BAB 6 INTEGRASI NUMERIK

BAB 6 INTEGRASI NUMERIK 6.. Permsl Itersi Perit iterl dl perit dsr y dik dlm klkls, dlm yk keperl. Iterl ii secr defiitif dik tk meit ls der y ditsi ole fsi y fx d sm x. Pertik mr erikt : Ls der y dirsir L dpt diit de : L f x dx Pd eerp permsl perit iterl ii, dpt diit secr ml de md, sei coto : x x e dx Secr ml dpt diit de : x x e dx x e x e e e Tetpi pd yk permsl, iterl slit sekli diit k dpt diktk tidk dpt diit secr ml, sei coto : si x dx x Dlm l ii, metode merik dpt dik sei ltertif tk meyelesik iterl di ts. Pd peerpy, perit iterl ii dik tk meit ls re pd pet, volme permk t, meit ls d volme-volme ed ptr dim fsi fx tidk ditlis, y dik mr tk meyjik ili fx. Sei coto, diketi poto der sei erikt : Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi

Utk meit ls der y dirsir L, perl dik lis merik.kre poly disjik dlm mr de fktor skl tertet. 6.. Metode Iterl Reim Metode iterl Reim ii merpk metode iterl y dik dlm klkls, d didefiisik de : f x i lim x dx f x x i Pd metode ii, ls y ditsi ole y fx d sm x dii mejdi N i pd re x [, ] y k diit.kemdi diit tii dri setip tep ke-i yit fx i.l i dl ls setip persei pj dim L i fx i...4 Skl : xi x*cos*x*exp-*x. x*cos*x*exp-*x..4... L L L L L - L.... Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi

Ls keselr dl jml L i d ditlisk : L L L L.. L f i x x f x x f x x... f x f xi xi Bil dimil x x x... x L mk didpt metode iterl reimm sei erikt : f x dx f xi i Coto: x Hit ls y ditsi y x d sm x tk re x [,] x**.8.6.4.....4..6.7.8.9 L x dx De memil. mk diperole tel : x....4..6.7.8.9 fx..4.9.6..6.49.64.8 L. f Secr klkls : x i...4.9.6..6.49.64.8..,8, 8 L x dx x,... Terdpt kesl e,8-,, Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 4

Utk meri kesl dpt dilkk de memperkecil ili t memperesr jml pemi N. Aloritm Metode Iterl Reim: Defiisik fsi fx Tetk ts w d ts t itersi Tetk jml pemi re N 4 Hit -/N N Hit L. f x i i 6.. Metode Itersi Trpezoid Pd metode iterl Reim setip der i diytk sei empt persei pj de tii fx i d ler xi.pd metode trpezoid ii setip i diytk sei trpezim seperti mr erikt : fx fx fx fx - fx x x x x x 4 x x - x - x Ls trpezim ke-i L i dl : Li f xi f xi. xi t Li fi fi. xi D ls keselr diit de mejmlk ls dri sem i trpezim. L η L i i sei diperole : L i i i f f f f f... f f Coto: Hit x dx de step. De mek tel diperole: x,,,,4,,6,7,8,9 fx,,6,4,8,,4,686,4,48 Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi

De mek tel ii, dpt diit :, L,,6,4,8...,4,48 De mek perit klkls: { }, 4 L x dx x, De, terjdi kesl, Coto: e x Hit dx de step. si x De mek tel diperole: x,,,,,4,,6,7,8,9, fx,,4,7,,8,4,4,88,6,46,9 Dri tel di ts dpt diit :. L.,,4,7,...,46,9, 679 Aloritm Metode Itersi Trpezoid dl: Defiisik yfx Tetk ts w d ts ts itersi Tetk jml pemi 4 Hit -/ Hit L f f i f i 6.4. Metode Itersi Simpso Metode itersi Simpso merpk peem metode itersi trpezoid, y sj der pemiy k erp trpesim tetpi erp d trpesim de mek pemoot ert di titik tey seperti telit pd mr erikt ii. At de kt li metode ii dl metode rt-rt de pemoot kdrt. fx i fx i- fx i x i- x i x i Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 6

Bil mek trpesim ls di ts dl : L fi fi fi fi fi fi fi Pemki tr simpso dim oot f i sei titik te diklik de tk meit ls dits dpt ditlisk de: L fi fi fi fi fi 4 fi fi Pertik mr erikt: fx fx fx fx - fx De mek tr simpso, ls dri der y ditsi fsi yfx d sm X dpt diit sei erikt: L f f f f f f f f 4... f f f t dpt ditlisk de: L f 4 fi fi f i jil i ep Coto : f Hit x dx de. De mek tel diperole : x,,,,4,,6,7,8,9 fx,,6,4,8,,4,686,4,48 D tr simpso dpt ditlisk de :, L 4,,6 4,4,8...,4 4,48,, x x x x x 4 x x - x - x Didik de sil perit klkls, mk kesly st kecil. Ctt: Metode ii k medptk sil y ik il dimil ep. Metode ii st terkel kre kesly st kecil, sei mejdi ltertif y ik dlm perit iterl d peerpy kssy di id tekik. Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 7

Aloritm Metode Itersi Simpso dl: Defiisik yfx Tetk ts w d ts ts itersi Tetk jml pemi 4 Hit -/ Hit L f 4 fi fi f i jil i ep 6.. Metode Itersi Gss Metode itersi Gss merpk metode y tidk mek pemi re y yk, tetpi memftk titik ert d pemoot itersi. Metode ii secr komptsi memiliki yk ket kre mempyi kecept y tii l ii ditjkk de jml pemiy y kecil d de jml pemi y reltif kecil mempyi kesl y sm de metode li de jml pemi y esr. Metode itersi Gss dpt dijelsk sei erikt: Utk ls der ke i, mempyi ls: L x i i f xi x dx Pertm y rs dilkk dl me re x[x i-,x i ][,] pd itersi di ts mejdi [-,] de mek: x t x sei etk iterl dpt ditlisk mejdi: L i d dim: f Dri etk ii, dpt dimil sejml titik pedekt y dik sei titik c dlm itersi kdrtr ss sei erikt: d A i µ i i tk meetk ili µ i dpt dik persm poliom Leedre: P P Pm [ m Pm m Pm ] m D tk meetk ili Ai dik pemoot sei erikt: Ai ' µ P µ i [ ] i Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 8

Itersi Kdrtr Gss De Pedekt Titik Metode ii mek formlsi itersi: d A µ A µ Utk mesilk metode ii dimil pd persm poliom Leedre, sei diperole: P [ 4..] Akr-kr dri persm poliomil di ts dl ± jdi diperole: µ d µ Nili A d A dpt dicri de: A d A.. Sei model dri itersi kdrtr ss de pedekt titik dpt ditlisk de: d Coto: Hit iterl : L x dx Pertm y rs dilkk dl meit, de: x x x t x De demiki diperole fsi : 8 De mek itersi kdrtr ss pedekt titik diperole : L 8 8.4.9. Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 9

Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 6 Aloritm Metode Itersi Gss De Pedekt Titik: Defiisik fsi fx Tetk ts w d ts ts itersi Hit ili koversi vriel : x 4 Tetk fsi de: f Hit: L Itersi Kdrtr Gss De Pedekt Titik Metode ii mek formlsi itersi: µ µ µ A A A d Utk meetk ili µ, µ d µ dik persm poliom Leedre de : [ ] 9... P P P Diperole : µ, µ, d µ Nili A, A d A dpt diperole de: ' P [ ] 9 8. ' P A [ ] 9 8 ' P A Sei diperole model itersi kdrtr ss de pedekt ti titik dl sei erikt: 9 9 9 8 d

Coto: Hit iterl L e x dx Terlei dl dilkk pe re: x x x t x Sei diperole : e e De mek itersi kdrtr ss de pedekt ti titik diperole: 8 L 9 8 8.776.96.6746.788 Didik de sil litik de pedekt -6, diperole.788, sil di ts merpk sil y ckp ik. Aloritm Metode Itersi Gss De Pedekt Titik: Defiisik fsi fx Tetk ts w d ts ts itersi Hit ili koversi vriel : x 4 Tetk fsi de: f Hit: 8 L 9 9 9 Ctt: Meskip dlm eerp l itersi kdrtr Gss mejkk sil y lei ik dri pd metode itersi Simpso, tetpi dlm peerpy metode itersi Simpso lei yk dik de dsr pertim kemd dri metode y dik. Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 6

6.6. Beerp Peerp Itersi Nmerik Seperti tel dijelsk di dep, iterl yk dik tk meit ls st der y ditsi ole fsi-fsi tertet. Lei j li de meemk peerti ls it sediri, iterl dpt j dik tk meit ls klit, d meit volme dri ed ptr. Seli dri it iterl sediri merpk formlsi dsr y yk ditemi dlm model mtemtik kssy tk id elektroik, seperti pd peol siyl diitl iterl ii ditemi tk meit kovolsi y yk dik dlm kosep-kosep peol siyl d filter sei erikt: cov, x T t x T t dt 6.6.. Meit Ls Der Berdsrk Gmr Pertik mr pet erikt ii: Utk meit ls iterl di pet di ts, y perl dilkk dl medi t memt ris rid pd setip step st y diytk dlm st kotk. Bil st kotk mewkili mm, de skl y terter mk errti pjy dl. mm t m. Pd mr di ts, mli sisi kiri de rid ke d sisi k rid ke dlm l ii. Tii pd setip rid dl sei erikt: 4 6 7 8 9 4 6 y. 4. 6 7 6. 6 6 6. 6. 6.. Dri tel di ts, ls re dpt diit de mek mcm metode: De mek metode itersi Reim 6 L y i 7. i 9 6 De mek metode itersi trpezoid L y y6 y i 7. i De mek metode itersi Simpso L y y6 4 y i yi 74 i jil i ep Skl : 6.6.. Meit Ls d Volme Bed Ptr Utk meit ls d volme ed ptr y dietk ole fsi yfx dpt dik rms erikt: Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 6

Ls ed ptr: L π f x dx Volme ed ptr: V p π [ f x ] p Sei coto : it ls permk d volme dri ed erikt ii: dx 7 I II III IV 6 7 4 st dlm cm R ed ptr dpt diedk mejdi 4 i seperti mr di ts, dim i I d III merpk etk silider y tidk perl diit de memii kemli ry, sedk i II d IV perl diperitk kemli. Bi I: L π 47 6π I V I L π 47 96π π 88 Bi II: II π π 46π V II Sedk tk meit i II d IV diperlk pemi re, mislk de memil diperole: 4 y 7. Pd i II d IV: L II LIV d V II VIV De mek itersi trpezoid dpt diperole: 4 L II LIV π 8π y y yi i 4 V II IV i i Ls permk dri otol dl: L L L L L V π y y y 87. π 6π 78.4 Ls 78.4 cm I II III IV 6π 8π 88π 8π Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 6

Volme otol dl: V V V V V I II III IV 96π 87.π 46π 87.π 64π Volme 894.78 cm 6.7. Ts π si x Hit iterl : dx de mek iterl Reim, trpezoid d x Simpso. Bdik sily de jml pemi N y sm, mil N,,,, d. Ll mrk N d Ls y disilk De mek iterl kdrtr Gss de titik pedekt d titik. / pedekt, it: e x dx Bdik sily il mek itersi Simpso de N d N. x / t Hit kovolsi dri t e d x t e tk <t<, dim kovolsi didefiisik: cov, x T t x T t dt 4 Hit ls permk d volme dri ed ptr y eretk de kr jri-jri,m de lyot sei erikt: r d r, Amill pet Sry, de tetp mempertik skl y dik, it ls wily Sry erdsrk pet terset. Metode Nmerik Sei Aloritm Komptsi 64