SEBAR RAN ASIM MTOTIK PE ENDUGA TURUNAN N PERTAM MA DAN KEDU UA DARI KOMPONE K EN PERIO ODIK FUN NGSI INTE ENSITAS PR ROSES POIISSON PER RIODIK DENGAN D T TREN LIN NEAR SA ALIWAT TI SE EKOLAH H PASCAS SARJANA A INS STITUT PERTANIA AN BOGO OR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear adalah karya saya sendiri dengan arahan pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Saliwati NIM. G551070191
ABSTRACT SALIWATI. Asymtotic Distribution of Estimators for the First and Second Derivatives for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In this process, the local intensity function at s expresses the rate of the process at time s. If the intensity function is increasing linearly with respect to time then the suitable model is periodic Poisson process with linear trend. This thesis is concerned with asymptotic distribution of estimators for the first and second derivatives for periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend using general kernel function. Formulation of estimators for the first and second derivatives of the intensity function are the following. First, an estimator for the intensity function it self has to be formulated. Then, statistical properties of the estimators for the first and second derivatives of the intensity function are studied. Finally, asymptotic normality of those estimators are established. Keywords: periodic Poisson process, intensity function, linear trend, kernel function, asymptotic normality..
Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR SALIWATI Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009
RINGKASAN SALIWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I Wayan Mangku dan Siswandi. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson priodik, diperlukan pula penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini direview perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Selain itu dikaji sifat-sifat statistikanya, selanjutnya ditentukan sebaran asimtotik dari penduga-penduga yang dikaji. Pada awalnya ditentukan penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas dengan λ λ s, pada 0, dari suatu proses Poisson periodik (dengan periode diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval 0,. Penduga tipe kernel bagi, dirumuskan sebagai berikut: λ,, 1 1. Dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi yang dirumuskan sebagai:,,,,,,. 2 Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi yang dirumuskan sebagai berikut:,,,, 2,, 2 2,,. 4 Pada ketiga penduga di atas, disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat sifat statistika serta sebaran asimtotik dari penduga,, dan,,. (i). Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,
.,, (ii). (iii). (iv). Aproksimasi asimtotik bagi ragam,, 2 2 6 2,, 4 1. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan,,,, 1 3. Aproksimasi asimtotik bagi ragam,,,, 3 8 3 6 8 (v) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K ' ln,, 4 12 d (vi) Normalitas Asimtotik untuk λ c, n, K. " ln ",, " d 1. 0, 2 0, 3 8 1 K 2 ( x) dx. 1 1 K 2 ( x) dx. 1
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir.Hadi Sumarno, MS.
Judul Tesis Nama NIM : Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. : Saliwati : G551070191 Disetujui, Komisi Pembimbing Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc Ketua Drs. Siswandi, M.Si Anggota Diketahui, Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pasca Sarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 7 Agustus 2009. Tanggal Lulus :
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2009 ini adalah Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren linear. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. dan Bapak Drs. Siswandi, M.si selaku pembimbing serta Bapak Dr.Ir.Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan bea siswa, kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir kepada Yang tercinta suami dan keempat putri, kedua orang tua dan seluruh keluarga yang memberikan motivasi dan do a. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Saliwati
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tarempa pada 8 September 1969 dari Ayah H. Saleh dan Ibu Hj. Nurjannah Penulis merupakan putri ke-enam dari sebelas bersaudara. Tahun 1989 penulis lulus dari MAN 1 Pekanbaru dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk UNRI (Universitas Riau) Pekanbaru pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada Program Studi Matematika Fakultas MIPA IPB diperoleh pada tahun 2007. Penulis adalah staf pengajar Bidang studi Matematika sejak Juli 1997 di Madrasah Aliah Negeri 2 Model Pekanbaru.
DAFTAR ISI Halaman I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tujuan Penelitian... 2 II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik.3 2.2 Review Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik... 6 III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 3.1 Perumusan Penduga bagi dan "..9 3.2 Review Sifat-sifat Statistika 10 3.3 Review Sifat- sifat Statistika 23 3.4. Review Sifat-sifat Statistika ",, 26 IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 4.1 Sebaran asimtotik dari,,... 30 4.2 Sebaran asimtotik dari λ",,k... 44 V KESIMPULAN... 55 DAFTAR PUSTAKA... 57 LAMPIRAN... 59