Peningkatan Rasio Konsistensi pada Metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains (2016) 6:35 42; ISSN: Tersedia online di : Peningkatan Rasio Konsistensi pada Metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy Farikhin Siti Khabibah Djuwandi Jurusan Matematika FSM Undip farikhin.math.undip@gmail.com Abstrak. Metode AHP ( analytic hierarchy process) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk pembuatan keputusan. Metode AHP dapat digunakan untuk pembuatan keputusan jika rasio konsistensinya kurang dari 01. Pada makalah ini dibahas proses optimasilisasi rasio konsistensi menggunakan relasi preferensi fuzzy. Dengan suatu transformasi dapat dikontruksikan relasi preferensi fuzzy yang bersifat konsisten aditif. Selanjutnya diberikan contoh optimasi rasio konsistensi sebagai ilustrasinya. Kata kunci. metode AHP rasio konsistensi matriks relasi preferensi fuzzy 1. Pengantar Dalam perencanaan dan pembuatan keputusan harus didasarkan atas argumentasi logis dan sistematik sehingga solusi yang dihasilkan merupakan alternatif terbaik dari alternatif yang tersedia. Metode analytical hierarchy process (AHP) merupakan salah satu metode yang digunakan untuk memperoleh solusi terbaik dari alternatif-alternatif yang tersedia. Pembuatan keputusan menggunakan metode AHP melalui empat tahapan yakni : Menentukan struktur hirarki dari problema keputusan Membuat matrik relasi prefrensi multiplikatif Pengujian konsistensi dan menentukan vektor prioritas untuk himpunan alternatif keputusan. Jika rasio konsistensi kurang dari 010 maka vektor prioritas dapat diterima setalah dinamakan normalisasi vektor (Brunelli 2015; Saaty & Vargas 2012). Problema yang muncul pada metode AHP adalah penentuan vektor prioritas dan rasio konsistensi. Vektor prioritas dari matriks komparasi resiprokal dapat ditentukan dengan metode nilai eigen metode rata-rata geometrik atau metode lainnya. Secara umum penentuan vektor prioritas dapat diselesaikan dengan cara mengubah persoalan menjadi permasalahan optimasi (Fredizzi & Brunelli 2010; Brunelli 2015). Isu konsistensi dan prioritas merupakan problema utama dalam metode AHP. Seorang pembuat keputusan biasanya terbatas pengetahuannya mengenai suatu masalah. Hal ini yang dapat menyebabkan konsistensi menjadi rendah. Upaya peningkatan rasio konsistensi dapat dilakukan dengan mengkaji indeks konsistensi (IK) dan relasi preferensi. Indeks konsistensi dapat diukur menggunakan konsep triplets. Konsep ini dibangun melalui analisis submatriks dari matriks komparasi resiprokal yang ada. Selanjutnya dapat dibentuk matriks komparasi resiprokal yang bersifat konsisten/ hampir konsisten (Lamata & Pelaez 2002). Penelitian didanai oleh DIPA FSM Undip

2 Peningkatan Rasio Konsistensi pada metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy Farikhin Khabibah Djuwandi Peningkatan konsisten dapat dilakukan melalui relasi preferensi fuzzy. Kajian ini dilakukan secara analitik yang memperhatikan sifat-sifat fundamental dari relasi preferensi fuzzy. Lebih lanjut studi mengenai hal ini difokuskan pada syarat cukup dan syarat perlu suatu matriks bersifat konsisten aditif (Khabibah dkk. 2015; Liu dkk. 2012; Lee 2012). Dalam makalah ini diusulkan suatu proses rekonstruksi matriks relasi preferensi multiplikatif (RPM) yang bersifat konsisten. Proses ini menggunakan beberapa transformasi yang menghubungkan antara relasi preferensi multiplikatif dengan relasi preferenssi fuzzy. Selanjutnya diberikan suatu contoh proses rekonstruksi tersebut pada matriks RPM yang tidak bersifat konsissten. 2. Relasi Preferensi pada Metode AHP Pada bagian ini dibahas secara ringkas relasi preferensi multiplikatif dan kaitnya dengan rasio konsistensi metode AHP. Sebelumnya diberikan penghitungan rasio konsistensi dalam metode AHP. Misalkan = { } himpunan alternatif keputusan. Nilai preferensi alternatif keputusan terhadap alternatif keputusan dinyatakan dengan notasi untuk = Jika nilai-nilai dituliskan dalam matriks = dengan > 0 = 1 dan = 1 untuk = maka matriks dinamakan matriks relasi preferensi multiplikatif (RPM) atau matriks komparasi resiprokal. (1) Pengukuran ketidakkonsisten pembuat keputusan dapat dilakukan melalui analisis elemen-elemen matriks. Misalkan adalah nilai eigen terbesar matriks maka. Ole karenanya besaran = diinterpretasikan sebagai rata-rata ketidakpastian yang dihasilkan oleh pembuat keputusan (Saaty 1986). dihitung dengan rumus berikut Rasio konsistensi = (2) dengan = adalah nilai eigen terbesar matriks dan ditentukan dalam Tabel 1. Nilai ini diperoleh sebagai rata-rata dari dengan dihitung dari matriks berukuran dan elemen-elemennya dipilih secara random dari himpunan Matriks RPM dikatakan dapat diterima jika nilai pada (2) kurang dari atau sama dengan

3 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: Tabel 1. Nilai IR untuk alternatif keputusan. n IR Definisi 1: Diberikan matriks keputusan RPM = jika = untuk setiap = Matriks A dikatakan konsisten Pembuatan keputusan yang bersifat konsisten merupakan keluaran ideal dari metode AHP. Semakin nilai eigen terbesar mendekati maka rasio konsistensinya akan semakin baik. Secara analitik hubungan antara sifat konsisten dan nilai eigen terbesar ditulis dalam teorema berikut. Teorema 2 (Saaty 1986): Diberikan himpunan n alternatif keputusan = { } dan matriks RPM 1 a a a = 1 a. Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen. a a 1 (a) Matriks merupakan matriks RPM yang konsisten (b) Nilai eigen terbesar matriks sama dengan. Misalkan = { } adalah alternatif keputusan dan adalah permutasi dari alternatif keputusan = { }. Notasi menyatakan alternatif keputusan lebih disukai daripada. Jika permutasi tersebut membentuk suatu prioritas keputusan maka sifat transitif pasti berlaku yakni jika dan maka. Alternatif keputusan merupakan keputusan terbaik untuk dipilih diantara alternatif-alternatif keputusan dari = { }. Teorema berikut memperlihatkan syarat cukup agar prioritas keputusan dijamin ada. Teorema 3 (Saaty 1986): Diberikan himpunan alternatif keputusan = { } jika matriks RPM bersifat konsisten maka terdapat prioritas keputusan dengan adalah permutasi dari alternatif keputusan = { }. 37

4 Peningkatan Rasio Konsistensi pada metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy Farikhin Khabibah Djuwandi Relasi preferensi dapat dikontruksikan sebagai fungsi yang bernilai di antara 0 dan 1. Relasi yang demikian disebut relasi preferensi fuzzy. Adapun definisi formal relasi preferensi fuzzy adalah sebagai berikut. Definisi 4: (a) Diberikan matriks keputusan = r. Matriks disebut matriks relasi preferensi fuzzy (RPF) jika entri-entri matriks memenuhi sifat = dan + = 1 untuk setiap = 1 2. (b) Matriks RPF dinamakan matriks konsisten aditif jika = + untuk setiap = 1 2. Dalam relasi RPM elemen matriksnya berada di antara dan 9. Untuk relasi preferensi fuzzy elemen matriksnya berada di antara 0 dan 1. Karakteristik relasi RPF banyak dikembangkan tidak hanya untuk problema pembuatan keputusan individu tetapi juga untuk pembuatan keputusan berkelompok. Beberapa sifat-sifat realsi RPF ini dituliskan dalam teorema-teorema selanjutnya. 3. Hubungan antara Relasi RPM dan RPF Pada bagian ini dibahas beberapa transformasi dari relasi RPM ke relasi RPF atau sebaliknya. Transformasi ini mempertahankan sifat konsisten atau konsisten aditif. Untuk pembuktian teorema-teorema pada bagian ini dapt dilihat dalam ( Herrera-Viedma dkk. 2004; Xu & Da 2003; Fedrizzi and Brunelli 2010) Teorema 5 (Herrera-Viedma dkk. 2004; Fedrizzi & Brunelli 2010): Diberikan himpunan alternatif keputusan = { } jika matriks = merupakan matriks RPF dengan adalah matriks RPM maka matriks = r = 1 + log (3) untuk = 1 2. Teorema 6 (Herrera-Viedma dkk. 2004; Fedrizzi and Brunelli 2010): Diberikan himpunan alternatif keputusan = { } jika matriks = 38

5 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: r 1 merupakan matriks RPF maka = 1 1 adalah matriks RPM dengan = 9 (4) untuk = 1 2. Teorema 7 (Xu & Da 2003; Fedrizzi & Brunelli 2010): Diberikan himpunan n alternatif keputusan = { } jika matriks = merupakan matriks RPF dengan untuk = 1 2. adalah matriks RPM maka matriks = = 1 + r Teorema 8 (Xu & Da 2003; Fedrizzi & Brunelli 2010): Diberikan himpunan n alternatif keputusan = { } jika matriks = r 1 merupakan matriks RPF maka = 1 1 adalah matriks RPM dengan = untuk = 1 2. Tinjau dua fungsi berikut ( ) = 1 + log( ) dan ( ) = 9 ( ) maka ( )( ) = dan ( )( ) = Jadi ( ) adalah invers fungsi ( ). Oleh karena itu Teorema 5 dapat dipandang sebagai konvers dari Teorema 6. Demikian juga dengan Teorema 7 dan Teorema 8. Keduanya saling berkebalikan. Transformasi keduanya mempunyai invers Strategi Peningkatan Rasio Konsistensi Peningkatan rasio konsistensi dapat dilakukan pada matriks RPM dan matriks RPF. Kajian rasio konsistensi pada matriks RPM difokuskan pada redefinsi formula =. Definisi lain tentang dapat dihitung dengan konsep triplets. Konsep ini memungkinkan perhitungan 39

6 Peningkatan Rasio Konsistensi pada metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy Farikhin Khabibah Djuwandi berdasarkan matriks RPM berukuran 3 3 (Lamata & Pelaez 2002). Untuk matriks RPF studi mengenai rasio konsistensi dilakukan berdasarkan sifat matriks RPF itu sendiri. Secara analitik dapat dibentuk matriks RPF baru yang bersifat konsisten aditif. Pembahasan mengenai hal ini dapat dilihat dalam (Liu dkk. 2012; Lee 2012). Suatu transformasi dari matriks RPF ke matriks RPF yang baru dengan cara sebagai berikut. Diberikan matriks RPF = dan = dengan = + (5) untuk setiap 1. Syarat cukup dan syarat perlu agar matriks RPF bersifat konsisten aditif adalah =. Pembuktian pernyataan ini dapat dilihat dalam (Khabibah dkk. 2015). Berdasarkan hal ini dan Teorema 5 dan 6 dapat disusun suatu algoritma untuk meningkatkan rasio konsistensi pada matriks RPM. Algoritma 1 (Peningkatan Rasio Konsistensi): Input : Matriks RPM A Output : Matriks RPM B yang dapat diterima [1]. Transformasikan matriks RPM ke matriks RPF dengan menggunakan (3) [2]. Transformasikan matriks pada langkah [1] dengan menggunakan (5) [3]. Ubah matriks RPM pada langkah [2] ke matriks RPM B dengan menggunakan (4) [4]. Selesai. Untuk mengevaluasi kinerja Algortma 1 diberikan ilustrasi contoh berikut. Matriks diambil dari referensi (Lamata & Pelaez 2002). Hal ini dimaksudkan agar dapat dibandingkan hasil Algoritma 1 dengan hasil komputasi yang sudah ada. Contoh 9: Tinjau matriks RPM /7 1 1/6 9 =. Nilai eigen terbesar matriks 1/7 1/ /9 1/9 1/3 1 sama dengan sehingga rasio konsistensinya Dengan demikian matriks RPM = = > 01 (09) bukan matriks yang dapat diterima. Rasio konsistensi dapat diperbaiki menggunakan Algoritma 1. Jika algoritma ini digunakan untuk matriks RPM maka diperoleh matriks RPM baru 40

7 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: sehingga = Oleh karenanya Jadi terbukti bahwa matriks RPM baru = 0 < 01 (09) mendekati matriks RPM yang konsisten. Rasio konsistensi dapat juga diperbaiki menggunakan konsep triplet. Konsep ini dibangun berdasarkan submatriks berukuran 3 3. Salah satu hasil rekonstruksi matriks RPM dengan triplet adalah sehingga / Dapat dihitung bahwa = / / /3 1 (09) = < 01 Jadi rekonstruksi ini menghasilkan matriks baru yang dapat diterima. Untuk pembahasan secara mendalam mengenai rekosntruksi berdasarkan konsep triplets dapat dilihat dalam (Lamata dan Pelaez 2002). 6. Kesimpulan Konstruksi matriks RPM yang mendekati matriks RPM konsisten dapat dilakukan dengan relasi preferensi fuzzy. Dengan syarat cukup agar matriks RPF menjadi matriks RPF bersifat konsisten aditif dibuat suatu algoritma sederhana berdasarkan hubungan antara relasi preferensi fuzzy dengan relasi preferensi multiplikatif. Keterhandalan algoritma ini telah diujikan pada suatu matriks RPM yang tidak bersifat konsisten. Ucapan terimakasih Tulisan ini merupakan bagian dari penelitian yang didanai oleh DIPA FSM UNDIP Penulis juga mengucapkan terima kasih atas koreksi dan masukan yang diberikan oleh tim penelaah prosiding ini. Referensi Brunelli M. (2015). Introduction to analytic hierarchy process. New York : Springer. Fedrizzi M. & Brunelli M. (2010). On the priority vector associated with a reciprocal relation and a pairwise comparison matrix. Soft Computing Herrera-Viedma E. Herrera F. Chiclana F. & Luque M. (2004). Some issues of fuzzy preferency relation. European Journal of Operational Research

8 Peningkatan Rasio Konsistensi pada metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy Farikhin Khabibah Djuwandi Khabibah S. Farikhin & Puspita N. P. (2015). Pengembangan metode tipe AHP berdasarkan relasi preferensi fuzzy tergeneralisir untuk pembuatan keputusan berkelompok. Laporan Penelitian FSM UNDIP. Lamata M.T. & Pelaez J. I. (2002) A method for improving the consistency of judgements. International Journal of Uncertainty. Fuzziness and Knowledge-Based Systems 10(6) Lee L.-W. (2012). Group decision making with incomplete fuzzy preference relastion based on the additive consistency and the order consistency. Expert Systems With Applications Liu X. Pan Y. Xu Y. & Yu S. (2012). Least square completion and inconsistency repair methods for additively consistent fuzzy preference relations. Fuzzy Sets And Systems Saaty T. L. (1986). Axiomatic foundation of the analityc hierarchy process. Management science 32(7) Saaty T. L. & Vargas L. G. (2012) Models methods concepts & applications of the analytic hierarchy process. New York: Springer. Xu Z. & Da Q. (2003). An approach to improving consistency of fuzzy preference matrix. Fuzzy Optimization and Decision Making