STRATEGI PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DENGAN PENDEKATAN GARIS BILANGAN

Transkripsi

1 STRATEGI PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DENGAN PENDEKATAN GARIS BILANGAN

2

3 STRATEGI PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DENGAN PENDEKATAN GARIS BILANGAN Muhammad Nuh Dosen Tetap Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN - SU Jl. Williem Iskandar Pasar V Medan Estate, emnoeh@gmail.com Abstract: The learning achievement of mathematics in primary schools still faces some obstacles in the process of achievement. One that needs attention is the learning strategies related to integer operations, especially multiplication and reduction operations. Interviews with some of the primary school classroom teachers in the training activities that students found difficulties when they have to show a reduction in operating positive numbers with negative numbers or negative numbers with a reduction in the negative. Some answers are difficult to be understood in the process of multiplying disciples negative number by a negative number. Source of problems in integer arithmetic operations in the current study was initiated when the teacher or textbook teach arithmetic operations with concepts that are not sustainable. Technique is a method without any obvious inconsistencies meant that most students think going through oral followed by a simulation is not consistent. To fix the meaning of arithmetic operations that required a redefinition of this inconsistency is more strong and teachers or textbooks. Integer arithmetic operations in this paper emphasizes the principle of simulation with a number of principles that done with two approaches that can be selected by teachers or textbooks, the approach and the approach to the set of measurements (number line). Kata Kunci: Pendekatan pengukuran, model garis bilangan, model keping aljabar, operasi bilangan bulat, teori Piaget. 78 A. Pendahuluan B elajar matematika bagi kebanyakan murid Sekolah Dasar (SD) adalah situasi yang sangat memberatkan karena mereka umumnya kehilangan semangat untuk menguasai apa yang menjadi tujuan belajar. Jika membayangkan kembali kelas matematika di SD kesan kuat yang tertangkap adalah guru kelihatan seram dan berwajah tegas, ceramah menjadi metode yang sangat membosankan bagi murid. Dua jam pelajaran guru menjelaskan pengertian yang dipenuhi dengan contoh soal, sementara murid harus mengerjakan sejumlah soal dengan pemahaman mereka yang belum cukup untuk memecahkan masalah dari guru. Ini juga terjadi pada murid kelas IV yang baru mengenal konsep bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol dinamakan himpunan bilangan bulat, yang dilambangkan dengan I (integer). (Purniati, et.al., 2009: 42) Untuk menyatakan beberapa aspek sosial bilangan asli dan bilangan pecahan sangat menolong murid, tetapi untuk memahami fenomena suhu, gerak peluru, persediaan toko, perbankan ternyata bilangan negatif banyak digunakan. (Gary L. Musser, William F. Burger, and Blake E. Peterson, 2011: 321) Untuk menjawab kebutuhan yang ke depan yang lebih kompleks maka konsep awal bilangan bulat harus diperkenalkan dengan baik. Persoalan yang khas ditemukan dalam pembelajaran bilangan bulat di SD berasal dari dua sumber yaitu pendekatan yang digunakan guru dalam pembelajaran dan atau buku pelajaran yang dibaca murid. Sumber pertama, umumnya guru mengajarkan bilangan bulat dengan pembelajaran langsung yang menggunakan ceramah, demonstrasi, latihan, dan pemecahan masalah. Pendekatan pembelajaran tersebut dilakukan dengan penggunaan media papan tulis untuk menggambarkan garis bilangan. Dalam perspektif materi pokok, garis bilangan dikenal juga sebagai pendekatan pengukuran. Dalam praktek pembelajaran, pendekatan pengukuran dilakukan dengan baik ketika menyimbolkan bilangan bulat, operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat positif, tetapi menjadi kurang bermakna bagi murid

4 ketika diterapkan pada operasi pengurangan bilangan bulat serta perkalian dan atau perkalian bilangan bulat negatif. Oleh sebab itu, operasi bilangan bulat menjadi sulit disimulasikan oleh murid. Tetapi bagi sebagian murid, mereka diyakini mampu menunjukkan pengurangan bilangan bulat 79 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 dengan dua tahap pelaksanaan. Tahap pertama mereka menyatakan pengurangan sebagai lawan dari penjumlahan. Tahap kedua, menggunakan konsep penjumlahan dengan pendekatan garis bilangan. Sumber kedua, buku pelajaran yang menjadi bahan bacaan murid, guru, dan orang tua. Sebagai standar bacaan, Buku Sekolah Elektronik (BSE) yang diterbitkan pusat perbukuan kemendikbud memberi banyak kemudahan bagi guru dan murid. BSE cukup lengkap menyediakan bahan bacaan berkualitas dari SD, SMP, SMA dan SMK. Buku matematika untuk kelas 4 SD yang diunduh dari BSE kemendikbud tersedia dalam e-book sebanyak 9 variasi judul. Dalam bab 5 setiap buku menguraikan konsep bilangan bulat cukup lengkap dan padat. Uraian tersebut menjawab semua pengembangan indikator setiap standar kompetensi. Pemeriksaan terhadap isi uraian materi pokok operasi penjumlahan bilangan bulat positif, pendekatan garis bilangan cukup jelas disimulasikan. Sementara pada simulasi operasi pengurangan bilangan bulat, tampak hasil operasi kurang bermakna untuk dijelaskan murid. Untuk pengurangan bilangan positif dengan positif, masih memungkinkan untuk dimaknai, artinya simulasi masih mudah dipahami murid. Berbeda waktu pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, simulasi mulai kurang konsisten dengan konsep dasar operasi bilangan bulat yang dimaknai murid. Dengan memperhatikan penjelasan tersebut, sebaiknya ada pertimbangan yang cukup bijaksana dalam menjawab kebutuhan belajar murid kelas 4 SD sebab murid masih dalam tahap operasional konkret. Anak pada usia ini masih berada dalam tahap operasional konkret, artinya murid SD belum bisa berpikir formal dan abstrak. (Esti Y. Widayanti, et.al.: 1-8.) Pada tahap ini, murid dapat memahami operasi logis dengan bantuan benda-benda konkrit. Untuk itu media garis bilangan berdasarkan pendekatan pengukuran harus ditunjukkan secara nyata dalam membentuk pengalaman belajar murid. B. Konsep Awal Bilangan Bulat di Sekolah Dasar Tingkat kompetensi dasar dalam pendidikan matematika SD sengaja dirancang untuk mencapai tujuan pendidikan tertentu. Pencapaian tingkat kompetensi itu ada kaitannya dengan penentuan 80 materi pokok dan uraian materi pokok. Dalam menentukan materi matematika untuk setiap jenjang sekolah akan lebih baik jika dipahami benar materi matematika yang dapat dipandang sebagai titik peralihan. (R. Soedjadi, 2000: 50.) Hal ini menyadarkan guru bahwa materi peralihan tertentu yang menjadi jembatan bagian matematika yang satu dengan matematika yang lain harus diatur pembelajarannya dengan hati-hati. Dalam dokumen KSTP termaktub bahwa mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah. (Departemen Pendidikan Nasional, 2006:417) Selanjutnya mengingat ruang lingkup matematika di SD/MI ada tiga aspek sebagai landasan dalam pencapaian tujuan pendidikan matematika yaitu meliputi: bilangan, geometri dan pengukuran, serta pengolahan data. Dengan kata lain aspek matematika mengisyaratkan bahwa objek matematika menekankan pada pemahaman tentang bilangan dan sifatsifatnya. Konsep awal bilangan bulat di kelas 4 semester genap menjadi fenomena menarik karena proses pembelajarannya. Tingkat kompetensi dalam pencapaian materi pokok bilangan bulat diawali

5 dengan mengurutkan bilangan bulat, menjumlahkan bilangan bulat, mengurangkan bilangan bulat, dan melakukan operasi campuran bilangan bulat. Dalam BSE mata pelajaran matematika, umumnya buku pelajaran mengajarkan hampir seragam. Guru kelas juga seolah-olah terikat oleh panduan dari buku tersebut. Kedua-duanya baik buku pelajaran maupun guru kelas mengajarkan konsep awal bilangan bulat dengan pendekatan garis bilangan. Langkah sekali menemukan kelas matematika yang menggunakan pendekatan himpunan. Sebagai cuplikan apa yang diajarkan dalam buku juga mewakili apa yang dilakukan guru di kelas berikut ini diulas lima contoh yang fokus pada operasi bilangan bulat, yaitu: Contoh 1: Penjumlahan bilangan bulat positif dan positif 81 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 Contoh 2: Penjumlahan bilangan bulat negatif dan negatif Contoh 3: Penjumlahan bilangan bulat positif dan negatif Tampak dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, semua pembaca dapat menerima, termasuk guru, murid, dan orang tua. Pedoman atau aturan pendekatan pengukuran (pendekatan garis bilangan) didasarkan pada prinsip sebagai berikut: 1. Bilangan pertama ditunjukkan dengan anak panah pertama dimulai dari nol Bilangan kedua ditunjukkan dengan anak panah kedua dimulai dari ujung anak panah pertama. 3. Hasil penjumlahan ditunjukkan oleh ujung anak panah kedua. 4. Anak panah ke kanan untuk bilangan bulat positif dan anak panah ke kiri untuk bilangan bulat negatif. (Achmad Kusnandar, 2009: 159). Dengan mengulas contoh 1 3, aturan ini dapat dimaknai murid, guru, dan orang tua secara konsisten. Tampaknya disini dapat dilihat bahwa operasi penjumlahan menggabungkan dua bilangan tadi atau menggabungkan dua anak panah sesuai urutan tanda bilangan bulat Contoh 4: Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Penjelasan contoh 4 adalah: 83 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 Contoh 5: Pengurangan bilangan bulat negatif dengan negatif

6 Contoh 6: Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 84 Contoh 7: Pengurangan bilangan bulat negatif dengan positif Dari contoh 4 7, dapat dijelaskan bahwa untuk operasi pengurangan langkah-langkah pemecahan menggunakan prinsip tambahan yaitu pengurangan bilangan bulat sama artinya dengan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurangya. (Achmad Kusnandar, 2009: 159) Secara praktis untuk pengurangan bilangan bulat tetap menggunakan aturan yang sama dengan penjumlahan bilangan bulat, yaitu pendekatan garis bilangan. Hal yang perlu dicatat adalah prinsip tambahan untuk membuat aturan pengurangan dapat dimaknai murid, guru, dan orang tua ialah melisankan pengertian operasi pengurangan bilangan bulat sebagai penjumlahan dari lawan bilangan pengurangnya. Implikasi dari prinsip tambahan ini sebenarnya menunjukkan kelemahan aturan pendekatan garis bilangan yang kurang konsisten dengan tanda bilangan bulat itu sendiri. Bukti yang ditunjukkan contoh 4 dapat dijelaskan sebagai berikut: Untuk 3 8 = n, persamaan ini menunjukkan operasi pengurangan, jika operasi penjumlahan dimaknai sebagai gerakan anak panah maju maka operasi pengurangan dimaknai sebagai gerakan anak panah mundur. Analogi ini dapat disamakan dengan gerakan maju atau mundur pada sebuah mobil. Jika mobil 85 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 menghadap ke utara maka gerakan mundurnya harus ke selatan tentu gerakan majunya tetap ke utara, demikian untuk anak panah yang dimaknai sebagai simbol bilangan bulat memiliki kesamaan arah. Dari analogi tersebut aturan yang hampir sama tetapi konsisten untuk membuat simulasi operasi bilangan bulat, baik penjumlahan maupun pengurangan. Aturan itu didesain sesuai dengan konsep awal bilangan bulat yang diperkenalkan lebih awal, termasuk urutan bilangan bulat. (Turmudi dan Aljupri, 2009: 60). Pedoman untuk melakukan penjumlahan bilangan-bilangan bulat dengan menggunakan pendekatan pengukuran (garis bilangan), sebagai berikut: 1. Penjumlahan diwakili oleh gerakan maju anak panah 2. Arah anak panah ditentukan oleh tanda bilangan. Bila bilangan yang akan dijumlahkan positif, maka arah anak panah ke arah bilangan-bilangan positif. Sebaliknya, bila bilangan yang akan dijumlahkan adalah bilangan negatif, maka arah anak panah adalah ke arah bilangan-bilangan negatif. 3. Hasil akhir dari penjumlahan dilihat dari posisi akhir dari ujung anak panah. (Turmudi dan Aljupri, 2009: 60). Pedoman untuk melakukan pengurangan bilangan-bilangan bulat dengan menggunakan pendekatan garis bilangan, sebagai berikut: 1. Pengurangan diwakili oleh gerakan mundur anak panah 2. Arah anak panah ditentukan oleh tanda bilangan. Bila bilangan yang akan dikurangkan positif, maka arah anak panah ke arah bilanganbilangan positif. Sebaliknya, bila bilangan yang akan dikurangkan adalah bilangan negatif, maka arah anak panah adalah ke arah bilangan-bilangan negatif. 3. Hasil akhir dari penjumlahan dilihat dari posisi akhir dari pangkal anak panah. (Turmudi dan Aljupri, 2009: 60). Pedoman di atas disusun berdasarkan prinsip belajar dengan melakukan sehingga metode simulasi dapat mendukung

7 pemahaman murid, orang tua, dan guru. Berikut ini ditunjukkan penerapan aturan atau pedoman operasi penjumlahan/pengurangan bilangan bulat pada contoh-contoh di atas. Contoh 8: Ulangan untuk contoh 1: = n 86 Aturan yang dimodifikasi (penjumlahan): 4+3= n Penyelesaian: 1. Gambar garis bilangan. Kemudian karena 4 adalah bilangan bulat positif, maka arah anak panah adalah ke bilangan-bilangan positif sehingga gerak anak panah dari bilangan nol sejauh empat langkah (Gambar 1). Gambar 1 2. Karena operasinya adalah penjumlahan, maka gerakan panah selanjutnya maju dan karena 3 adalah bilangan bulat positif, maka arah anak panah ke arah bilangan bulat positif sehingga anak panah bergerak dari bilangan 4 maju sejauh tiga langkah (Gambar 2). Gambar 2 3. Karena posisi akhir dari ujung anak panah berada di atas bilangan 7, maka dapat disimpulkan bahwa = ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 Ulangan contoh 1 masih memberikan kesamaan hasil. Jika mencoba untuk ulangan contoh 2, dan contoh 3 masih tetap belum kelihatan perbedaannya. Berikut ini ulangan contoh 4, yaitu: Contoh 9: Ulangan untuk contoh 4: 3 8 = n Aturan yang dimodifikasi (pengurangan): 3 8 = n Penyelesaian: 1. Gambar garis bilangan. Kemudian karena 3 adalah bilangan bulat positif, maka arah anak panah adalah ke bilangan-bilangan positif sehingga gerak anak panah dari bilangan nol sejauh tiga langkah ke arah bilangan-bilangan positif (Gambar 3). Gambar 3 2. Karena operasinya adalah pengurangan, maka gerakan panah selanjutnya adalah mundur. dan karena 8 adalah bilangan bulat positif, maka arah anak panah diarahkan ke bilanganbilangan positif sehingga gerakan mundurnya (dengan arah panah tetap ke bilangan positif) dari bilangan 3 adalah sejauh delapan langkah (Gambar 4). Gambar Karena posisi akhir dari ujung anak panah berada di atas bilangan -5, maka dapat disimpulkan bahwa 3 8 = 5. Contoh 8 dan contoh 9 telah memberikan gambaran bahwa operasi penjumlahan atau pengurangan tetap dimaknai dengan sesuai dengan definisi sebagai mana konsep awal

8 bilangan bulat diperkenalkan kepada murid. Jadi dengan penjelasan ini seharusnya ada upaya kuat dari dalam kelas oleh guru-guru di SD untuk mempertimbangan pendekatan garis bilangan dalam mensimulasikan operasi penjumlahan dan pengurangan yang prosesnya tetap dapat dimaknai oleh murid dengan tidak mengesampingkan konsep dasar matematika dari bilangan bulat. C.Pendekatan Pengukuran Vs. Pendekatan Himpunan Uraian di atas tentu menuai kritik dalam implementasinya, dan ini menjadi pengalaman berharga ketika guru-guru yang membagi pengalamannya di kelas-kelas mereka setelah pendekatan garis bilangan ini dilakukan. Salah satu yang pernah disampaikan adalah rasa keberatan dari pihak beberapa orang guru karena cara ini dinilai memberikan tantangan belajar lebih dari cara-cara yang selama ini biasa dilakukan guru. Untuk memberikan tanggapan sebagai reaksi positif terhadap keluhan tersebut, pendekatan pengukuran (garis bilangan) ditanding dengan pendekatan himpunan. Alasannya, selama ini murid kelas 4 SD masih baru beranjak dari kelas yang lebih primitif mengenal bilangan cacah dan bilangan asli. Pengalaman guru, orang tua, serta murid sendiri menunjukkan bahwa pendekatan himpunan sudah hal biasa untuk menentukan operasi penjumlahan bilangan. Jadi konsep mendasar matematika tentang himpunan, bilangan kardinal, dan persepsi warna tertantang untuk membagi pengalaman baru dengan operasi bilangan bulat. Teori kesiapan belajar murid SD/MI sangat berhubungan erat dengan kesiapan isi, kesiapan pedagogi, kesiapan kematangan, kesiapan efektif, dan kesiapan kontekstual. Kelima domaian tersebut dipandang sebagai media atau sarana untuk mengaktifkan pengetahuan prasyarat. (Turmudi dan Aljupri, 2009: 18) Agar murid berhasil dalam belajar, guru seyogyanya membantu murid mengaktifkan atau memanggil kembali apa yang telah mereka miliki pada situasi yang baru. Warna adalah hal yang memiliki 89 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 kesan penting dalam membedakan objek, termasuk objek materi matematika. Secara psikologis anak usia SD/MI masih cenderung bermain. Oleh sebab itu, guru perlu merangsang belajar matematika dengan peralatan-peralatan yang konkret. Benda-benda manipulatif membantu murid memahami konsep-konsep matematika yang abstrak. Dalam aliran psikologi kognitif yang dipelopori oleh Jean Piaget dari Swiss menjelaskan bahwa proses mental digunakan individu untuk menjawab lingkungan murid yang dikenali sebagai konsep skemata, assimilasi, dan akomodasi. Setiap individu melewati empat fase yang meliputi: sensori motor, pre operasional, operasional konkret, dan operasi formal. (Turmudi dan Aljupri, 2009: 14) Tidak berlebihan jika alasan ilmiah dari teori Piaget menjadi kerangka berpikir bahwa konsep awal bilangan bulat dapat dibangun dengan pengertian tersebut. Implementasinya adalah warna menjadi simbol penguat untuk membedakan jenis bilangan bulat positif dan negatif. Skemata murid tentang operasi bilangan asli masih cukup baik mereka maknai sebagai prasyarat maju berdasakan pendekatan himpunan. Aktivitas menghitung kancing baju adalah pendekatan himpunan yang sudah melekat dalam lingkungan murid sehari-hari. Kematangan secara mental dan isi pelajaran akan menjadi prasyarat yang cukup membantu mereka menguasai konsep awal bilangan bulat lebih kuat. Contoh pendekatan himpunan dengan media kancing baju cukup beralasan untuk dipromosikan kepada guru kelas dalam mengajarkan operasi bilangan bulat. Gambar 5 90 Kancing baju dan warnanya adalah benda kepingan atau keping yang sangat umum dikenal siapa

9 saja, termasuk murid kelas 4 SD/MI. Musser, et.al (2011: 322) menyatakan bahwa: model keping dapat digunakan untuk memperagakan bilangan bulat. Dua warna dari model keping merah dan hitam dapat digunakan untuk memperagakan bilangan bulat positif (kancing hitam) dan warna merah untuk memperagakan bilangan bulat negatif (kancing merah). Jika satu keping merah menyatakan hutang 1 poin dan satu keping hitam menyatakan modal 1 poin, maka sepasang keping merah dan hitang boleh menyatakan angka nol. (Gary L. Musser: 322). Selanjutnya bilangan bulat dapat dicontohkan pada Gambar 5 untuk memperagakan berbagai cara bilangan bulat. Lima kancing hitam menyatakan bilangan bulat +5, tiga kancing merah menunjukkan bilangan bulat -3, satu kancing hitam dan empat kancing merah juga menunjukkan bilangan bulat -3, bahkan dua kancing hitam dan lima kancing merah juga menunjukkan bilangan bulat -3. Gambar 5 memperagakan bilangan bulat dengan satu jenis warna saja, sedangkan gambar sebelah kanan menunjukkan bilangan bulat dengan menggabungkan dua warna. Dengan penguata warna ini murid sangat memungkinkan menggunakan pengalamannya sebagai tahap akomodasi untuk membentuk pengalaman baru. Proses mengembangkan pengalaman dengan berhitung menggunakan keping yang berbeda-beda murid berusaha mengasimilasi pengetahuan yang lama dengan pengalaman baru menjadi pengetahuan yang dapat dimaknai untuk memecahkan masalah operasi bilangan bulat. Gambar 6 Operasi Penjumlahan 91 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 Untuk membuat simulasi operasi penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan model keping aljabar, Gambar 6 cukup lengkap memperagakannya. Tanda panah memberi makna bahwa 3 keping hitam digabungkoan dengan 1 keping hitam sehingga menjadi 4 keping hitam. Jadi Gambar 6 (a) menunjukkan operasi penjumlahan bilangan +3 dan +1 atau = 4. Selanjutnya Gambar 6 (b) menunjukkan operasi penjumlahan bilangan -2 dan -1 atau ( 2) + ( 1) = 3. Tentu saja Gambar 6 (c) menunjukkan dua tahap operasi penjumlahan pada bilangan +3 dan -4 atau 3 + ( 4) = 1. Pada Gambar 6 (c) ada tahapan operasi, yang pertama lengkap seluruh keping terdiri dari 3 hitam dan 4 merah, sehingga didapati 3 pasangan nol dan 1 keping merah, dan hasil ini sama dengan bilangan negatif 1. Barangkali contoh operasi penjumlahan bilangan bulat cukup sesuai jika dipertimbangkan dari kesiapan yang dimiliki murid kelas 4 SD/MI. Jadi model keping aljabar cukup menjawab kesiapan belajar murid SD/MI dalam memahami operasi bilangan bulat melalui pendekatan himpunan. Gambar 7 Berbeda dengan operasi penjumlahan, untuk operasi pengurangan berlawanan dengan penjumlahan. Jika penjumlahan menggabungkan keping-keping tadi, maka pada operasi 92 pengurangan yang terjadi adalah sebaliknya yaitu mengambil dari sekumpulan model keping dan ada sisa keping yang ditinggalkan dan tanda panah berarti mengambil keping dari sekumpulan model keping. Untuk memperagakan 6 2 = 4 maka dapat dijelaskan oleh Gambar 7 (a), yaitu 6 keping hitam diambil 2 keping dan yang tinggal 4 keping hitam, pengertian ini sama dengan 6 2 = 4. Gambar 7 (b) memperagakan operasi pengurangan ( 4) ( 1) = 3, artinya dari sekumpulan 4 keping merah diambil 1 keping merah dan yang tinggal 3 keping merah atau sama dengan -3. Gambar 7 (c) memperagakan operasi ( 2) ( 3) = 1. Pada bagian ini untuk mengambil 3 keping merah dari sekumpulan 2 keping merah tidak memungkinkan, kecuali pada 2 keping merah

10 ditambahkan dahulu sepasang keping merah-hitam atau angka 0. Dengan demikian terdapat sekumpulan 3 keping merah dan 1 keping hitam, dengan cara itu memungkinkan untuk mengambil 3 keping merah dan yang tinggal adalah 1 keping hitam. Gambar 7 (d) identik dengan Gambar 7 (c), untuk mengambil 5 keping hitam dari sekumpulan 2 keping hitam tidak memungkinkan, kecuali menambahkan pada 2 keping hitam sekurang-kurangnya 3 pasang keping merah-hitam, dengan cara itu memungkinkan untuk mengambil 5 keping hitam sehingga 3 keping merah tinggal atau hasilnya -3. Uraian di atas telah mencoba menjawab persoalan konsep awal bilangan bulat di kelas 4 SD. Kelemahan penggunaan pendekatan garis bilangan yang kurang konsisten dalam menjelaskan konsep awal bilangan bulat dapat diatasi dengan pendekatan garis bilangan yang telah dimodifikasi dan tetap menyesuaikan dengan konsep awal bilangan bulat diperkenalkan pada murid kelas 4 SD. Hal ini sekaligus membuat operasi bilangan bulat lebih kelihatan konkrit dalam pikiran murid. Walaupun demikian, dalam implementasinya tetap saja guru di kelas mengajukan keberatan atas pendekatan garis bilangan yang telah dimodifikasi tersebut. Untuk menjawab keluhan tersebut, pendekatan lain yang sangat jarang digunakan guru di kelas pada saat mengenalkan konsep awal bilangan bulat melalui pendekatan himpunan yaitu menggunakan model keping aljabar. Mudahmudahan keping aljabar cukup baik dalam memberikan makna konkrit tentang operasi bilangan bulat. Sebenarnya ini upaya untuk 93 ء إ Vol. II No. 1 Januari Juni 2012 memberikan pencerahan atas pengenalan konsep awal bilangan bulat di kelas-kelas lebih awal. D. Penutup Tingkat perkembangan kognitif murid kelas 4 SD menurut teori Piaget masih dalam taraf pra operasional konkrit. Untuk mencapai tujuan pendidikan matematika di SD/MI khususnya dalam memahami konsep awal bilangan bulat, aplikasi teori Piaget memberi dua solusi menarik untuk dilakukan guru di kelas yaitu menghasilkan pendekatan pengukuran (garis bilangan) dan pendekatan himpunan (model keping aljabar). Bagi murid yang memiliki orientasi cukup kuat tentang kecenderungan arah relatif sekaligus menjawab persoalan metode mengajar guru dan sumber belajar yang ada pada saat ini, pendekatan garis bilangan dapat menjadi pilihan pertama. Namun jika kecenderungan tersebut lebih pada persepsi warna maka konsep awal bilangan bulat dapat diperkenalkan dengan menggunakan pendekatan himpunan yaitu melalui model keping aljabar. Kesimpulan ini sebenarnya masih telah mengalami pengamatan sebanyak 2 kali dikelas SD, 3 kali pada pelatihan guru kelas, dan 3 kali pada calon guru pendidikan matematika dan pendidikan guru madrasah ibtidaiyah. Kesimpulan ini masih bersifat sementara sebatas pengamatan yang perlu usahausaha lebih mendalam dan sistematis. KEPUSTAKAAN Kusnandar, A. dan Supriatin, E. (2009). Matematika untuk SD/MI Kelas 4. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Musser, Gary L., William F. Burger, and Blake E. Peterson. (2011). Mathemathics for Elementary Teachers : a Contemporary Approach. 9th ed. New Jersey: John Wiley & Sons. Purniati, T., (2009). Matematika, Jakarta: Departemen Agama RI. Soedjadi, R., (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia: konstatasi keadaan masa kini menuju harapan masa depan. Jakarta: Dirjen Dikti Depdiknas. 94 Turmudi dan Aljupri. (2009). Pembelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Islam Depag RI. Widayanti, E.Y., et.al. (2009). Pembelajaran Matematika MI. Edisi Pertama. Jakarta:

11 LAPIS PGMI dan Departemen Agama RI. Depdiknas. (2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan. Jakarta: Depdiknas. 95

12