Embedding Komplemen Graph Sikel. Embedding Cycle Graphs Complements

Transkripsi

1 4 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) Embedding Komplemen Graph Sikel Embedding ycle Graphs omplements Liliek Susilowati, Hendy & Yayuk Wayuni Departemen Matematika FMIPA Uniersitas Airlangga ABSTRAT A graph is embeddable on a surface if it can be drawn on that surface without any edges intersect. The cycle graphs can always be embedded on the plane and the torus, but this is not occurred for their complements. We proe that the maximum order of cycle graphs such that their complements still can be embedded on the plane is 6. But, the maximum order of cycle graphs such that their complements still can be embedded on the torus is. Also, the crossing number of complements of cycle graphs which can t be embedded on the plane with minimum order will be presented. Keywords: Embedding,, graph sikel. PENDAHULUAN Embedding suatu graph adalah penggambaran graph pada sebuah permukaan (surface) tanpa memuat perpotongan garis. Jika suatu graph dapat digambarkan pada bidang tanpa memuat perpotongan garis atau dengan kata lain dapat di-embed ke bidang maka graph tersebut disebut graph planar. Karakteristik dari graph planar telah diketahui sebelumnya, diantaranya yaitu subgraph dari graph tersebut planar (Bondy & Murty 2), graph tersebut tidak memuat subgraph yang merupakan subdiisi dari salah satu diantara K5 dan K3,3 (hartrand & Lesniak 6) atau Jika G(n,m) adalah graph planar dengan n 3 maka m 3n 6 (hartrand & Lesniak 6). Jika suatu graph telah diketahui nonplanar maka penggambaran graph tersebut pada bidang akan memuat perpotongan garis. Permasalahan yang timbul adalah berapa minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan. Bilangan perpotongan (crossing number) dari graph G dinotasikan dengan (G) adalah minimum jumlah perpotongan garis graph G pada bidang. Dengan demikian graph G planar jika dan hanya jika ( G) = 0 (hartrand & Lesniak 6). Pembahasan mengenai embedding suatu graph tidak terbatas hanya pada bidang namun terdapat permukaan lain yang menarik untuk diteliti. Salah satunya adalah embedding suatu graph pada torus. Torus adalah permukaan yang memiliki bentuk menyerupai donat (hartrand & Lesniak 6). Torus dapat disajikan dalam ruang berdimensi dua yaitu dengan melakukan pemotongan secara ertikal dan horisontal. Hal ini bertujuan untuk mempermudah penggambaran suatu graph pada torus (Woodcock 2007). Suatu graph dikatakan toroidal jika graph tersebut dapat di-embed ke torus. Komplemen graph G dinotasikan dengan G adalah graph yang himpunan titiknya sama dengan himpunan titik pada G dan dua titik pada G terhubung jika dan hanya jika kedua titik tersebut tidak terhubung pada G. Graph sikel adalah graph yang berbentuk satu sikel (hartrand & Oellerman 3). Graph sikel dengan order n dinotasikan dengan merupakan graph planar dan graph toroidal karena berapapun ordernya selalu dapat diembed ke bidang maupun ke torus, namun komplemennya belum tentu demikian. Dalam tulisan ini akan dibahas order maksimal dari graph sikel sehingga komplemennya tetap planar maupun toroidal. Selanjutnya akan dibahas bilangan perpotongan dari komplemen graph sikel nonplanar dengan order minimal. HASIL DAN PEMBAHASAN Embedding komplemen graph sikel pada bidang

2 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No. 2, Juli 200 : Sebelum membahas embedding pada bidang, akan dibahas hubungan antara komplemen graph sikel berorder n dengan komplemen graph sikel berorder n pada Lemma 2.. Lemma 2. Untuk n 4, merupakan subgraph dari. _ ( n ) = {, 2,..., n Bukti: misalkan. _ didapatkan dengan menghubungkan pasangan titik V ( ) yang tidak terhubung pada titik yang terhubung pada terhubung. Selanjutnya graph dengan menambahkan satu titik dengan menghubungkan titik _ dan pasangan menjadi tidak didapatkan pada i ( n ) \, n serta titik dan n terhubung di V } { i, j n. Dengan demikian jelas bahwa ( _ ), i =,2,..., n, i n } n n _ berlaku ( n ). Demikian pula i E ( _ i j n dengan i, j =,2,..., n, berlaku E( n ) i j _ ). Sehingga V ( ) V ( ) dan E( ) E( ). n n _ n n Teorema 2.2 Untuk 3 n 6, graph merupakan graph planar. Bukti : Untuk membuktikan suatu graph merupakan graph planar, cukup ditunjukkan bahwa graph tersebut dapat digambarkan kembali pada bidang tanpa memuat perpotongan garis. Pada lampiran terlihat bahwa n dengan 3 n 6 dapat digambarkan pada bidang tanpa memuat perpotongan garis, dengan demikian planar untuk 3 n 6. Embedding pada bidang dengan 3 n 6 dalam bentuk gambar disajikan dalam lampiran. Teorema 2.3 Untuk n 7, graph merupakan graph nonplanar. Bukti : Dari Gambar (b) terlihat bahwa 7 memuat subdiisi dari K 3, 3 dengan 7 demikian nonplanar. Karena dengan _ 7 n selalu memuat maka nonplanar untuk n. (a) (b) Gambar. 7 (a) dan komplemennya (b). Embedding komplemen graph sikel pada torus Graph n dengan 3 n 6 sudah terbukti planar. Karena graph planar dapat diembed ke torus maka n dengan 3 n 6 merupakan graph toroidal. Selanjutnya akan dibahas embedding n 7. pada torus dengan Teorema 2.4 Untuk 7 n, graph merupakan graph toroidal. Bukti : Untuk membuktikan suatu graph merupakan graph toroidal cukup ditunjukkan bahwa graph tersebut dapat digambarkan kembali pada torus tanpa memuat perpotongan

3 50 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) garis. Dari lampiran 2 terlihat bahwa dengan 7 n dapat digambarkan pada torus tanpa memuat perpotongan garis. Dengan demikian untuk 7 n, graph merupakan graph toroidal. Embedding n pada torus dengan 7 n dalam gambar disajikan pada lampiran 2. Teorema 2.5 Jika G toroidal maka subgraph dari G toroidal. Bukti : H adalah subgraph dari G yang nontoroidal, maka penggambaran H pada torus memuat perpotongan garis. Karena H adalah subgraph dari G maka penggambaran G pada torus akan memuat perpotongan garis sekurang-kurangnya sebanyak perpotongan garis yang dihasilkan oleh graph H. Dengan demikian G nontoroidal. Akibat 2.6 Untuk n 7, graph toroidal jika dan hanya jika terdapat graph hasil _ embedding n + n pada torus yang memuat region dengan batas S sedemikian 2, 3,..., n 2 V ( S) hingga { }. Teorema 2.7 Graph n dengan n 0 adalah graph nontoroidal. Bukti : Dari Lampiran 2 terlihat bahwa batas region yang dihasilkan pada embedding pada torus merupakan segitiga. Dengan demikian penambahan garis pada graph akan menghasilkan graph yang nontoroidal. Karena graph tidak dapat digambarkan pada torus tanpa memuat perpotongan garis maka graph merupakan graph nontoroidal. Berdasarkan akibat 2.6 maka graph _ 0 nontoroidal. Karena graph subgraph dari graph + + merupakan graph _ 0 _ merupakan dengan _ n > 0, maka graph n dengan n > 0 merupakan graph nontoridal. Bilangan perpotongan (crossing number) dari komplemen graph sikel nonplanar Dari subbab 2. dapat disimpulkan bahwa komplemen graph sikel dengan order lebih besar atau sama dengan tujuh merupakan graph nonplanar. Selanjutnya akan dibahas bilangan perpotongan yang dimiliki Komplemen graph sikel nonplanar dengan order minimal yaitu 7, dan. Proposisi 2. Graph merupakan graph n 3 regular. Proposisi 2. adalah n( n 3) 2 Banyaknya garis pada. Proposisi 2.0 Bilangan perpotongan dari komplemen graph sikel dengan order 7 adalah. Bukti : Berdasarkan teorema 2.3 nonplanar, dengan demikian didapatkan ( 7). Karena dapat digambarkan pada bidang dengan memuat perpotongan garis (Gambar 2) maka terbukti bahwa ( 7 ) =. 7 Gambar 2. Embedding 7 pada bidang 7 Proposisi 2. Bilangan perpotongan dari komplemen graph sikel dengan order adalah 2. Bukti : Berdasarkan teorema 2.3 nonplanar, dengan demikian didapatkan ( ). pada penggambaran pada bidang memuat c perpotongan, dimana

4 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No. 2, Juli 200 : jelas bahwa c. Pada perpotongan ditempatkan satu titik baru sehingga didapatkan sebuah graph bidang terhubung baru misalkan graph N. Graph N merupakan graph planar yang memuat +c titik. Berdasarkan Proposisi 2. memuat 20 garis, dengan demikian graph N memuat 20+2c garis. Karena graph N merupakan graph planar maka berlaku : c 3( + c) c c c + 3c 2 c Dari sini diperoleh bahwa bilangan perpotongan bagi bernilai tidak kurang dari 2. Karena dapat digambarkan pada bidang dengan memuat 2 perpotongan garis (Gambar ( ) = 2 3) maka terbukti bahwa. Gambar 3. Embedding Selanjutnya diperoleh bilangan perpotongan bagi adalah dengan melibatkan penggambaran yang memuat dua perpotongan garis pada Gambar 3 diatas. Teorema 2.2 Bilangan perpotongan bagi komplemen graph sikel dengan order adalah. Bukti : Berdasarkan teorema 2.3 nonplanar, dengan demikian didapatkan ( ) pada bidang. pada penggambaran pada bidang memuat c perpotongan, dimana jelas bahwa c. Pada perpotongan ditempatkan satu titik baru sehingga didapatkan sebuah graph bidang terhubung baru misalkan graph W. Graph W merupakan graph planar yang memuat + c titik. Berdasarkan Proposisi 2. memuat 27 garis, dengan demikian graph W memuat 27+2c garis. Sehingga berlaku : c 3( + c) c c 6 6 c Dari sini diperoleh bahwa bilangan perpotongan bagi tidak kurang dari 6. Dilain pihak graph didapatkan dengan cara menambahkan satu titik yaitu pada kemudian menghubungkan dengan, serta titik dan terhubung. Untuk mendapatkan bilangan perpotongan bagi ( ) dipilih penggambaran dengan jumlah perpotongan garis yang minimum. Berdasarkan Proposisi 2. diperoleh bahwa minimum jumlah perpotongan garis bagi adalah 2. Pada Gambar 3 terlihat bahwa penggambaran pada bidang memuat 2 perpotongan. Selanjutnya pada penggambaran tersebut ditempatkan titik baru yaitu c dan c2 pada masing-masing perpotongan, sehingga dihasilkan graph bidang baru misalkan graph Q yang memuat 6 region (Gambar 4). Gambar 4. Region-region pada

5 52 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) Selanjutnya titik dapat berada pada salah satu diantara 5 region atau berada pada exterior region R 6. berada pada R. Pada Gambar 5 terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran adalah +2=0. R3 berada pada. Pada Gambar 7 terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan 0 perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran 0+2=2. adalah Gambar 5. Penambahan titik pada R 2 berada pada R. Pada Gambar 6 terlihat bahwa jika graph Q kemudian titik tersebut dihubungkan ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan adalah +2=0. Gambar 7. Penambahan titik pada R3 berada pada R4. Pada Gambar terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan 0 adalah 0+2=2. Gambar. Penambahan titik pada R 4 Gambar 6. Penambahan titik pada R2

6 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No. 2, Juli 200 : R5 berada pada. Pada Gambar terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran adalah +2=. R7 berada pada. Pada Gambar terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan 7 adalah 7+2=. Gambar. Penambahan titik pada R 5 R6 berada pada. Pada Gambar 0 terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan 7 perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran adalah 7+2=. Gambar. Penambahan titik pada R 7 berada pada. Pada Gambar 2 terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran adalah +2=3. R Gambar 0. Penambahan titik pada R6 Gambar 2. Penambahan titik pada R

7 54 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) R berada pada. Pada Gambar 3 terlihat bahwa jika graph ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran +2=3. adalah berada pada R. Pada Gambar 5 terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan yang semula tidak terhubung menjadi terhubung, akan dihasilkan 7 adalah 7+2=. Gambar 5. Penambahan titik pada R Gambar 3. Penambahan titik pada R berada pada R2. Pada Gambar berada pada R. Pada Gambar 6 terlihat bahwa jika 0 4 terlihat bahwa jika ( ) \{, } serta ( ) \{, } serta titik titik dan menjadi terhubung,, akan dihasilkan dan menjadi terhubung, akan dihasilkan 7 adalah +2=. adalah 7+2= Gambar 4.Penambahan titik pada R 0 Gambar 6. Penambahan titik pada R 2

8 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No. 2, Juli 200 : R3 berada pada. Pada Gambar 7 terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan adalah +2=0. R5 berada pada. Pada Gambar terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan adalah +2=0. Gambar 7. Penambahan titik pada R 3 Gambar. Penambahan titik pada R 5 4 berada pada R. Pada Gambar terlihat bahwa jika ( ) serta titik dan menjadi terhubung, akan dihasilkan 0 adalah 0+2=2. R6 berada pada exterior region. Pada Gambar 20 terlihat bahwa jika graph Q kemudian titik tersebut dihubungkan ( ) serta titik dan terhubung, akan dihasilkan 0 perpotongan garis yang minimum. Dengan demikian minimum jumlah perpotongan garis yang dihasilkan pada penggambaran adalah 0+2=2. 6 Gambar. Penambahan titik pada R4 Gambar 20. Penambahan titik pada R

9 56 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) Dari kemungkinan-kemungkinan di atas diperoleh kesimpulan yaitu : Sembilan perpotongan garis yang minimum dihasilkan pada penempatan di R, R 6 R, R, 7 0 (empat daerah). Sepuluh perpotongan garis yang minimum dihasilkan pada penempatan di R, R R, R, (empat daerah). Sebelas perpotongan garis yang minimum dihasilkan pada penempatan di R, R 5 2 (dua daerah). Dua belas perpotongan garis yang minimum dihasilkan pada penempatan di R, R 3 R, R, (empat daerah). Tiga belas perpotongan garis yang minimum dihasilkan pada penempatan di R, R (dua daerah). Terlihat bahwa minimum jumlah perpotongan garis pada penggambaran pada bidang adalah yaitu apabila titik ditempatkan pada atau atau atau R. R6 R7 R0 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Dari hasil pembahasan diatas diperoleh kesimpulan : Order maksimal dari sehingga komplemennya tetap planar adalah 6. Order maksimal dari sehingga komplemennya tetap toroidal adalah. ( 7 ) =, ( ) = 2, ( ) = Saran Pembahasan embedding komplemen graph sikel pada tulisan ini dibatasi pada dua jenis permukaan yaitu pada bidang dan torus. Oleh karena itu pembahasan dapat dikembangkan lebih lanjut dengan melakukan penelitian pada jenis permukaan lain seperti embedding pada 2-torus maupun embedding pada mobius strip. Pembahasan tentang bilangan perpotongan dari komplemen graph sikel pada tulisan ini terbatas pada 7 n. Pembahasan ini dapat dilanjutkan dengan membahas Bilangan perpotongan dari Komplemen graph sikel untuk n >. Selain itu dapat dibahas toroidal crossing number dari Komplemen graph sikel nontoroidal. DAFTAR PUSTAKA Bondy JA & Murty USR. 2. Graph Theory with Applications. NorthHolland. New York. hartrand G & Lesniak L. 6. Graphs and Digraphs. 3rd edn. hapmann and Hall, London. hartrand G & Oellerman OR. 3. Applied and Algorithmic Graph Theory. McGraw-Hill Inc, anada. Woodcock RJ A Faster Algorithm for Torus Embedding, stream/2/30//jwoodcock_thesis.pdf, 2 Juli 2007.

10 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No. 2, Juli 200 : Lampiran : Embedding pada bidang dengan 3 n 6 n

11 5 Embedding Komplemen..(Liliek Susilowati dkk) Lampiran 2: Embedding dengan 7 n pada torus n