan sekaligus, tapi secara bertahap, sehingga perubahan sifat material yang digunakan dapat terus diikuti dengan teliti (Disini penentuan besarnya step pembebanan adalah sangat penting). Dengan demikian Persamaan tegangan-regangannya adalah bersifat inkremental pula (Tangent Modulus) : d =E t.d (1) Gambar 2. Efek Hardening pada Baja (Cook 2002) Bandung, 17-18 Juli 2009 2
Pada Isotropic Hardening, titik leleh berikutnya adalah 2σ B dari titik balik beban B. Dengan demikian daerah elastik menjadi bertambah panjang, semula adalah 2σ y menjadi 2σ B. Menurut Bauschinger, panjang daerah elastik adalah tetap 2σ y sehingga pada Kinematic Hardening nilai inilah yang digunakan. Keduanya dapat dikombinasikan menjadi Mixed Hardening, dimana panjang daerah elastik dapat mengalami perbesaran, namun tetap dibatasi oleh suatu parameter M. Penentuan Titik Leleh Bila menggunakan model elasto-plastik, penentuan titik leleh untuk tegangan nonuniaksial harus dilakukan berdasarkan kriteria kelelehan material Von Mises yang sesuai untuk baja yang merupakan material pressure independent. Von Mises: f =J 2 k 2 =0 (3) dengan k 2 = o /3 (4) dimana J = invarian kedua tegangan deviatorik 2 J 2 = 1 6 [ x y 2 y z 2 z x 2 ] 2 xy 2 yz 2 zx (5) Kondisi Loading-Unloading Ketidaklinieran berlaku pada kondisi penambahan beban (loading). Pada gambar 2 dapat dilihat bahwa sifat material pada kondisi penambahan beban dan pengurangan beban adalah tidak sama. Kalau data sifat material pada kasus unloading tidak didapat dari hasil tes tarik uniaksial yang umumnya bersifat monotonik, maka biasanya sifatnya diasumsikan kembali menjadi linier. Kondisi Tarik/Tekan Pada kondisi tekan, sifat material baja diasumsikan sama dengan kondisi tarik, hanya pada matriks kekakuan dapat dimasukkan pengaruh beban aksial terhadap kekakuan batang untuk memperhitungkan efek momen sekunder dan tekuk pada batang. Kondisi Tarik-Tekan dapat ditentukan dengan memeriksa tegangan dan regangan multi-dimensinya sebagai berikut: Tabel 1. Penentuan Kondisi Tarik-Tekan Kondisi Rumus Keterangan C-C I 1 < 0, J 2 + Ι 1 / 3 < 0 Compression-Compression C-T I 1 < 0, J 2 + Ι 1 / 3 > 0 Compression-Tension T-T I 1 > 0, J 2 Ι 1 / 3 < 0 Tension-Tension Aplikasi Model Material dalam MEH Data yang dimiliki untuk model material nonlinier adalah kurva tegangan-regangan dari hasil uji aksial tarik (uniaksial), sedangkan yang diperlukan oleh MEH adalah matriks tegangan-regangan nonlinier yang bisa berdimensi lebih dari 1x1. Ada dua macam pendekatan dalam menurunkan matriks tegangan-regangan nonlinier ini yaitu: matriks nonlinier penuh dan matriks pseudo-linier. Pada matriks pseudo-linier, bentuk matriks teganganregangannya adalah sama dengan yang dari model linier, hanya nilai E yang mengikuti model t nonlinier (contoh untuk plane stress, pers. 6). Sedangkan pada matriks material penuh, bentuk matriksnya tidak sama dengan yang dari model linier (pers. 7,8). { x y E 2[1 0 t 1 0 1 1 y xy}= 0 0 ]{ x 2 xy} (6) { x y ep ]{ x y xy}=[c xy} (7) [C ep ]=[C e ] [C p ] (8) Dimana: [C ep] = matriks material nonlinier atau elastoplastik [C e] = matriks material linier elastik [C p ] = matriks material plastis Menentukan nilai E t sesaat dari Kurva Uniaksial Dari tegangan mutlidimensi perlu diambil satu angka dari kurva uji tarik uniaksial. Untuk itu diperlukan suatu tegangan invarian deviatorik (yang tidak tergantung pada arah sumbunya dan tegangan sekelilingnya). Disini digunakan invarian tegangan deviatorik dari kriteria Von Mises sbb (Chen, 1991): Pada kasus uji tarik uniaksial: 1 = t dan 1 = t (9) 2 =0 dan 3 =0 maka: (10) T-C I 1 > 0, J 2 Ι 1 / 3 > 0 Tension-Compression 2 = 1 E 1 2 = 1 E (11) Bandung, 17-18 Juli 2009 3
3 = E 1 2 = 1 E (12) Menggunakan Invarian Deviatorik: eff = 3 J 2 dan eff = 2 3 T (13) eff = 2 3 1 1 2 2 3 3 (14) Jika harga dari hasil uji tarik dimasukkan kedalam persamaan invarian diatas maka akan didapat: 1 = eff dan eff 1 = 2 3 1 2 2 (15) sehingga untuk setiap set tegangan dan regangan dapat dihitung σ 1 dan ε 1 ekivalen, yang dapat digunakan untuk mencari nilai E t pada kurva σ 1 - ε 1 uniaksial. 3. Model Geometri Nonlinier Pada penampang baja yang mengalami kondisi tekan dapat terjadi efek tekuk, baik lokal maupun global. Bila digunakan satu elemen per batang, hanya tekuk global yang dapat dimodelkan, itupun hanya untuk kondisi joint tertentu (rigid atau release/hinge saja), sedangkan tekuk lokal hanya bisa dimodelkan kalau dilakukan diskretisasi lebih lanjut per batang dengan menggunakan elemen yang lebih kecil sesuai bentuk dan ketebalan material yang digunakan. Efek gaya aksial tekan yang menyebabkan tekuk global dan lokal ini dapat dimasukkan ke dalam persamaan matriks kekakuan dengan beberapa cara: a. Penurunan matriks kekakuan orde dua secara penuh dengan menggunakan suku orde tinggi dari persamaan regangan-perpindahan Green yang ada. x =u, x 1 2 u, x2 v, x 2 w, x 2 (16) y =v, y 1 2 u, y2 v, y 2 w, y 2 (17) xy =u, y v, x u, x u, y v, x v, y w, x w, y (18) Untuk kasus small-strain, suku orde tinggi yang tidak signifikan dapat dikeluarkan dari persamaan. 1 tingkat karena efek step beban yang kecil (incremental analysis) sehingga didapat persamaan yang lebih sederhana. c. Hasil persamaan dari langkah (b) dapat dipisahkan antara unsur Aksial (P-delta effect) dan Momen. Unsur aksial dan momen yang tidak dominan dapat diabaikan. Unsur dari Aksial akan membentuk matriks tambahan yang disebut Kσ. F =K t. D (19) K t =K L K NL (20) K NL = K K ho (21) dengan K t = matriks kekakuan total (Tangent Stiffness) K L = matriks kekakuan linier K NL = matriks kekakuan nonlinier K = matriks orde tinggi (dapat diabaikan) ho Matriks Kσ ini terdiri dari unsur Gaya aksial tekan dan deformasi lateral, sehingga bila salah satu bernilai nol, matriks ini tidak dapat diformulasikan. Untuk kasus gaya aksial tekan murni, dimana tidak terjadi deformasi lateral awal, harus diberikan deformasi awal atau gaya lateral yang kecil untuk memungkinkan matriks ini muncul. Untuk menentukan apakah matriks K σ diperlukan atau tidak, dapat digunakan kriteria tarik-tekan pada tabel 1. 4. Analisis Nonlinier Pada analisis nonlinier material, karena sifat material tidak tergantung pada deformasi akhir, analisis dapat dilakukan dengan metode inkremental biasa, dengan melakukan akumulasi gaya dalam dan deformasi pada setiap tahapan beban. Tidak demikian halnya dalam analisis nonlinier geometri, dimana kekakuan dan gaya dalam tergantung pada deformasi akhir yang belum diketahui. Disini harus digunakan cara iteratif, dimana dilakukan asumsi berdasarkan kondisi tahapan beban sebelumnya, lalu dilakukan koreksi pada hasilnya sampai didapat selisih gaya residu yang cukup kecil. Gaya dalam dan Residu gaya b. Hasil persamaan dari langkah (a) dapat diturunkan Bandung, 17-18 Juli 2009 4
Kecepatan dan akurasi dari hasil analisis nonlinier geometri sangat tergantung pada berapa teliti gaya dalam suatu elemen dapat dihitung dalam persamaan orde kedua. Bila kurang teliti, maka residu gaya yang terjadi akan terus muncul dan tidak dapat mengecil dengan cepat. Untuk rangka batang, karena tidak ada unsur momen lentur, gaya batang dapat dihitung dengan sangat akurat dengan hanya menggunakan nilai koordinat akhir saja, sedangkan pada elemen Frame dan Shell, formulasi rumus untuk menghitung gaya dalam sangat kompleks sehingga sering digunakan penyederhanaan (K σ ) dan perlu dilakukan iterasi yang lebih banyak (Yeong, 1994). Update Koordinat Untuk kasus dimana deformasi cukup besar, untuk menjaga agar didapat kondisi small-strain pada setiap tahapan beban, perlu dilakukan update koordinat titik pada model yang ditinjau. Tahap 1: Self-weight + Dead Load (sekaligus) Tahap 2: Live Load Tahap 3: Beban Gempa atau Angin Dengan tetap memperhatikan besar load step pada setiap tahapan beban yang digunakan. Metode Analisis Nonlinier Metode analisis nonlinier yang digunakan umumnya adalah metode Busur atau Arc, sehingga dapat mengikuti kurva load-displacement yang ada. Disini penentuan step beban tidak hanya tergantung pada besar kenaikan beban, tapi juga pada kenaikan displacement yang ada. Dengan demikian iterasi dapat dilakukan melewati titik-titik kritis yang mungkin terjadi (post-buckling). Metode yang umum digunakan adalah metode Modified Riks- Wempner (Gambar 3). Pemilihan Step Beban Pemilihan load step adalah penting, terutama bila digunakan material dengan sifat nonlinier dan geometri yang signifikan. Apalagi bila pada formulasi gaya dalam telah digunakan simplifikasi dengan menerapkan linearization pada persamaan orde tingginya, yang secara implisit mensyaratkan step beban yang cukup kecil. Secara umum, dapat dikatakan step beban yang paling besar adalah 1-10% dari beban maksimum yang mungkin terjadi. Bila dimungkinkan, analisis dilakukan dua kali dengan step beban yang berbeda untuk memvalidasi nilai step beban yang digunakan. Gambar 3. Metode Modified Riks-Wempner (Yang) 5. Interpretasi Hasil Kombinasi Beban Beban pada struktur umumnya tersedia dalam beberapa kasus beban (DL, LL, WL, EQ, dsb). Dalam analisis nonlinier tidak dapat dilakukan analisis terpisah untuk setiap kasus beban kemudian hasilnya dikombinasikan dengan menggunakan load factor seperti yang biasa dilakukan pada analisis linier, karena hasil akhir harus merupakan akumulasi riwayat step beban yang telah dilakukan. Karena itu disini hanya ada satu kombinasi beban saja yang dapat dianalisis. Untuk struktur dengan beberapa kasus beban dapat dilakukan tahapan beban sbb: Analisis nonlinier akan memberikan gaya dalam dan deformasi untuk setiap titik evaluasi yang diminta sampai mencapai nilai maksimum atau terjadi keruntuhan. Kalau titik-titik yang diminta cukup halus maka dapat digambarkan kurva Beban-Hasil untuk setiap titik dan gaya dalam pada setiap batang. Oleh karena output dari analisis nonlinier ini cukup banyak, maka biasanya ditampilkan dalam bentuk grafik 2D atau dalam bentuk animasi 3D dengan waktu (t) sebagai visualisasi dari step beban ( ). Untuk mempermudah evaluasi, cukup diperhatikan Bandung, 17-18 Juli 2009 5
titik-titik kritis pada struktur yang menentukan respons dari struktur secara kseluruhan. Respons Analisis Nonlinier Material Hasil dari analisis nonlinier material dimana semua elemennya memiliki sifat material yang sama adalah mirip dengan kurva tegangan-regangan nonlinier yang digunakan (Gambar 4). yang dihasilkan bisa lebih kompleks lagi, karena setelah mengalami titik kritis pertama, struktur masih memiliki kekuatan (elastic-buckling), atau bahkan memiliki kekuatan yang lebih besar (karena kondisi menjadi tarik pada kasus snap-through). Snap through dapat terjadi pada struktur simple truss arch, dan large dome (Gambar 6). Gambar 6. Respons Snap-Through dari Truss Arch Gambar 4. Respons Model Material Elasto-plastik Respons Analisis Nonlinier Geometri Namun pada hasil dari analisis nonlinier geometri, bentuk kurva beban-displacement dll adalah dapat tidak mirip dengan kurva material nonlinier, karena disini perubahan deformasi sudah tidak linier, sehingga kurva menjadi melengkung, dan dapat dideteksi adanya kelelehan awal, tekuk lokal, tekuk global, maupun keruntuhan akhir dimana analisis berhenti (Gambar 5). Gambar 5. Respons Model Nonlinier Geometri Bila analisis nonlinier dilakukan terhadap struktur yang memiliki kemungkinan mengalami elasticbuckling dan/atau snap-through, maka kurva respons Aplikasi nyata Analisis Nonlinier Analisis Nonlinier selalu memerlukan bantuan program komputer yang dapat memodelkan material dan geometri elemen secara nonlinier. Program komputer ini memerlukan memory yang besar dan juga kecepatan proses yang besar karena umumnya analisis nonlinier memerlukan waktu sekitar 100 kali lebih lama dibandingkan dengan analisis linier biasa. Namun perkembangan teknologi GPU yang sangat pesat pada beberapa tahun ini akan memberikan kemampuan pemrosesan berlipat ganda dengan biaya yang jauh lebih murah. Tadinya teknologi GPU ini (dengan proses 256-1024) diterapkan pada aplikasi games, namun ternyata ditemukan bahwa teknologi ini dapat diaplikasikan untuk aplikasi numerik lainnya dengan mudah. Teknologi ini telah tersedia sekarang, dan diharapkan membawa revolusi dalam aplikasi numerik seperti pada era 1980-an ketika program analisis numerik pertama tersedia di PC. Hal yang dapat kita harapkan antara lain: Real-time linear analysis, dan Affordable nonlinear analysis for large structures. 6. Penutup Bandung, 17-18 Juli 2009 6
Dari pembahasan diatas dapat ditarik beberapa kesimpulan: 1. Aplikasi model nonlinier dalam analisis dan perencanaan struktur baja membutuhkan pengetahuan dasar minimal mengenai model nonlinier yang cukup memadai. 2. Bila analisis nonlinier diterapkan maka proses perencanaan baja (terutama terhadap tekuk) dapat dilakukan dengan lebih cepat dan teliti, karena faktor interaksi tekuk elemen-struktur (faktor K G ) sudah tidak perlu diperhitungkan secara manual lagi. 1) Chen, W.F., Constitutive Equations for Engineering Materials, Vol. 1, Wiley- Interscience, 1982. 2) Chen, W.F., Stability Design of Steel Frames, CRC Press, 1991. 3) Chen, W.F., Steel Design using Advanced Analysis, CRC Press, 1997. 4) Chen, W.F., Structural Plasticity, Springer- Verlag, 1991. 5) Yeong, B. Y., Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures, Prentice-Hall, 1994. 3. Analisis nonlinier dapat digunakan untuk memprediksi respons dan pola keruntuhan struktur yang kompleks, baik dari segi sifat materialnya maupun kestabilan geometrinya. 4. Analisis nonlinier, karena dalam penerapannya biasanya tidak memasukkan semua aspek nonlinier yang ada (tidak lengkap), sebaiknya digunakan sebagai pendamping dalam analisis linier dan bukan sebagai pengganti. 5. Teknologi GPU yang memungkinkan penerapan analisis nonlinier dilakukan oleh semua perencana, dan tidak terbatas pada dunia riset dan projek khusus saja, akan membuat perubahan signifikan dalam dunia disain struktur. 7. Daftar Pustaka Bandung, 17-18 Juli 2009 7