LAPORAN PRAKTIKUM ANALISIS RUNTUN WAKTU Kelas A Laporan VI ARIMA Analisis Runtun Waktu Model Box Jenkins No Nama Praktikan Nomor Mahasiswa Tanggal Pengumpulan 1 29 Desember 2010 Tanda Tangan Praktikan Laboran No Nama Penilai Tanggal Koreksi Nilai Tanda Tangan 1 Abdurakhman, S.Si, M.Si 2 Dianopa JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA YOGYAKARTA 2010
BAB I PENDAHULUAN A. ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) ARIMA disebut juga sebagai metode analisis runtun waktu Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung flat (mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang. Model Autoregresif Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent). Tujuan model ini adalah untuk menentukan hubungan statistik yang baik antar variabel yang diramal dengan nilai historis variabel tersebut sehingga peramalan dapat dilakukan dengan model tersebut. ARIMA hanya menggunakan suatu variabel (univariate) deret waktu. Misalnya: variabel IHSG. Program komputer yang dapat digunakan adalah EViews, Minitab, SPSS, dll. Model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran dan pengujian, dan pemeriksaan diagnostic check. Selanjutnya model ARIMA dapat digunakan untuk melakukan peramalan jika model yang diperoleh memadai. Stasioneritas dan Nonstasioneritas Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala yang stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut pada pokoknya tetap konstan setiap waktu. Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah
stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi. Jika varians tidak stasioner, maka dilakukan transformasi logaritma. Klasifikasi model ARIMA Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu: model utoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (autoregressive moving average) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama. 1) Autoregressive Model (AR) Bentuk umum model autoregressive dengan ordo p (AR(p)) atau model ARIMA (p,0,0) 2) Moving Average Model (MA) Bentuk umum model moving average ordo q(ma(q)) atau ARIMA (0,0,q) 3) Model campuran a. Proses ARMA Model umum untuk campuran proses AR(1) murni dan MA(1) murni, misal ARIMA (1,0,1) dinyatakan sebagai berikut: b. Proses ARIMA Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut: Musiman dan Model ARIMA Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Untuk data yang stasioner, faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasi koefisien autokorelasi pada dua atau tiga timelag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, seseorang harus melihat pada autokorelasi yang tinggi. Identifikasi Proses identifikasi dari model musiman tergantung pada alat-alat statistik berupa autokorelasi dan parsial autokorelasi, serta pengetahuan terhadap sistem (atau proses) yang dipelajari.
Penaksiran Parameter Ada dua cara yang mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter tersebut: a. Dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residual). b. Perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian membiarkan program komputer memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif. Pengujian Parameter Model 1. Pengujian masing-masing parameter model secara parsial (t-test) 2. Pengujian model secara keseluruhan (Overall F test) Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada. Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error, dengan menggunakan salah satu dari dua statistik berikut: 1) Uji Q Box dan Pierce: 2) Uji Ljung-Box KASUS 1. Sebutkan langkah-langkah Analisis data time series dengan metode Box Jenkins secara singkat, padat, dan jelas!! 2. Berdasarkan langkah langkah yang ada pada nomor1, lakukan forecasting 1 periode kedepan untuk data di bawah ini dengan runtut dan tepat berdasarkan model ARIMA yang terpilih!! Data berikut merupakan data IHSG per oktober-desember 2005 (daily) 383.735 425.653 378.362 432.567 384.328 429.847 387.822 445.477 390.435 443.601
385.961 443.806 391.785 448.69 391.76 442.232 387.854 441.163 385.165 432.772 381.369 435.552 378.88 434.318 378.598 437.841 370.589 440.94 368.297 441.307 369.797 441.219 367.073 439.69 381.588 441.978 381.241 437.197 371.488 437.869 377.232 435.319 338.675 436.406 392.479 441.897 395.044 441.181 401.018 435.674 409.087 430.693 410.394 442.526 414.427 432.936 422.346 430.81 422.45 453.15 413.833 436.46 407.25 443.194
BAB II DESKRIPSI KERJA A. Langkah dalam Analisis Time Series dengan Metode BOX Jenkins 1. Plot data awal, guna memastikan data tidak mengandung pola efek musiman MINITAB : Stat > Time Series > Time Series Plot > ok (y=data) 2. Cek Stationeritas stasioner dalam variansi ataukah tidak, jika tidak maka ditransformasi Jika tidak stationer dalam variansi maka ditransformasi dengan melihat nilai estimasi lamda. λ (lamda) transformasi -1 1/xt -0.5 1/sqrt(xt) 0 Ln(xt) 0.5 Sqrt(xt) 1 Tidak ditransformasi Transformasi Box Cox MINITAB : Stat > control Chat > Box Cox Transformation. (single column : data, subgroup:1,store single column :trans-ok); pada option pilih use optimal (lamda) Kemudian data yang telah ditransformasi diplot, apakah sudah stationer ataukah belum, jika belum maka dilakuakan differencing. Jika tidak stationer dalam mean maka dilakukan differencing. MINITAB : Stat > Time Series > differens > data yang telah ditransformasi (leg : diff 1 X) lalu diplot kembali untuk melihat grafik apakah telah stationer atau belum. 3. Jika sudah stationer maka tetapkan data yang dipakai untuk analisis. 4. Lakukan proses identifikasi orde AR dengan melihat plot PACF dan orde MA dengan melihat plot ACF. Lihat Plot ACF - MINITAB : Stat > time series > autocorrelation series = data dan checklist graphical ACF OK. Lihat plot PACF MINITAB : Stat > time series > partial autocorrelation series = data dan checklist graphical PACF OK.
5. Kemudian didapat model awalnya. 6. Langkah selanjutnya adalah overfitting 7. Lakukan Uji asumsi model dari output MINITAB : no autokorelasi residual (plot ACF dan PACF), homoskedastisitas residual, normalitas residual (histogram) 8. Forecasting Dari model terbaik yang terpilih yakni yang memuat nilai MSE yang terkecil. Lalu lakukan forecasting MINITAB : stat > time series > ARIMA > series datanya >lead (berapa periode yang ingin diforecast )> origin data (jumlah data asli) > storage forecast (kolom untuk data yang diforecast) (jangan lupa mengembalikannya seperti sebelum ditransformasi)
BAB III PEMBAHASAN A. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Berikut hasil entri data ke dalam MINITAB. Kemudian data di plot untuk mengetahui apakah data stasioner ataukah tidak. Dari visual grafik, ternyata data tidak stationer. Dan perlu dilakukan transformasi. Kemudian dengan transformasi boxcox (box cox plot for Xt) di bawah ini dapat diketahui nilai lamda = 4,606. Lebih besar dari satu sehingga tidak perlu dilakukan transformasi, namun karena data belum stationer maka perlu dilakukan differencing.
Diff Diff * 18.403-5.373 6.914 5.966-2.72 3.494 15.63 2.613-1.876-4.474 0.205 5.824 4.884-0.025-6.458-3.906-1.069-2.689-8.391-3.796 2.78-2.489-1.234-0.282 3.523-8.009 3.099-2.292 0.367 1.5-0.088-2.724-1.529 14.515 2.288-0.347-4.781-9.753 0.672 5.744-2.55-38.557 1.087 53.804 5.491 2.565-0.716 5.974-5.507 8.069-4.981 1.307 11.833 4.033-9.59 7.919-2.126 0.104 22.34-8.617-16.69-6.583 6.734 Dari plot di atas bahwa data sudah stasioner. Kemudian dilakukan identifikasi orde AR dan MA dengan melihat plot PACF dan ACF. Dari gambar di bawah ini: Diketahui bahwa plot ACF menurun secara eksponensial. Pada PACF terdapat 2 ordo atau 2 lag yang signifikan sehingga ordo AR(2). Pada plot PACF terlihat menurun secara eksponensial, dan pada plot ACF terdapat 5 lag yang signifikan. Ordo MA(5). Didapat model awalnya ARIMA(p,d,q) = ARIMA (2,1,5)
PLOT PACF PLOT ACF Overfitting 1. ARIMA (2,1,5) 2. ARIMA (2,1,4) 3. ARIMA (2,1,3) 4. ARIMA (2,1,2) 5. ARIMA (2,1,1) 6. ARIMA (2,1,0) 7. ARIMA (1,1,5) 8. ARIMA (1,1,4) 9. ARIMA (1,1,3)
10. ARIMA (1,1,2) 11. ARIMA (1,1,1) 12. ARIMA (1,1,0) 13. ARIMA (0,1,1) 14. ARIMA (0,1,2) 15. ARIMA (0,1,3) 16. ARIMA (0,1,4) 17. ARIMA (0,1,5) ARIMA (2,1,5) tidak signifikan AR 1 0.0629 0.2646 0.24 0.813 AR 2-0.6465 0.2403-2.69 0.009 MA 1 0.5019 0.2932 1.71 0.093 MA 2-0.8565 0.2827-3.03 0.004 MA 3 0.3267 0.2329 1.40 0.166 MA 4 0.0751 0.2069 0.36 0.718 MA 5-0.1173 0.1905-0.62 0.541 Constant 1.556 1.322 1.18 0.244 AR 1-0.0123 0.3740-0.03 0.974 AR 2-0.5177 0.3298-1.57 0.122 MA 1 0.3964 0.3815 1.04 0.303 MA 2-0.6871 0.3283-2.09 0.041 MA 3 0.2073 0.2253 0.92 0.362 MA 4 0.1343 0.2019 0.67 0.509 MA 5-0.1632 0.1967-0.83 0.410 ARIMA (2,1,4) tidak signifikan AR 1-0.3611 0.1800-2.01 0.050 AR 2-0.7108 0.1588-4.48 0.000 MA 1 0.0693 0.2235 0.31 0.758 MA 2-0.7524 0.2155-3.49 0.001 MA 3 0.2868 0.1779 1.61 0.113 MA 4 0.1296 0.1777 0.73 0.469 Constant 1.991 1.543 1.29 0.202 AR 1-0.3571 0.1825-1.96 0.055 AR 2-0.7143 0.1627-4.39 0.000 MA 1 0.0492 0.2279 0.22 0.830 MA 2-0.7823 0.2194-3.57 0.001 MA 3 0.2614 0.1799 1.45 0.152 MA 4 0.1013 0.1785 0.57 0.573 ARIMA (2,1,3) tidak signifikan
AR 1 0.0254 0.2072 0.12 0.903 AR 2-0.6910 0.1758-3.93 0.000 MA 1 0.4768 0.2239 2.13 0.038 MA 2-0.9212 0.1145-8.05 0.000 MA 3 0.4239 0.1432 2.96 0.004 Constant 1.608 1.253 1.28 0.205 AR 1-0.0210 0.2378-0.09 0.930 AR 2-0.6872 0.1909-3.60 0.001 MA 1 0.4005 0.2529 1.58 0.119 MA 2-0.8989 0.1231-7.30 0.000 MA 3 0.3731 0.1518 2.46 0.017 ARIMA (2,1,2) tidak signifikan AR 1 0.6013 0.1646 3.65 0.001 AR 2 0.2546 0.1934 1.32 0.193 MA 1 1.0627 0.1428 7.44 0.000 MA 2-0.1009 0.1151-0.88 0.384 Constant 0.1581 0.1296 1.22 0.228 AR 1 0.4973 6.0007 0.08 0.934 AR 2 0.1275 1.1209 0.11 0.910 MA 1 0.8882 5.9933 0.15 0.883 MA 2-0.1431 1.3317-0.11 0.915 ARIMA (2,1,1) tanpa konstan signifikan Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 64, after differencing 63 Residuals: SS = 6129.47 (backforecasts excluded) MS = 102.16 DF = 60 AR 1-1.1009 0.4370-2.52 0.014 AR 2-0.3883 0.1694-2.29 0.026 MA 1-0.6591 0.4570-1.44 0.155 Constant 2.390 2.085 1.15 0.256 Tanpa konstan AR 1 0.5392 0.2660 2.03 0.047 AR 2 0.3716 0.1658 2.24 0.029 MA 1 0.9349 0.2313 4.04 0.000 Uji Signifikansi parameter AR1 Ho : Parameter AR1 samadengan nol atau tidak signifikan H1 : Parameter AR1 tidak samadengan nol atau tidak signifikan Daerah kritis : Tolak Ho jika Pval<Alpha(0.05) Dari estimasi parameter di atas didapat nilai p val (0.047) < 0.05 (parameter AR1 signifikan)
Uji Signifikansi parameter AR2 Ho : Parameter AR2 samadengan nol atau tidak signifikan H1 : Parameter AR2 tidak samadengan nol atau tidak signifikan Daerah kritis : Tolak Ho jika Pval<Alpha(0.05) Dari estimasi parameter di atas didapat nilai p val (0.0429) < 0.05 (parameter AR2 signifikan) Uji Signifikansi parameter MA1 Ho : Parameter samadengan nol atau tidak signifikan H1 : Parameter tidak samadengan nol atau tidak signifikan Daerah kritis : Tolak Ho jika Pval<Alpha(0.05) Dari estimasi parameter di atas didapat nilai p val (0.000) < 0.05 (parameter MA1 signifikan) ARIMA (2,1,0) tidak signifikan AR 1-0.4502 0.1284-3.51 0.001 AR 2-0.1030 0.1313-0.78 0.436 Constant 1.491 1.256 1.19 0.240 AR 1-0.4291 0.1276-3.36 0.001 AR 2-0.0794 0.1301-0.61 0.544 ARIMA (1,1,5) tidak signifikan ARIMA (1,1,4) tidak signifikan ARIMA (1,1,3) tidak signifikan ARIMA (1,1,2) tidak signifikan
ARIMA (1,1,1) tidak signifikan ARIMA (1,1,0) tanpa konstan signifikan Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 64, after differencing 63 Residuals: SS = 6128.72 (backforecasts excluded) MS = 98.85 DF = 62 AR 1-0.4099 0.1171-3.50 0.001 Constant 1.334 1.251 1.07 0.291 AR 1-0.3990 0.1169-3.41 0.001 Uji Signifikansi parameter AR1 Ho : Parameter AR1 samadengan nol atau tidak signifikan H1 : Parameter AR1 tidak samadengan nol atau tidak signifikan Daerah kritis : Tolak Ho jika Pval<Alpha(0.05) Dari estimasi parameter di atas didapat nilai p val (0.001)< 0.05 (parameter AR1 signifikan) ARIMA (0,1,1) tanpa konstan signifikan Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 64, after differencing 63 Residuals: SS = 6183.21 (backforecasts excluded) MS = 99.73 DF = 62
MA 1 0.4107 0.1167 3.52 0.001 Constant 0.9578 0.7394 1.30 0.200 MA 1 0.3810 0.1175 3.24 0.002 Uji Signifikansi parameter MA1 Ho : Parameter samadengan nol atau tidak signifikan H1 : Parameter tidak samadengan nol atau tidak signifikan Daerah kritis : Tolak Ho jika Pval<Alpha(0.05) Dari estimasi parameter di atas didapat nilai p val (0.002) < 0.05 (parameter MA1 signifikan) ARIMA (0,1,1) tidak signifikan ARIMA (0,1,2) tidak signifikan ARIMA (0,1,3) tidak signifikan ARIMA (0,1,4) tidak signifikan ARIMA (0,1,5) tidak signifikan UJI ASUMSI Untuk menentukan apakah asumsi normalitas terpenuhi ataukah tidak atau apakah error berdistribusi normal ataukah tidak, dengan melihat plot normalitas dan histogram dari residualnya jika simetris maka mendekati normal. Untuk melihat apakah terdapat autokorelasi ataukah tidak dengan melihat plot ACF dan PACF
residual data, jika tidak terdapat lag yang melebihi batas signifikansi artinya bahwa tidak terdapat autokorelasi pada residual. ARIMA (2,1,1) tanpa konstan MS = 102.16 ARIMA (1,1,0) tanpa konstan MS = 98.85 ARIMA (0,1,1) tanpa konstan MS = 99.73 Normalitas Mendekati normal Mendekati normal Mendekati normal Autokorelasi Terpenuhi Terpenuhi terpenuhi Model yang terpilih adalah model ARIMA (1,1,0) tanpa konstan karena memiliki MSE yang terkecil diantara model yang lain. FORECASTING Lead (barapa periode data yang ingin di forecast), Origin (jumlah data awal) dan forecast (kolom penempatan forecast) Forecast 1 periode mendatang 440.507
BAB IV PENUTUP Kesimpulan langkah-langkah Analisis data time series dengan metode Box Jenkins dapat dilihat di BAB II Deskripsi Kerja. Langkah yang cukup rumit sehingga membutuhkan ketelitian yang tinggi. Model ARIMA yang terpilih adalah ARIMA (1,1,0) forecast 1 periode mendatang adalah 440.507. tanpa konstan dengan hasil
DAFTAR PUSTAKA Abdurakhman,S.Si,M,Si.Modul Praktikum Analisis Runtun Waktu.UII http://adeita46.blogspot.com/2010/09/belajar-analisis-arima-arima-sering.html