Studi Phn Steiner dan Penggunaannya dalam Perancangan Chip dan Jaringan Samuel Simn NIM: 15060 Prgram Studi Teknik Infrmatika ITB, Bandung Email: if160@students.if.itb.ac.id Abstrak Makalah ini membahas tentang salah satu pengembangan dari teri phn yang dikenal dengan nama phn Steiner, serta penggunaan phn Steiner dalam perancangan chip dan desain jaringan. Pemberian nama phn Steiner dilakukan untuk menghrmati serang matematikawan Swiss yang bernama Jakb Steiner. Teri phn Steiner serupa dengan teri phn merentang minimum, namun terdapat beberapa hal khusus yang ditambahkan dalam teri tersebut. Pada awalnya, teri phn Steiner dikembangkan untuk membuat desain suatu jaringan sehingga diperleh jalur terpendek yang dapat menghubungkan seluruh tempat (nde), tanpa membuat suatu sirkuit. Namun, pada pengembangan selanjutnya, teri ini banyak digunakan pada bidang-bidang lain, khususnya pada bidang perancangan jalur, seperti perancangan jalur pada chip (keping) elektrnika. Dalam makalah ini pula, akan dibahas mengenai algritma pembentukan phn Steiner disertai dengan analisis dan pembahasan mengenai kmpleksitas dari algritma tersebut. Pada bagian akhir makalah ini, akan dibahas juga beberapa hal yang berhubungan dengan ptimasi dari algritma pembentukan phn Steiner. Kata Kunci: steiner tree, minimum spanning tree, phn, graf 1. PENDAHULUAN Di dalam dunia matematika dan ilmu kmputer, teri graf adalah pkk bahasan yang mempelajari tentang graf, suatu struktur matematis yang biasa digunakan untuk memdelkan sekumpulan bjek dan relasi/hubungan di antara bjek-bjek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menggambarkan bjek sebagai suatu titik (vertex/nde) yang biasa dilambangkan dengan huruf V, sedangkan hubungan antar bjek digambarkan dengan garis (edge) yang biasa dilambangkan dengan huruf E. Sebuah graf dilambangkan dengan G dan didefinisikan sebagai pasangan dari himpunan (V, E). Dalam definisi tersebut: E : himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang titik = {e 1, e, e,.., e n }, sehingga sebuah graf dapat ditulis singkat dengan ntasi: G = (V,E) garis (edge) titik (nde) Sebuah graf dapat berupa graf berarah (directed graph) atau graf tidak berarah (undirected graph), tergantung dari hubungan antar bjek-bjek di dalam graf tersebut. Jika hubungan antara titik-titik dalam graf bersifat sama untuk kedua arah (hubungan antara titik A dan B sama dengan hubungan antara titik B dan A), maka graf tersebut dikatakan graf tidak berarah. Sedangkan jika hubungan antara titik-titik tersebut berbeda, maka graf tersebut dikatakan graf berarah. Di dalam teri graf, dikenal juga istilah graf terhubung dan sirkuit. Graf terhubung adalah graf yang setiap titiknya dapat dicapai leh semua titik lain dalam graf tersebut, sedangkan yang dimaksud dengan sirkuit adalah lintasan/jalur yang berawal dan berakhir pada titik yang sama. Graf terhubung. V : himpunan tidak ksng dari titik-titik (ndes) = {v 1, v, v,.., v n }
Graf tidak terhubung. Sirkuit Pengembangan dari teri graf menghasilkan teri yang disebut dengan teri phn. Phn adalah suatu graf terhubung yang tidak memiliki arah dan tidak mengandung sirkuit. Dalam teri phn ini, dikenal istilah phn merentang (spanning tree). Jika terdapat suatu graf terhubung tak berarah yang bukan phn (berarti graf tersebut memiliki sirkuit), maka graf tersebut dapat diubah menjadi phn dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya, mulamula dipilih sebuah sirkuit, kemudian hapus salah satu garis/sisi dari sirkuit ini. Graf tersebut akan tetap terhubung, namun jumlah sirkuitnya berkurang satu. Jika prses penghapusan sirkuit tersebut dilakukan berulang-ulang hingga tidak ada lagi sirkuit yang tersisa, maka graf tersebut akan menjadi sebuah phn, yang dinamakan phn merentang. Phn Steiner serupa dengan phn merentang, namun phn Steiner memiliki beberapa aturan tambahan.. POHON STEINER Phn Steiner serupa dengan phn merentang, tetapi ada suatu perbedaan mendasar antara phn Steiner dengan phn merentang. Pada phn Steiner, titik dan garis dapat ditambahkan pada graf untuk mengurangi panjang sisi dari phn merentang. Titiktitik yang ditambahkan untuk mengurangi panjang sisi pada graf tersebut disebut titik Steiner. Untuk setiap kumpulan titik yang sama, dapat diperleh phn Steiner yang berbeda. Phn Steiner untuk titik (A, B, C). S = titik Steiner. Phn Steiner untuk 4 titik (A, B, C, D). S1, S = titik Steiner.. ALGORITMA PEMBENTUKAN POHON STEINER Terdapat beberapa algritma untuk membentuk phn Steiner dari suatu graf, salah satunya adalah sebagai berikut: Cari titik tengah dari seluruh titik yang akan dihubungkan. Urutkan semua titik tersebut berdasarkan jaraknya terhadap titik tengah yang telah dicari sebelumnya. Letakkan titik Steiner antara titik pertama, kemudian sambungkan titik Steiner tersebut dengan ketiga titik yang ada di sekitarnya. Cari psisi titik Steiner terbaik sehingga didapat phn Steiner paling ptimal untuk ketiga titik pertama tersebut. Ini menjadi phn Steiner pertama dalam graf tersebut, yang dapat disebut phn sementara. Lakukan pengulangan dari k = 4,, n untuk langkah-langkah: Simpan phn sementara sebagai phn lama, dan buat variabel penampung phn terbaik dengan panjang. Untuk setiap sisi (a; b) dari phn sementara, lakukan: - Letakkan titik Steiner (s) pada sisi (a; b) - Hapus sisi (a; b) - Tambahkan sisi (t k ; s), (a; s), (b; s) - Cari psisi s terbaik sehingga didapat phn Steiner yang paling ptimal untuk titik tersebut. - Jika hasil phn tersebut memiliki panjang yang lebih kecil daripada phn terbaik, simpan phn ini menjadi phn terbaik. - Ubah phn sementara menjadi phn lama. Simban phn sementara menjadi phn terbaik.
Simpan phn hasil prses tersebut menjadi phn Steiner akhir. phn sementara titik Steiner dengan V(T). Jadi, sebuah slusi phn Steiner yang ptimal untuk Y adalah phn T = T(Y) yang memiliki nilai c(t) terkecil, mengacu pada Y V. Untuk menghitung kmpleksitas, algritma yang dipakai sebagai bahan analisis adalah algritma Dreyfus-Wagner. Pertama, perlu dicatat bahwa setiap titik terluar (leaf) dari graf harus menjadi titik akhir (terminal) dari graf tersebut. Setiap titik di bagian dalam (interir nde), akan menjadi titik akhir atau titik Steiner. Untuk menjabarkan algritma Dreyfus- Wagner, diambil ntasi berikut: Untuk X V, T(X) akan menghasilkan panjang minimum dari phn Steiner untuk X dan phn Steiner itu sendiri. phn lama phn terbaik Algritma Dreyfus-Wagner melakukan perhitungan T(X v) secara rekursif untuk setiap X Y dan v V. Pada kasus umum, titik akhir baru v V adalah titik terluar dari phn Steiner T = T(X v) dan v digabungkan leh jalur terpendek P vw ke titik di bagian dalam (w V (T)), dengan w memiliki hubungan paling sedikit dengan titik lainnya. Titik w membagi T\(P vw ) menjadi bagian, yang dinamakan T(X w) T(X w) untuk partisi X = X X. Oleh karena itu, dapat ditulis: T(X v) = min(p vw T(X w) T(X w)), dimana nilai minimum diambil dari seluruh partisi X = X X dan seluruh w V. Prses rekursi di atas juga berlaku untuk kasus-kasus tidak biasa, dimana titik akhir baru v bukan merupakan titik terluar dari T (dipilih w = v) atau ketika v digabung leh P vw ke titik terluar dari T(X), misalkan saat w hanya terhubung ke titik dalam T. Hasil akhir phn Steiner. Algritma lain yang banyak untuk membuat phn Steiner dikenal dengan nama Dreyfus-Wagner. Algritma ini akan penulis bahas dalam perhitungan kmpleksitas algritma pembentukan phn Steiner. 4. KOMPLEKSITAS ALGORITMA PEMBENTUKAN POHON STEINER Phn Steiner adalah salah satu kasus NP (nnplinmial) yang cukup terkenal. Diberikan suatu graf G = (V,E). Dengan n = V, sisi dengan panjang c : E R + dan himpunan Y V dari k = Y titik akhir (terminal), akan dicari panjang minimum phn T E, yang menghubungkan seluruh Y titik akhir. Dari sini dan analisis selanjutnya, dikenal sebuah upaphn T E dari graf G dengan himpunan titiktitiknya. Titik dalam himpunan tersebut dintasikan Dari analisa tersebut, dapat disimpulkan bahwa prses rekursi ini menghitung phn Steiner ptimal dengan tepat untuk Y V. Pada saat prses tersebut dijalankan, dapat diamati bahwa terdapat kurang dari k n himpunan dari X v dengan X = I dan setiap i X memiliki kurang dari i partisi. Dengan demikian, didapatkan: k i k n = n = O i k i ( ) * k sebagai batas atas dari waktu kmputasi yang diperlukan algritma tersebut. 5. PENERAPAN POHON STEINER 5.1. Perancangan Desain Jaringan Desain jaringan digunakan dalam banyak hal, bukan hanya jaringan kmputer, namun juga jaringanjaringan lain, seperti jaringan kmunikasi, jaringan
pipa air minum, jaringan jalan, jaringan kabel listrik, dan lain sebagainya. Desain jaringan sangat penting untuk dibuat terlebih dahulu sebelum membuat jaringan aslinya agar segala hal yang berhubungan dengan pembangunan jaringan tersebut dapat direncanakan terlebih dahulu. Phn Steiner dapat digunakan untuk merancang jalur-jalur jaringan tersebut. Tempat-tempat yang ingin dilalui leh jalur jaringan direpresentasikan sebagai titik-titik dalam graf. Kemudian, titik-titik tersebut diprses dengan algritma yang ada, sehingga didapat phn Steiner dari titik-titik tersebut. Phn Steiner tersebut dapat digunakan untuk perancangan jaringan, karena menghasilkan jalur terpendek yang melalui ke seluruh tempat (titik) dalam graf, sehingga dapat membuat prses pembangunan jaringan menjadi lebih efisien. 5.. Perancangan Chip Elektrnika Pembuatan chip elektrnika melalui beberapa tahap, diantaranya adalah prses perancangan chip itu sendiri. Dalam prses perancangannya, prdusen chip menetapkan titik-titik yang akan menjadi tempat diletakkannya kmpnen-kmpnen elektnika. Setelah semua titik ditentukan, maka tahap selanjutnya adalah perancangan jalur-jalur yang akan menghubungkan titik-titik yang telah dibuat sebelumnya. Jalur-jalur yang dipilih adalah jalur terpendek sehingga prses pembuatan menjadi lebih efisien baik dari segi biaya maupun waktu pembuatan. Untuk mempermudah pembuatan jalur tersebut, dapat digunakan teri phn Steiner. Namun, seringkali jalur yang ingin dibuat dibatasi menjadi jalur hrizntal dan vertikal saja. Jika pada prses pembuatan terdapat pembatasan seperti hal tersebut, maka dapat digunakan rectilinear Steiner. Beberapa hal yang menjadi hambatan dalam mengaplikasikan phn Steiner: Banyaknya titik yang akan dihubungkan dengan phn Steiner. Phn Steiner antara titik dapat dicari dengan mudah, sama seperti mencari jalur terpendek antara titik tersebut, sedangkan phn Steiner untuk setiap titik pada graf G, sama dengan mencari phn merentang minimum pada graf tersebut. Namun, algritma pencarian phn Steiner termasuk kategri NP (nn-plynmial) cmplete. Dengan demikian, pertambahan banyak titik yang akan dihubungkan menjadikan kmplesitas algritma semakin besar dan tidak dapat ditentukan besaran pertambahannya. Adanya aturan penggunaan garis/sisi. Pada sebagian besar permasalahan dalam kehidupan nyata, pembentukan phn Steiner mendapat aturan tambahan, yaitu garis/sisi yang bleh ditambahkan hanya berupa garis hrizntal/vertikal saja, seperti pada pembuatan desain chip. Permasalahan ini dikenal dengan istilah rectilinear Steiner. Permasalahan ini dapat menambah kmpleksitas dari algritma yang digunakan. Adanya titik Steiner yang harus dibuat. Dalam hampir semua kasus pembuatan phn Steiner, diperlukan adanya titik Steiner untuk menghasilkan jalur yang terpendek. Namun, permasalahan yang dihadapi adalah titik-titik Steiner tersebut tidak diketahui berapa banyak dan dimana harus diletakan. Hal tersebut menjadi salah satu hal yang menyebabkan kmpleksitas algritma tersebut meningkat. 7. OPTIMASI Walaupun banyak terdapat kendala dalam penerapan teri phn Steiner ini, namun terdapat beberapa cara untuk mengptimalkan pencarian phn Steiner dari suatu graf. Caranya, buat graf yang menggambarkan titik-titik masukan, dengan panjang sisi (i, j) sama dengan jarak antara titik i dan j. Kemudian cari phn merentang minimum dari graf ini. Maka akan ditemukan hasil yang merupakan pendekatan baik untuk phn Steiner biasa maupun rectilinear Steiner. 6. HAMBATAN DALAM PENGAPLIKASIAN POHON STEINER Permasalahan yang ditemukan dalam teri phn Steiner adalah untuk mencari phn Steiner dari suatu graf, digunakan algritma yang memiliki kmpleksitas cukup besar untuk jumlah titik masukan yang besar (> 0). Selain itu, ditemukan beberapa hal lain yang menjadi kendala dalam mencari dan mengaplikasikan phn Steiner dalam kehidupan sehari-hari. Kasus terburuk untuk cara pendekatan seperti ini adalah jika titik membentuk segitiga sama sisi. Phn merentang minimun akan mengandung sisi dengan panjang =, namun seharusnya panjang phn Steiner terkecil yang dapat dicapai dengan menggunakan bantuan titik Steiner di tengah-tengah ketiga titik tersebut adalah. Perbandingan perbedaan hasil ini dan hasil pendekatan adalah 0,866. Angka perbandingan perbedaan hasil
ini selalu diperleh untuk setiap hasil pendekatan dan hasil ptimal pada phn Steiner. Pada rectilinear Steiner, perbandingan perbedaan hasil pendekatan dengan hasil ptimal selalu 0, 667. 8. KESIMPULAN Teri phn, yang merupakan pengembangan lanjutan dari teri graf, banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari bidang kmputer, bilgi, studi perencanaan, dan lainnya. Salah satu teri yang cukup banyak digunakan adalah teri phn Steiner. Teri ini digunakan untuk mencari jalur terpendek yang dapat menghubungkan titik-titik dalam suatu graf. Teri phn Steiner banyak digunakan pada perancangan chip dan desain jaringan. Namun, sayangnya prses kmputasi teri ini mempunyai kmpleksitas yang cukup besar dan tidak bisa diprediksi untuk jumlah titik yang besar. Hal ini disebabkan karena teri phn Steiner termasuk permasalahan NP (nn-plynmial). Analisis pada salah satu algritma untuk mencari phn Steiner memperlihatkan bahwa algritma tersebut memiliki * k kmpleksitas: O ( ). [] P. Berman dan V. Ramaiyer, "Imprved apprximatins fr the Steiner tree prblem", Jurnal f Algrithms, n. 17, hal. 81-408. [4] E. J. Cckayne dan D. E. Hewgill, "Imprved Cmputatin f Plane Steiner Minimal Trees", Algrithmica, n. 7, 199, hal. 19-9. [5] Steiner tree - Wikipedia, the free encyclpedia. http://en.wikipedia.rg/wiki/steiner_tree Tanggal akses: 7 Desember 007 pukul 17.0 [6] Graph - Wikipedia, the free encyclpedia http://en.wikipedia.rg/wiki/graph Tanggal akses: 9 Desember 007 pukul 08.00 [7] Steiner tree http://www.nist.gv/dads/html/steinertree.html Tanggal akses: 9 Desember 007 pukul 08.00 Dengan kmpleksitas yang cukup besar tersebut, phn Steiner jarang digunakan untuk titik-titik yang berjumlah banyak (> 50). Hal ini membuat beberapa ilmuwan mencari cara untuk mengurangi waktu prses kmputasi. Salah satu cara yang digunakan adalah cara pendekatan. Dengan cara ini, dapat diperleh hasil phn Steiner dengan waktu kmputasi yang jauh lebih cepat. Namun, cara ini menghasilkan panjang phn Steiner yang lebih besar dari pada pencarian dengan perhitungan sesungguhnya. Namun, rasi perbedaan itu, cukup kecil sekitar 0,866 untuk phn Steiner pada kasus biasa. Terdapat satu jenis phn Steiner khusus, yang biasa digunakan untuk kasus-kasus tertentu, yaitu rectilinear Steiner. Rectilinear Steiner adalah phn Steiner yang hanya memiliki macam garis/sisi saja, yaitu hrizntal/vertikal. Jika cara pendekatan digunakan untuk kasus ini, maka rasi perbedaan hasil phn Steiner yang didapat dengan phn Steiner ptimal menjadi 0, 667. DAFTAR REFERENSI [1] B. Arnv, M. Bern, dan D. Eppstein, "On the number f minimal 1-Steiner trees", Discrete and Cmputatinal Gemetry", 1994, hal. 9-4. [] P. Berman dan V. Ramaiyer, "Imprved apprximatins fr the Steiner tree prblem", In Prceedings f the Third Sympsium n Discrete Algrithms, 199, hal. 5-4.