ANOVA SATU ARAH Nucke Widowati Kusumo Proo, S.Si, M.Sc
It s about: Ui rata-rata untuk lebih dari dua populasi Ui perbandingan ganda (ui Duncan & Tukey) Output SPSS
PENDAHULUAN Ui hipotesis yang sudah kita lakukan memungkinkan untuk melakukan perbandingan nilai populasi dengan nilai hipotesis dan perbandingan antara dua populasi Permasalahan timbul pada saat akan membandingkan nilai lebih dari dua populasi
CONTOH Penelitian dilakukan di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak untuk melihat usia ibu yang paling optimal untuk melahirkan bayi tanpa kelainan pasca melahirkan. Langkah pertama adalah menentukan apakah ada perbedaan rata-rata usia ibu melahirkan bayi pertama, kedua, ketiga, dan lebih dari tiga dimana teradi komplikasi pasca melahirkan.
CONTOH Hipotesis nol nya adalah semua grup memiliki rata-rata usia yang sama Bisa dilakukan penguian antar dua grup, sehingga akan dilakukan 6 kali penguian. (grup 1 vs grup 2, grup 1 vs grup 3 dst ) pada level 0.05 Apa yang teradi dengan tingkat α? Ingat bahwa α = P(tolak H 0 H 0 benar) P(gagal tolak H 0 H 0 benar )=1- α
CONTOH Jika sudah dilakukan 6 kali penguian pada level 0.05 secara independen, maka P(gagal tolak H 0 H 0 benar )=(1 0.05) 6 = 0.735 P(tolak paling sedikit 1 H 0 benar )=1-0.735=0.265=α = Error tipe I Perhatikan nilai α yang membesar seiring banyaknya penguian yang dilakukan
SOLUSI ANOVA REGRESI LINIER (tidak akan dibahas di mata kuliah ini)
ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) Hipotesis null secara umum adalah μ 1 = μ 2 = = μ n Mengui apakah rata-rata seluruh grup adalah sama Hipotesis alternatifnya adalah paling sedikit terdapat satu rata-rata grup yang berbeda Grup mana yang berbeda tidak dapat ditunukkan dalam ui anova
ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) Asumsi sebelum melakukan ui anova: Populasi berdistribusi normal Varians setiap grup adalah sama, homokedastis
Misalkan asumsi normalitas dan homokedastis terpenuhi Jika semua grup memiliki rata-rata yang sama maka distribusi seluruh populasi akan sama seperti gambar Gambar
Gambar Nah..ika rata-rata populasi nya berbeda,maka dapat digambarkan sebagai berikut. Perhatikan bahwa variabilitas antar grup lebih besar daripada variabilitas dalam grup.
Sumber Keragaman Jika mengambil sampel dari suatu populasi maka akan terdapat dua sumber keragaman Within group variability ketika mengambil sampel dari grup maka terdapat keragaman dari orang-orang di dalam grup yang sama tersebut Selalu ada karena merupakan keragaman sampling Between group variability perbedaan antara grup-grup Hanya muncul ika grup-grup yang ada berbeda Jika between group variability besar maka rata-rata dari dua group tersebut cenderung berbeda
Dua macam variasi dapat digunakan untuk menetukan apakah rata-rata nya cenderung berbeda atau tidak. Panah biru: within group, Panah Merah: between group
Panah biru: within group, Panah Merah: between group Perhatikan ketika distribusinya terpisah, variasi between group lebih besar daripada within group
STATISTIK F Pernguian varians dua populasi menggunakan perbandingan antara rasio dua varians terhadap distribusi F Anova menggunakan metode serupa yaitu dengan perbandingan terhadap distribusi F
NOTASI i Observasi ke-i dari grup ke- 1 n n i1 i Mean grup n n Grand mean seluruh grup
SUMBER KERAGAMAN Deviasi tiap observasi dari grand mean dapat dipisahkan menadi dua bagian i i i Within group variability Between group variability Bagaimana bentuk kuadrat dari deviasinya? (penghitungan varians)
Persamaan deviasi kuadrat yang diumlahkan per observasi dan grup 4 1 1 2 4 1 1 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 2 n i n i i n i i n i i n i i
Persamaan akhirnya dapat diringkas menadi: 4 n 1 i1 2 4 n 4 n 2 i 1 i1 i 1 i1 2 Total sum of squares (SS T ) Within group sum of squares (SS W ) Between group sum of squares (SS B ) Kita akan membandingkan dua error untuk menentukan apakah rata-rata grup adalah sama
The within group variability dapat ditulis sebagai standard deviasi grup, s i, which are often given summary statistics SS W 4 n 1 i1 2 1 i n 4 1 s 2
Ingat bahwa Anova menggunakan asumsi bahwa seluruh s i adalah sama, sehingga bisa dihitung estimasi s i (seperti pooled varians). Hasilnya disebut within group mean square error, yang merupakan the overall estimate of the within group variance MS W 4 1 4 n 1 1 n 1 s 2 Penyebutnya adalah total sampel size minus umlah grup
The between group variability dituliskan menadi SS B 4 n 1 i1 2 4 n The between group mean square error adalah: MS B 4 1 n Penyebut MS B adalah umlah grup-1, karena yang diperhatikan adalah grup means sebagai observasi dan grand mean sebagai rata-rata. 4 1 1 2 2
STATISTIK F Sudah dilakukan estimasi untuk memperoleh between group and within group variation, maka gunakan statistik F: Dimana k adalah umlah grup dan n adalah umlah total sampel Dibandingkan dengan F tabel dengan DoF k-1 dan n-k F k1, nk MS MS B W SS SS B W k 1 n k
ANOVA table Untuk melengkapi perhitungan maka perlu dihitung SS s, MS s and the F-statistic Nilai-nilai penghitungan bisa dibuat tabel yang lazim disebut sebagai tabel anova Source of variation SS df MS F p-value Between SS B k-1 MS B MS B /MS Within SS W n-k MS W Total SS T W
Langkah-Langkah Penguian Hipotesis 1) Formulasi hipotesis null dan alternatif H 0 : m 1 m 2... m n H A : paling sedikit terdapat satu rata-rata yang berbeda 2) Tentukan level a 3) Lengkapi ANOVA table 4) Bandingkan dengan nilai F tabel 5) Tolak/terima H 0 6) Kesimpulan
Contoh Ringkasan penghitungan untuk contoh kasus di atas pertama kedua ketiga > 3 Mean 39.3 38.6 37.2 36.2 Standard deviation Ukuran sampel 1.67 1.93 1.55 1.17 30 16 10 6
ANOVA table Source of variation SS df MS F p-value Between 70.446 3 23.482 8.25 0.00012 Within 165.038 58 2.845 Total Kesimpulan: Paling sedikit terdapat satu grup yang memiliki rata-rata berbeda significant dengan grup yang lain
UJI WILAYAH BERGANDA DUNCAN Salah satu posthoc test Dilakukan ika hasil ui ANOVA, tolak H 0 Untuk menentukan rata-rata grup mana yang berbeda Merupakan solusi untuk menemukan rata-rata grup yang berbeda tanpa harus melakukan ui beda rata-rata dua populasi
UJI WILAYAH BERGANDA DUNCAN Misalkan k contoh acak semuanya berukuran n Wilayah p rata-rata contoh harus melampaui nilai tertentu sebelum kita dapat mengatakan bahwa p nilai tengah populasinya berbeda Nilai ini disebut wilayah nyata terkecil bagi p nilaitengah itu dan dilambangkan dengan Rp R p = r p. s = r p. s 2 n
UJI WILAYAH BERGANDA DUNCAN s = nilai dugaan ragam populasi σ 2 Nilai r p yang disebut wilayah terstudentkan nyata terkecil, bergantung pada taraf nyata yang diinginkan dan banyaknya deraat bebas kuadrat tengah galat, cari di tabel
Walpolle hal 394. CONTOH
UJI TUKEY HSD (Honestly Significant Different) Salah satu posthoc test Dilakukan ika hasil ui ANOVA, tolak H 0 Untuk menentukan rata-rata grup yang berbeda Mengui hipotesis nol bahwa dua rata-rata adalah sama H0: μ1 = μ2 H1: μ1 μ2
PROSEDUR PENGUJIAN Hitung Tabel ANOVA Cari nilai rata-rata grup, MSw, dan umlah n per grup Hitung Nilai Tukey test Bandingkan dengan nilai Tabel, dengan deraat bebas = deraat bebas pada MSw, dan k= umlah treatment/umlah grup Jika Tukey Test>Tukey Tabel, berarti Tolak Ho, Rata-rata kedua grup tersebut berbeda signifikan
FORMULA NILAI TUKEY TEST M = treatment/group mean n = number per treatment/group MSw = Mean Square Within, dari tabel ANOVA
CONTOH Lihat lembar kera dan Tabel Tukey