PEMBENTKAN DIAGRAM SEMIGRP Sisk My Sri *, Sri Gemwti, Rol Pe Mhsisw Progrm S Mtemtik Dose JurusMtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm iverits Riu Kmpus Bi Widy, Pekru 893 Idoesi * siskmysri@yhoocom ABSTRACT I this pper, we discuss the properties of the semigroups digrm formed y semigroup presettio The discussio egis y givig illustrtio of the P, The, digrm, semigroup digrm from semigroup presettio tomic picture d grph re formed y defiig uio opertio o the digrm d dditio opertio o the grph All the properties of the semigroups digrm re stted i the form of theorems, s review of the semigroup digrm sectio i Digrm groups writte y Gu, V d Spir, M (996) Keywords: word, semigrup, semigrup presettios, grph ABSTRAK Dlm rtikel ii dihs sift-sift digrm semigrup yg teretuk dri sutu presetsi semigrup Pemhs dimuli deg memerik ilustrsi digrm P, Kemudi dietuk sutu semigrup dri sutu presetsi semigrup digrm, gmr tom d grf deg medefiisik opersi gug pd digrm d opersi pejumlh pd grfsemu sift-sift digrm semigrup diytk dlm etuk teorem, yg merupk review dri pokok hs digrm semigrup pd Gu,V d Spir,M (996) Digrm groups Kt Kuci: word, semigrup, presetsi semigrup, grf PENDAHLAN Ggs fudmetl dri himpu, pemet, opersi ier, d relsi ier sgt diperluk utuk mempeljri struktur ljrsutu struktur ljr ( structure of lger) dlh himpu tk kosog dim terdpt sedikity stu relsi ekuivlesi d stu tu leih opersi ier dpt didefiisik di dlmyslh stu ksus struktur ljr dlh semigrup Semigrup dlh sutu struktur ljr deg opersi ier yg ersift sositifopersi ier pd semigrup serig diotsik deg
, yg memetk tip psg erurut ke sutu eleme Mislk dlh himpu kosog yg eleme-elemey diseut huruf, wordw dlh ris huruf-huruf yg erhigg dri Seljuty di defiisik presetsi semigrup P segi psg,, deg dlh relsi driword-word Pd opersi permulword, du tu eerp word is diktk ekivle terhdp presetsi semigrup Dlm kry tulis ii k diperkelk sift-sift digrm semigrup memetuk seuh digrm, gmr tom d grf, yg di mil dri uku erjudul Digrm Groups krg Gu,V d Spir, M pd pokok hs Digrm Semigrup (Semigroup Digrm) SEMIGRP DAN GRAF Kosep-kosep yg dihs dlm kry tulis ii merupk mteri-mteri pedukug yg di mil dri eerp referesi yitu [] [] [3] [4] Defiisi (word): Mislk himpu tk kosog d Mk huruf pd dlh ggot dri merupk sutu peryt W x x i x i x Defiisi (Perkli word): Mislk u u u d V v v v, Du word dlm himpu Hsil kli d V didefiisik segi: Deg W VW V u u u v v v, deg ijeksi d wordw dlm V d utuk serg, V d W Jik W u, u, u3, u, u, u3 word dlm W mk u diseut suword dri W Defiisi 3 (Semigrup): Sutu himpu tk kosog S diktk Semigrup terhdp opersi yg diotsik deg S, jik memeuhi: Sift tertutup, yitu utuk setip x, y S mk x y S Sift sositif, yitu utuk setip x y, z S x y z x y z, erlku Defiisi 4 (Presetsi semigrup): Presetsi Semigrup P dlh psg,deg sutu himpu yg eleme-elemey huruf, sedgk himpu dimk himpu relsi Setip R dlh psg R, R deg R R merupk word positif dlm isy ditulis R R
Defiisi 5 (Suword): Mislk P, presetsi semigrup d W word positif dlm Defiisik opersi permul gi wordw, pil W merupk suword dri R deg, R R R, mk gti R deg R Defiisi 6 (Ekuivle Word): Du word d V dlm diseut ekivle (reltive terhdp presetsi semigrup P ) jik terdpt sutu ris higg word,,, V 0 m, sehigg meghsilk V dri yg diytk deg V Defiisi 7 (Grf): Grf G dlh seuh himpu yg memiliki verteks V E, ditulis deg G V, E Defiisi 8 (Sisi Grf): Mislk e u, v P d sisi dlh seuh sisi dlm G, yitu u d v dlh titik-titik ujug dri e Mk verteks u diktk djcet (erelsi) terhdp verteks v d sisi e diktk icidet (terhuug) pd u d pd v Seljuty k dierik defiisi sugrf, seelumy dierik otsi yg V H dlh himpu verteks-verteks dri grf G, EH H V, E dlh himpu verteks G V, E dlh himpu verteks d sisi dri grf G k diguk Dim dlh himpu sisi-sisi dri grf H Sedgk d sisi dri grf H d Defiisi 9 (Sugrf): Mislk G dlh seuh grf mk H dlh sugrf dri G jik V H V G, yitu jik verteks-verteks dri H jug verteks-verteks drig, d EH EG, yitu jik sisi-sisi dri H jug sisi-sisi drigdeg kt li, V, E G V, E jik V V d E E H dlh seuh sugrf dri Defiisi 0(Grf errh): Seuh grf G diktk grf errh dlh jik grf terseut memiliki verteks terurut Defiisi (Grf tk errh): Seuh grf G diktk grf errh dlh jik grf terseut memiliki verteks tk terurut Defiisi (Relsi Grf): Mislk G dlh seuh grf errh Seuh sisi errh e u, v diktk muli pd titik wl u d erkhir dititik khir v, d u d v diktk erelsi Defiisi 3(Lits): Mislk v 0 d v dlh verteks-verteks dlm seuh grf Seuh lits dri v0 ke v deg pjg dlh seuh ris erselg-selig dri verteks d sisi yg erwl deg verteks v0 d erkhir deg verteks v, 3
v0, e, v, e, v,, v, e, v, deg sisi e iside pd verteks vi d v i utuk i,, Defiisi 4(Orietsi Grf): Seuh grf erorietsi erlel dlh grf orietsi yg dilegkpi deg seuh lel fugsi yg memetk sisi positif ke E d sisi egtif ke E s s E e e E utuk setip sisi positif e Mislk P dri E Sellu di sumsik hw 3 PEMBENTKAN DIAGRAM SEMIGRP, dlh sutu presetsi semigrup d diperoleh uri segi erikut: secr umum setelh dilkuk relsi diperoleh uri: W0, W,, W V Mislk sutu digrm diotsik deg,dim mempuyi du lits Lits ts top diotsik deg d lits wh otdiotsik deg Mislk himpu digrm higg dri digrm-digrm Seljuty dpt didefiisik opersi gug pd, dim, deg dlh yg diikuti jik mk terdefiisi Defiisi 5: Mislk seuh presetsi semigrup, d V dlh du word dlm deg relsi R R, mk didefiisik digrm semigrup dlh digrm, V Dpt diliht pd Gmr : Gmr dlh digrm V Gmr : Digrm,V, deg relsi R R pd sutu presetsi semigrupseljuty mislk relsi R R d, R R, dri sutu word, mk dpt dietuk sutu digrm deg megmil V dlh sel yg erelsi Lits ts dilmgk deg top d lits wh dilmgk deg ot, seperti pd Gmr : V V 4
Gmr : Digrm Atom, V Kemudi digrm pd Gmr dpt dilukisk seuh Gmr tom, V, Sutu sel yg erelsi pd digrm sm deg stu tom pd Gmr tom, dim tom yg erelsi dihitmk seperti Gmr 3: V Gmr 3: Gmr Atom, V Sm seperti pd digrm didefiisik jug opersi pd gmr tom Mislk d dlh du uh gmr tom, mk terdefiisi jik top ot Seljuty, mislk dlh seuh digrm d dlh himpu dri semu digrm, mk dpt didefiisik opersi gug pd sehigg diproleh top ot, dim top lits ts d ot V dlh lits wh pd Dpt diliht pd Gmr 4: V V Gmr 4: Gmr tom Seljuty dri gmr tom dpt dilukisk mejdi grf Lits ts G pd grf d lits wh G pd grf Pd Gmr 3 dpt top pd digrm dlh verteks wl ot pd digrmdlh verteks khir V 5
dietuk sutu grf deg pd digrm disimolk G pd grf seperti pd Gmr 5: Gmr 5: GrfG Di dlm sift-sift Digrm semigrup pd uku Gu,V d Spir, M [3] k dietuk grf semigrup Sift-sift digrm semigrup yg dierik disii diytk dlm etuk digrm d grf Seperti hly digrm, mislk G sutu grf d Ĝ dlh himpu dri grf G Dpt didefiisik G pd opersi pejumlh, sehigg diperoleh G G Jdi Ĝ G G Teorem [3,h8] Mislk P sutu presetsi semigrup, mk du word d V dlm dlh sm ts P jik terdpt digrm, V ts P Bukti Mislk d V du word dlm ts P, errti erdsrk defiisi 3 dpt diperoleh digrm, V itu terdpt digrm, sehigg:, V Berdsrk defiisi 4 mk d V dlm dlh sm ts P Teorem [3,h8]) setip verteks V pd grf Ĝ terdpt sisi dri (Ĝ) ke (Ĝ) melewti V ) Setip grf Ĝmemiliki verteks wl (Ĝ) d verteks khir (Ĝ) Bukti Amil serg verteks V pd grf Ĝ, mislk V (Ĝ) tu V (Ĝ) Jik V (Ĝ), sehigg dpt diut sisi (Ĝ) ke (Ĝ) melewti V Deg cr yg sm, jik V (Ĝ), mk dpt diut V (Ĝ), sehigg setip verteks V pd grf Ĝ terdpt sisi dri (Ĝ) ke (Ĝ) melewti V Amil serg grf Ĝ, kre grf Ĝ dietuk dri digrm tom yg mempuyi lits ts top d lits wh ot Mk grf Ĝ jug mempuyi verteks wl d verteks khir yg dilmgk deg (Ĝ) d (Ĝ) seperti Gmr 6 erikut: G G V Gmr 6: GrfG G Teorem3 [3,h8] Setip sisi pd grf Ĝ dri (Ĝ) ke (Ĝ) memgi Ĝ mejdi du grf G d G sehigg G G dlm P d Ĝ G G Bukti Mislk Ĝ sutu grf, jik Ĝ hy mempuyi stu sisi e, mk Ĝ hy memut stu grf G, sehigg e dlh sisi dri G ke G Seliky jik Ĝ 6
mempuyi sisi e mk Ĝ hy memut stu grf G, sehigg e dlh sisi dri G ke G Jdi degg G d G G, Ĝ memgi du grf G dg, sehigg Ĝ G G Seljuty setelh dierik uri grf dri digrm, utuk leih memhmi digrm, gmr tom, d grf k dierik eerp teorem secr umum Teorem 4 [3,h9] Grf semigrup Ĝ tertutup terhdp opersi gug Bukti Amil serg grf G d G pd Ĝ, deg G G Sehigg pd G terdpt G, e, G d pd G terdpt G, e, G Mk, diperoleh G3 G G d G3 erd pd Ĝ, jdi kels dri grf semigrup Ĝ tertutup terhdp opersi gug Teorem 5 [3,h9] ) Mislk P seuh presetsi semigrup Mk utuk setip digrm ts P d setip word A, G, dlh seuh digrm) Jik G Ĝ d, G, dlh digrm semigrup utuk sutu word d mk G dlh seuh digrm semigrup Bukti Jik dlh gug dri digrm,,,, mk Sehigg pd grf : G G, G, G G, G, G G, G, G Jdi G jug seuh digrm Mislk Ĝ dlh gug dri grf G G G mk, Ĝ, dlh sm deg gug dri grf:, G,, G,, G, Sehigg grf G dlh seuh digrm semigrup, pd grf Seljuty digrm semgrup oleh diytk dlm digrm, gmr tom, d grf Sehigg utuk meytk segi digrm, gmr tom, d grf diguk otsi yg sm seperti pd digrm Teorem 6 [3,h9] Kels dri digrm tertutup diwh pejumlh Bukti Jik dlh digrm s, t d dlh digrm u, v mk digrm memut s,,t d digrm memut u,,v, sehigg: t u 7
Seljuty mislk seuh digrm d p d q lits deg titik d sm Deg Teorem terdpt lits s d t mghuugk titik wl d titik khir deg d Deg Teorem 3 lits spt memgi mjdi gug du digrm Sehigg q lits wh d p lits ts Lits sqt memgi mejdi gug dri du digrm 3 4,mk,, s, t d sugrf dri terletk tr p d dim 3 q Kemudi deg Teorem 5 ) Jik dlh seuh digrm, mk setip digrm yg dietuk deg cr ii diseut su digrm dri terletk tr p d q, seperti pd Teorem 7 erikut ii Teorem7 [3,h0] Mislk seuh digrm ts presetsi semigrup P R d mislk p d q du lits pd deg p topq otp otq Mk lel p d q dlh sm dlm P top d Bukti Pd ksus ii p d q hy mempuyi du titik umum (jik u v d s t dlh modulo P mk us vt dlm P ) Asumsik hw q dlh lits wh d p dlh lits ts Mislk digrm tu gug digrm tom Mk s p s P sehigg p q su digrm tr p d q Sehigg ts P Mislk i q s,, s dlh seuh digrm, i,,, d ris dlh derivsi ts, dlh sm deg P 4 CONTOH Dri uri pd Gmr deg relsi Mislk dlh seuh digrm dim top d ot V Sehigg dlh digrm tom yg dpt dilukisk pd Gmr 7 erikut: 3 V 8
Gmr 7: Gmr Atom, Seljuty dri Gmr 7 dpt didefiisik opersi pejumlh pd grf Mislk G d G sutu grf, mk G G terdefiisi jik G G Cotoh 6 dpt dilukisk segi grf deg G dlh verteks wl yg dilmgk deg W d G V dlh verteks khir yg dilmgk deg W seperti pd Gmr 8: G W G W Gmr 8: Grf G G Jdi Gmr 8 dlh seuh grf yg diperoleh dri seuh digrm deg opersi pejumlh DAFTAR PSTAKA [] Ahmd, AG & Sri Gemwti 004 Grf Kumpul Gmr Rjh dripd Semikumpul, Prosd Simposium Kegs ke III IA, Mlysi [] Gilert, W J & Nicholso, W K 004 Moder Alger With Applictios Jho Wiley & Sos, Ic [3] Gu, V& Spir, M 996 Digrm Groups, SOrlov St, Russi [4] Lipschutz, S & Lipso, M L 00 Mtemtik Diskrit, jilid Slem Tekik, Jkrt 9