MT KULIH : MTEMTIK II POKOK HSN :. INTEGRL TK TENTU. INTEGRL TERTENTU SEGI LIMIT JUMLH. SIFT-SIFT INTEGRL TERTENTU. TEOREM-TEOREM DSR DLM KLKULUS. EERP TERPN DLM INTEGRL TERTENTU. INTEGRL NUMERIK UKU PEGNGN :. Slers, S.L., d Hille, E., 99 : Clulus Oe d Severl Vriles, J. Wile.. Purell, E., 98 : Klkulus d Geometri litis, Erlgg. KOMPONEN PENILIN. UTS : %. US : %. KUIS : %. PRESENTSI & DISKUSI : %. TUGS/ PR : %. SENSI : %
SNGSI-SNGSI :. Tidk megikuti Diskusi & Presetsi : NILI NOL pd kompoe ili terseut.. Tidk megikuti UTS & US : NILI NOL.. Meotek d ekerj sm pd st Uji & Kuis : NILI NOL.. Keterlmt mksiml meit.
Cotoh NTI DERIVTIF. F e F f e. G e G g e Dierik fugsi-fugsi F, G, d f.. Jik F f, mk F diseut ti Derivtif fugsi f.. Jik F d G msig-msig ti derivtif dri f, mk F G, deg sutu kostt. INTEGRL TK TENTU Dierik fugsi-fugsi F d f, deg F ti derivtif fugsi f. F diseut Itegrl Tk Tetu dri f d ditulis : Cotoh f d F. F e f e e d e e k, deg k serg kostt.
SIFT-SIFT INTEGRL TK TENTU. [ g ] d f d f g d. k f d k. f d, deg k serg kostt. RUMUS-RUMUS INTEGRL TK TENTU. d. d, deg d. l. si d os. os d si. t d l os 7. ot d l si 8. se d l se t 9. ose d l ose ot. se d t. ose d ot. se d t. se t d se. ose ot d ose
. d deg, l > d. e d e 7. d rot rt 8. d rot rt 9. d ros rsi. d ros rsi. d rose rse. d rose rse Cotoh d d d d d d d
TUGS. d.... 7 d.... si se se d... TEKNIK PENGINTEGRLN. Metode Sustitusi. Metode Itegrl Prsil. Itegrl Fugsi Peh Rsiol. Itegrl fugsi Irsiol. Itegrl Fugsi Trigoometri. METODE SUSTITUSI dlh memsukk sustitusi vriel ru g tept sehigg dri etuk fugsi g elum dikel didpt etuk fugsi li g telh dikel. Dierik fugsi f terdefiisi pd [,] d fugsi g :[ α, β ] [, ] mempui ivers g.
Jik g d g mempui derivtif d kotiu msigmsig pd itervl [ α, β ] d [,] sert f kotiu pd [,], mk : d f g t g f t dt [ α, β ] g [,] f R f t gt f f g t f o g t ukti Cukup diuktik hw turu kedu rus terhdp dlh fugsi g sm. Mislk f d F, mk : d d d f d F f... i d Sedgk, d d f g t g t dt d dt f g t g t f g t g t f g t g t f g t f f g t g t dt dt d d dt g t d dt... ii
Dri i d ii terukti hw d f g t g f t dt Cotoh si os d... Dimil sustitusi : Sehigg diperoleh : si os d d os TUGS d.... l si. e os d.... d.... d.... METODE INTEGRL PRSIL Mislk u f d v g, mk : d uv d f g f g g f d d tu d uv f g g f d
Jdi, d uv tu uv f g g f f g d g f f d uv f d d g g d... * Kre u f du f d v g dv g d Sehigg persm * mejdi : udv uv vdu Cotoh. os d... Mislk : u du d dv os d v os d v si Jdi, os d dsi si si d si os 7
. l d... Mislk : u l du d Jdi, dv d v v d l d l d l l l 9 d d TUGS. e si d.... os d.... os d.... si d.... si d.... si osd... KUIS lsi t d... 8
. INTEGRL FUNGSI PECH RSIONL, Dierik persm P... deg Z d. Seljut P diseut Poliomil erderjt. Dierik poliomil-poliomil P d Q deg derjt msig-msig dlh m d, mk Peh Rsiol. P Q diseut P i. Jik m <, mk diseut Peh Rsiol Sejti Q ii. Jik m, mk P Q Sejti d dpt diuh mejdi : diseut Peh Rsiol Tk P R S, deg R d S msig- Q Q msig poliomil d derjt R leih keil dri. Cotoh 8 9
Dierik peh rsiol Q P. erdsrk kr-kr Q, k dihs itegrl fugsi peh rsiol dlm ksus. I. KSUS Q mempui kr-kr rel d ered. d ered. rel,...,, deg,... Q mk Q P dpt ditk segi erikut : Q P..., deg R,,..., kostt-kostt g k diri. Cotoh... d Q Jdi Q mempui du kr rel g ered. Q P Sehigg diperoleh : /
/ d / Jdi, d d d d l l / / / / TUGS.... d.... 8 d II. KSUS Q mempui kr-kr rel d d g sm. rel.,...,, deg,... t r t q p Q mk Q P dpt ditk segi erikut : r t r t t q q p p C C C Q P............
deg kostt-kostt g k diri, R C k j i,,.,,..., ;,,..., ;,,..., r k q j p i Cotoh... 7 d Q Jdi Q mempui tig kr rel d d g sm. 7 Q P Msukk pemut ol &, sehigg diperoleh : * * * Jdi,
d d d d d d l l l l 7 TUGS.... d III. KSUS Q mempui kr-kr imjier d ered. Cotoh : - kr imjier mempui kr Q D Q < kr-kr dri Q dlh :, i i Q i D ± ± ± ± Ser umum,... Q
mk Q P dpt ditk segi erikut :... D C Q P Cotoh... d < D Q Jdi Q mempui kr imjier. C C Q P sehigg diperoleh : / * / * / * C C
Jdi, d d d d d rt l l l l l TUGS 7.... d IV. KSUS Q mempui kr-kr imjier d d g sm. Q... mk Q P dpt ditk segi erikut : Q P...... Pd ksus ii k muul etuk itegrl : d
Ser umum, d d Cotoh... d 8 < D Q Jdi Q mempui kr imjier d sm. Q P sehigg diperoleh : * * * *
Jdi, d d d d d d rt rt TUGS 8.... 8 9 d 7
. INTEGRL FUNGSI TRIGONOMETRI Di dlm Trigoometri terdpr rumus-rumus segi erikut :. os osos si si os osos si si i [ os os ] os os osos osos ii [ os os ] os os si si si si. si si os os si si si os ossi i si si si os si os ii si si ossi ossi [ si si ] [ si si ]. t se. ot ose. os os os [ os] [ os ] os si si. os os 7. si si 8
. ENTUK : si si m d ; os os m d ; si os m d Cotoh. si sid [ os os ] d [ os os7] d [ si os7] 7. d osos d tu os ] [ os os os [ os] d d [ si] [ os] d [ si] d. siosd [ si si ] d [ os os ] 9
. ENTUK : f si os d ; f os si d, deg f fugsi peh rsiol. Itegrd diw dlm etuk peh rsiol is deg sustitusi : i. u si, utuk etuk f si ii. u os, utuk etuk f os Cotoh os si si. d os d mil sustitusi : u si du os d os si u d du l si si os os os si si os. d si d si d mil sustitusi : u os du si d os d u du l os si si u
C. ENTUK :. os si ; ose ; se ; ot ; t ; os ; si d d d d d d d m * Rumus Reduksi utuk d os si os os os os d d d Deg Itegrsi Prsil diperoleh :., os si os os os os si os os os si os os si si os os d d d d d d d * Rumus Reduksi utuk d t, t t t t t t se t se t t t t > d d d d d d d d
Deg r g sm, diperoleh rumus-rumus Reduksi segi erikut :, ose ose 7., se se., ot ot., t t., os si os si., os os., si si. ot ose t se ot t os si si os os si > > > > d d d d d d d d m d d d d d d m m m m m m Cotoh t... d d d d d d d d d d t t t se t t se t t t t t t t se t se t t t t tu deg rumus reduksi :
t d t t t t t t d t d t TUGS 9 se d... D. SUSTITUSI : t Jik itegrd merupk fugsi peh rsiol dlm fugsi trigoometri, mk itegrd dpt diw ke etuk peh rsiol is deg sustitusi sesui etuk itegrd: t tu ot tu t tu ot Utuk i. t rt rt d d ii. si si os iii. os os si os iv. t
Cotoh d si.. d si d d d rt TUGS d si si os.. SUSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI i. etuk : Sustitusi : si tu os ii. etuk : Sustitusi : t tu ot iii. etuk : Sustitusi : se tu ose
Cotoh d... Sustitusi : t d se d d se t.se d se t d os si si d dsi si TUGS 9 d..... d... [ 7] 9. d... d....
. INTEGRL FUNGSI IRSIONL. Stu-stu etuk irsiol dlh : i Jik >, mk mil sustitusi ii Jik, mk mil sustitusi Cotoh d... Sustitusi : kudrtk kedu rus * d d Jdi, d d * * *
d d d.. mempui kr imgier g sm. Q D Q < D C D C D C D C Q P sehigg diperoleh : D D C C Jdi, 7
d d d d d d rt rt rt 8
. Stu-stu etuk irsiol dlh : sustitusi: dimil Cotoh d... d d d Sustitusi : d d d d Jdi, d d d Q Jdi Q mempui kr rel d d g sm. 9
P Q C D i utuk / C D C D ii utuk D D / iii utuk / C / C / iv utuk 9 9/ C / 9 C / dri iii d iv diperoleh : C / Jdi, / d l d l l / / l / / d C. Itegrd h memut etuk irsiol stu suku : dimil sustitusi : deg dlh Kelipt Persekutu Terkeil KPK dri pgkt-pgkt kr.
Cotoh... d Sustitusi : d d Jdi, d d d dv u d d d. < D Q Jdi Q mempui kr rel d imjier. C C C C C Q P
Jdi, Sehigg diperoleh : i ii C iii C dri ii d iii diperoleh : iv dri i d iv diperoleh : C 7 d l l l d d 7 d 8 d 8rt l l 8rt
TUGS. d... os os. si d... d..... d.... d...
INTEGRL TERTENTU. Defiisi Itegrl Tertetu. Eksistesi Itegrl Tertetu. Teorem Fudmetl Klkulus. Sift-Sift Itegrl Tertetu. Meguh Vriel. Improper Itegrl. DEFINISI INTEGRL TERTENTU Dikethui f :[, ] R fugsi erili rel. Himpu gi P {,..., } [,] deg sift : PRTISI pd [,]. Cotoh pd itervl tertutup, Dierik itervl [,]{ R / }. P P P P P {,, } [,] {,,,} [,] {,,,} [,] {,,,} [,] {,,,, } [,] < <... < diseut P d P merupk prtisi dri itervl tertutup [,]
Dierik prtisi P {,..., }., Dimil serg * i [ i i, ], utuk setip i,,...,. Seljut dietuk Jumlh Riem S P, f f * i. Δ i, deg Δ i i i. i Norm P, diotsik deg P, didefiisik segi : P m{ Δi ; i,,..., }. Jik utuk P, lim S P, f d, mk f diktk P TERINTEGRL pd [,] d diotsik segi erikut : f d lim S P, P * f lim f i. Δi i Ser umum, Dimil : Δ i i Δi. i * i i, utuk setip i,,...,
INGT., deg serg kostt i. i i. i i. [ ] i i Cotoh Hitug d deg defiisi itegrl tertetu Dimil prtisi P,,..., } pd [,], Δ { < <... <, deg : i * i i i i Δi. i, utuk setip i,,..., Sehigg diperoleh : S * P, f f Δ i i. i. i i i i
Jdi, d lim S P, f lim P Ltih Hitug deg defiisi itegrl tertetu. d.... d... e. d.... EKSISTENSI INTEGRL TERTENTU Defiisi Fugsi f diktk teritegrl pd [,] jik d h jik : Terdpt ilg L sehigg lim S P, f L, i.e. P ε >, δ > sehigg utuk setip prtisi P,,..., } pd [,] deg P < δ erlku : S P, f L < ε. { 7
Teorem Jik lim S P, f P d, mk limit erili Tuggl. Deg kt li, Jik fugsi f teritegrl pd [,], mk itegrl erili Tuggl. Cotoh Dierik fugsi f, rsiol f, irsiol Deg [,]. pkh f teritegrl pd [,]? Dimil serg prtisi P,,..., } pd [,], { < <... <, deg : Δ i d * i [, ], utuk setip i,,..., i i Terdpt du kemugki, itu : i. Jik * i rsiol utuk setip i,,...,, mislk dieri otsi t, mk S P, f i f t. Δ i i. ii. * i irsiol utuk setip i,,...,, mislk dieri otsi u, mk S P, f i f u. Δ i i. 8
Kre utuk serg prtisi P erlku : lim S P, f d P lim S P, P f, mk lim S P, f tidk d. P Deg kt li, f tidk teritegrl pd [,].. TEOREM FUNDMENTL KLKULUS Jik fugsi f :[, ] R teritegrl tertetu/riem pd [,] d mk : F :[, ] R sutu ti derivtif fugsi f pd [,], f d F F Cotoh d... d F F deg F, F F d F F 9
. SIFT-SIFT INTEGRL TERTENTU Teorem i Jik fugsi f teritegrl pd [,] d mk f teritegrl pd [,] d pd [,]. f d f d f d ii f d iii Jik f teritegrl pd [,], mk : f d f d Cotoh Hituglh ili itegrl dri f d, jik dikethui : f,, <
. MENGUH VRIEL ertuju utuk meederhk itegrd gr ti derivtif mudh ditetuk. Teorem Jik fugsi g: [ α, β] [, ] ik mooto d mempui derivtif d fugsi β f g g d f d α f :[, ] R teritegrl mk : Teorem Jik fugsi g: [ α, β] [, ] turu mooto d mempui derivtif d fugsi f :[, ] R teritegrl mk : β f g g d f d f d α Cotoh π si e os d... Mislk si d os d π
π si ] Sehigg diperoleh : e os d e d e e Ltih hlm 7 Improper Itegrl Itegrl Tk Sejti/ Itegrl Tk Wjr Dierik f d d f teritegrl pd [,]. deg d dlh ilg-ilg rel Jik kedu srt di ts tidk dipeuhi, mk Itegrl Tk Wjr. Defiisi. Itegrl Tk Wjr Tipe I f d diseut i Jik f teritegrl pd [,] utuk setip, mk itegrl tk wjr > f d didefiisik segi : d lim f d f ii Jik f teritegrl pd [,] utuk setip, mk itegrl tk wjr < f d didefiisik segi :
f d lim f d * Jik lim f d d lim f d ili d, mk : f d d f d diktk KONVERGEN. ** Jik lim f d d lim f d ili tidk d, mk : f d d f d diktk DIVERGEN. iii Itegrl tk wjr f d didefiisik segi : f d f d f d lim f d lim f d
*** f d KONVERGEN j.h.j. lim f d d lim,. f d kedu KONVERGEN utuk setip. Itegrl Tk Wjr Tipe II i Jik f kotiu pd,] tetpi tidk terdefiisi di, mk itegrl tk wjr f d lim t t f d slk limit terseut d. f d didefiisik segi ii Jik f kotiu pd [, tetpi tidk terdefiisi di, mk itegrl tk wjr t f d lim t f d slk limit terseut d. f d didefiisik segi
iii Jik f kotiu pd, tetpi tidk terdefiisi di d, mk itegrl tk wjr f d didefiisik segi : f d f d f d t lim f d lim f d, s s t < < slk kedu limit terseut d, deg.. Itegrl Tk Wjr etuk Cmpur i f d segi : deg f tk terdefiisi di sutu titik, itegrl tk wjr f d didefiisik f d f d f d f d s t lim f d lim f d lim f d s p p t s
ii f d deg f tk terdefiisi di sutu titik lim s s, itegrl tk wjr f d didefiisik segi : f d f d f d f d t f d lim f d lim f d t p p Cotoh d d. d lim lim lim lim
. l lim l lim l d d d [ ] [ ] l lim l lim. d d d d d lim lim lim lim s s r r q q p p d d d d / & / Jdi, l lim l lim l lim l lim lim lim lim lim s s r r q q p p s d s r d r q d q p d p Tetpi kre l lim l lim r r r r r 7
d mk diverge. Ltih. dw w. d. d 8
KUIS Hituglh : e d 9
SISTEM PERSMN LINERSPL DN MTRIKS Dierik m SPL dlm peuh s :........ m m m m... Diw ke etuk mtriks g diperlus : m m m m M M K M O L M K K Peelesi : deg mereduksi mtriks mejdi etuk ris eselo elimisi Gussi, seljut diselesik deg sustitusi lik, tu mejdi etuk eselo ris tereduksi elimisi Guss- Jord.
m m m m K M M O L M K K Cotoh Selesik SPL erikut : 8 z Peelesi... 8 Diperoleh peelesi :,, z DETERMINNT. d d d det
. Ekspsi Lple Ksus mtriks ekspsi ris pertm det d e f g h i e f d f d e h i g i g h INVERSE Defiisi Jik dlh mtriks ujur sgkr d jik dlh mtriks erukur sm sedemiki higg I mk diktk dpt dilik d diseut iverse dri. Ekspsi Lple d sift-sift dsr dri determit dpt diguk utuk memperoleh formul dri peelesi SPL tur Crmer Dierik mtriks osigulr, d dj merupk trspose dri mtriks kofktor, mk :
dj det Seljut jik i dlh mtriks g diperoleh deg meggti kolom ke-i deg kolom vektor, mk persm mempui solusi tuggl i det i det Dri tur Crmer di ts dpt diperoleh ser eksplisit iverse dri mtriks deg ozero determit : d d d Cotoh Dierik mtriks Tetuk iverse d determit dri mtriks Peelesi
. Deg ekspsi lple Det.... Deg tur Crmer i. Hitug kofktor Mtriks kofktor... ii. Mtriks djoit... dj det
Trspose mtriks m m m K M O L M K K m m m T K M O L M K K Cotoh T
Kofktor m m m K M O L M K K m m m C Kofktor K M O L M K K Deg m m L M O M L det m m L M O M L det
PERSMN DIFERENSIL PD PD dlh sutu persm g megdug stu tu eerp turu dri sutu fugsi g tidk dikethui. Cotoh d d d d. PD deg stu peuh es diseut PD is. PD deg leih dri stu peuh es diseut PD prsil. Cotoh d d u d u d. PD LINER ORDE STU etuk umum : Peelesi P Q, d d
Meglik kedu rus deg fktor itegrl P d e, sehigg diperoleh : P d e d d d d P d e P e P d P d e Q Itegrlk kedu rus diperoleh : e P d e Cotoh e P d Peelesi e P d P d Q d Q d P d e Q
e e e e e e d e d e e de e e d e d d d e. PD HOMOGEN ORDE DU etuk umum : d,, d Peelesi d sutu kos tt Megguk persm tu r r. Jik r d r kr-kr rel d ered, mk peelesi umum PU dlh :
r e r e. Jik r d r kr-kr rel d sm, mk peelesi umum PU dlh : r e e r. Jik r d r kr-kr imjier, itu r, α ± iβ, mk peelesi umum PU dlh : e α β e α os si β Cotoh Peelesi persm tu : r r r ± r ± i Jdi peelesi : os si