digilib.uns.ac.id ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON UNTUK DATA TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Oleh DIAN ANGGRAENI NIM. M0107028 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i
digilib.uns.ac.id ii
digilib.uns.ac.id ABSTRAK Dian Anggraeni, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM- POISSON UNTUK DATA TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel independen dan variabel dependen berupa data cacah yang mengasumsikan equidispersi. Seringkali data cacah memperlihatkan overdispersi atau underdispersi, untuk mengatasi permasalahan tersebut dibentuk model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( ) dan dispersi (. Pada beberapa kasus untuk tujuan tertentu, nilai variabel dependen perlu pembatasan batas bawah atau tersensor kanan. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan metode maksimum likelihood. Dalam memaksimumkan fungsi likelihood diperoleh sistem persamaan yang nonlinear, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan metode Newton dengan prosedur iterasi. Selanjutnya, estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit dari suatu penderita diabetes mellitus di Rumah Sakit Panti Waluyo dan Rumah Sakit Umum Daerah Dr. Moewardi Surakarta dengan menggunakan Software R 2.15.0. Kata Kunci : variabel dependen tersensor kanan, overdispersi, underdispersi, model regresi COM-Poisson, maksimum likelihood iii
digilib.uns.ac.id ABSTRACT Dian Anggraeni, 2012. ESTIMATION PARAMETERS OF COM-POISSON REGRESSION MODEL FOR RIGHT CENSORED DATA USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University. Poisson regression model is used to analyze relationship between independent variable and dependent variable equidispersion. The count data often showed overdipersion and underdispersion, to overcome the problems created COM-Poisson regression model. COM-Poisson regression model is an expansion of Poisson regression model. COM-Poisson regression model has two parameters, they are the regression parameter and dispersion. In some cases for a particular purpose, the value of the dependent variable should lower limit restriction or right censored. This study aims to review the estimated parameters COM-Poisson regression model to the data right censored maximum likelihood method. In maximizing the likelihood function of a nonlinear system of equations is obtained, so that the Newton method is used to solve the iterative procedure. Furthermore, the estimated parameters of the COM- Poisson regression models for right-censored the data applied to the factors that influence the number of complications from the disease of diabetes mellitus in Panti Waluyo Hospital and District General Hospital Dr. Moewardi Surakarta using software R 2.15.0. Keyword : right censored dependent variable, overdispersi, underdispersi, COM- Poisson regression model, maximum likelihood iv
digilib.uns.ac.id MOTO Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan -Q.S. Al-Insyrah:1-8- Kesabaran memang pahit, tetapi kesabaran akan berbuah segar dan manis - Hitam Putih- Hidup jangan mengalir, melainkan kita membuat aliran itu sendiri -Penulis- v
digilib.uns.ac.id PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan untuk Bapak, Ibu, Kakak dan adikku tercinta atas doa, cinta dan dukungan yang diberikan dalam menyusun skripsi ini vi
digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia- Nya, sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada 1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I atas kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis, 2. Bapak Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing II atas kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis, 3. Tia, Nurindah, dan seluruh teman-teman matematika angkatan 2007 atas kerjasama dan motivasi yang diberikan saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini, 4. Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini. Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Surakarta, Juli 2012 Penulis vii
digilib.uns.ac.id DAFTAR ISI JUDUL... i PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv MOTTO... v PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... ix DAFTAR TABEL... x I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah... 1 1.2 Rumusan Masalah... 3 1.3 Tujuan Penelitian... 3 1.4 Manfaat Penelitian... 3 II. LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka... 4 2.1.1 Konsep Dasar Statistik... 5 2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial... 6 2.1.3 Distribusi Poisson... 8 2.1.4 Model Regresi Poisson... 9 2.1.5 Variabel Tersensor Kanan... 10 2.1.6 Metode Maksimum Likelihood... 11 2.1.7 Metode Newton... 12 2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi... 12 2.1.9 Uji Signifikansi Parameter... 13 2.2 Kerangka Pemikiran... 14 III. METODE PENELITIAN 15 IV. PEMBAHASAN 17 4.1 Model Regresi COM-Poisson commit... to user 17 viii
digilib.uns.ac.id 4.1.1 Distribusi COM-Poisson... 17 4.1.2 Model Regresi COM-Poisson... 20 4.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan... 22 4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan... 22 4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data Tersensor Kanan... 23 4.3 Contoh Kasus... 28 4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien Diabetes Mellitus... 30 4.3.2 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi... 33 4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen Tersensor Kanan dengan Seluruh Variabel Independen... 34 4.3.4 Uji Signifikansi Parameter... 35 4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan Variabel Independen Berpengaruh... 38 V. PENUTUP 40 5.1 Kesimpulan... 40 5.2 Saran... 40 DAFTAR PUSTAKA 41 LAMPIRAN 43 ix
digilib.uns.ac.id DAFTAR TABEL 4.1 Pengkodean Kategori Variabel Dummy... 30 4.2 Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson... 31 4.3 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald... 32 4.4 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel Independen yang Berpengaruh... 33 4.5 Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta... 33 4.6 Nilai Statistik Deviansi... 34 4.7 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson... 35 4.8 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald... 36 4.9 Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan Variabel Independen yang Berpengaruh... 38 x
digilib.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Analisis regresi menyatakan hubungan antara variabel dependen dan variabel independen. Variabel independen merupakan variabel yang nilainya tidak dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen merupakan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen. Variabel dependen dapat berupa data cacah maupun data kontinu. Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel dependen yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini. Salah satu model regresi yang dapat digunakan untuk menganalisis variabel dependen berupa data cacah adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson menjelaskan hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen dari suatu data cacah. Model regresi memiliki asumsi mean sampel dan variansi sampel sama (equidispersi). Menurut Shmueli et al. (2005), pada kasus nyata seringkali data cacah memperlihatkan variansi sampel lebih besar dari mean sampel (overdispersi) atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel (underdispersi). Untuk mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi, Sellers dan Shmueli (2010a) memberikan alternatif model yaitu dengan model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson merupakan perluasan dari model regresi Poisson. Sellers dan Shmueli (2010a) menyatakan bahwa proses pembentukan dari model regresi COM-Poisson berdasarkan pada distribusi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( ) dan parameter dispersi (. Parameter dari model tersebut belum diketahui sehingga harus diestimasi. Berbagai kajian mengenai model regresi COM-Poisson telah dilakukan. Dwicahyono (2012) telah mengkaji estimasi parameter model regresi COM- Poisson menggunakan metode maksimum likelihood. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson menggunakan metode quasi likelihood juga telah dikaji oleh Mardina (2012), dan estimasi parameter distribusi COM-Poisson 1
digilib.uns.ac.id 2 menggunakan metode Bayesian sedang dikaji oleh Sari (2012). Pada kajian yang dilakukan kadang-kadang untuk mencapai tujuan yang diinginkan dibutuhkan asumsi data dependen tersensor. Pada model regresi COM-Poisson yang dikaji oleh Dwicahyono (2012), Mardina (2012) dan Sari (2012), variabel dependennya tidak disensor. Sedangkan asumsi untuk mencapai tujuan skripsi adalah variabel dependen dibatasi nilainya atau disebut variabel dependen tersensor. Penyensoran dapat dibedakan menjadi tiga macam yaitu tersensor kanan, tersensor kiri dan tersensor dalam selang interval. Jenis sensor yang dikaji dalam penelitian ini ialah sensor kanan (right censoring) karena hanya ingin mengkaji batas bawah dari data variabel dependen. Lee dan Wang (1992) mengatakan bahwa observasi dikatakan tersensor kanan jika objek masih hidup atau masih beroperasi ketika masa observasi telah selesai. Misalnya, jumlah pasien yang telah datang di klinik, jumlah pelanggan yang datang ke restoran selama periode waktu tertentu, atau jumlah mobil yang diparkir. Meskipun jumlah kedatangan untuk masing-masing kasus dapat melebihi kapasitas tempat yang tersedia dalam waktu tertentu, namun obyek meninggalkan fasilitas karena keterbatasan kapasitas. Sellers dan Shmueli (2010b) memperkenalkan metode estimasi maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan. Pada skripsi ini akan dikaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan estimasi maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood diperoleh dengan memaksimalkan fungsi likelihood dari fungsi densitas probabilitasnya. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut. 1. Bagaimana kajian ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood?
digilib.uns.ac.id 3 2. Bagaimana penerapan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes mellitus? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Mengkaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood. 2. Menerapkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes mellitus. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah 1. Secara teoritis dapat menambah wawasan dan pengetahuan para statistikawan tentang model regresi khususnya model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan. 2. Secara praktis pembahasan ini dapat menganalisa data yang mengalami overdispersi, underdispersi maupun equidispersi.
digilib.uns.ac.id BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Pada bagian ini terdiri dari tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian terdahulu dan teori penunjang. Teori penunjang dalam kajian ini antara lain keluarga distribusi eksponensial, distribusi Poisson, model regresi Poisson, variabel tersensor kanan, metode maksimum likelihood, metode Newton, dan uji signifikansi parameter. Sedangkan kerangka pemikiran berupa alur pikir untuk menjawab perumusan masalah pada kajian ini. Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel dependen dan variabel independen dari suatu data cacah. Seringkali data cacah memperlihatkan overdispersi atau underdispersi, sehingga penggunaan model regresi Poisson tidak sesuai. Untuk mengatasi permasalahan tersebut dapat dilakukan pendekatan model regresi Binomial Negatif yang dikaji oleh Yuniarti (2006) dan model regresi ZIP yang dikaji oleh Putri (2007). Salah satu alternatif model regresi lain yang dapat digunakan ialah model regresi yang didasarkan pada distribusi COM-Poisson. Shmueli et al. (2005) menyatakan distribusi COM-Poisson yang diusulkan pertama kali oleh Conway dan Maxwell pada tahun 1962 untuk mengatasi sistem antrian. Kemudian Shmueli et al. (2005) memperkenalkan metode estimasi parameter pada distribusi ini dengan maksimum likelihood, weighted least squares (WLS), dan metode Bayesian. Jowaheer dan Khan (2009) menggunakan metode estimasi maksimum likelihood dan quasi likelihood dengan iterasi metode Newton untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson. Sellers dan Shmueli (2010a) dalam papernya memperkenalkan model regresi yang berdasarkan distribusi COM-Poisson untuk mengatasi masalah overdispersi dan underdispers dengan metode Bayesian. Selain itu, Sellers dan Shmueli (2010b) juga memaparkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan. Sehingga pada skripsi ini akan dikaji ulang model regresi COM-Poisson untuk 4
digilib.uns.ac.id 5 data tersensor kanan dan estimasi parameternya menggunakan metode maksimum likelihood. 2.1.1 Konsep Dasar Statisik Definisi konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penulisan skripsi diambil dari Bain & Engelhardt (1992). Definisi 2.1. Ruang sampel adalah himpunan dari semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan dan dinotasikan S. Definisi 2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin pada ruang sampel S ke bilangan real, sedemikian sehingga. Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X adalah himpunan berhingga atau dengan bilangan positif maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi dengan yang menyatakan probabilitas dari masing-masing nilai yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas untuk variabel random diskrit. Definisi 2.4. Suatu fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel random diskrit didefinisikan untuk setiap bilangan real. Definisi 2.5. Jika probabilitas adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas, maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai Definisi 2.6. Jika adalah suatu variabel random berukuran, maka variansi dinyatakan sebagai.
6 digilib.uns.ac.id perpustakaan.uns.ac.id 2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), suatu fungsi probabilitas dengan parameter dari suatu variabel random dikatakan anggota distribusi keluarga eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai dengan dan adalah parameter kanonik dan adalah parameter dispersi serta merupakan suatu fungsi yang diketahui. Mean sampel dan variansi sampel dari distribusi keluarga eksponensial dapat diperoleh dengan mendefinisikan fungsi dimana sebagai. Dari persamaan (2.2) diperoleh sehingga, Pada persamaan (2.1), diperoleh persamaan dan terhadap adalah
digilib.uns.ac.id 7 Oleh karena itu, dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh mean sebagai berikut, Serta dari persamaan (2.3), (2.4) dan (2.5) dapat dicari variansi sebagai berikut,
digilib.uns.ac.id 8 Jadi diperoleh mean sampel dan variansi sampel dari distribusi keluarga eksponensial ialah, dan dengan dan merupakan turunan dari. 2.1.3 Distribusi Poisson Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan jumlah kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam pada suatu daerah setiap tahun. Menurut Bain and Engelhardt (1992), variabel random dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter jika mempunyai fungsi densitas sebagai berikut, untuk. (2.8) Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini dapat ditunjukkan dengan menyatakan bentuk fungsi dalam persamaan ke persamaan dengan,, dan. Karena distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, maka sesuai dengan persamaan dan dapat ditentukan mean dan variansinya yaitu, Oleh karena itu, pada distribusi Poisson berlaku yaitu mean dan variansi sampel sama.
digilib.uns.ac.id 9 2.1.4 Model Regresi Poisson Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan jumlah kemunculan dari suatu kejadian dalam interval waktu tertentu, seperti jumlah korban bunuh diri pada suatu daerah dalam setahun. Model regresi Poisson diturunkan dari distribusi Poisson dengan parameter yang bergantung pada variabel dependen. Misalkan merupakan variabel dependen yang menyatakan banyaknya kejadian yang berupa data cacah berdasarkan distribusi Poisson dan dipengaruhi variabel independen yang saling linier. Menurut Fahrmeir & Tuts (1994) hubungan kedua variabel dapat dituliskan atau dalam bentuk sederhana dengan Secara matriks persamaan dapat dinyatakan sebagai dimana adalah parameter yang tidak diketahui. Mean dari variabel random pada model regresi Poisson yang merupakan kombinasi linear dapat diasumsikan dengan sembarang nilai sehingga akan menghasilkan nilai real, sedangkan mean yang merupakan ekspektasi data cacah dari distribusi Poisson harus bernilai positif. Oleh karena itu, untuk mengatasinya perlu dilakukan transformasi sehingga hubungan dan sesuai, yaitu dengan menggunakan mean dengan model linear sebagai
digilib.uns.ac.id 10 Model regresi Poisson merupakan perluasan dari model linier. Menurut Fahrmeir dan Tuts (1994) perluasan tersebut terbentuk melalui asumsi sebagai berikut. 1. Y i observasi yang independen untuk setiap i dan berdistribusi Poisson dengan fungsi densitas probabilitas dengan 2. dihubungkan pada model linier (2.3) oleh fungsi link logaritma natural sehingga diperoleh model regresi Poisson 2.1.5 Variabel Tersensor Kanan Pengamatan untuk beberapa kumpulan data variabel dependen terkadang tidak ada pembatasan atau penyensoran, tetapi nilai dapat disensor untuk asumsi dalam tujuan tertentu. Variabel penyensoran yang digunakan dalam penelitian ini ialah sensor kanan. Sensor kanan merupakan batas bawah dari data variabel yang akan disensor. Jika ada penyensoran untuk pengamatan ke, maka. Variabel indikator sensor dapat didefinisikan sebagai Menurut Famoye dan Wang (2004) fungsi densitas untuk data tersensor adalah
digilib.uns.ac.id 11 2.1.6 Metode Maksimum Likelihood Variabel random memiliki distribusi dengan fungsi densitas probabilitas dimana. Parameter merupakan parameter yang tidak diketahui dengan adalah ruang parameter. Karena sampel random, maka fungsi densitas probabilitas bersama dari adalah. Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi likelihood didefinisikan sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari yang saling independen. Fungsi likelihood dianggap sebagai fungsi dari yang dituliskan Pada metode maksimum likelihood, estimasi parameter dari diperoleh dengan menentukan nilai yaitu dengan memaksimumkan fungsi likelihoodnya. Nilai yang diperoleh disebut estimasi maksimum likelihood (MLE) dari. Memaksimumkan akan memberikan hasil yang sama dengan memaksimumkan, yang dituliskan sebagai Estimasi maksimum likelihood dari dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan yang nonlinear, maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi tersebut. Sehingga diperlukan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan non-linear tersebut.
digilib.uns.ac.id 12 2.1.7 Metode Newton Misalkan terdapat system persamaan dari dua persamaan non-linear Jain et al. (2004) menyatakan untuk mencari penyelesaian sistem non-linear dua variabel pada persamaan digunakan iterasi Newton sebagai berikut dimana merupakan matrik Jacobian dari dan. Langkah-langkah dari metode Newton sebagai berikut, 1. menentukan estimasi awal yaitu dan, 2. melakukan proses iterasi seperti pada persamaan, 3. jika dan maka iterasi dihentikan. 2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi Pengujian yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan underdispersi adalah nilai deviansi atau Pearson chi-square yang dibagi dengan derajat bebasnya. Bentuk statistik deviansi adalah dan bentuk dari statistik Pearson chi-square adalah Jika hasil bagi antara nilai statistik terhadap derajat bebasnya atau statistik terhadap derajat bebasnya lebih besar dari 1, maka terdapat indikasi
digilib.uns.ac.id 13 bahwa telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan nilai hasil bagi yang lebih kecil dari 1 mengindikasikan adanya underdispersi. 2.1.9 Uji Signifikansi Parameter Uji signifikansi parameter dilakukan setelah diperoleh estimasi model regresi, yang bertujuan untuk mengetahui variabel-variabel independen yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Agresti (1990), menggunakan uji Wald untuk menguji signifikansi dari masing-masing variabel independen. Langkah-langkah untuk menguji signifikansi dari setiap parameter terhadap model adalah sebagai berikut, 1. menentukan hipotesis (tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel independen terhadap model) (terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel independen terhadap model) dengan, 2. menentukan tingkat signifikansi, 3. daerah kritis: ditolak jika, 4. menghitung nilai statistik uji. Statistik uji yang digunakan adalah uji Wald yang diperoleh dari hasil kuadrat taksiran parameter dibagi dengan taksiran sesatan standar, yang dituliskan dengan 5. mengambil kesimpulan., dan,
digilib.uns.ac.id 14 2.2 KERANGKA PEMIKIRAN Kerangka pemikiran dalam pemikiran ini adalah berawal dari konsep dasar model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson merupakan salah satu alternatif untuk mengatasi hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen yang bersifat overdispersi maupun underdispersi. Model regresi COM- Poisson didasarkan pada distribusi COM-Poisson. Distribusi COM-Poisson memiliki parameter dispersi yang tidak dimiliki oleh distribusi Poisson. Variabel dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan. Tetapi pada kenyataanya, variabel dependen dapat mengalami pembatasan nilai atau sering disebut sebagai variabel dependen tersensor. Jurnal dari Sellers & Shmueli (2010a), Sellers & Shmueli (2010b) dan Shmueli et al. (2005) yang membahas tentang distribusi COM-Poisson dan model regresi COM-Poisson menjadi ketertarikan penulis untuk melakukan kajian dalam penulisan skripsi ini. Distribusi COM-Poisson dapat digunakan dalam mengatasi masalah overdispersi, underdispersi maupun equidispersi pada data cacah. Variabel dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan atau tersensor. Tetapi banyak kasus nyata yang menunjukkan variabel dependen tersensor. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson dilakukan dengan menggunakan metode makimum likelihood (MLE) untuk data tersensor kanan. Selanjutnya model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes mellitus.
digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan mempelajari buku buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi hasil-hasil penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model regresi COM-Poisson dan metode maksimum likelihood. Adapun langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini sebagai berikut. 1. Menurunkan ulang model regresi berdasarkan distribusi COM-Poisson, dengan langkah-langkah sebagai berikut (a) menunjukkan bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, (b) menentukan nilai mean dan variansi dari distribusi COM-Poisson, (c) membentuk model regresi COM-Poisson berdasarkan mean distribusi COM-Poisson. 2. Mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan menggunakan metode maksimum likelihood, dengan langkahlangkah sebagai berikut, (a) menentukan probabilitas fungsi distribusi COM-Poisson untuk data tersensor kanan, (b) menentukan fungsi likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan, (c) menentukan fungsi log-likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan, (d) mencari turunan pertama dari fungsi log-likelihoodnya, yaitu diturunkan terhadap dan kemudian disamadengankan dengan nol, (e) mengestimasi parameter dan dengan menggunakan metode Newton apabila hasil dari persamaan (d) diperoleh non-linier. 15
digilib.uns.ac.id 16 3. Menerapkan model regresi COM-Poisson pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit pada penderita diabetes mellitus.
digilib.uns.ac.id BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas tentang model regresi COM-Poisson yang meliputi distribusi Poisson, model regresi COM-Poisson, estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor serta contoh kasus untuk data penyakit Diabetes Mellitus di Surakarta. 4.1 Model Regresi COM-Poisson 4.1.1 Distribusi COM-Poisson Distribusi COM-Poisson (Conway Maxwell Poisson) merupakan perluasan dari distribusi Poisson. Variabel random berdistribusi COM-Poisson memiliki fungsi densitas probabilitas dengan. Parameter merupakan nilai mean dari distribusi COM-Poisson, sedangkan merupakan parameter dispersi. Oleh Shmueli et al. (2005) fungsi didekati dengan Distribusi COM-Poisson termasuk dalam distribusi keluarga Eksponensial sehingga untuk memperoleh nilai mean dan variansi ditunjukkan dengan menggunakan sifat distribusi keluarga Eksponensial (Shmueli et al., 2005). Untuk menunjukkan dalam keluarga distribusi eksponensial yaitu menyatakan bentuk fungsi persamaan ke persamaan, diperoleh 17
digilib.uns.ac.id 18 sehingga dapat disimpulkan. Dengan demikian terbukti bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam keluarga eksponensial sehingga dapat ditentukan mean distribusi COM-Poisson seperti pada persamaan, yaitu
digilib.uns.ac.id 19 dan variansi distribusi COM-Poisson seperti pada (2.7), yaitu,
digilib.uns.ac.id 20 Jadi, mean dan variansi distribusi COM-Poisson ialah. 4.1.2 Model Regresi COM-Poisson Sellers & Shmueli (2010) memperkenalkan model regresi COM-Poisson sebagai analisis hubungan antara variabel random dependen yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independen. Pada distribusi COM-Poisson telah dijelaskan bahwa parameter merupakan harga harapan dalam distribusi Poisson yang bernilai positif. Sedangkan bernilai real, artinya dapat bernilai positif atau negatif, sehingga diperlukan fungsi link untuk menghubungkan nilai dengan. Hubungan harga harapan dapat dituliskan sebagai berikut, sehingga diperoleh Sellers dan Shmueli (2010a) memaparkan bahwa hubungan antara variabel dependen dan variabel independen dalam regresi COM-Poisson dapat dinyatakan melalui harga harapan dari variabel dependennya. Model regresi COM-Poisson dapat dituliskan dimana parameter merupakan parameter yang mengkondisikan keadaan disperse data, menurut Jowaheer dan Khan (2009), 1. jika nilai, model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat equidispersi sehingga model regresi COM-Poisson sama dengan model regresi Poisson
digilib.uns.ac.id 21 2. jika nilai, model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat overdispersi 3. jika nilai, model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat underdispersi. Pada model regresi COM-Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi COM-Poisson. Diberikan sejumlah variabel independen. Fungsi densitas distribusi COM- Poisson adalah dengan dan Dengan mensubtitusikan persamaan dan ke dalam persamaan diperoleh dengan dan merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model sehingga harus diestimasi.
digilib.uns.ac.id 22 4.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan 4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan Sensor kanan terjadi apabila individu diketahui masih hidup sampai hilang dari pengamatan atau sampai penelitian berakhir. Jadi hanya diketahui batas atas (waktu awal) dari suatu kejadian. Fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan seperti pada persamaan ), dengan persamaan ke dalam persamaan diperoleh Persamaan telah diketahui bahwa, sehingga diperoleh ialah Persamaan dan persamaan disubtitusikan ke dalam persamaan, maka diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan
digilib.uns.ac.id 23 4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data Tersensor Kanan Parameter dan yang tidak diketahui dapat diestimasi menggunakan metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan suatu metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood,. Fungsi likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah sehingga fungsi log-likelihoodnya adalah
24 digilib.uns.ac.id perpustakaan.uns.ac.id dengan, maka diperoleh (4.7)
digilib.uns.ac.id 25 Persamaan (4.7) diturunkan terhadap dan, sehingga diperoleh (4.8) (4.9) Kemudian persamaan (4.8) dan (4.9) disamadengankan nol, sehingga diperoleh persamaan
digilib.uns.ac.id 26 Persamaan dan merupakan persamaan non-linear. Pada persamaan merupakan hasil dari turunan fungsi log-likelihood terhadap dimana turunannya masih menggandung parameter lain yang belum diketahui yaitu dan perlu diestimasi, begitu juga dengan persaman yang masih menggandung parameter. Oleh karena itu, sulit untuk dicari penyelesaian estimasi kedua persamaan tersebut. Untuk mengestimasi kedua parameter ini dilakukan secara bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang disebut metode Newton. Metode Newton membutuhkan turunan pertama dan kedua dari fungsi loglikelihoodnya. Misalkan didefinisikan (4.12) dimana fungsi dan dinyatakan sebagai matriks. Matriks adalah matriks gradien, sehingga Turunan pertama dari fungsi log-likelihood yang dinyatakan dalam matriks diperoleh sebagai berikut,
digilib.uns.ac.id 27 Turunan kedua dari fungsi log-likelihood diperoleh sebagai berikut, (4.13)
digilib.uns.ac.id 28 iterasi Newton pada persamaan ( dibentuk matriks Jacobian sebagai berikut ) terdapat matriks Jacobian. Oleh karena itu Karena fungsi dan dinyatakan pada persamaan (4.12) serta dan, sehingga diperoleh Matriks merupakan matriks Hessian. Estimasi parameter dan menggunakan metode iterasi Newton sesuai persamaan (2.10) ialah, Proses persamaan berulang hingga diperoleh nilai parameter dan yang konvergen, yaitu jika nilai mendekati nilai, begitu juga dengan nilai mendekati. Apabila tidak dipenuhi konvergen, sehingga nilai parameter dapat diperoleh jika nilai bernilai sangat kecil. dan 4.3 Contoh Kasus Pada contoh kasus ini akan dimodelkan pola hubungan antara banyaknya komplikasi penyakit yang diderita oleh seorang pasien diabetes mellitus terhadap faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap timbulnya komplikasi penyakit tersebut. Data yang digunakan adalah data sekunder dari pasien diabetes mellitus di RS Dr Moewardi dan RS Panti Waluyo Surakarta dari tahun 2006-2011 yang disajikan dalam Lampiran 1. Variabel commit dependen to user yang akan digunakan mengalami
digilib.uns.ac.id 29 sensor kanan, dengan variabel dependennya adalah banyaknya komplikasi penyakit (BK). Sedangkan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap timbulnya komplikasi penyakit adalah variabel independen, variabel independen yang diduga berpengaruh adalah 1. Usia pasien (USIA) 2. Jenis kelamin pasien (JK) 3. Obesitas (OBES) 4. Riwayat penyakit diabetes mellitus dari pasien (RDM) 5. Tipe diabetes mellitus yang diderita pasien (TPDM) 6. Gula darah (GD) Variabel independen dibagi menjadi beberapa kategori karena variabel ini berupa data kualitatif. Pada penyakit diabetes mellitus, pasien sering disertai obesitas. Oleh karena itu variabel obesitas (OBES) dibagi menjadi 2 kategori yaitu pasien yang mengalami obesitas (ya) dan pasien yang tidak mengalami obesitas (tidak). Variabel riwayat diabetes mellitus (RDM) juga dibagi 2 kategori yaitu pasien yang sebelumnya pernah dinyatakan positif terkena diabetes mellitus (ya) dan pasien yang belum pernah positif terkena diabetes mellitus. Sedangkan variabel tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) dibagi menjadi 2 kategori yaitu tipe 1 dan tipe 2. Menurut Watts (1984), penyakit diabetes mellitus dibedakan menjadi 2 golongan yaitu tipe 1 yang tergantung pada insulin dan tipe 2 yang tidak tergantung pada insulin. Pembagian kategori pada variabel bebas disajikan pada Tabel 4.1.
digilib.uns.ac.id 30 Tabel 4.1. Pengkodean Kategori Variabel Dummy Variabel Keterangan Variabel dummy Jenis kelamin Obesitas Riwayat diabetes mellitus Tipe penyakit diabetes mellitus Perempuan Laki-laki Ya Tidak Ya Tidak Tipe 1 Tipe 2 Jenis penyensoran yang digunakan ialah sensor kanan pada variabel dependennya dengan pembatasan variabel dependen. Variabel dependen tersensor berarti banyaknya komplikasi (BK) dalam variabel dependen menggunakan nilai pembatasan dengan asumsi banyaknya komplikasi penyakit yang diderita oleh seorang pasien sebanyak 1 dapat memperburuk kondisi pasien tersebut. Analisis dalam penerapan kasus ini menggunakan Software R 2.15.0. 4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien Diabetes Mellitus Sebelum dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson, terlebih dahulu dicari estimasi parameter model regresi Poisson yang akan digunakan sebagai nilai awal untuk estimasi parameter model regresi COM- Poisson. Model regresi Poisson adalah
digilib.uns.ac.id 31 Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah USIA, JK, OBES, RDM, TPDM, dan GD. Sehingga model regresi Poissonnya adalah Tabel 4.2. Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson (4.21) Variabel Estimasi Intercept 0.67663 USIA D.JK D.OBES D.RDM D.TPDM GD Estimasi parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood tersajikan pada Tabel 4.2. Hasil estimasi pada Tabel 4.2 dimasukkan ke persamaan (4.21), diperoleh model regresi Poisson untuk data tersensor kanan adalah Setelah diperoleh estimasi model regresi Poisson dengan seluruh variabel independen, selanjutnya dilakukan uji signifikansi setiap parameter untuk mengetahui variabel-variabel independen yang berpengaruh signifikan terhadap model digunakan uji Wald. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%, sehingga akan ditolak jika nilai statistik
digilib.uns.ac.id 32 Estimasi variabel yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya penyakit dari seorang pasien diabetes mellitus dengan variabel dependen tersensor kanan disajikan dalam Tabel 4.3. Tabel 4.3. Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald Variabel Estimasi Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan Intercept USIA D.JK D.OBES D.RDM D.TPDM GD tidak ditolak tidak ditolak tidak ditolak ditolak ditolak tidak ditolak Dari Tabel 4.3 terlihat jelas bahwa hanya variabel dan yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Sehingga, variabel yang masuk ke dalam model regresi Poisson untuk data tersensor kanan hanya dan. Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi Poisson untuk variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel independen yang berpengaruh pada Lampiran disajikan pada Tabel 4.4.
digilib.uns.ac.id 33 Tabel 4.4. Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel Independen yang Berpengaruh. Variabel Estimasi Parameter Intercept D.RDM D.TPDM Nilai estimasi yang ditunjukkan pada Tabel 4.4 dapat dibentuk model regresi Poissonnya sebagai berikut, 4.3.2 Pendekteksian Overdispersi atau Underdispersi Tahap awal dalam menentukan model regresi COM-Poisson adalah dengan mendeteksi adanya overdispersi atau underdispersi. Nilai mean dan variansi dari data diabetes mellitus di Surakarta yang disajikan pada Tabel 4.5. Tabel 4.5. Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta Mean Variansi Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh bahwa nilai variansi lebih besar dari mean sampel. Oleh karena itu data banyaknya komplikasi penyakit diabetes mellitus untuk data tersensor kanan bersifat overdispersi. Untuk memperkuat dugaan ini, dilakukan uji dispersi dengan melihat nilai deviansi pada regresi Poisson disajikan pada Tabel 4.6.
digilib.uns.ac.id 34 Tabel 4.6. Nilai Statistik Deviansi. Value DF Value / DF Deviance Dari Tabel 4.6 terlihat bahwa perhitungan nilai deviansi dibagi dengan derajat bebasnya diperoleh yang menunjukkan lebih dari 1. Hal ini berarti bahwa data banyaknya komplikasi dari pasien diabetes mellitus untuk data tersensor kanan bersifat overdispersi. 4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen Tersensor Kanan dengan Seluruh Variabel Independen Nilai estimasi parameter yang diperoleh dari perhitungan regresi Poisson digunakan sebagai estimasi awal untuk menentukan koefisien parameter dalam regresi COM-Poisson. Hasil estimasi awal parameter pada regresi COM- Poisson digunakan untuk mencari nilai estimasi parameter. Nilai estimasi awal parameter merupakan perhitungan nilai deviance dibagi dengan derajat bebas pada regresi Poisson yaitu. Nilai estimasi awal parameter dan parameter pada regresi Poisson yang telah diperoleh pada Tabel 4.2 dan Tabel 4.6 digunakan untuk menentukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson adalah Estimasi parameter model regresi COM-Poisson menyajikan nilai yang ditampilkan pada Tabel 4.7.
digilib.uns.ac.id 35 Tabel 4.7. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson Variabel Estimasi Intercept USIA D.JK D.OBES D.RDM D.TPDM GD Berdasarkan nilai estimasi parameter pada Tabel 4.7, maka model regresi COM-Poisson adalah 4.3.4 Uji Signifikansi Parameter Uji signifikansi parameter dilakukan untuk mengetahui variabel-variabel independen yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Pada model regresi COM-Poisson untuk menguji signifikansi parameter digunakan uji statistik Wald. Hipotesisnya adalah
digilib.uns.ac.id 36 :, (tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel dependen terhadap model) : (terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel dependen terhadap model), Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%, sehingga akan ditolak jika nilai statistik Estimasi parameter untuk variabel yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya penyakit dari seorang pasien diabetes mellitus untuk tersensor kanan disajikan dalam Tabel 4.8. Tabel 4.8. Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald Variabel Estimate Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan (Intercept) - - USIA D.JK D.OBES D.RDM D.TPDM GD tidak ditolak tidak ditolak tidak ditolak ditolak ditolak tidak ditolak Dari Tabel 4.8 diperoleh bahwa pengaruh variabel bebas USIA dan gula darah (GD) tidak signifikan terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan pada uji signifikansi parameter dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari nilai statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas USIA dan GD tidak berpengaruh secara statistika). Akan tetapi nilai dari koefisien parameternya adalah positif, yang berarti bahwa commit terdapat to hubungan user positif antara USIA dan GD
digilib.uns.ac.id 37 terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul. Semakin banyak usia seseorang maka semakin besar rata-rata banyaknya komplikasi penyakit, sebaliknya semakin rendah usia seseorang maka rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul semakin kecil. Dan semakin tinggi tingkat gula darah (GD) yang dimiliki maka semakin tinggi rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul, sebaliknya semakin rendah tingkat gula darah (GD) maka rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul semakin kecil. Variabel bebas jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) yang berupa variabel dummy juga tidak signifikan. Ini berarti bahwa tidak ada perbedaan antara jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini karena setelah di uji signifikansi parameter dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari nilai statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) tidak berpengaruh). Variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) yang berupa variabel dummy signifikan terhadap ratarata banyaknya komplikasi penyakit diabetes mellitus. Ini berarti bahwa ada perbedaan antara riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan karena nilai statistik uji Wald kedua variabel tersebut lebih besar dari statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa ditolak (variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) berpengaruh terhadap banyaknya komplikasi pada penyakit diabetes mellitus). Sehingga, variabel yang masuk ke dalam model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan hanya dan. Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel independen yang berpengaruh pada Lampiran disajikan pada Tabel 4.9.
digilib.uns.ac.id 38 4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan Variabel Independen Berpengaruh Berdasarkan Tabel 4.8 telah diketahui bahwa variabel independen yang berpengaruh dalam model hanya dan. Kemudian, dilakukan estimasi parameter model yang mengandung variabel yang berpengaruh saja. Estimasi parameter model untuk variabel independen yang berpengaruh disajikan dalam Tabel 4.9. Tabel 4.9. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan Variabel Independen yang Berpengaruh. Variabel Estimasi Parameter Intercept Berdasarkan estimasi parameter pada Tabel 4.9, maka model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah (4.23) Berdasarkan persamaan dapat dilihat bahwa besarnya pengaruh riwayat diabetes mellitus (RDM) sebesar dan tipe diabetes mellitus (TPDM) sebesar. Hal ini berarti bahwa rata-rata banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang mempunyai riwayat diabetes mellitus dengan paling sedikit memiliki banyak komplikasi adalah
digilib.uns.ac.id 39 sebesar penyakit. Sedangkan rata-rata banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang tergantung pada insulin sebesar penyakit. Jika pasien belum pernah dinyatakan positif terkena diabetes mellitus dan mempunyai tipe diabetes mellitus yang tidak tergantung pada insulin maka rata-rata banyaknya komplikasi penyakit yang muncul sebesar penyakit.
digilib.uns.ac.id BAB V PENUTUP kesimpulan. 5.1. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh 1. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan menggunakan metode maksimum likelihood menghasilkan persamaan non linear, sehingga untuk menyelesaikan estimasi parameter digunakan metode iterasi Newton. 2. Berdasarkan contoh kasus yang digunakan, banyaknya komplikasi penyakit diabetes mellitus di Surakarta dipengaruhi oleh faktor riwayat diabetes mellitus (RDM) serta tipe diabetes mellitus (TPDM) dengan model regresinya 5.2. SARAN Pada kajian ini hanya dibahas tentang estimasi parameter model regresi COM-Poisson sebagai alternatif untuk mengatasi masalah data cacah yang bersifat overdispersi maupun underdispersi dengan menggunakan metode maksimum likelihood khususnya untuk data dependen tersensor kanan. Bagi pembaca yang tertarik untuk mengembangkan skripsi ini, disarankan untuk meneliti estimasi parameter model regresi COM-Poisson menggunakan metode lain seperti metode Bayesian atau Autoregressive serta dengan mengambil jenis data yang lain sebagai bahan perbandingan. 40