BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real

BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 3.1 Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi Berili Rel Pd seelumy telh dihs megei eerp kosep dsr, dim kosep-kosep ii merupk slh stu teori pedukug yg tiy k erper segi slh stu lt tu utuk memuktik eerp teorem ik yg d pd pemhs ii mupu pd seljuty. Adpu pd ii secr gris esr k dihs megei defiisi dri itegrl Riem Stieltjes esert sift-sift umumy. Seperti pd pemhs itegrl Riem, utuk meujukk keerd itegrl Riem-Stieltjes dri sutu fugsi yg erkit deg jumlh ts d jumlh wh sert itegrl ts d itegrl wh dri fugsi terseut, diperluk kodisi perlu d cukup segi erikut. Defiisi 3.1.1 Mislk f dlh sutu fugsi yg terts d terdefiisi pd itervl tutup I [, ], α dlh sutu fugsi mooto ik yg tedefiisi pd itervl tutup I, d P merupk prtisi dri I. Jik M i = sup f x x x i 1, x i d m i = if f x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

mk jumlh Riem-Stieltjes ts dri f terhdp α pd I diotsik deg U P; f, α d didefiisik segi U P; f, α = M i α i d jumlh Riem-Stieltjes wh dri f terhdp α pd I diotsik deg L P; f, α d didefiisik segi L P; f, α = m i α i dim α i = α x i α x i 1. Dlm hl ii perlu diigt hw erdsrk defiisi di ts jels hw m i M i d α dlh fugsi mooto ik pd I, sehigg α i 0. Oleh kre itu, seperti pd itegrl Riem yg telh di hs pd II, pd itegrl Riem-Stieltjes jug erlku L P; f, α U P; f, α Peryt ii secr leih forml k diuktik dlm teorem setelh defiisi erikut. Defiisi 3.1.2 Mislk P d P merupk semrg prtisi dri itervl I [, ]. Prtisi P diseut peghlus ( refiemet ) dri P jik P P. Seljuty jik dierik du serg prtisi liy dri itervl I [, ] ktklh P 1 d P 2, mk P diseut peghlus ersm dri P 1 d P 2 jik P = P 1 P 2. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Peryt hw prtisi P diseut peghlus dri prtisi P megdug rti hw prtisi P leih hlus tu deg kt li leih ik dri prtisi P. Dlm hl ii mksudy dlh hw setip titik prtisi dri P jug merupk sutu titik dri prtisi P. Teorem 3.1.3 Mislk f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ] d α dlh fugsi mooto ik pd I. ) Jik P prtisi dri I, mk m α α L P; f, α U P; f, α M α α ) Jik prtisi P dlh peghlus dri prtisi P, mk Bukti : L P; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P; f, α ) Dikethui f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ], ii errti f terts di ts d terts di wh pd I. Mislk M = sup f x x, d m = if f x x,. Jik I i, i = 1,2,, dlh serg suprtisi dri prtisi P pd I, mislk M i = sup f x x x i 1, x i d m i = if f x x x i 1, x i, mk I i I, i = 1,2,,. Sehigg diperoleh m m i M i M Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Perhtik α i = α x 1 α x 0 + α x 2 α x 1 + + α x α x 1 = α x α x 0 = α α kre α dlh fugsi mooto ik pd I, mk α x i α x i 1 0, i = 1,2,,. kity m α α = m α x i α x i 1 m i α x i α x i 1 = L P; f, α M i α x i α x i 1 = U P; f, α M α α deg demiki m α α L P; f, α U P; f, α M α α ) Mislk prtisi P dlh peghlus dri prtisi P di, dim P hy memut stu titik leih yk dri prtisi P, ktklh titik itu Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

dlh x, dim x i 1 < x < x i sert x i 1 d x i merupk titik dri prtisi P yg slig erdekt. seljuty mislk m i = if f x x x i 1, x i dim m i = if f x x x i 1, x m i = if f x x x, x i deg demiki jels hw m i m i d m i m i perhtik L P; f, α = m i α x i α x i 1 j 1 = m i α x i α x i 1 + m j α x j α x j 1 + m i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 = m i α x i α x i 1 + m j α x α x j 1 +m j α x j α x + m i i=j +1 α x i α x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

j 1 m i α x i α x i 1 + m j α x α x j 1 +m j α x j α x + m i i=j +1 α x i α x i 1 = L P ; f, α deg megguk rgumetsi iduksi mtemtik terhdp yky titik tmh pd prtisi peghlus P, mk dpt disimpulk hw L P; f, α L P ; f, α 1 seljuty mislk M i = sup f x x x i 1, x i dim M i = sup f x x x i 1, x M i = sup f x x x, x i deg demiki jels hw M i M i d M i M i perhtik U P; f, α = M i α x i α x i 1 j 1 = M i α x i α x i 1 + M j α x j α x j 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

+ M i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 = M i α x i α x i 1 + M j α x α x j 1 +M j α x j α x + M i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 M i α x i α x i 1 + M j α x α x j 1 +M j α x j α x + M i i=j +1 α x i α x i 1 = U P ; f, α deg rgumetsi iduksi mtemtik terhdp yky titik tmh pd prtisi peghlus P, mk dpt disimpulk hw U P; f, α U P ; f, α 2 erdsrk ), 1, d 2, mk dpt disimpulk hw L P; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P; f, α Defiisi 3.1.4 Mislk f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ], P dlh serg prtisi dri I, d α dlh fugsi mooto ik yg terdefiisi pd I. Mk itegrl Riem-Stieltjes ts d wh secr ersm didefiisik segi erikut Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f dα = if U P; f, α d f dα = sup L P; f, α Jik f dα = f dα, mk f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α pd I d ili itegrly diotsik deg A = f dα tu A = f x dα(x) Hl ii secr tidk lgsug meytk hw jik f teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α pd I, mk erlku f dα = f dα = f dα Seli itu persm di ts jug meytk hw ili dri itegrly ersift tuggl. Dlm hl ii, fugsi f diseut itegr d fugsi α diseut itegrtor. Deg demiki jik didigk deg itegrl Riem yg telh dihs pd II, mk itegrl Riem-Stieltjes merupk perumum dri etuk itegrl Riem. Atu deg kt li itegrl Riem dlh ksus khusus dri itegrl Riem-Stieltjes, yki dim st fugsi f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp fugsi α pd I, ii tid li megtk hw fugsi f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp x pd I. Sehigg ketik didefiisik α x = x, mk kity α x i = x i d α x i 1 = x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

α i x = α x i α x i 1 = x i x i 1 = x i Oleh kre itu, dlm ksus ii itegrl Riem-Stieltjes d itegrl Riem dlh ekivle. Berjk dri pemhs megei keterkit tr itegrl Riem- Stieltjes d itegrl Riem, perlu ditegsk hw jik diliht kemli isi dri teorem 3.1.3 ) d defiisi 3.1.4 di ts, ii mejmi hw jumlh Riem-Stieltjes ts d jumlh Riem-Stieltjes wh secr ersm-sm terts di ts d terts di wh, seli itu jug mejmi hw supremum d ifimum dri jumlh Riem-Stieltjes d, uik, d memeuhi pertidksm m α α f dα M α α d m α α f dα M α α Kemudi segi ls kerigks gr tidk sellu diseutk dlm setip pemhs, mk f k disumsik segi fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I d α dlh fugsi mooto ik pd I. Seli itu, himpu semu fugsi yg teritegrlk Riem-Stieltjes ktklh terhdp fugsi α pd I k diotsik deg R α,. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

3.2 Sift-Sift Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi yg Berili Rel Di wh ii dlh eerp sift dri itegrl Riem-Stieltjes yg k ditugk ke dlm teorem segi erikut. Teorem 3.2.1 Jik f fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I, d α dlh fugsi mooto ik pd I, mk f dα f dα Bukti : Mislk prtisi P dlh peghlus dri prtisi P 1 d P 2. Berdsrk teorem 3.1.3 ) diperoleh L P 1 ; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P 1 ; f, α d L P 2 ; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P 2 ; f, α kity L P 1 ; f, α U P 2 ; f, α (1) seljuty pilih titik-titik supremum dri f pd prtisi P 1 sedemiki sehigg L P 1 ; f, α = sup L P 1 ; f, α d pilih titik-titik ifimum dri f pd prtisi P 2 sedemiki sehigg U P 2 ; f, α = if U P 2 ; f, α kre sup L P 1 ; f, α = f dα (2) Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

d if U P 2 ; f, α = f dα (3) mk erdsrk (1), (2), d (3) diperoleh f dα f dα Seljuty erikut dlh teorem yg k serig diguk utuk memuktik pkh sutu fugsi yg erili rel teritegrlk Riem- Stieltjes tu tidk. Deg kt li, teorem ii is diseut segi lt ltertif li seli defiisi utuk medeteksi kodisi sutu fugsi pkh teritegrlk Riem-Stieltjes tu tidk. Teorem 3.2.2 ( Kriteri Pegitegrl ) Misl f fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I, d α dlh fugsi mooto ik pd I, mk f R α, jik d hy jik utuk setip ε > 0, d prtisi P dri I sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε Bukti : Mislk f R α, d dierik serg ε > 0. Jik dlh himpu semu prtisi dri I, mk f dα = if p U P ; f, α f dα = sup p L P ; f, α deg demiki d P 1 sedemiki sehigg Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f dα < U P 1 ; f, α < f dα + ε 2 d d P 2 sedemiki sehigg sehigg diperoleh f dα ε 2 < L P 2 ; f, α < f dα U P 1 ; f, α f dα < ε 2 f dα L P 2 ; f, α < ε 2 1 2 seljuty mislk P dlh prtisi peghlus dri P 1 d P 2. Jik diguk teorem 3.1.3 ) terhdp ketidksm 1 d 2, mk diperoleh sehigg U P ; f, α U P 1 ; f, α < f dα + ε 2 U P ; f, α f dα < ε 2 3 d diperoleh f dα < L P 2 ; f, α + ε 2 L P ; f, α + ε 2 sehigg f dα L P ; f, α < ε 2 4 deg demiki Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

U P ; f, α L P ; f, α = U P ; f, α f dα + f dα L P ; f, α < ε 2 + ε 2 = ε jdi terukti hw U P ; f, α L P ; f, α < ε Mislk f terts pd I d α dlh fugsi mooto ik pd I. Amil serg ε > 0, mk d prtisi P dri I sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε 1 erdsrk teorem 3.1.3 d 3.2.1, mk diperoleh kre (1) kity L P; f, α f dα f dα U P; f, α 0 f dα f dα < ε, ε > 0 ii errti f dα f dα = 0 sehigg f dα = f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

deg demiki dpt disimpulk hw f R α,. Seli dri teorem kriteri pegitegrl di ts, erikut jug terdpt eerp teorem yg k mejmi hw fugsi erili rel yg memiliki sift tertetu yki sift yg tiy k dihs pd teorem-teorem seljuty, k teritegrlk Riem-Stieltjes. Hl ii dpt dideteksi secr lgsug tp perlu megethui erp ili dri itegrl terseut tupu gim cr meghitugy. Teorem 3.2.3 Jik f kotiu pd, d α mooto ik pd,, mk f R α,. Bukti : Kre f kotiu pd selg tutup,, mk erdsrk teorem 2.4.4 f kotiu sergm pd,. Ii errti ε > 0, δ ε > 0, sedemiki sehigg jik x, y I deg x y < δ, mk f(x) f(y) < ε α α seljuty mislk P serg prtisi dri, deg x i x i 1 < δ, M i = f s i, d m i = f t i utuk s i, t i x i 1, x i. Perhtik U P; f, α L P; f, α = M i α x i α x i 1 m i α x i α x i 1 = M i m i α x i α x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= f s i f t i α x i α x i 1 < ε α α α x i α x i 1 = ε α α α x i α x i 1 = ε α α α α = ε hl ii meujukk hw U P; f, α L P; f, α < ε sehigg erdsrk teorem kriteri pegitegrl 3.2.2, mk f R α,. Teorem 3.2.4 Jik f mooto pd, d α kotiu d mooto ik pd,, mk f R α,. Bukti : Dikethui f mooto pd, d α kotiu d mooto ik pd,. Amil serg ε > 0 d mislk utuk serg ilg ult positif erlku α α f f < ε kre α kotiu d mooto ik pd,, pilih prtisi P dri, sedemiki sehigg α i = α x i α x i 1 = α α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

i) Ksus jik f mooto ik kre f mooto ik pd,, mk i N erlku f x i = M i = sup f x f x i 1 = m i = if f x x x i 1, x i x x i 1, x i sehigg U P; f, α L P; f, α = M i α i m i α i = (M i m i ) α i = f x i f x i 1 α x i α x i 1 = f x i f x i 1 α α = α α f x i f x i 1 = α α f f < α α ε α α = ε ii errti U P; f, α L P; f, α < ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

i) Ksus jik f mooto turu kre f mooto turu pd,, mk i N erlku f x i 1 = M i = sup f x f x i = m i = if f x x x i 1, x i x x i 1, x i sehigg U P; f, α L P; f, α = M i α i m i α i = (M i m i ) α i = f x i 1 f x i α x i α x i 1 = f x i 1 f x i α α = α α f x i 1 f x i = α α f f < α α ε α α = ε ii errti U P; f, α L P; f, α < ε erdsrk i) d ii) mk diperoleh hw U P; f, α L P; f, α < ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Deg demiki erdsrk kriteri pegitegrl dpt disimpulk hw f R α, Teorem 3.2.5 Jik dikethui f R α,, m f M, g kotiu pd,, d = g f x pd, mk R α,. Bukti : Mislk = g f, k ditujukk hw R α, Amil serg ε > 0 kre g kotiu pd m, M, erdsrk teorem 2.4.4 mk g kotiu sergm pd m, M. Oleh kre itu, d δ > 0 dim δ < ε sedemiki sehigg utuk setip s, t m, M d s t < δ, mk g(s) g(t) < ε 1 seljuty kre f R α pd,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < δ 2 2 mislk M i = sup f x, ( x i 1 x x i ) m i = if f x, ( x i 1 x x i ) M i = sup x, ( x i 1 x x i ) m i = if x, ( x i 1 x x i ) Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

seljuty defiisik A = i i 1,2,, B = i i 1,2,, M i m i < δ M i m i δ erdsrk sift urut ilg rel 2.1.1 c) ( tur trikhotomi ), jels hw A B = seljuty perhtik jik i A, mk utuk serg u, v x i 1, x i mk f(u) f(v) < δ, kity erdsrk (1) diperoleh g(f(u)) g(f(v)) < ε deg kt li (u) (v) < ε deg demiki M i m i < ε jik i B, mk (2) megkitk δ i B α i M i m i i B α i = M i m i α i i B = M i α i m i α i i B i B U P ; f, α L P ; f, α < δ 2 deg demiki δ α i < δ 2 i B Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

kre δ < ε, mk dpt disimpulk hw i B α i < ε kity jik K = sup g t m t M mk diperoleh M i m i 2K, i 1,2,, sehigg i B M i m i α i = M i m i i B α i < 2Kε seljuty pilih ε 0 = kemudi perhtik ε α α +2K U P ;, α L P ;, α = M i α i + m i α i = M i m i α i = M i m i α i + M i m i α i i A i B = M i m i α i + M i m i α i i A i B < ε 0 α α + 2Kε 0 = ε 0 α α + 2K = ε deg demiki U P ;, α L P ;, α < ε, ii errti erdsrk kriteri pegitegrl dpt disimpulk hw R α,. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Sift liy yg dimiliki oleh itegrl Riem Stieltjes dlh sift ljr segi erikut. Teorem 3.2.6 Jik f, g R α,, mk f + g R α, d f + g dα = f dα + g dα Sift ii diseut deg sift lier. Bukti : Amil serg prtisi P dri, kre f d g dlh fugsi yg terts pd I, mk f d g terts di ts d di wh pd I. Seljuty mislk M f = sup f x x, M g = sup f x x, M i f = sup f x x x i 1, x i M i g = sup g x x x i 1, x i kre M i M, mk erlku sehigg jik f x + g x M i f + M i g, x x i 1, x i M i f + g = sup f x + g x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

mk erdsrk teorem 2.2.7 ) M i f + g = sup f x + g x x x i 1, x i sup f x x x i 1, x i + sup g x x x i 1, x i = M i f + M i g deg demiki P prtisi dri, erlku U P ; f + g, α U P ; f, α + U P ; g, α 1 seljuty mislk m f = if f x x, m g = if g x x, m i f = if f x x x i 1, x i m i g = if g x x x i 1, x i kre m m i, mk diperoleh sehigg jik m i f + m i g f x + g x, x x i 1, x i m i f + g = if f x + g x x x i 1, x i mk erdsrk teorem 2.2.7 ) diperoleh m i f + g = if f x + g x x x i 1, x i if f x x x i 1, x i + if g x x x i 1, x i = m i f + m i g deg demiki P prtisi dri, erlku L P ; f, α + L P ; g, α L P ; f + g, α 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

kemudi mil serg ε > 0, kre f, g R α, mk d prtisi P f d P g dri, sedemiki sehigg U P f ; f, α L P f ; f, α < ε 2 U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 seljuty mislk P = P f P g, ii errti P dlh prtisi peghlus dri P f d P g. Deg demiki erdsrk teorem 3.1.3 U P ; f, α U P f ; f, α U P ; f, α U P g ; g, α d L P f ; f, α L P ; f, α sehigg diperoleh L P g ; g, α L P ; f, α U P ; f, α L P ; f, α U P f ; f, α L P f ; f, α < ε 2 3 U P ; g, α L P ; g, α U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 4 perhtik erdsrk 1, 2, 3, d 4, mk U P ; f + g, α L P ; f + g, α = U P f ; f + g, α + U P g ; f + g, α L P f ; f + g, α + L P g ; f + g, α U P f ; f, α + U P g ; g, α L P f ; f, α + L P g ; g, α = U P f ; f, α L P f ; f, α + U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 + ε 2 = ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

deg demiki f + g R α,. Seljuty perhtik kre f, g R α,, mk erdsrk defiisi 3.1.4 errti f dα = f dα = f dα d g dα = g dα = g dα kre 3 d 4, mk U P ; f, α < L P ; f, α + ε 2 < sup L P ; f, α + ε 2 = f dα + ε 2 = f dα + ε 2 sehigg U P ; f, α < f dα + ε 2 5 egitu pul U P ; g, α < L P ; g, α + ε 2 < sup L P ; g, α + ε 2 = g dα + ε 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= g dα + ε 2 sehigg U P ; g, α < g dα + ε 2 6 perhtik f + g dα = if U P ; f + g, α < U P ; f + g, α U P ; f, α + U P ; g, α < f dα + ε 2 + = f dα + g dα + ε 2 g dα + ε deg demiki f + g dα f dα + g dα + ε kre ε > 0 serg, mk erdsrk teorem 2.1.4 diperoleh f + g dα f dα + g dα 7 seljuty jik 3 d 4 diklik 1, mk diperoleh L P ; f, α > U P ; f, α ε 2 > if U P ; f, α ε 2 = f dα ε 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= f dα ε 2 sehigg L P ; f, α > f dα ε 2 8 egitu pul L P ; g, α > U P ; g, α ε 2 > if U P ; g, α ε 2 = g dα ε 2 = g dα ε 2 sehigg L P ; g, α > g dα ε 2 9 perhtik f + g dα = sup L P ; f + g, α > L P ; f + g, α L P ; f, α + L P ; g, α > f dα ε 2 + = f dα + g dα ε 2 g dα ε deg demiki Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f + g dα > f dα + g dα ε kre ε > 0 serg, mk erdsrk teorem 2.1.3 diperoleh f + g dα f dα + g dα 10 kre 9 d 10, mk diperoleh f dα + g dα f + g dα f dα + g dα deg demiki dpt disimpulk hw f + g dα = f dα + g dα Teorem 3.2.7 Jik f R α,, mk cf R α, utuk serg kost c, d cf dα = c f dα Bukti : Amil serg ε > 0 d deg tidk megurgi keumum dimil c > 0. Kre f R α,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε c seljuty mislk M i = sup f x x x i 1, x 1 m i = if f x x x i 1, x 1 M i = sup cf x x x i 1, x 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

m i = if cf x x x i 1, x 1 mk erdsrk teorem 2.2.4 diperoleh M i = sup cf x x x i 1, x 1 = c sup f x x x i 1, x 1 = cm i perhtik m i = if cf x x x i 1, x 1 = c if f x x x i 1, x 1 = cm i U P ; cf, α L P ; cf, α = M i α i m i α i = cm i α i cm i α i = c M i α i c m i α i = c U P ; f, α c L P ; f, α = c U P ; f, α L P ; f, α < c ε c = ε deg demiki U P ; cf, α L P ; cf, α < ε jdi cf R α,. Seljuty kre cf R α, errti sup L P ; cf, α = cf dα = cf dα = cf dα = if U P ; cf, α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

perhtik kre L P ; cf, α = c L P ; f, α kity deg demiki diperoleh egitu pul kre kity cf dα = sup L P ; cf, α = sup c L P ; f, α = c sup L P ; f, α = c f dα cf dα = c f dα 1 U P ; cf, α = c U P ; f, α deg demiki diperoleh cf dα = if U P ; cf, α = if c U P ; f, α = c if U P ; f, α = c f dα cf erdsrk 1 d 2, mk diperoleh dα = c f d 2 cf dα = c f dα = cf dα = c f d ii errti cf dα = c f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Teorem 3.2.8 Jik f R α1, d f R α2,, mk f R α 1 +α 2, d f d α 1 + α 2 = f dα 1 + f dα 2 Sift ii diseut deg sift semi lier. Bukti : Amil serg ε > 0, kre f R α1, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P 1 dri, sedemiki sehigg U P 1 ; f, α 1 L P 1 ; f, α 1 < ε 2 egitu pul kre f R α2,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P 2 dri, sedemiki sehigg U P 2 ; f, α 2 L P 2 ; f, α 2 < ε 2 seljuty mislk P = P 1 P 2 d P prtisi dri,, mk P dlh prtisi peghlus dri P 1 d P 2. Deg demiki erlku U P ; f, α 1 L P ; f, α 1 < ε 2 d U P ; f, α 2 L P ; f, α 2 < ε 2 seljuty mislk mk perhtik α i = α 1 + α 2 i = α 1 i + α 2 i, i N Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

U P ; f, α L P ; f, α = U P ; f, α 1 + α 2 L P ; f, α 1 + α 2 = U P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 L P ; f, α 1 + L P ; f, α 2 = U P ; f, α 1 L P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 L P ; f, α 2 < ε 2 + ε 2 = ε deg demiki U P ; f, α 1 + α 2 L P ; f, α 1 + α 2 < ε ii errti f R α 1 +α 2, seljuty perhtik kre L P ; f, α 1 + α 2 = L P ; f, α 1 + L P ; f, α 2 f dα 1 + f dα 2 U P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 kity = U P ; f, α 1 + α 2 f d α 1 + α 2 f dα 1 + f dα 2 f d α 1 + α 2 d kre f R α 1 +α 2,, mk f d α 1 + α 2 = f d α 1 + α 2 = f d α 1 + α 2 sehigg Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f d α 1 + α 2 f dα 1 + f dα 2 f d α 1 + α 2 deg demiki dpt disimpulk hw f dα 1 + f dα 2 = f d α 1 + α 2 Teorem 3.2.9 Jik f R α, d c dlh kost positif, mk f R cα, d f d cα = c f dα Bukti : Amil serg ε > 0, kre f R α, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P; f, α L P; f, α < ε c dim c dlh kost positif. Kemudi mislk cα i = cα i cα i 1 = c α i α i 1 = c α i, i N perhtik U P; f, cα L P; f, cα = M i cα i m i cα i = M i c α i m i c α i = c M i α i c m i α i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= c U P ; f, α c L P ; f, α = c U P ; f, α L P ; f, α < c ε c = ε deg demiki ii errti f R cα,. U P; f, cα L P; f, cα < ε Seljuty kre f R cα, errti sup L P ; f, cα = f d cα = f d cα = f d cα = if U P ; f, cα perhtik kre L P ; f, cα = c L P ; f, α kity erdsrk teorem 2.2.4 ) mk diperoleh deg demiki diperoleh egitu pul kre kity f d cα = sup L P ; f, cα = sup c L P ; f, α = c sup L P ; f, α = c f dα f d cα = c f dα 1 U P ; f, cα = c U P ; f, α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

deg demiki diperoleh f d cα = if U P ; f, cα = if c U P ; f, α = c if U P ; f, α = c f dα f erdsrk 1 d 2, mk diperoleh d cα = c f dα 2 f d cα = c f dα = f d cα = c f dα ii errti f d cα = c f dα Teorem 3.2.10 Jik f R α, d < c <, mk f R α, c d f R α c,. Dlm hl ii Bukti : f dα = f dα + f dα c Amil serg ε > 0. Kre f R α,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg seljuty mislk d U P ; f, α L P ; f, α < ε P 1 = P, c c Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

P 2 = P c, dim P 1 dlh prtisi dri, c d P 2 dlh prtisi dri c, sehigg diperoleh U P 1 ; f, α L P 1 ; f, α U P ; f, α L P ; f, α < ε d U P 2 ; f, α L P 2 ; f, α U P ; f, α L P ; f, α < ε deg demiki f R α, c d f R α c, 1 kemudi utuk serg P prtisi dri,, jik P = P 1 P 2 mk erdsrk teorem 2.2.7 ) mk diperoleh deg demiki deg kt li U P ; f, α if U P ; f, α = if U P 1 ; f, α + U P 2 ; f, α if U P 1 ; f, α + if U P 2 ; f, α = f dα + f dα if U P ; f, α f dα + f dα f dα c c f dα + f dα c c c c kre f R α, kity Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f dα c c f dα + f dα 2 egitu pul erdsrk teorem 2.2.6 ) mk diperoleh deg demiki deg kt li L P ; f, α sup L P ; f, α = sup U P 1 ; f, α + U P 2 ; f, α sup U P 1 ; f, α + sup U P 2 ; f, α c = f dα + f dα sup L P ; f, α f dα + f dα f dα c f dα + f dα c c c c kre f R α, kity f dα c c f dα + f dα 3 erdsrk 1, 2,d 3, mk diperoleh f dα c c = f dα + f dα Teorem 3.2.11 Jik f g pd, d f, g R α,, mk f dα g dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Bukti : Amil serg P prtisi dri, kemudi mislk M i f = sup f x x x i 1, x i M i g = sup g x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i m i g = if g x x x i 1, x i kre f g pd,, kity M i f M i g m i f m i g sehigg U P ; f, α U P ; g, α L P ; f, α L P ; g, α deg demiki if U P ; f, α if U P ; g, α sup L P ; f, α sup L P ; g, α deg kt li f dα g dα d f dα g dα kre f, g R α,, mk Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f dα = f dα g dα = g dα Ii errti f dα g d Teorem 3.2.12 Jik f R α, d f x M pd,, mk f dα M α α() Bukti Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i kre f x M pd,, mk M i f M, i N seljuty, kre f R α,, mk utuk serg P prtisi dri, erlku f dα = f dα = if U P ; f, α U P ; f, α = M i α i M α i = M α i = M α α deg demiki f dα M α α 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

seljuty sutitusik f oleh f sehigg erdsrk 3.2.7 diperoleh deg demiki dri 1 diperoleh f dα = f dα f dα M α α 2 sehigg erdsrk 1 d 2 dpt disimpuk hw f dα M α α Teorem 3.2.13 Jik f R α,, mk f R α, d f dα f dα Bukti : Kre f R α, errti utuk serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P; f, α L P; f, α < ε seljuty mislk M i f = sup f x x x i 1, x i M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i jik utuk semrg s, t x i 1, x i erlku s t s t, mk M i f m i f = sup s t s, t x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

sup s t s, t x i 1, x i = M i f m i f sehigg M i f m i f M i f m i f ii errti U P; f, α L P; f, α U P; f, α L P; f, α < ε deg demiki f R α, seljuty utuk serg x, erlku f x f x d f x f x mk erdsrk teorem 3.2.11 diperoleh f dα f dα d f dα f dα ii errti f dα f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Teorem 3.2.14 Jik f R α,, mk f 2 R α, Bukti : Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i sehigg M i f 2 = sup f 2 x x x i 1, x i = M i f m i f 2 = if f 2 x x x i 1, x i = m i f 2 2 dim M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i kre f terts pd,, mk d M > 0 sedemiki sehigg sehigg diperoleh f x M, x, M i M d m i M, dim i N kre f R α, errti utuk serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg seljuty perhtik U P; f, α L P; f, α < ε 2M Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

M i f 2 m i f 2 = M i f 2 mi f 2 = M i f + m i f M i f m i f 2M M i f m i f deg demiki U P; f 2, α L P; f 2, α = M i f 2 m i f 2 α i 2M M i f m i f α i = 2M M i f m i f α i = 2M M i f m i f α i = 2M U P; f, α L P; f, α < 2M ε 2M = ε ii errti f 2 R α, Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Seljuty erikut k dierik eerp cotoh dri fugsi erili rel ik yg teritegrlk Riem-Stieltjes tupu yg tidk teritegrlk Riem-Stieltjes. Cotoh 3.2.15: ( Fugsi yg Teritegrlk Riem-Stieltjes ) Dikethui < c d mislk I c x = I x c yg didefiisik segi erikut I c x = 0, x < c 1, x c Jik f dlh fugsi erili rel yg terts pd, d kotiu di c, dim < c, k ditujukk f teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp I c d f di c = f di x c = f c Bukti : Mislk α x = I c x, sehigg jels erdsrk pedefiisi fugsi di ts x, mk α x mooto ik pd,. seljuty mislk P = x 0, x 1,, x serg prtisi pd,. kre < c, mk d ideks k, dim 1 k sedemiki sehigg x k 1 < c x k mk α k = α x k α x k 1 = 1 0 = 1 d α i = 0, i k deg demiki U P, f, α = M k α k = M k 1 = M k = sup f t x k 1 t x k Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

d L P, f, α = m k α k = m k 1 = m k = if f t x k 1 t x k seljuty, kre f kotiu di c errti ε > 0, δ > 0 sedemiki sehigg jik t,, t c < δ mk f t f c < ε. deg kt li f c ε < f t < f c + ε sehigg jik P serg prtisi dri, deg x j x j 1 < δ, j, mk diperoleh f c ε m k M k f c + ε deg demiki f c ε L P, f, α U P, f, α f c + ε deg kt li f c ε f dα f dα f c + ε kre ε > 0 serg, kity f dα = f dα deg demiki f R α, deg f dα = f c Cotoh 3.2.16 : ( Fugsi yg Tidk Teritegrlk Riem-Stieltjes) Mislk f x = 1, x Q d α dlh fugsi mooto ik pd, 0, x Q k ditujukk hw f tidk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Bukti : f x = 1, x Q 0, x Q Mislk α fugsi yg mooto ik pd, deg < d α α mil P = x 0, x 1,, x serg prtisi pd,. jik M i = sup f x x x i 1, x i m i = if f x x x i 1, x i mk M i = 1 d m i = 0 i = 1,2,, deg demiki L P, f, α = 0 d U P, f, α = M i α i = 1 α i = α α kity f dα f dα deg demiki f tidk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

3.3 Keterkit Itegrl Riem-Stieltjes d Itegrl Riem Meskipu pd wl pemhs telh disiggug megei huug tr Itegrl Riem-Stieltjes d Itegrl Riem, mu msih d huug ditr keduy yg elum terhs, yki fkt hw itegrlk Riem-Stieltjes dpt dikoversi ke dlm etuk itegrl Riem. Oleh kre itu, erikut k dierik sutu teorem yg meytk persyrt yg hrus dipeuhi gr pegkoversi ii dpt terjdi. Teorem 3.3.1 Mislk dierik serg ε > 0 d prtisi P dri,. Jik erlku U P; f, α L P; f, α < ε d s i, t i dlh serg titik di I i = x i 1, x 1, dim I i merupk suitervl dri,, mk f s i f t i α i < ε Bukti : Amil serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg erlku U P; f, α L P; f, α < ε Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

mil serg du titik s i, t i x i 1, x 1, kity f s i, f t i m i, M i deg demiki diperoleh perhtik f s i f t i M i m i f s i f t i M i m i f s i f t i M i m i f s i f t i α i M i m i α i = M i α i m i α i = M i α i m i α i = U P; f, α L P; f, α < ε deg demiki diperoleh f s i f t i α i < ε Teorem 3.3.2 Jik α merupk fugsi mooto ik pd, d α R,, sert jik f dlh fugsi erili rel yg terts pd,, mk f R α, jik d hy jik fα R,, dlm ksus ii f dα = f x α x dx Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Bukti : Amil serg ε > 0, kre jik f = 0 megkitk hsil yg trivil, mk mislk M = sup f x x, kre α R, mk erdsrk kriteri pegitegrl d fkt hw itegrl Riem-Stieltjes ekivle deg itegrl Riem ketik α i = x i mk d ptisi P dri, sedemiki sehigg erlku U P; α, x L P; α, x < ε 1 kre α kotiu pd, d terdiferesil pd, jik diguk teorem 2.4.7 ( Teorem Nili Rt-Rt) pd setip suitervl x i 1, x i, mk d t i x i 1, x i sedemiki sehigg erlku α x i α x i 1 = α x i x i 1 deg kt li α i = α x i, i N seljuty jik dimil serg s i x i 1, x i, mk erdsrk 1 d teorem 3.3.1 diperoleh seljuty jik mk erdsrk 2 d 3 diperoleh α s i α t i x i < ε 2 f s i α i = f s i α t i x i 3 f s i α i f s i α s i x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= f s i = f s i α t i x i f s i α t i α s i x i α s i x i f s i α t i α s i x i = f s i α t i α s i x i M α t i α s i x i = M α t i α s i x i < Mε deg demiki erlku ii errti f s i α i f s i α s i x i < Mε 4 Mε < f s i α i f s i α s i x i < Mε perhtik f s i α i f s i α s i x i < Mε f s i α i < f s i α s i x i + Mε kre s i x i 1, x i dimil serg, mk Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

f s i α i < U P; fα, x + Mε ii errti U P; fα, x + ε dlh ts ts utuk semu pejumlh dlm etuk f s i α i, oleh kre itu diperoleh U P; f, α < U P; fα, x + Mε 5 seljuty perhtik Mε < f s i α i f s i α s i x i Mε + f s i α i < f s i α s i x i f s i α s i x i < f s i α i + Mε kre s i x i 1, x i dimil serg, mk f s i α s i x i < U P; f, α + Mε ii errti U P; f, α + Mε merupk ts ts utuk semu pejumlh dlm etuk f s i α s i x i, oleh kre itu diperoleh U P; fα, x < U P; f, α + Mε 6 erdsrk 5 d 6, mk diperoleh U P; fα, x Mε < U P; f, α < U P; fα, x + Mε Mε < U P; f, α U P; fα, x < Mε U P; f, α U P; fα, x < Mε 7 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

seljuty kre 1 jug erlku utuk serg prtisi peghlus P dri P, mk 7 jug erlku utuk P sehigg megkitk f dα f x α x dx < Mε < ε kre ε > 0 dimil serg, mk dpt disimpulk hw f dα = f x α x dx deg cr yg log seperti lgkh di ts mk diperoleh kre f R α, mk ii errti f x α x dx f dα = f dα = f x α x dx = f dα = f x α x dx f dα = f x α x dx Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

Pd seelumy telh dihs hw itegrl Riem merupk ksus khusus dri itegrl Riem-Stieltjes, yki dist α = x hl ii meyek itegrl Riem ekivle deg itegrl Riem-Stieltjes. Ak tetpi ketik α x hl ii meyek terdpt fugsi yg teritegrlk Riem-Stieltjes mu tidk teritegrlk Riem seperti fkt pd cotoh erikut. Cotoh 3.3.3 Mislk f x = 1, x Q 0, x R Q d α x = k utuk setip x 0,1. Ak ditujukk hw f R 0,1, x 0,1 mu f R α 0,1, x 0,1. Bukti : Amil serg prtisi P pd 0,1. Berdsrk ltih 7.1 omor 12 pd uku edisi ketig Itroductio to Rel Alysis krg Roet G. Brlte d Dold R. Sherert telh diytk hw f R 0,1, x 0,1. Seljuty mislk M i = sup f x x 0,1 m i = if f x x 0,1 mk M i = 1 d m i = 0 utuk setip x 0,1. Perhtik U P; f, α = M i α i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu

= 1 α x i α x i 1 = 1 α 1 α 0 = 1 k k = 0 d L P; f, α = m i α i = 0 α i = 0 Hl ii megkitk if U P; f, α = 0 = sup L P; f, α Ii errti f R α 0,1, x 0,1. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu