Bagian 5 Integrasi. 5.1 Konsep Anti Turunan

Bgi 5 Itegrsi Dlm gi 5 Itegrsi, kit k mempeljri kosep dsr itegrsi, tekik-tekik dsr itegrsi, d itegrl tertetu. Ad delp tekik dsr yg k dipeljri, yitu metode u-sustitusi, itegrl gi, itegrl si d cos erpgkt, itegrl sec d t erpgkt, itegrl fugsi trigoometri, itegrl fugsi rsiol, itegrl fugsi hiperolis, d itegrl deg ergi mcm sustitusi. Pegus tekik itegrsi yg sempur k memtu Ad dlm megikuti mt kulih li, yitu Mtemtik II, Mtemtik III, Mtemtik IV, Alis Struktur, d Hidrolik. Kompetesi yg dihrpk setelh Ad meyelesik gi 5 Itegrsi dlh Ad k mmpu :. Mejelsk kemli prisip ti turu. Meyelesik sol itegrl tk tetu deg megguk delp tekik dsr itegrsi.. Meghitug itegrl tertetu. 5. Kosep Ati Turu Isc Newto (669) megemukk permslh itegrsi dlm De Alysi per Aequetioes Numero Termiorum Ifiits yg dipuliksik thu 7. Leiiz meemuk thu 67 d dipuliksik Novemer 675. Seperti telh dikemuk pd gi seelummy, kosep itegrl digu dri permslh meghitug lus. Kit pdg sutu mslh: A( + h) A( ) A () = lim h 0 h Mtemtik Tekik \Itegrsi 70

Secr sederh, pdg ksus dim h > 0. Pemilg pd sisi k persm diedk ts du lus. Lus tr d ( + h) dikurgi lus tr d. Jik dimislk c dlh titik tegh tr d ( + h) mk pered lus ii dpt diperkirk deg lus segiempt deg dsr h d tiggi f(c). Jdi A ( + h) A( ) h = f ( c). h h Hl ii kelihty msuk kl, hw keslh dlm memprkirk persm terseut k medekti ol segim h 0. A( + h) A( ) Al () = lim h 0 h f ( c) = lim h 0 h Kre c dlh titik tegh tr d ( + h), hl terseut meytk hw c 0 segim h 0. Tpi kit mempuyi sumsi f k mejdi seuh fugsi yg kotiu, jdi f(c) f() segim c. Oleh kre itu: f(c) A'() = lim = f() h 0 h Seuh fugsi dimk ti turu dri fugsi f dlm selg yg dierik jik F () = f() utuk semu ili pd itervl terseut. Cotoh 5. Crilh tituru fugsi Peyelesi Fugsi-fugsi / +, / π, / C dlh ti turu pd itervl (-, + ) utuk fugsi f() =. Cotoh-cotoh terseut memperlihtk hw seuh fugsi dpt mempuyi yk ti turu. Dlm keyty, jik F() dlh semrg ti turu f() d C dlh semrg kostt, mk: F() dlh jug ti turu fugsi f(). Deg kt li setip ti turu f() pd sutu itervl diytk dlm etuk seperti di ts deg C dlh kostt. Proses utuk medptk ti turu ii dimk tidifferesisi tu itegrsi yg isy ditulis segi erikut: f ( ) = F( ) Mtemtik Tekik \Itegrsi 7

dlh lmg itegrsi, f() dimk itegr, d C kostt Peryt di ts dic: Itegrsi tk tetu f() sm deg F(). Rumus-rumus Itegrl Tk Tetu Rumus Differesisi Rumus Itegrsi d [] = = d r + = r r + r = r + r + d [ si( ) ] = cos cos( ) = si( ) d [ cos( ) ] = si( ) si( ) = si( ) d [ t( ) ] = sec ( ) sec ( ) = t( ) d [ cot g( ) ] = cosec ( ) cos ec ( ) = cot g( ) d [ sec( ) ] = sec( ).t( ) sec( ).t( ) = sec( ) d [ cosec( ) ] = cosec( ).cot g( ) cosec ( ).cot g( ) = cosec( ) Itegrsi tk tetu mempuyi sift-sift: C. f ( ) = C f ( ). [ ( ) g( ) ] = f ( ). ± f ± g( ) Cotoh 5. Evlusi. d.. =. = Betuk li itegrsi dpt diytk segi erikut. f ( t). dt = F( t) Mtemtik Tekik \Itegrsi 7

Cotoh 5. Evlusi. +.. = = = + + C Cotoh 5. Evlusi ( + + ). ( + 5 + ).. + 5. + =. = + 5. + + 5 = + + ( C) Ltih Sol 5. Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrsi di wh ii. 6.... 7.. sec (sec + t ). t. t. 9.. 5. ( u u + 7). du 6. si 7.. cos 8. dt 5. Itegrsi U-sustitusi Itegrsi u-sustitusi merupk tekik yg plig mudh dlm meyelesik persol itegrl. Kit memilih fugsi permisl u dri seuh itegr. Jik fugsi u sudh dipilih, seljuty semu usur yg megdug ili kit gtik deg ili u. Lgkh-lgkh peyelesi tekik itegrsi u-sustitusi dlh:. Pilih fugsi yg digti, mislk u = g(). Hitug du/ = g () c. But sustitusi u = g() d du = g () Mtemtik Tekik \Itegrsi 7

d. Evlusi proses itegrsi e. Gtik u oleh g() utuk jw khir dlm. Cotoh 5.5 Evlusi ( + ) 50 Peyelesi : ( + ) 50 misl : u = + du = 50 ( + ) = u 50.du u 5 = 5 5 ( + ) = 5 Cotoh 5.6 Evlusi Si ( + 9). Peyelesi : Si ( + 9). mislk : u = + 9 du = Si ( + 9). = Si(u).du = - Cos (u) = - Cos ( + 9) Cotoh 5.7 Cos Evlusi. Peyelesi : Cos. mislk : u = Cos. du = = Cos(u).du = Si(u) = Si Mtemtik Tekik \Itegrsi 7

Ltih Sol 5. Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Selesik sol itegrl di wh ii deg megguk tekik itegrl u- sustitusi.. si... + 5 / 5. ( + 7)( + 7 + 5).. +.. +. 6.. ( ) 5. Itegrsi Bgi Tekik itegrsi gi umumy dilkuk jik kit mejumpi itegr terdiri dri du fugsi yg ered. Utuk itegr yg terdiri dri du uh fugsi, d gi itegr yg dimislk segi fugsi u=g() d usur yg li dimislk segi dv. Rumus umum utuk meyelesik sol itegrsi gi dlh: u. dv = u. v v. du Dlm hl ii kit hrus hti-hti meetuk m fugsi permisl u d m gi yg merupk dv. Cotoh 5.8 Evlusi e.cos(). e.cos(). misl u = e du = e dv = Cos () v = Si () e.cos(). = u. dv = u.v v. du = e. Si( ) Si( ). e. misl u = dv = Si (). du = e v = -Cos () [ e Cos e. cos ( ).. ] = e. si Mtemtik Tekik \Itegrsi 75

e.cos(). = 0,5e.Si () + 0,5e.Cos () Cotoh 5.9 Evlusi.e..e. misl: u = du = dv = e. v = e.e. = u.dv = u.v v.du =. e e. =. e e Berdsrk du cotoh di ts, dpt diut kesimpul, hw peyelesi sol itegrl deg megguk tekik itegrsi gi k mejumpi (tig) kemugki jw, yitu:. Jik itegrl hsil ( v. du ) leih sederh dri itegrl sol ( u. dv ), mk permisl fugsi u d dv sudh etul. Peyelesi dpt diterusk utuk medptk jw khir.. Jik itegrl hsil ( v. du ) setr deg itegrl sol ( u. dv ), mk permisl fugsi u d dv sudh etul. Peyelesi dpt diterusk utuk medptk jw khir. Pd lgkh seljuty k d hsil itegrsi yg digugk deg sol.. Jik itegrl hsil ( v. du ) leih rumit dri itegrl sol ( u. dv ), mk permisl fugsi u d dv slh. Gtilh permisl fugsi u d dv utuk medptk peyelesi yg er. Utuk etuk sol seperti cotoh 5.9 deg, dpt diguk rumus reduksi: e. = e e. Ltih Sol 5. Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl erikut deg megguk tekik itegrl gi.. e.. e.. l.. si. Mtemtik Tekik \Itegrsi 76

5. si. 6. l( + ). 7. si. 8. si(l ). 5. Itegrsi Si d Cos Berpgkt Tekik itegrsi si d cos erpgkt diguk utuk meyelesi persol itegrsi fugsi sius d cosius erpgkt yk yg m mempuyi etuk si., cos., d si.cos.. Dlm hl memut peyelesi, kit kdg-kdg memerluk tu persm idetits trigoometri. si ( ) = ( cos()) cos ( ) = ( + cos()) Cotoh 5.0 Evlusi Si.. = Si. Si [ ] = ( Cos ( )). ( Cos () Cos ()). = + = Cos () + os(). = Si() + Si() 8 Utuk fugsi sius d cosius yg erpgkt leih yk, peyelesi tidk mejdi sederh lgi. Utuk memudhk dlm mecri jw, kit megguk formul reduksi. si cos.. = si.cos + si. = cos.si + cos. m Utuk persol itegrl yg diytk dlm etuk si.cos., prosedur peyelesi sgt ergtug kepd ili m d ili. Tel di wh ii memperlihtk kepd Ad tetg lgkh-lgkh peyelesi. Mtemtik Tekik \Itegrsi 77

Kodisi Lgkh peyelesi Persm idetits Jik gjil Jik m gjil Jik d gep m Cotoh 5. Evlusi si Pishk fktor cos Guk persm idetits yg sesui Butlh permisl u = si Pishk fktor si Guk persm idetits yg sesui Butlh permisl u = cos Guk persm idetits yg sesui utuk megurgi pgkt si d cos. Sederhk persol deg megguk formul reduksi 5 cos. cos si = si = cos si = cos = + ( cos() ) ( cos() ) 5 si cos. ltertif stu. 5 si cos. erili 5 (gjil), jdi peyelesi megguk = si ( si ) cos. = u ( u ). du 6 8 = ( u u + u ). du 5 7 9 = u u + u 5 7 9 5 7 9 = si si + si 5 7 9 Ltih Sol 5. Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl erikut deg megguk tekik itegrl si d cos erpgkt.. cos 5 si.. cos.. cos si.. si cos. 5. si cos. 6. si cos. Mtemtik Tekik \Itegrsi 78

5.5 Itegrsi T d Sec Berpgkt Tekik itegrsi t d sec erpgkt diguk utuk meyelesi persol itegrsi fugsi tge d sect erpgkt yk yg m mempuyi etuk t., sec., d t.sec.. Dlm memut peyelesi, kit kdg-kdg memerluk tu persm etits trigoometri t id ( ) = sec ( ). Utuk fugsi tge d sect yg erpgkt leih yk, peyelesi tidk mejdi sederh lgi. Utuk memudhk dlm mecri jw, kit megguk formul reduksi. sec t.. sec.t = + t = t. sec. Cotoh 5. Evlusi sec. sec. erili sec t sec. = + sec. = sec t + l sec + t Cotoh 5. Evlusi t 5. t 5. = t t. t t = t. t t = + l sec m Utuk persol itegrl yg diytk dlm etuk t.sec., prosedur peyelesi sgt ergtug kepd ili m d ili. Tel di Mtemtik Tekik \Itegrsi 79

wh ii memperlihtk kepd Ad tetg lgkh-lgkh peyelesi. Kodisi Jik gep Jik m gjil Jik m gep d gjil Lgkh peyelesi Pishk fktor sec Guk persm idetits yg sesui Butlh permisl u = t Pishk fktor sec t Guk persm idetits yg sesui Butlh permisl u = sec Guk persm idetits yg sesui utuk megurgi pgkt sec Sederhk persol deg megguk formul reduksi sec t t Persm idetits = t + = sec = sec Cotoh 5. Evlusi t ( ).sec ( ). Peyelesi : t ( ).sec ( ). = t ( ).sec ( ).sec ( ). ( t ( ) ) = t ( ). + sec ( ). mislk : u = t () du = sec () = u ( u + ). du 5 = u + u 5 = 5 T ( ) + T ( ) 5 Ltih Sol 5.5 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl erikut deg megguk tekik itegrl tge d sect erpgkt.. sec ( + ).. t sec. 5 5. t sec.. sec t. Mtemtik Tekik \Itegrsi 80

5. t 5 sec. 6. t sec. 5.6 Itegrsi Sustitusi Trigoometri Ugkp Itegrl Pd gi ii kit k memperlihtk gim megevlusi itegrl yg itegry diytk dlm etuk: ( ) ( + ) ( ) deg memut sustitusi dri fugsi trigoometri. Tel di wh ii k memtu Ad dlm mempeljri gi ii. ( ) ( ) ( ) Sustitusi Pemts θ Idetits Trigoometri = Si θ -π/ < θ < π/ Si θ = Cos θ + = T θ -π/ < θ < π/ + T θ = Sec θ = Sec θ 0 < θ < π/ if > π < θ < π/ if <- Sec θ - = T θ Cotoh 5.5 Evlusi itegrsi ( ) ( ) mislk : = Si θ = Cos θ dθ cosθ.dθ = ( ) ( Si( θ ) Si ( θ ) ) Cos( θ ) dθ = ( Si( θ )) ( Cos( θ )) = Csc θ.dθ = ( ) Cotoh 5.6 Evlusi itegrl + ( ) Mtemtik Tekik \Itegrsi 8

+ ( ) + ( ) mislk : = T θ. = Sec θ dθ = = Sec ( θ ). dθ ( T( θ )) Sec θ.dθ = Sec ( θ ). dθ + ( T ( θ ) + ) = l Sec( θ ) + T( θ) ( + ) + = l Ltih Sol 5.6 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl di wh ii deg megguk tekik itegrsi sustitusi trigoometri... 9.. 6 + 5 5. 6. 6 + 5 5.7 Itegrsi Fugsi Rsiol Ad du mcm etuk persm rsiol yg hrus diperhtik dlm meyelesik persol itegrsi, yitu persm fugsi rsiol deg fktor liier d persm fugsi rsiol deg fktor kudrt. Fktor Liier, etuk : ( + ) m Utuk fugsi rsiol yg fktor-fktory liier, mk pech dri fktor terseut ditulis dlm etuk: A + A + m ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) A +... + A m Mtemtik Tekik \Itegrsi 8

Cotoh 5.7 Evlusi + + Itegr dpt jug ditulis dlm etuk erikut : A B = = + ( + )( ) ( ) + ( + ) Bilg A d B yg kit cri : = ( + )A + ( )B.. A = / d B = -/ Sehigg sol dpt ditu lis mejdi : + = A + B + = + = l + C otoh 5.8 + Evlusi + Itegr dpt ditulis mejdi: + + A B C = = + + ( ) + = A( ) + B( -) + = (A ) + (- A + B) C A = - B = - C = Sehigg sol dpt ditulis mejdi : + = + = l + + l Mtemtik Tekik \Itegrsi 8

= + l Fktor kudrt, etuk : ( + + c) m Utuk fugsi rsiol yg fktor-fktory kudrt, mk pech dri fktor terseut ditulis dlm etuk: A + B + A + B + A + B ( + + c) ( + + c) ( + + c) ( + + c) m +... + A m + B m C otoh 5.9 + Selesik + Peyelesi : + + Itegr dpt ditulis dlm etuk : + + A B = = + + ( )( + ) + + - = A( +) + (B )( ) = (A + B) + (-B ) + (A C) diperoleh A = -7/5 B = /5 C = /5 Sehigg sol dpt ditulis mejdi: + + 7 = + + 5 5 5 + l + l + + T 5 5 5 7 = ( ) () Ctt: F ugsi rsiol deg pgkt peyeut leih esr dri pgkt pemilg dimk fugsi rsiol yg tidk umum (iproper rtiol fuctios). Itegrsi dpt dilkuk deg cr memgi peyeut deg pemilg terleih dhulu ru dilkuk proses pegitegrl. Ltih Sol 5.7 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Mtemtik Tekik \Itegrsi 8

Evlusi itegrl di wh ii deg megguk tekik itegrsi fugsi rsiol. 5.. + + 7.. + 7 5. 6. ( )( + )( ) ( )( + 5) 5.8 Itegrsi Deg Bermcm-mcm Sustitusi Itegrsi deg ermcm-mcm sustitusi tidk terllu relev deg mteri terdhulu. Hl itu disek tekik itegrsi yg dilkuk ersift co-co d tidk d cr khusus. Setip persol dipdg secr terpish. Deg kt li tidk d tur peyelesi yg ku. Itegrl yg meygkut ili erpgkt rsiol dpt disederh k deg meggti u = (/) Cotoh 5. 0 Evlusi + Peyelesi : + mislk u = /6 = u 6 = 6u 5 Sehigg sol dpt diuh mejdi : = 6 / ( u ) 5 6u du + + ( u 6 / ) 8 u = 6 du + u = 6 7 / 6 6 5 / 6 / / 6 / + 6 + 6T ( 6 ) 7 5 Cotoh 5. Evlusi + e + e dimislk u = + e... e = u... = l( u ) Mtemtik Tekik \Itegrsi 85

u u =... = du du u u Sehigg sol mejdi: + e u = u du u u du u = = + du u = + du u u + = u + l u l u + = + e + l + e + e + Ltih Sol 5.8 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl di wh ii..... + 9. +... + 5.. 6. / 5 + 5.9 Itegrsi Fugsi Hiperolis Tekik itegrsi fugsi hiperolis diguk utuk meyelesik persol itegrl dim itegry diytk oleh fugsi hiperolis. Rumus-rumus dsr yg diguk utuk megevlusi persol itegrl dlh:. Sih(u). du = Cosh (u). Cosh(u). du = Sih (u). Th(u). du = l Cosh (u). Cosh(u). du = l Sih (u) Mtemtik Tekik \Itegrsi 86

5. Sech (u). du = Th (u) 6. Csch (u). du = - Cotgh (u) 7. Sech(u).Th(u). du = -Sech (u) 8. Csch(u).Cotgh(u). du = - Csch(u) 9. du u = Sih - u + 0. du u = Cosh u. du = u Th u. du = u Cotgh u u > > 0 u < u > Cotoh 5. Evlusi th. sih th. =. cosh Dimislk u = cosh du = sih sih. cosh = l cosh Ltih Sol 5.9 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Evlusi itegrl di wh ii.. cosh( ).. sih 6 cosh. Mtemtik Tekik \Itegrsi 87

5.0 Itegrl Tertetu Fugsi Kotiu Deg Nili Tidk Negtif s. y ( k, f( k )) y = f() s. Jik fugsi f() dlh kotiu pd selg [, ] d jik f() > 0 utuk semu ili pd [, ] mk lus (Are) di wh kurv y = f() d di ts selg [, ] didefiisik : A = lim m. Δ 0 f ( k ). Δ k k k = Defiisi di ts jik ditulis: lim m. Δ k 0 k = f ( ). Δ = k k f (). Peryt pd sisi k dri persm dimk itegrl tertetu fugsi f() dri ke. Bilg d diseut ts ts d ts wh itegrl. Cotoh 5. Hituglh itegrl ( ) Peyelesi : ( ) =. = 6 = s. y f() = - s. Mtemtik Tekik \Itegrsi 88

Fugsi Kotiu Deg Nili Positif d Negtif s. Jik fugsi f() dlh kotiu pd selg [, ] d dpt disumsik keduy erili positif d egtif, mk lus seery (et siget re) A tr y = f() d selg [, ] didefiisik : lim m. Δ 0 f ( k ). Δ k = k f (). k = Lus seery tr y = f() d [, ] dpt erili positif, egtif tu kosog. Cotoh 5. Hituglh itegrl pd cotoh 5. deg syrt ts wh d ts msig-msig = 0 d = Peyelesi : Perhtik gmr pd Cotoh 5. ( ) =. = = 0 0 0 0 Sift-sift Itegrl Tertetu. f (). = 0. f (). = c. C.f (). = C. f (). f (). d. [ f () ± g() ]. = f (). ± e. f (). = f (). + f (). c c g(). Mtemtik Tekik \Itegrsi 89

Ltih Sol 5.0 Setelh Ad selesi mempeljri mteri di ts, kii sty utuk meltih diri megerjk sol-sol erikut. Butlh peyelesi setip sol deg sistemtis utuk medptk jw khir yg er. Selmt erltih...!!! Hituglh itegrl di wh ii d utlh skets gmry... 0. si π 0. cos. Mtemtik Tekik \Itegrsi 90