OPERATIONS RESEARCH II

Transkripsi

1 OPERATIONS RESEARCH II MODEL PROBABILISTIK DAN JARINGAN DISTRIBUSI Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Pasundan

2 TEORI ANTRIAN

3 Materi Kuliah 1. Struktur Dasar Model Antrian 2. Proses Kelahiran dan Kematian 3. Kondisi Steady State 4. Model-model Antrian 5. Parameter Model Antrian 6. Pengambilan Keputusan dengan Model Antrian

4 Tujuan Pembelajaran (1) Di akhir perkuliahan mahasiswa mampu: Mendefinisikan elemen-elemen Sistem Antrian Merumuskan probabilitas terjadinya suatu event pada Sistem Antrian Tjutju T. Dimyati

5 Tujuan Pembelajaran (2) Mampu merumuskan model-model antrian berdasarkan kondisi setiap elemen sistem antrian Mampu menentukan parameter model antrian Mampu menyelesaikan persoalan pengambilan keputusan berdasarkan nilai-nilai parameter model antrian yang sesuai Tjutju T. Dimyati

6 Teori Antrian Teori yang berkaitan dengan studi matematis dari antrian (queue) atau baris penungguan (waiting line) Melibatkan: Suatu fasilitas pelayanan dengan satu atau lebih pelayan Sejumlah konsumen yang berasal dari suatu populasi Mekanisme pelayanan

7 Teori Antrian Persoalan berkaitan dengan: Meminimumkan waktu menunggu sebelum konsumen memperoleh layanan Meminimumkan jumlah konsumen yang menunggu untuk memperoleh layanan Mengoptimalkan waktu pelayanan Tujuannya adalah untuk mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos atau risiko karena konsumen menunggu

8 Struktur Dasar Model Antrian Terdiri dari: 1. Pelanggan/Konsumen yang membutuhkan pelayanan 2. Sistem Pelayanan yang berkaitan dengan: a. Pelaksana pelayanan (pelayan/server) b. Fasilitas pelayanan c. Mekanisme pelayanan

9 Struktur Dasar Model Antrian Sumber Input Sistem Pelayanan Antrian Fasilitas Pelayanan 1995 Corel Corp.

10 Contoh Kasus Antrian Fasilitas Konsumen Pelayan Layanan Bank Nasabah Teller Transfer dll Klinik Pasien Dokter Pengobatan Lampu Stopan Lintas Perakitan Gudang Peralatan Kendaraan Cahaya Pengendalian Komponen Pekerja Perakitan Peminjam alat Penjaga Gudang Keluar / masuk alat

11 Contoh Sistem Antrian

12 Karakteristik Sistem Antrian Ditentukan oleh: 1. Karakteristik kedatangan konsumen 2. Karakteristik antrian 3. Karakteristik fasilitas pelayanan

13 Karakteristik Kedatangan 1. Ukuran Populasi a. Tidak terbatas b. Terbatas 2. Pola Kedatangan a. Random (berdistribusi tertentu) b. Terjadwal 3. Sifat Konsumen a. Sabar b. Tidak sabar

14 Karakteristik Kedatangan Sumber Input (Populasi) Ukuran Tidak Terbatas

15 Karakteristik Kedatangan Sumber Input (Populasi) Sejumlah pesawat yang akan diservis Ukuran Tidak terbatas Terbatas.

16 Karakteristik Kedatangan Pola Kedatangan Random a. Distribusi Poisson/Eksponensial b. Distribusi lainnya Sifat Konsumen Tidak Sabar a. Balking (batal memasuki sistem) b. Reneging (keluar dari antrian)

17 Balking Sumber antriannya panjang! Antrian Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan

18 Reneging Sumber Input Antrian Menyerah! Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan

19 Resume Karakteristik Input Sumber Input (Populasi) Ukuran Pola Kedatangan Sifat Tdk Terbatas Terbatas Random Terjadwal Sabar Tdk Sabar Poisson Lainnya Balk Renege Tjutju T. Dimyati

20 Karakteristik Antrian Panjang Antrian Tidak Terbatas Terbatas Disiplin Antrian FCFS Random Prioritas

21 Panjang Antrian Tidak Terbatas Terbatas

22 Resume Karakteristik Antrian Antrian Panjang Disiplin Antrian Tdk Terbatas Terbatas FIFO (FCFS) Random Prioritas Tjutju T. Dimyati

23 Karakteristik Pelayanan 1. Satu Saluran Pelayanan Satu Tahap Beberapa Tahap 2. Multi Saluran Pelayanan (Paralel) Satu Tahap Beberapa Tahap 3. Waktu Pelayanan Konstan Berdistribusi

24 Sistem Satu Saluran Satu Tahap Kedatangan Antrian Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan Unit Terlayani Kapal di Laut Sistem Bongkar Muat Antrian Kapal Dok Kapal Kosong

25 Sistem Satu Saluran Multi Tahap Kedatangan Antrian Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan Fasilitas Layanan Unit Terlayani Mobil di Jalan Perawatan Mobil Antrian Mobil Ganti Oli Cuci Mobil Bersih

26 Sistem Multi Saluran, Satu Tahap Kedatangan Antrian Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan Unit Terlayani Fasilitas Layanan Contoh: Nasabah Bank menunggu di depan salah satu dari sejumlah teller

27 Sistem Multi Saluran, Multi Tahap Kedatangan Antrian Sistem Pelayanan Fasilitas Layanan Fasilitas Layanan Unit Terlayani Fasilitas Layanan Fasilitas Layanan Contoh: Di tempat foto copy, dokumen diproses di salah satu mesin kemudian dijilid di salah satu meja penjilidan

28 Resume Karakteristik Pelayanan Konfigurasi Pelayanan Satu Saluran Multi Saluran Satu Tahap Multi Tahap Satu Tahap Multi Tahap Tjutju T. Dimyati

29 Proses Kedatangan Diasumsikan bahwa paling banyak hanya satu kedatangan yang dapat terjadi pada satu waktu tertentu Jika t i adalah saat terjadinya kedatangan konsumen ke-i maka untuk i 1 waktu antar kedatangan ke-i dapat dinyatakan sebagai : T i = t i+1 - t i Jika rata-rata waktu antar kedatangan dinyatakan sebagai 1/ maka adalah tingkat kedatangan, yaitu rata-rata jumlah kedatangan per satuan waktu

30 Proses Kedatangan (Kelahiran) Jika waktu antar kedatangan eksponensial maka distribusi probabilitas dari jumlah kedatangan yang terjadi pada selang waktu t akan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter t Jika N adalah variabel acak Poisson dan N t adalah jumlah kedatangan yang terjadi selama selang waktu t maka:

31 Proses Kepergian (Kematian) Konsumen yang telah selesai dilayani akan pergi meninggalkan sistem Jika waktu antar pelayanan eksponensial dengan density s(t) = μe μt maka rata-rata waktu pelayanan konsumen adalah 1/μ dimana μ adalah tingkat pelayanan, yaitu ratarata jumlah konsumen yang selesai dilayani per satuan waktu

32 Proses Kelahiran dan Kematian (1) Proses kelahiran berkaitan dengan kedatangan calling unit atau pelanggan yang baru ke dalam sistem antrian Proses kematian berkaitan dengan keberangkatan calling unit atau pelanggan yang telah selesai dilayani Proses kelahiran dan kematian terjadi secara random tergantung pada keadaan yang sedang berlangsung. Keduanya bersifat independen

33 Proses Kelahiran dan Kematian (2) Kelahiran terjadi di antara waktu t dan (t+ t ) dengan probabilitas λ j t + 0( t ) Kelahiran akan meningkatkan status sistem dari j menjadi (j +1) Variabel λ j disebut sebagai tingkat kelahiran pada status j Kematian terjadi di antara waktu t dan (t+ t ) dengan probabilitas μ j t + 0( t ) Kematian akan menurunkan status sistem dari j menjadi (j - 1) Variabel μ j disebut sebagai tingkat kematian pada status j dengan μ 0 = 0

34 Model Antrian Dinyatakan dengan notasi Kendall-Lee yang terdiri dari 6 digit 1/2/3/4/5/6 Digit 1 menyatakan distribusi kedatangan Digit 2 menyatakan distribusi pelayanan Digit 3 menyatakan jumlah pelayan Digit 4 menyatakan mekanisme pelayanan Digit 5 menyatakan kapasitas sistem Digit 6 menyatakan ukuran populasi sumber

35 Kondisi Steady State Adalah kondisi dimana probabilitas P n (t) menjadi konstan dan bersifat independen terhadap waktu Menghasilkan hubungan antar parameter model antrian

36 Tipe-Tipe Model Antrian Satu saluran (M/M/1) Contoh: Meja informasi di Mall Multi saluran (M/M/S) Contoh: counter tiket pesawat Pelayanan Konstan (M/D/1) Contoh: Pencucian mobil otomatis Limited Population Contoh: Bengkel dengan 7 mesin

37 Parameter Model Antrian Rata-rata waktu antri, W q Rata-rata panjang antrian, L q Rata-rata waktu di dalam sistem, W s Rata-rata panjang di dalam sistem, L s Probabilitas fasilitas menganggur, P 0 Utilisasi sistem, Probabilitas ada n unit di dalam sistem P n Probabilitas ada lebih dari k unit di dalam sistem, P n > k

38 Karakteristik Model (M/M/1) Tipe: Satu saluran, satu tahap Sumber Input : Tidak terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging Distribusi Kedatangan : Poisson Antrian: Tidak terbatas; satu baris Disiplin Antrian: FIFO (FCFS) Distribusi Pelayanan : Negative exponential Hubungan pelayanan & kedatngan : Independen Tingkat Pelayanan > Tingkat Kedatangan

39 Persamaan Model (M/M/1) Rata-rata panjang di dalam sistem Rata-rata waktu di dalam sistem W s = Rata-rata panjang antrian L q = Rata-rata waktu antri W q = Utilisasi sistem = L s = ( - ) ( - ) s

40 Persamaan Model (M/M/1) Probabilitas fasilitas menganggur P 0 ( 1 Probabilitas ada n unit di dalam sistem ) Pn ( 1 ) Probabilitas ada lebih dari k unit di dalam sistem Pn k k1 n adalah banyaknya unit di dalam sistem n

41 Karakteristik Model (M/M/S) Tipe: Sistem Multi-saluran Sumber Input : Tidak terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging Distribusi Kedatangan : Poisson Antrian: Tidak terbatas; multi-baris Disiplin Antrian: FIFO (FCFS) Distribusi Pelayanan : Negative exponential Hubungan pelayanan & kedatngan : Independen Tingkat Pelayanan > Tingkat Kedatangan

42 Persamaan Model B (M/M/S) λ Mμ Mμ μ λ M! 1 μ λ n! 1 1 P M 1 M 0 n n 0 Probabilitas sistem kosong P M! M L M s Rata-rata jumlah konsumen di dalam sistem 1 1! 0 2 P M M W M s Rata-rata waktu di dalam sistem

43 Persamaan Model B (M/M/S) Rata-rata jumlah konsumen menunggu L q L s Rata-rata waktu konsumen menunggu W q W s 1

44 Karakteristik Model Tingkat Pelayanan Konstan (M/D/1) Tipe: Satu saluran, Satu tahap Sumber Input : Tidak terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging Distribusi Kedatangan : Poisson Antrian: Tidak terbatas; satu baris Disiplin Antrian: FIFO (FCFS) Distribusi Pelayanan : Negative exponential Hubungan pelayanan & kedatngan : Independen Tingkat Pelayanan > Tingkat Kedatangan

45 Persamaan Model C (M/D/1) Rata-rata jumlah konsumen menunggu L q Rata-rata waktu konsumen menunggu Rata-rata jumlah konsumen di dalam sistem W L q s L q Rata-rata waktu di dalam sistem W s W q

46 Tipe: Satu saluran, Satu tahap Karakteristik Model Populasi Terbatas (Model D) Sumber Input : Terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging Distribusi Kedatangan : Poisson Antrian: Terbatas; satu baris Disiplin Antrian: FIFO (FCFS) Distribusi Pelayanan : Negative exponential Hubungan pelayanan & kedatngan : Independen Tingkat Pelayanan > Tingkat Kedatangan