PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN

BAB IV PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN. Program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai Opsi Keuangan. Berikut adalah tampilan dari program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai Opsi Keuangan yang telah dibuat berdasarkan Tugas Akhir ini: Gambar. tampilan GUI Matlab Penentuan Harga Opsi dengan simulasi Monte Carlo Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 3

Pada kotak Input terdapat kolom-kolom untuk memasukkan inputan dari Opsi keuangan. Inputan pertama adalah Style. Pada inputan Style ini terdapat macam inputan yang harus diisi, yaitu: inputan jenis opsi Eropa atau Amerika, inputan jenis opsi call atau put, inputan jenis opsi standar atau exotic (Asia, Barrier, atau Lookback), dan inputan jenis untuk masing-masing opsi exotic. Opsi Asia terdiri dari : aritmatik average asset, aritmatik average strike, geometrik average asset, dan geometrik average strike. Opsi Barrier terdiri dari : down and in, down and out, up and in, dan up and out. Opsi Lookback terdiri dari : fixed strike dan floating strike. Kolom-kolom inputan lain yaitu : Price, strike, interest rate, volatility, simulation, barrier (optional hanya untuk opsi barrier), dan kotak expiration. Pada kotak expiration ini terdapat macam inputan yang akan saling mempengaruhi yaitu : starting date, expiration date, life, dan maturity. Kotak Real Data adalah kotak pilihan untuk menentukan apakah kita akan menggunakan data saham real atau tidak. Jika check box di depan tulisan Historical volatility diaktifkan, maka kita diberi fasilitas untuk memasukkan data histori yang dapat di download langsung dari www.financial.yahoo.com. Hasil download dari situs tersebut disimpan dalam satu folder dengan program ini dan secara otomatis program akan mendeteksi nama dari saham yang telah didownload tersebut beserta data saham, data tanggal awal dan akhir pengambilan data. Untuk program ini, penulis mengatur program untuk mendeteksi harga saham hanya saat penutupan saja, tetapi untuk keperluan-keperluan tertentu program dapat diubah untuk mendeteksi harga saham yang lain. Jika check box diaktifkan maka secara otomatis kotak inputan volatility tidak dapat diedit, dan secara otomatis kotak ini akan berisi historical volatility dari data harga saham yang diminta. Pada kotak output, terdapat kotak option price dan confidence interval, yang akan memberikan hasil penghitungan jika tombol calculate di tekan. Disamping itu Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 32

terdapat jg pilihan selang kepercayaan yang diinginkan yaitu : 80, 90, 95, 99 persen..2 Simulasi Harga Opsi Eropa dan Amerika Misalkan diberikan data-data sebagai berikut :. Harga saham awal adalah 36$ 2. Strike price-nya adalah 0$ 3. Suku bunga tahunan tanpa resikonya adalah 6% jadi nilai diskontonya adalah 0.9765. Volatilitas pergerakan harga saham 20% Hasil simulasi dapat dilihat pada lampiran I. Berikut adalah plot dari simulasi yang telah dilakukan.. Periode harga saham N = 50.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 B-S Eropa Binomial LSM biasa..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. 2 LSM tanpa Reduksi Variansi Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 33

.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 B-S Eropa Binomial LSM AV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. 3 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate 5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 B-S Eropa Binomial LSM CV.6..2 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. LSM dengan Reduksi Variansi control variate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 3

2. Periode harga saham N = 00 5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 00 B-S Eropa Binomial LSM biasa.6..2 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. 5 LSM tanpa Reduksi Variansi.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 00 B-S Eropa Binomial LSM AV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. 6 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 35

.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 00 B-S Eropa Binomial LSM CV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 00000 Jumlah Sampel Gambar. 7 LSM dengan Reduksi Variansi control variate 3. Periode harga saham N = 200 5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200 B-S Eropa Binomial LSM biasa.6..2 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 50000 Jumlah Sampel Gambar. 8 LSM tanpa Reduksi Variansi Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 36

.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200 B-S Eropa Binomial LSM AV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 50000 Jumlah Sampel Gambar. 9.7.6.5. LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200 B-S Eropa Binomial LSM CV.3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 20000 50000 Jumlah Sampel Gambar. 0 LSM dengan Reduksi Variansi control variate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 37

. Periode harga saham N = 500 5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 500 B-S Eropa Binomial LSM biasa.6..2 3.8 0 000 2000 5000 0000 5000 20000 Jumlah Sampel.7.6.5 Gambar. LSM tanpa Reduksi Variansi Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 500 B-S Eropa Binomial LSM AV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 5000 0000 5000 20000 Jumlah Sampel Gambar. 2 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 38

5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 500 B-S Eropa Binomial LSM CV.6..2 3.8 0 000 2000 5000 0000 5000 20000 Jumlah Sampel Gambar. 3 LSM dengan Reduksi Variansi control variate 5. Periode harga saham N = 000 5.8 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 000 B-S Eropa Binomial LSM biasa.6..2 3.8 0 000 2000 2500 5000 7500 0000 Jumlah Sampel Gambar. LSM tanpa Reduksi Variansi Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 39

.7.6.5 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 000 B-S Eropa Binomial LSM AV..3.2. 3.9 3.8 0 000 2000 2500 5000 7500 0000 Jumlah Sampel Gambar. 5 5.8 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 000 B-S Eropa Binomial LSM CV.6..2 3.8 0 000 2000 2500 5000 7500 0000 Jumlah Sampel Gambar. 6 LSM dengan Reduksi Variansi control variate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 0

Dari grafik-grafik di atas dapat dilihat bahwa metode Kuadrat Terkecil Monte Carlo memberikan hasil yang konvergen mendekati taksiran nilai Opsi Binomial seiring bertambahnya jumlah simulasi yang dipakai ( M ). Metode reduksi variansi dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo atau dengan kata lain dapat mempercepat kekonvergenan. Variansi reduksi antithetic variate memberikan hasil yang lebih baik yaitu dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo standar dengan rasio 2.8. Sedangkan variansi reduksi antithetic variate memperkecil kesalahan baku Metode Monte Carlo standar dengan rasio.2..3 Metode Monte Carlo untuk opsi exotic Opsi Asia Telah dilakukan simulasi penghitungan nilai opsi exotic dengan menggunakan metode Binomial dan penghitungan secara analitik oleh saudara Riswan Harapan dalam tugas akhirnya yang berjudul PENENTUAN HARGA OPSI ASIA. Pada kesempatan ini, akan dilakukan simulasi Monte Carlo untuk opsi asia dengan input seperti pada simulasi yang dilakukan oleh saudara Riswan Harapan, yaitu sebagai berikut: r = 0.09, σ = 0.2, saham awal = 00, Time to maturity = /3, strike price = 95 (untuk tipe average value). Hasil dari simulasi Binomial dengan N=50 untuk Average strike call options eropa sebesar 3.5 dengan nilai eksaknya 3.5, sedangkan untuk harga opsi Put eropa sebesar.9. [] Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M C Conf Int 0 3.903 [2.006,5.778] 00 3.7035 [3.8279,.299] 000 3.3762 [3.23763,3.56] 0000 3.578 [3.7257,3.563] Tabel. Asian Geometrik Average Strike Call Option 6 5.5 5 Call option.5 3.5 3 2.5 Gambar. 7 2 0 0 00 000 0000 Simulation Asian Geometrik Average Strike Call Option M P Conf Int 0 2.9083 [0.96207,3.355] 00.9725 [.62,2.33298] 000.78356 [.6839,.88573] 0000.89333 [.86003,.92663] Tabel. 2 Asian Geometrik Average Strike Put Option Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 2

3.5 3 2.5 Put option 2.5 Gambar. 8 0.5 0 0 00 000 0000 Simulation Asian Geometrik Average Strike Put Option Sedangkan untuk Average value call options eropa adalah sebesar 6.753 dan untuk put adalah 0.568. Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M C Conf Int 0 6.7666 [6.00867,7.365] 00 6.9056 [6.63506,7.7623] 000 6.792 [6.66672,6.8376] 0000 6.7729 [6.7595,6.79985] Tabel. 3 Asian Geometrik Average Value Call Option Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 3

7.6 7. 7.2 7 Call Option 6.8 6.6 6. 6.2 6 Gambar. 9 0 0 00 000 0000 Simulation Asian Geometrik Average Value Call Option M P Conf Int 0 0.6983 [-0.0992289,.0389] 00 0.63385 [0.95,0.87256] 000 0.52227 [0.5769,0.58692] 0000 0.5223 [0.52056,0.56229] Tabel. Asian Geometrik Average Value Put Option.2 0.8 Put option 0.6 0. 0.2 0-0.2 0 0 00 000 0000 Gambar. 20 Simulation Asian Geometrik Average Value Put Option Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

Opsi Barrier Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan oleh saudara Aditya Rachman dalam buku Tugas akhirnya yang berjudul PENENTUAN NILAI BARRIER OPTION TIPE EROPA DAN AMERIKA adalah sebagai berikut: Diberikan masukan: Masukan Simbol Nilai Harga saham saat t 0 S 0 95 Maturity time T Volatilitas σ 0.25 Non-risk interest rate r 0. Nilai barrier (bawah) B low 90 Strike price K 00 Tabel. 5 Input Down and Out Barrier Call Option Dihitung down and out Call option (nilai barrier tetap) didapatkan nilai akurat analitik 5.9968. [7] Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M C Conf Int 0 5.79023 [0.99683,0.5836] 00 7.22553 [5.5573,8.99532] 000 5.9079 [5.09,6.0667] 0000 6.0735 [5.9728,6.22975] Tabel. 6 Down and Out Barrier Call Option Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 5

2 0 Call option 8 6 2 0 0 0 00 000 0000 Gambar. 2 Kemudian dengan masukan sebagai berikut : Simulation Down and Out Barrier Call Option Masukan Simbol Nilai Harga saham saat t 0 S 0 95 Maturity time T Volatilitas σ 0.25 Non-risk interest rate r 0. Nilai barrier (atas) B up 25 Strike price K 00 Tabel. 7 Input Up and Out Barrier Put Option Dihitung Up and Out Put Option dengan nilai barrier konstan didapatkan nilai akurat analitik 6.9859 Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M P Conf Int 0 6.7399 [3.6297,9.83602] 00 7.562 [6.60882,8.836] 000 6.7838 [6.9028,7.07607] 0000 6.939 [6.856,7.0396] Tabel. 8 Up and Out Barrier Put Options Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 6

0 9 8 Put option 7 6 5 3 0 0 00 000 0000 Gambar. 22 Simulation Up and Out Barrier Put Options. Penggunaan data nyata pada Opsi Sekarang kita akan memakai program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi di dunia nyata. Kita akan menggunakan data saham yang tersedia di internet, menghitung nilai historical volatility-nya, kemudian membandingkan hasil estimasi yang diperoleh dengan harga opsi yang terdapat di internet untuk beberapa strike price K dan berbagai waktu jatuh tempo T. Alamat website yang akan kita pakai adalah www.finance.yahoo.com dan www.cboe.com, dimana telah tersedia informasi-informasi harga opsi yang kita butuhkan. Berikut adalah contoh penggunaan program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi Yahoo! Inc. (YHOO) tanpa dividen. Sebelumnya, akan kita lakukan pengambilan database data saham dari alamat website www.finance.yahoo.com. Kita ambil data saham harian Yahoo! Inc. Dari tanggal 8 Maret 2007 sampai dengan September 2007, dimana pada selang waktu tersebut terdapat 25 hari perdagangan saham. Dari data ini, dapat dihitung Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 7

historical volatility-nya yaitu sebesar 0.3387. Kemudian, masih dari alamat website yang sama, kita dapat mengetahui informasi harga saham saat ini. Suku bunga yang dipakai adalah.75% sesuai dengan suku bunga di Amerika Serikat yang dapat dilihat pada alamat website www.tradingeconomics.com seperti tampilan berikut. Gambar. 23 website interest rate Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 8

Pada saat pengambilan data saham awal ini, yaitu pada tanggal 9 September 2007 harga saham Yahoo! Inc. Adalah $25.06. Kita juga akan mendapatkan informasi waktu jatuh tempo, yaitu tanggal 2 September 2007, 9 Oktober 2007, 8 Januari 2008, 8 April 2008, 6 Januari 2009, dan 5 Januari 200. Opsi saham yahoo di atas merupakan Opsi Amerika, oleh karena itu simulasi dan perhitungan harga opsi dengan metode Monte Carlo berikut juga memakai aturan Opsi Amerika. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 9

Jatuh tempo 2 September 2007 Pada alamat website akan didapatkan tampilan sebagai berikut : Gambar. 2 Harga opsi jatuh tempo 2 September 2007 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 50

Sedangkan dengan simulasi monte carlo sebanyak 0000 simulasi harga saham dengan informasi-informasi tersebut diperoleh hasil sebagai berikut: Opsi Call Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs. Rel. error 0.00.7 5.0598 [5.076, 5.072] 0.0276 2.50 2.20 2.5606 [2.58, 2.5728] 0.029557 5.00 8.70 8.76 [8.792, 8.7737] 0.007057 7.50 7.00 7.56225 [7.55002, 7.579] 0.08032 20.00 5.00 5.00307 [.9908, 5.053] 0.0006 22.50 2.50 2.5039 [2.966, 2.563] 0.0056 25.00 0.33 0.33076 [0.323089, 0.33839] 0.00235 27.50 0.0 0 [0, 0] 30.00 0.05 0 [0, 0] 32.50 0.05 0 [0, 0] 35.00 0.05 0 [0, 0] 37.50 0.05 0 [0, 0] Tabel. 9 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 2 September 2007 Strike Harga Opsi Selang kepercayaan 95% Abs. Rel. error 7.5 0.0 0 [0, 0] 20.00 0.0 0 [0, 0] 22.50 0.03 0 [0, 0] 25.00 0.30 0.278535 [0.256372, 0.300698] 0.0755 27.50 2.60 2.58227 [2.5888, 2.6567] 0.00689 30.00 5.0.969 [.9368, 5.007] 0.07979 Tabel. 0 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 2 September 2007 Dapat kita lihat pada tabel hasil simulasi di atas bahwa simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 0, US$ 2.5,dan US$ 7.5 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 30.00. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 7.5 yaitu sebesar 0.08032 pada call dan strike price US$ 30.00 sebesar 0.07979 pada put. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 5

Jatuh tempo 8 Januari 2008 Gambar. 25 Harga opsi dengan jatuh tempo 8 Januari 2008 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 52

Berikut adalah hasil simulasi dengan Metode Monte Carlo untuk opsi yahoo di atas: Opsi Call Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00.30 5.222 [5.282, 5.320] 2.50.67 2.773 [2.6775, 2.8693] 5.00 0.0 0.3265 [0.2307, 0.222] 7.50 7.90 7.906 [7.8965, 8.0086] 20.00 5.70 5.63992 [5.55033, 5.7295] 22.50 3.90 3.86733 [3.7977, 3.972] 25.00 2.5 2.692 [2.03, 2.5395] 27.50.35.37567 [.3253,.2592] 30.00 0.75 0.7809 [0.7667, 0.8732] 32.50 0.3 0.282032 [0.256988, 0.307067] 35.00 0.5 0.3075 [0.399, 0.7] 0.00 0.0 0.022829 [0.05769, 0.0298969] 2.50 0.05 0.009 [0.0056, 0.067] 5.00 0.05 0.00 [0.00, 0.00697] 50.00 0.05 0.00096 [-0.000, 0.00] 55.00 0.05 0 [0, 0] 0.06629 0.2928 0.02226 0.0078 0.005 0.008377 0.007837 0.0905 0.02 0.059893 0.28567 0.77706 0.79702 0.98 0.99008 60.00 0 0 [0, 0] - 65.00 0 0 [0, 0] - Tabel. perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 8 Januari 2008 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 53

Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 0.03 0 [0, 0] 2.50 0.05 0 [0, 0] 5.00 0.0 0 [0, 0] 7.50 0.2 0 [0, 0] 20.00 0.5 0 [0, 0] 22.50.05 0 [0, 0] 25.00.95.7772 [.5955,.839] 0.98 27.50 3.50 3.923 [3.2692, 3.56925] 0.023077 30.00 5.0 5.52 [5.2587, 5.5853] 0.00285 32.50 7.80 7.6878 [7.930, 7.87652] 0.0772 35.00 0.30 0.557 [9.95598, 0.355] 0.02378 0.00 5.30 5.235 [5.0759, 5.392] 0.023856 5.00 20.00 9.988 [9.8239, 20.53] 0.00058 50.00 26.70 2.9626 [2.8886, 25.0365] 0.06507 60.00 36.70 36.7078 [36.6, 36.7776] 0.0883 Tabel. 2 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 8 Januari 2008 Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 0, US$ 2.5, US$ 5, dan US$ 35 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 25.00 dan US$ 50. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 2.5 yaitu sebesar 0.2928 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.98 pada put. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 5

Jatuh tempo 8 April 2008 Gambar. 26 Harga Opsi dengan jatuh tempo 8 April 2008 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 55

Opsi Call Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 20.5 20.093 [9.959, 20.0926] 0.00686 2.50 6.65 6.7329 [6.6595, 6.8063] 0.00979 5.00 5.00 5.099 [.977, 5.252] 0.003327 7.50 2.75 2.782 [2.703, 2.863] 0.0025 20.00 0.05 0.0775 [9.97652, 0.6698] 0.0026 22.50 8.00 8.0296 [7.90703, 8.29] 0.0032 25.00 5.60 5.6259 [5.885, 5.76995] 0.00625 30.00 2.22 2.5925 [2.2922, 2.6263] 0.0777 32.50 0.87 0.93 [0.79069,.099] 0.0895 35.00 0.36 0.692 [0.29073, 0.5367] 0.58 37.50 0.08 0.08252 [-0.0209, 0.85392] 0.03065 0.00 0.07 0.09556 [0.03308, 0.77603] 0.363657 Tabel. 3 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 8 April 2008 Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 0.02 2.50 0.0 5.00 0.05 7.50 0.3 20.00 0.25 22.50 0.8 25.00 0.8 30.00 2.26 2.23997 [2.089, 2.3] 0.008863 32.50 3.70 3.7203 [3.9833, 3.9252] 0.005522 35.00 5.55 5.58727 [5.307, 5.8308] 0.00675 37.50 8.55 8.306 [8.505, 8.67568] 0.0606 0.00 0.20 0.557 [0.703, 0.7] 0.025069 Tabel. perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 8 April 2008 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 56

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 0 dan US$ 30 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 0 yaitu sebesar 0.00686 pada call dan strike price US$ 0.00 sebesar 0.025069 pada put. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 57

jatuh tempo 6 Januari 2009 Gambar. 27 Harga Opsi dengan jatuh tempo 6 Januari 2009 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 58

Opsi Call Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 9.50 9.9033 [9.5076, 20.299] 0.020682 2.50 6.75 6.7972 [6.38, 7.203] 0.00288 5.00.80.872 [., 5.283] 0.00389 7.50 2.65 2.6579 [2.972, 3.86] 0.000625 20.00 0.20 0.2327 [9.792, 0.762] 0.003206 22.50 7.95 8.002 [7.50069, 8.5036] 0.006553 25.00 6.30 6.5866 [6.0753, 7.0978] 0.057 30.00 3.2 3.29656 [2.79236, 3.80075] 0.026966 32.50 2.0 2.0908 [.9963, 2.89853] 0.9857 35.00.6.559 [0.9808,.9227] 0.2537 37.50 0.58 0.7093 [0.2588,.5977] 0.22293 0.00 0.30 0.560 [0.02709, 0.8893] 0.520033 5.00 0.5 0.2939 [-0.368, 0.63559] 0.6626 Tabel. 5 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 6 Januari 2009 Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 0.06 2.50 0.23 5.00 0.30 7.50 0.50 20.00 0.85 22.50.2 25.00.83 30.00 3.66 32.50 5.00.8308 [.5606, 2.0037] 0.000262 3.6060 [3.2556, 3.9607] 0.075 5.805 [.78786, 5.5723] 0.03603 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 59

35.00 6.70 6.7625 [6.29899, 7.335] 0.00225 37.50 8.80 8.755 [8.297, 9.99] 0.00693 0.00.05.303 [0.66,.66] 0.007267 5.00 5.0 5.5999 [5.0799, 6.98] 0.0298 Tabel. 6 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 8 Januari 2009 Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo hanya mengalami gagal pada strike price US$ 0 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 25 yaitu sebesar 0.057 pada call dan strike price US$ 32.50 sebesar 0.03603 pada put. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 60

jatuh tempo 5 Januari 200 Gambar. 28 Harga Opsi dengan jatuh tempo 5 Januari 200 Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 6

Opsi Call Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 9.30 20.383 [9.706, 2.66] 0.052762 2.50 6.0 8.3693 [7.996, 9.239] 0.20079 5.00.50 6.5706 [5.680, 7.608] 0.28 7.50.90.939 [.0322, 2.859] 0.003286 20.00 0.80 0.9777 [0.0593,.896] 0.065 25.00 7.05 7.0358 [6.37, 7.9578] 0.0020 30.00.00.0393 [3.9957, 5.0083] 0.025983 35.00.35.59527 [0.7235, 2.692] 0.868 0.00 0.75.38962 [0.5573, 2.2275] 0.852827 Tabel. 7 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 5 Januari 200 Strike Harga Opsi Mean MC Selang kepercayaan 95% Abs Rel. Error 0.00 0.3 2.50 0.35 5.00 0.69 7.50 0.93 20.00.30 25.00 2.58 2.33627 [.98963, 2.6829] 0.0969 30.00.50.32586 [3.9035,.7836] 0.038698 35.00 7.20 7.85 [6.97, 7.996] 0.039583 0.00.25.2525 [0.682,.8227] 0.000222 Tabel. 8 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 5 Januari 200 Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo mengalami gagal pada strike price US$ 0, US$ 2.5, dan US$5 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 62

price US$ 2.5 yaitu sebesar 0.20079 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.0969 pada put. Pada simulasi di atas disertakan pula perhitungan absolute relatif error dengan rumus [(Mean MC - Harga Opsi) / Harga Opsi]. Mean MC adalah nilai mean dari simulasi Monte Carlo sedangkan Harga Opsi adalah harga opsi yahoo yang tertera pada website http://finance.yahoo.com. Pada simulasi opsi call, nilai absolute relatif error terkecil adalah 0.0078 dan error terbesar adalah 0.2233. Pada opsi call, untuk strike price di bawah harga saham sekarang, absolute relatif error naik secara tajam karena dimungkinkan penentuan harga opsi pada website tersebut sudah tidak lagi mengikuti metode yang dipakai pada harga strike price yang lain. Pada simulasi opsi put, absolute relatif error terkecil adalah 0.00058 dan absolute relatif error terbesar adalah 0.98. Sedangkan pada strike price di bawah harga sekarang, absolute relatif error memberikan angka dikarenakan Mean MC memberikan nilai 0. Hal ini dikarenakan karena pada program yang dibuat oleh penulis untuk Put Amerika hanya memperhitungkan opsi-opsi yang In The Money saja. Secara keseluruhan, dilihat berdasarkan pertambahan jatuh tempo, simulasi Monte Carlo memberikan hasil penaksiran yang makin baik sampai dengan batas maksimal jatuh tempo tahun dari hari sekarang. Sedangkan untuk jatuh tempo di atas itu simulasi Monte Carlo memberikan hasil taksiran yang mulai menurun. Dari simulasi di atas dapat disimpulkan bahwa metode Monte Carlo sudah cukup bagus untuk menaksir harga Opsi Amerika dengan orde kesalahan sebesar 2 0. Metode yang digunakan oleh sumber yahoo finance tentu saja mengikuti metode kompleks yang sudah dimodifikasi sedangkan Metode Monte Carlo hanya mengikuti perumusan yang sederhana. Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo 63