PENERAPAN FORMULASI HIROTA UNTUK PERSAMAAN UMUM MODUS TERGANDENG PADA KISI BRAGG DALAM NONLINIER DENGAN DIFRAKSI Oleh: ALETTA ANGGRAINI KANDI G74102025 PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
PERSEMBAHANKU Segenap syukur yang tak pernah berhenti tuk tuliskan kebahagiaan, kepada segenap yang terkasih. Teruntuk yang utama di atas apapun, kuucapkan terimakasih atas segala berkat dan penyertaan, dari hembusan napas pertama hingga detik ini, TUHAN. Untuk Mama dan Papa, yang selalu iringi dalam tiap langkah yang kujejakkan dalam jalan hidup ini. Lala dan Gigi, kedua saudariku yang terus mendukung dan menjadikan kekuatan bagiku. Teman-teman yang selalu setia membantuku dan memberiku dorongan, Endang, Engkz, Tyo, Marwan, Luthfan, Eko F, Arifianto, Teguh, Budhi, Eka, Sonny, Wahyu, Fera, dan segenap kawan-kawan 39. Untuk seluruh dosen serta staf Departemen Fisika IPB. Untuk segenap adik-adik di Fisika. Untuk semua orang yang pernah berjumpa dan mengisi memori dalam hidupku. yukkis_tetta
RINGKASAN Aletta Anggraini Kandi. G 74102025. Penerapan Formulasi Hirota untuk Persamaan Umum Modus Tergandeng Pada Kisi Bragg Dalam Nonlinier dengan Difraksi. Di bawah bimbingan Dr. Husin Alatas. Pemanfaatan fenomena soliton pada dunia optik nonlinier sudah mengalami banyak kemajuan, dan pada kenyataannya memiliki prospek yang cerah di masa yang akan datang. Salah satu kajian soliton optik yang dikembangkan adalah dinamika soliton spasial ketika dilewatkan pada sebuah Kisi Bragg. Tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi soliton spasial yang terkopel, dan mempelajari dinamikanya ketika dilewatkan pada sebuah kisi Bragg dalam medium nonlinier. Soliton spasial ini berinteraksi sebagai forward-backward soliton, sehingga dalam penyelesaiannya digunakan model soliton yang terkopel. Untuk mencari solusi soliton spasial dalam persamaaan CME tersebut, diperkenalkan sebuah metode sederhana yang digunakan dalam penyelesaian pekerjaan ini. Metode tersebut telah diperkenalkan oleh Hirota sebelumnya, pada tahun 1973. Melalui metode Hirota, dapat dicari bentuk solusi untuk N-soliton, dengan N=1,2,3,.... Pada metode ini diperkenalkan sebuah ansatz dan operator bilinear ( Dz dan Dt ), sehingga bentuk yang ditinjau dapat dituliskan menjadi lebih sederhana dan mempermudah dalam memperoleh solusinya. Pada dinamika solusi soliton spasial terkopel yang telah didapatkan, terlihat bahwa lebar daerah pandu gelombang bergantung pada besarnya nilai δ 2. Sedangkan peristiwa dispersi pada soliton spasial ditandai dengan munculnya koefisien δ 3. Bentuk dan pergerakan datangnya soliton spasial dapat dimodelkan sebagai Model Kisi Bragg Nonlinier Dalam Untuk Berkas Berintensitas Tinggi.
PENERAPAN FORMULASI HIROTA UNTUK PERSAMAAN UMUM MODUS TERGANDENG PADA KISI BRAGG DALAM NONLINIER DENGAN DIFRAKSI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh: ALETTA ANGGRAINI KANDI G74102025 PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
Judul : Penerapan Formulasi Hirota untuk Persamaan Umum Modus Tergandeng Pada Kisi Bragg Dalam Nonlinier dengan Difraksi Nama : Aletta Anggraini Kandi NRP : G 74102025 Menyetujui, Pembimbing I, Dr. Husin Alatas, M.Si NIP 132206234 Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S NIP 131473999 Tanggal Lulus:
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cilacap, pada tanggal 22 Oktober 1984 sebagai anak kedua dari keluarga Bapak Agung Kandiawan dan Ibu Jasmin Sutrisni. Penulis pertama kali memasuki dunia pendidikan di TK Wijaya Kusuma IV Cilacap pada tahun 1988-1990. Kemudian melanjutkan ke pendidikan dasar di SDN Sidakaya 10 Cilacap pada tahun 1990. Selanjutnya pada tahun 1996, penulis melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri 1 Cilacap. Tahun 1999, penulis melanjutkan pendidikan ke SMU Negeri 1 Cilacap. Setelah lulus SMU, penulis mendapatkan kesempatan untuk belajar di IPB lewat jalur USMI pada tahun 2002. Penulis mendapat kesempatan untuk masuk di Fakultas MIPA, dengan program studi Fisika. Selama menjadi mahasiswa di program studi Fisika ini, penulis aktif mengikuti beberapa organisasi seperti HIMAFI periode 2002-2003 sebagai anggota seksi Kaderisasi. Kemudian penulis juga pernah menjadi panitia Pesta Sains Nasional tahun 2004, sebagai Bendahara sub kegiatan Fisika. Penulis juga aktif dalam kegiatan Masa Orientasi Departemen, pada tahun 2003 sebagai anggota seksi P3K, pada tahun 2004 sebagai anggota seksi Tatib. Selain aktif dalam organisasi, penulis juga pernah menjadi asisten praktikum Fisika Dasar 1&2 pada tahun 2003-2005. Kemudian penulis juga pernah menjadi asisten praktikum Fisika di POLTEK IPB, pada tahun 2006.
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat yang telah dilimpahkan, sehingga penulis dapat menyusun laporan akhir yang berjudul Penerapan Formulasi Hirota untuk Persamaan Umum Modus Tergandeng Pada Kisi Bragg Dalam Nonlinear dengan Difraksi. Laporan akhir ini berisi dinamika solusi pertama Soliton, yang melewati Kisi Bragg Nonlinear dan mengalami proses difraksi. Tidak lupa penulis hendak mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Husin Alatas, atas segala bimbingannya, dan motivasi yang selalu diberikan sehingga penulis mampu menyelesaikan penelitian ini dengan baik. Kemudian, penulis juga hendak mengucapkan terimakasih kepada kedua orang tua dan segenap keluarga, yang selalu tetap berada disamping penulis dalam setiap langkah yang dijalani. Terimakasih sekali kepada Bapak Hendradi Hardhienata dan Ibu Yessie W S, atas segala bantuannya. Dan kepada semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu- persatu, atas bantuannya kepada penulis. Mengingat penulis masih dalam tahap belajar, maka laporan akhir yang telah penulis susun dengan sebaik-baiknya mungkin masih memiliki kekurangan. Sehingga penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya, apabila terdapat kesalahan di dalamnya. Semoga laporan akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Bogor, Maret 2006 Penulis
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.. i DAFTAR ISI.... ii DAFTAR GAMBAR.. iii PENDAHULUAN... 1 TUJUAN PENELITIAN... 2 TINJAUAN PUSTAKA... 2 Bentuk Bilinear Dari Dua Persamaan NLS Yang Tergandeng (CNLS).... 2 Soliton Spasial.... 3 Aplikasi Model Kisi Bragg Nonlinier Dalam Untuk Berkas Berintensitas Tinggi.... 4 METODELOGI PENELITIAN... 7 Tempat Dan Waktu Penelitian... 7 Metode Penelitian... 7 HASIL DAN PEMBAHASAN... 7 Solusi Pertama Soliton Spasial Pada Kisi Bragg Nonlinier... 7 Dinamika Solusi 1-Soliton Pada Kisi Bagg Nonlinier Dengan Suku Difraksi. 10 KESIMPULAN DAN SARAN.. 11 Kesimpulan.. 11 Saran... 11 DAFTAR PUSTAKA 12 LAMPIRAN... 13 Lampiran 1. Perhitungan Solusi 1-Soliton..... 14 Lampiran 2.Pembentukan Model Persamaan Terkopel Pada Model Kisi Bragg Nonlinier Dalam Untuk Berkas Berintensitas Tinggi.... 19 Lampiran 3. Metode Hirota Pada NLS.... 23 Lampiran 4. Perhitungan Solusi 1-Soliton, dengan menggunakan software Maple8.... 26
DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Berkas Optik yang Terdifraksi pada Medium Homogen.... 3 Gambar 2. Berkas Optik Mengalami Self-focusing pada Medium Nonlinier.... 4 Gambar 3. Soliton Spasial pada Medium Nonlinier.... 4 Gambar 4. Model Kisi Bragg untuk Berkas Berintensitas Tinggi.... 5 Gambar 5. Fungsi g a ( z) dan g b ( z) Ternormalisasi.... 5 ( c 1 x) Gambar 6.Solusi Sebagai Fungsi sech dengan Nilai c 1 Bervariasi... 9
PENDAHULUAN Fenomena nonlinier di alam sangat beragam dan menarik untuk diamati. Salah satu fenomena yang menarik untuk diamati adalah fenomena soliton. Ada beragam alasan kenapa orang tertarik untuk meneliti lebih jauh fenomena ini, di bidang optik misalnya. Salah satunya adalah karena sifatnya yang mampu menjadi sebuah pandu gelombang. Sebuah soliton mampu merambat dalam medium nonlinier tanpa mengalami penyebaran berkas [1]. Medium nonlinier orde ketiga memiliki kemampuan self focusing, yaitu kemampuan untuk mempertahankan bentuk berkas ketika dilewatkan pada sebuah medium nonlinier. Sehingga akan dihasilkan sebuah berkas yang memiliki arah rambat lurus dan tidak mengalami perubahan bentuk selama proses perambatan tersebut. Secara matematik, soliton adalah sebuah solusi terloakalisasi dari persamaan nonlinier yang integrable, di mana semua solusi nilai awal dari persamaan terkait dapat diselesaikan secara analitik. Jika dikaji dari segi fisika, maka soliton cukup direpresentasikan sebagai sebuah solusi stabil dari objek nonlinier inherent yang terlokalisasi, dan tidak bisa diwakilkan oleh superposisi solusi linear apapun. Pemanfaatan fenomena soliton pada dunia optik nonlinier sudah mengalami banyak kemajuan, dan pada kenyataannya memiliki prospek yang cerah di masa yang akan datang. Salah satu kajian soliton optik yang dikembangkan adalah dinamika soliton spasial ketika dilewatkan pada sebuah Kisi Bragg. Pembahasan tentang soliton pada Kisi Bragg nonlinier, pertama kali dikaji ketika ditemukan adanya distribusi medan listrik monokramatik yang kuat di dalam struktur periodik nonlinier, dengan frekuensi berada di dalam Photonic Band Gap (PGB), dan berperilaku sebagai brightsoliton. Eksistansi dari gap soliton dapat dijelaskan sebagai konsekuensi dari modifikasi PGB oleh adanya efek nonlinier. Dinamika soliton ini dimodelkan oleh persamaan modus tergandeng, Coupled Mode Equations (CME). Untuk mencari solusi soliton spasial dalam persamaaan CME tersebut, diperkenalkan sebuah metode sederhana yang digunakan dalam penyelesaian pekerjaan ini. Metode tersebut telah diperkenalkan oleh Hirota sebelumnya, pada tahun 1973 [2]. Melalui metode Hirota, dapat dicari bentuk solusi untuk N-soliton, dengan N=1,2,3,.... Pada metode ini diperkenalkan sebuah ansatz dan operator bilinear ( D z dan D t ), sehingga bentuk yang ditinjau dapat dituliskan menjadi lebih sederhana dan mempermudah dalam memperoleh solusinya. Dari hal-hal yang telah disebutkan di atas, maka pada laporan akhir ini akan dipelajari interaksi 2-soliton yang terkopel (forward-backward), dengan Metode Hirota.