19 BAB LANDASAN TEORI.1 Analisis Regresi Analisis regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan sebab-akibat antara satu variabel dengan variabel yang lain. Variabel penjelas, variabel eksplanatorik, variabel independen, atau secara bebas, variabel X (karena seringkali digambarkan dalam grafik sebagai absis, atau sumbu X). Variabel terkena akibat dikenal sebagai variabel yang dipengaruhi, variabel dependen, variabel terikat, atau variabel Y. Kedua variabel ini dapat merupakan variabel acak (random), namun variabel yang dipengaruhi harus selalu variabel acak. Analisis regresi adalah salah satu analisis yang paling populer dan luas pemakaiannya. Analisis regresi dipakai secara luas untuk melakukan prediksi dan ramalan, dengan penggunaan yang saling melengkapi dengan bidang pembelajaran mesin.analisis ini juga digunakan untuk memahami variabel bebas mana saja yang berhubungan dengan variabel terikat, dan untuk mengetahui bentuk-bentuk hubungan tersebut..1.1 Regresi Linier Sederhana Regresi linier sederhana adalah suatu pola hubungan yang merupakan fungsi, dimana hanya terdapat satu variabel bebeas dan satu variabel terikat. Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan ( korelasi), maka perubahan nilai variabel yang satu akan mempengaruhi nilai variabel lainnya. Hubungan variabel dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi, Y = f (X), dimana Y adalah
0 variabel dipengaruhi (dependen variabel), dan X adalah variabel yang mempengaruhi. Persamaan regresi linier sederhana Y terhadap X adalah : 1. Model populasi regresi linier sederhana dinyatakan dalam persamaan : YY ii = ββ 0 + βxx ii + εε ii (.1). Model sampel (penduga) untuk regresi linier sederhana : YY ii = bb 0 + bb 1 XX ii (.) dimana : X i = variable bebas (independen) Y i = variable terikat (dependen) bb 0 = penduga bagi intersep (α) bb 1 = penduga bagi koefisien regresi (β) i = 1,,3, Nilai α dan β adalah parameter yang nilainya tidak diketahui sehingga diduga menggunakan statistik sampel. Komponen sisaan / kesalahan (εε ii = galat) menunjukkan 1) Pengaruh dari variabel yang tidak dimasukkan dalam persamaan regresi karena berbagai pertimbangan. ) Penetapan persamaan yang tidak sempurna. 3) Kesalahan pengukuran dalam pengumpulan dan pemrosesan data. Nilai a menunjukkan intersep (konstanta) persamaan tersebut, artinya untuk nilai variable X = 0 maka besarnya Y = a, parameter b menunjukkan besarnya koefisien (slope) persamaan tersebut, nilai ini menunjukkan besarnya perubahan nilai Y jika nilai X berubah sebesar satu satuan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagaiberikut : bb = nn( XXXX) ( XX)( YY) (nn XX ) ( XX) danaa = YY nn XX bb nn
1.1. Regresi Linier Berganda(Multiple Regresion) Regresi ganda berguna untuk mendapatkan pengaruh dua variabel kriterium atau untuk mencari hubungan fungsional dua prediktor atau lebih dengan variabel kriteriumnya atau untuk meramalkan dua variabel prediktor atau lebih terhadap variabel kriteriumnya.untuk keperluan analisis, variabel bebas akan dinyatakan dengan x1, x,... xk ( k 1) sedangkan variabel tidak bebas dinyatakan dengan Y. 1. Model populasi berganda adalah Y = ββ 0 + ββ 1 XX 1 + ββ XX + + ββ nn XX nn + εε ii (.3). Sedangkan model penduganya (model sampel) regresi linier ganda adalah Ŷ = bb 0 + bb 1 XX 1 + bb XX + + bb nn XX nn (.4) Koefisien α dan β adalah parameter yang nilainya tidak diketahui, sehingga diduga menggunakan satistik sampel.nilai bb 0,bb 1, dan bb akan diperoleh dari tiga persamaan normal berikut : ββ 0 = Konstanta regresi ββ 1, ββ kk = Koefisien regresi XX kkkk εε ii = Nilai dari variabel bebas untuk k= 1,,3,,j = kekeliruan yang terjadi dalam usaha untuk mencapai hargayang diharapkan Secara umum untuk memperoleh persamaan model regresi linier berganda (multiple regression) berdasarkan data hasil observasi dengan k buah variabel bebas atau k buah variabel penjelas maka persamaan norma diturunkan berdasarkan metode kuadrat terkecil yang dapat dinyatakan dalam notasi matriks, metode matriks yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Konsep Dasar dan Definisi Matriks Matrix ialah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentu empatpersegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris. Apabila suatu matrix A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matrix A bisa ditulis sebagai berikut:
A= aa 11 aa 1... aa 1nn aa 1 aa... aa nn.................. aa mm1 aa mm... aa mmmm dimana :(aa iiii ), ii = 1,,, mm jj = 1,,, nn.. Transpose Suatu Matriks Transpose suatu matrix A =(aa iiii ) ialah suatu matrix baru yang mana elemenelemennya diperoleh dari elemen-elemen matrix A dengan syrat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matrix menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matrix yang baru ini, dengan perkataan lain ke-i dari matrix A menjadi kolom ke-i dari matrix baru. Biasanya transpose matrix A diberi sibol AA TT (dibaca A transpose) dapat ditulis AA = AA TT aa 11 aa 1 aa 13 aa 11 aa 1 aa 31 A= aa 1 aa aa 3 maka AA TT = aa 1 aa aa 3 aa 31 aa 3 aa 33 aa 13 aa 3 aa 33 3. Perkalian Matriks Apabila AA mmmmmm = aa iiii yaitu dengan matrix m baris dan n kolom, BB mmmmmm = bb iiii yaitu dengan matrix m baris dan p kolom, kemudian dengan perkalian matrix A X B = A.B. = AB(tanpa tanda hasil kali), dengan suatu matrix CC mmmmmm ; (AB=C), adalah matrix dengan matrix m baris dan p kolom, dimana elemen C dari baris ke-i kolom ke-j diperoleh rumus: nn CC iiii = aa iiii bb jjjj jj =1 dimana: ii = 1,,, mm jj = 1,,, nn.
3 Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan (tidak terdefenisi).akan tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefenisi maka AB=BA. Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri. 4. Invers Suatu Matriks Misalkan A merupakan suatu matrix dengan n baris dan n kolom dan I n suatu identity matrix. Apabila ada square matrix AA 1 sedemikian rupa sehungga berlaku hubungan sebagai berikut: AAAA 1 = AA 1 AA = II. Maka AA 1 disebut inverse matrix A Tidak mudah menghitung inversi suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil seperti, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan inversnya dikerjakan dengan metode lain. 5. Determinan Matriks Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. perhitungan determinan, adalah dengan menggunakan metode Pivot. aa 11 aa 1 aa 13 Bila A= aa 1 aa 31 aa aa 3 aa 3 aa 33 Maka AA = 1 aann aa 11aa aa 1 aa 1 aa 11 aa 3 aa 13 aa 1 11 aa 11 aa 3 aa 1 aa 31 aa 11 aa 33 aa 13 aa 31 6. Minor dan Kofaktor suatu Determinan Diketahui suatu determinan dari suatu matriks A tingkat n. Jika elemen-elemen dari baris ke-ii dan kolom ke-jj semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu determinan dari matriks tingkat (nn 1), yang disebut minor pertama dari matriks
4 A yang ditulis dengan MM iiii. Harga dari minor ditulis dengan ( 1) ii+jj, disingkat dengan KK iiii dari elemen aa iiii, jadi : KK iiii = ( 1) ii+jj MM iiii Contoh. aa 11 aa 1 aa 13 Bila A= aa 1 aa 31 aa aa 3 aa 3 aa 33 Minor dari A adalah MM 1 = aa 1 aa 3 aa 31 aa 33 MM 11 = aa aa 3 aa 3 aa 33 MM 13 = aa 1 aa aa 31 aa 3 dan seterusnya sampai MM 33 Sehingga kofaktornya adalah KK 11 = ( 1) 1+1 MM 11 = MM 11 KK 1 = ( 1) 1+ MM 1 = MM 1 KK 13 = ( 1) 1+3 MM 13 = MM 13 dan seterusnya. KK 33 7. Penaksiran Parameter dengan Metode Matriks Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS (ordinary least square), yaitu dengan cara meminimumkan nilai sisaan (e). Persamaan (.4) ditulis kembali yaitu Ŷ = bb 0 + bb 1 XX 1 + bb XX + + bb nn XX nn (.5) Jika YY ii diubah menjadi vektor (matriks) Y maka XX kkkk juga harus diubah menjadi vektor (matriks) X, sedangkan bb 0, bb 1,...bb kk diwakili oleh vektor (matriks) b sehingga persamaan (.4) dapat ditulis menjadi : YY = XXXX + ee (.6) Dan dalam bentuk matriks adalah
5 YY 1 YY 1 XX 11 XX 1.. XX 1kk. 1 XX 1 XX XX bb 0 =... kk bb... 1 ee 0 ee. 1. YY nn..... +...... 1 XX nn1 XX nn.. XX nnnn bb kk ee kk Y = X b + e (.7) Dimana b adalah suatu vektor kolom k-unsur dari penaksir OLS koefisien regresi dan dimana e adalah suatu vektor kolom N x 1 dari N residual. Dengan k- variabel panaksir OLS diperoleh dengan meminimumkan ee ii = (YY ii bb 0 bb 1 XX 1ii bb XX ii bb kk XX kkkk ) (.8) ee ii adalah jumlah kuadrat residual (RSS). Dalam notasi matriks, ini sama dengan meminimumkan ee ee karena ee 0 ee 1 ee ee = [ee 0 ee 1.. ee NN ].. = ee 0 + ee 1 + + ee NN. ee NN Dari (.8 ) diperoleh ee = YY XXXX Sehingga ee ee = (YY XXXX) (YY XXXX) ee ee = YY YY bb XX YY + bb XX XXXX (.9) Untuk mendapatkan b yang meminimumkan ee ee dilakukan dengan menurunkan ee eeterhadap bb sehingga : (ee ee) bb = XX YY + XX XXXX = 0 Diperolseh persamaan normal : XX XXXX = XX YY Dengan menyelesaikan persamaan normal diperoleh : bb = (XX XX) 1 XX YY Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
6 bb 0 nn XX 1ii XX ii.. XX kkkk bb 1 XX 1ii XX 1ii XX 1ii XX ii.. XX 1ii XX kkkk bb = XX ii XX.. ii XX 1ii XX. ii.. XX ii XX kkkk....... bb kk XX kkkk XX kkkk XX 1ii XX kkkk XX ii XX kkkk 1 YY ii YY ii XX 1ii YY ii XX ii.. YY kkkk XX kkkk. Analisis Korelasi Analisis Korelasi adalah metode statstika yang digunakan untuk menentukan kuatnya atau derajat hubungan linier antara dua variabel atau lebih.semakin nyata hubungan linier (garis lurus), maka semakin kuat atau tinggi derajat hubungan garis lurus antara kedua variabel atau lebih.ukuran untuk derajat hubungan garis lurus ini dinamakan koefisien korelasi...1 Analisis Korelasi Sederhana Kegunaan analisis korelasi sederhana untuk mengetahui derajat hubungan antara variabel bebas X (independent) dengan variabel terikat Y (dependent). Rumus korelasi sederhana adalah : rr = denganxx ii = XX ii XX, XX= 1 nn nn ii=1 xx ii yy ii nn xx ii=1 ii nn yy ii=1 ii nn ii=1 XX ii yy ii = YY ii YY, YY= 1 nn nn ii=1 YY ii (.10) Koefisien korelasi sederhana dilambangkan (r) adalah suatu ukuran arah dan kekuatan hubungan linier antara dua variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y), dengan ketentuan nilai r berkisar dari harga (-1 r +1). Apabila nilai r = -1 artinya korelasinya negatif sempurna (menyatakan arah hubungan antara X dan Y adalah negatif dan sangat kuat), r = 0 artinya tidak ada korelasi, r = 1 berarti korelasinya sangat kuat dengan arah yang posotif. Sedangkan arti harga r akan dikonsultasikan dengan tabel sebagai berikut :
7 Table.1 Tingkat Hubungan Nilai r Interval Koefisien 0,800-1,000 0,600-0,799 0,400-0,599 0,00-0,399 0,000-0,199 Tingkat Hubungan Sangat Kuat Kuat Cukup Kuat Rendah Sangat Rendah.. Korelasi Berganda Analisis korelasi berganda berfungsi untuk mencari besarnya hubungan antara dua variable bebas (X) atau lebih secara simultan dengan variable terikat (Y). Rumus korelasi berganda yaitu : (1-RR yy.13 ) = (1-r y1 )( 1-r y.1 )( 1-r y3.1 ) (.11) menghitung hubungan variabel Y dengan XX 1 R, XX R, XX 3 R, XX 4 dapat dihitung dengan rumus R yyyy 1 xx xx 3 xx 4 = 1 {(1 rr yyxx 1 )(1 rr yyxx )(1 rr yyxx 3 )(1 rr yyxx 4 )} (.1).3 Uji Asumsi Klasik.3.1 Uji Normalitas Uji ini merupakan pengujian terhadap normalitas kesalahan pengganggu/error yang digunakan untuk melihat apakah variabel bebas dan variabel terikat mempunyai distribusi normal..3. Heteroskedastisitas Heteroskedastisitas adalah varian residual yang tidak sama pada semua pengamatan di dalam model regresi. Regresi yang baik seharusnya tidak terjadi heteroskedastisitas. Kriterianya adalah sebagai berikut : a. Jika ada pola tertentu, seperti titik titik yang ada membentuk suatu pola tetentu yang teratur, maka terjadi heteroskedastisitas.
8 b. Jika tidak ada pola yang jelas, seperti titik titik menyebar di atas dan di bawah angka 0 pada sumbu Y, maka tidak terjadi heteroskedastisitas..3.3 Uji Multikolinearitas Menunjukkan adanya lebih dari satu hubungan linier yang sempurna.koefisienkoefisien regresi biasanya diinterprentasikan sebagai ukuran perubahan variabel terikat jika salah satu variabel bebasnya naik sebesar satu unit dan seluruh variabel bebas lainnya dianggap tetap.untuk mendeteksi adanya multikolinieritas adalah dengan menggunakan nilai Variance Inflation Factor (VIF).Jika VIF lebih kecil dari 10, maka dalam model tidak terdapat multikolinieritas. 1 VIF = (.13) 1 RR kk keterangan : RR kk = Koefisien determinasi (R ) berganda ketika X k diregresikan dengan variabelvariabel X lainnya..3.4 Uji Autokorelasi Konsekuensiadanya autokorelasi dalam suatu model regresi adalah varians sampel tidak dapat menggambarkan varians populasinya.selain itu model regresi yang dihasilkan tidak dapat digunakan untuk menaksirkan nilai variabel dependen (Y) pada nilai variabel independen tertentu (X).Untuk mendianogsis adanya autokorelasi dalam suatu model regresi dilakukan pengujian terhadap nilai uji Durbin Waston (DW). tt=nn tt= ( ê tt ê tt 1) d = nn (.14) tt=1 ê tt Keterangan : d = nilai d e t = nilai residu dari persamaan regresi periode t et-1 = nilai residu dari persamaan regresi periode t-1
9 a. Menentukan hipotesa H 0 : tidak ada autokorelasi H 1 : ada autokorelasi positif/negatif b. Menentukan nilai α dan nilai d tabel Signifikan 5 % pada n = 15 dan k = 4 c. Menentukan criteria pengujian a. Untuk autokorelasi positif H 0 diterima jika d >d L dan H 1 ditolak jika d <d L serta tidak ada kesimpulan jika d L < dd < d u. d. Untuk autokorelasi negatif H 0 diterima jika (4-d) <d u dan H 1 ditolak jika (4-d) <d L serta tidak ada kesimpulan jika d L < dd < d u..4 Uji F(Uji serentak) Untuk menguji pengaruh variabel bebas secara bersama-sama.pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat diuji dengan tingkat kepercayaan 95% atau α = 0,05. Kriteria pengujian hipotesis untuk uji serentak: a) Uji Hipotesa H 0 : b 1,b,b 3,b 4 = 0; pupuk, luas lahan, curah hujan dan hari hujan tidak berpengaruh signifikan terhadap produksi padi H1 : b 1,b,b 3,b 4 0;, luas lahan, curah hujan dan hari hujan ada berpengaruh signifikanterhadap produksi padi b) Menentukan taraf nyata (α) dan F tabel Taraf nyata α = 5% ; dk pembilang = k = banyak variabel ; dk penyebut = n-k-1. Jadi, F tabel = F α;k n-k-1 c) Kriteria Pengujian Dalam hal ini, F hitung dibandingkan dengan F tabel dengan tingkat kepercayaan95% atau α = 5% dengan ketentuan sebagai berikut :
30 Jika F hitung < F tabel, maka H 0 diterima dan H 1 ditolak Jika Fhitung> F tabel, maka H 0 ditolak dan H 1 diterima d) Menentukan Nilai Uji Statistik JKreg /k Rumus: F = JKres (nn kk 1) (.11) Keterangan : k = jumlah variabel n = jumlah sampel JK reg = jumlah kuadrat regresi JK res = jumlah kuadrat residu.5 Uji t( Uji sepihak) Untuk menguji apakah hipotesis yang diajukan diterima atau ditolak digunakan statistik t (uji t).pengambilan keputusan menggunakan angka pembanding t tabel dan dk = (n-). Kriteria pengujian hipotesis untuk uji serentak: a) Pengujian Hipotesis H 0 H :Tidak ada hubungan yang signifikan antara pupuk, luas lahan, curah hujan dan hari hujan terhadap produksi padi. 1 : Ada hubungan yang signifikan antara pupuk, luas lahan, curah hujan dan hari hujan terhadap produksi padi. b) Menentukan taraf nyata (α) dan t tabel Taraf nyata α = 5% ; dk = n-k-1, jadi t tabel= tα/;n-k-1 c) Kriteria Pengujian Dalam hal ini, t hitung dibandingkan dengan t tabel dengan tingkat kepercayaan95% atau α = 5% dengan ketentuan sebagai berikut : Jika thitung< t tabel, maka H 0 diterima dan H 1 ditolak Jika thitung> t tabel, maka H 0 ditolak dan H 1 diterima d) Menentukan Nilai Uji Statistik Rumus: tt kk = bb kk SS bbkk (.15)
31 Keterangan : bb kk = koefisien regresi untuk variabel independen ke k S bk = simpangan baku koefisien regresi untuk variabel independen ke k tt kk = nilai t hitung untuk variabel independen ke k Simpangan baku koefisien regresi SS bbkk dapat dihitung dengan rumus : SS bbkk = SS εε xx ii 1 rr kk (.16) Keterangan : SS bbkk = simpangan baku koefisien regresi untuk variabel independen ke k SS εε = standar eror estimasi rr kk = korelasi kuadrat antara XX kk dengan variabel bebas lainnya. Dalam melaksanakan penelitian ini penulis menggunakan data sekunder kemudian data tersebut dianalisis dengan multiple regresi kemudian diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, adapun langkah-langkahnya yaitu : 1. Menetapkan variabel penelitian. Pengumpulan data sekunder Y = Jumlah produksi padi X 1 X X X 3 4 = Pupuk = Luas lahan = Curah hujan = Hari hujan 3. Menghitung koefisien korelasi untuk masing-masing Y dengan X 1,X,X 3 dan X4, dengan rumus (.10) : nn ii=1 xx ii yy ii rr = nn ii=1 xx ii nn ii=1 yy ii
3 4. Penyusunan dalam tabel matrik Korelasi Tabel. Penyusunan Matrik Korelasi Variabel X1 X X3 X4 Y X1 rr XX1 XX 1 rr XX1 XX rr XX1 XX 3 rr XX1 XX 4 rr XX1 yy X rr XX XX 1 rr XX XX rr XX XX 3 rr XX XX 4 rr XX yy X3 rr XX3 XX 1 rr XX3 XX rr XX3 XX 3 rr XX3 XX 4 rr XX3 yy X4 rr XX4 XX 1 rr XX4 XX rr XX4 XX 3 rr XX4 XX 4 rr XX4 yy Y rr yyxx1 rr yyxx rr yyxx3 rr yyxx4 rr yyyy dimana :rr XX1 XX 1 = 1, rr yyyy = 1, r yx = 1, r xy = 1 Dari nilai - nilai matriks koefisien korelasi di atasmaka bisa dihitung korelasi ganda dengan rumus sebagai berikut: menghitung hubungan variabel Y dengan X 1, X, X 3, X 4 dapat dihitung dengan menggunakan rumus (.11) : R yyyy 1 xx xx 3 xx 4 = 1 {(1 rr yyxx 1 )(1 rr yyxx )(1 rr yyxx 3 )(1 rr yyxx 4 )} 5. Menentukan harga-harga koefisien dari persamaan normal regresi multiple dengan menggunakan rumus (.4). Ŷ = bb 0 + bb 1 XX 1 + bb XX + + bb nn XX nn Dan diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil 6. Uji Regresi Linier Berganda 1. Pengaruh uji statistik (taraf nyata α = 5 %). Uji Asumsi Dalam Model Regresi a. Uji Normalitas b. Heteroskedastisitas c. Uji Multikolinearitas d. Uji Autokorelasi 7. Melakukan Uji F dan Uji t 8. Kesimpulan