Rifqi Choiril Affan, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA UNS

Transkripsi

1 MODEL SUSCEPTIBLE DIABETES COMPLICATIO (SDC ) Rifqi Choiril Affan, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA US Abstrak. Prevalensi penyakit diabetes tergolong cukup tinggi. Pemodelan matematika untuk mempelajari perubahan prevalensi diabetes telah dijelaskan melalui model diabetes complication (DC). Insidensi pada model DC diasumsikan konstan tanpa mempertimbangkan faktor penyebabnya. Dalam artikel ini, model DC dikembangkan menjadi model susceptible diabetes complication (SDC) dengan mempertimbangkan faktor gaya hidup dan genetik sebagai penyebab insidensi. Model SDC berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Model tersebut diterapkan di Amerika Serikat dengan mengestimasi nilai parameter berdasarkan data tahun Keakuratan model diukur berdasarkan eror relatif tahun Rata-rata eror relatif S, D, C, dan prevalensi berturut-turut adalah , , , dan Dengan demikian model cukup akurat dalam memprediksi banyaknya individu pada masing-masing kelompok maupun prevalensi diabetes. Selama , prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun, sedangkan kematiannya meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun. Kata Kunci: diabetes, insidensi, komplikasi, SDC. 1. Pendahuluan Diabetes merupakan suatu penyakit kronis yang ditandai dengan kadar gula darah yang tinggi. Organ pankreas tidak dapat bekerja dengan optimal sehingga mengakibatkan tubuh kekurangan insulin. Tanpa adanya insulin yang cukup, sel-sel tubuh tidak dapat menyerap dan mengolah glukosa menjadi energi sehingga kadar gula dalam darah meningkat. Menurut catatan International Diabetes Federation [8] tahun 2015, prevalensi penderita diabetes cukup besar yaitu sekitar 9.1% dari penduduk dunia. Diabetes tergolong sebagai penyakit yang mematikan dengan menempati urutan ke- 6 penyebab kematian terbanyak di dunia versi World Health Organization (W HO) [14]. Menurut Deshpande et al. [4], kematian penderita diabetes umumnya terjadi pada pasien yang mengalami komplikasi penyakit lain. Selain itu, komplikasi penyakit diabetes juga merupakan penyebab utama amputasi yang mengakibatkan cacat permanen pada penderitanya. Oleh sebab itu, komplikasi merupakan komponen yang penting dalam pembahasan penyakit diabetes, termasuk pembahasan dari sudut pandang epidemiologi. Menurut Berkman dan Kawachi [1], epidemiologi merupakan ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit pada suatu makhluk hidup di dalam konteks lingkungannya, epidemiologi tidak hanya mempelajari penyebaran penyakit menular, namun juga mempelajari penyebaran penyakit tidak menular, salah satunya adalah diabetes. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengetahui penyebaran penyakit diabetes yang diamati berdasarkan perubahan prevalensinya. 1

2 Pada tahun 2004 Boutayeb et al. [2] memperkenalkan model diabetes complication (DC) untuk mengetahui perubahan banyaknya penderita diabetes tanpa komplikasi (D) dan dengan komplikasi (C). Pada model tersebut banyaknya penderita baru (insidensi) penyakit diabetes diasumsikan konstan. Sementara itu menurut data WHO [13], banyaknya insidensi diabetes tidak konstan dan cenderung meningkat setiap tahunnya. Peningkatan ini disebabkan karena gaya hidup penduduk dunia semakin jauh dari nilai-nilai kesehatan. Menurut Gerungan [6], salah satu faktor yang mempengaruhi gaya hidup seseorang adalah interaksi sosial dengan orangorang di sekitarnya. Interaksi sosial merupakan faktor yang berpengaruh signifikan terhadap perubahan gaya hidup sehingga dapat meningkatkan potensi seorang individu yang sehat namun rentan (susceptible) menjadi penderita diabetes (Gary-Webb et al. [5]). Di samping itu, insidensi diabetes juga sering dikaitkan dengan faktor genetik dari orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Rich [11]). Berbeda dengan Boutayeb et al. [2], pada penelitian ini banyaknya insidensi tidak konstan. Banyaknya insidensi ditentukan dengan memperhatikan faktor gaya hidup dan faktor genetik. Dengan mempertimbangkan perbedaan tersebut, lebih lanjut diteliti penyebaran penyakit diabetes dengan model susceptible diabetes complication (SDC). Tujuan penelitian ini adalah menurunkan model SDC, mengukur keakuratan model tersebut dalam penerapan, serta menggunakan model untuk memprediksi prevalensi dan banyaknya kematian karena diabetes. 2. Model DC Model DC pertama kali dikenalkan oleh Boutayeb et al. [2] pada tahun Populasi pada model ini adalah penderita diabetes yang kemudian diklasifikasikan berdasarkan kondisi kesehatannya menjadi dua kelompok individu yaitu penderita diabetes tanpa komplikasi (D) dan penderita diabetes dengan komplikasi (C). Pada model ini jenis penyakit komplikasi tidak dibedakan, baik komplikasi akut maupun komplikasi kronis keduanya dianggap sama. Penderita diabetes yang awalnya tidak mengalami komplikasi dapat berkembang menjadi penderita diabetes yang mengalami komplikasi. Laju terjadinya komplikasi pada model ini dinotasikan dengan λ sehingga banyaknya individu kelompok D berkurang sebanyak λd dan banyaknya individu kelompok C bertambah dalam jumlah yang sama. Penderita diabetes yang mengalami komplikasi dapat sembuh dari penyakit komplikasinya, meninggal, maupun mengalami cacat fisik (disabilitas). Penderita diabetes sembuh dari penyakit komplikasi diasumsikan tetap menderita diabetes, sedangkan penderita diabetes yang meninggal maupun mengalami disabilitas karena komplikasi dikeluarkan dari populasi. Laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi, dan laju disabilitas berturut-turut dinotasikan dengan γ, δ, dan ν, sehingga banyaknya individu pada kelompok C berkurang sebanyak γc, δc, dan νc. Pada saat yang bersamaan, banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak γc karena

3 adanya individu yang sembuh dari penyakit komplikasi. Model DC Boutayeb et al. [2] juga memperhatikan kematian alami pada kedua kelompok individu dengan laju kematian alami yang besarnya sama dan dinotasikan dengan µ. Karena adanya kematian alami, kelompok individu D dan C berturut-turut berkurang sebesar µd dan µc. Insidensi penyakit diabetes pada model ini diasumsikan konstan sebesar I dan dikategorikan menderita diabetes tanpa komplikasi. Banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak I karena adanya insidensi. Dengan demikian model DC menurut Boutayeb et al. [2] dapat dituliskan sebagai = I λd + γc µd (2.1) = λd γc δc νc µc dengan I, λ, γ, µ, δ, ν > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial orde satu. 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Model SDC. Peningkatan jumlah penderita diabetes dipengaruhi oleh banyaknya insidensi yang terjadi. Insidensi penyakit diabetes sebagian besar disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat seperti tingkat aktivitas fisik yang rendah, pola makan yang tidak teratur, dan kebiasaan-kebiasaan lain yang bertentangan dengan pola hidup sehat. Penderita diabetes yang mengalami komplikasi biasanya sudah menyadari kelemahan kondisi fisiknya sehingga lebih memperhatikan gaya hidup yang dijalani dalam aktivitas sehari-hari. Sebaliknya, penderita diabetes yang tidak disertai komplikasi belum dapat menjaga gaya hidupnya, terlebih pada penderita diabetes yang belum terdiagnosis (undiagnosis diabetes). Dalam menjalani aktivitas sehari-hari, penderita diabetes tanpa komplikasi cenderung memiliki gaya hidup yang tidak sehat. Menurut Hill et al. [7], interaksi antara penderita diabetes yang memiliki gaya hidup tidak sehat dengan individu yang sehat dapat mengakibatkan terjadinya penularan gaya hidup. Dampak dari penularan gaya hidup adalah insidensi. Untuk menentukan banyaknya interaksi yang mungkin terjadi, banyaknya individu yang sehat namun rentan juga harus terukur dalam suatu kelompok individu yaitu susceptible (S). Karena adanya kelompok individu susceptible, model DC (2.1) dimodifikasi menjadi model susceptible diabetes complication (SDC). Jika laju interaksi yang menyebabkan terjadinya insidensi dinotasikan dengan β, maka banyaknya insidensi yang terjadi karena faktor gaya hidup sebanyak β SD. Setiap individu yang baru saja terkena diabetes diasumsikan belum mengalami komplikasi sehingga kelompok individu D bertambah sebanyak β SD. Pada saat yang sama, kelompok individu S juga berkurang sebanyak β SD. Kematian alami juga terjadi pada kelompok individu S. Besarnya laju kematian alami pada kelompok individu S sama dengan besarnya laju kematian alami pada

4 kelompok individu D dan C. Oleh karena itu banyaknya individu pada kelompok S berkurang sebanyak µs karena kematian alami. Dengan memperhatikan faktor gaya hidup sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai = β SD µs = β SD λd + µd + γc = λd (γ + δ + ν + µ)c. (3.1) Model SDC (3.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang memuat tiga variabel terikat yaitu S, D, dan C. Selain disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat, insidensi diabetes juga disebabkan oleh faktor genetik orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Wu et al. [15]). Keturunan dari seorang penderita diabetes berpotensi memiliki kelainan genetik yang mengakibatkan pankreas tidak dapat memproduksi insulin dengan semestinya. Pada penelitian ini diasumsikan bahwa individu sehat menghasilkan keturunan yang sehat pula, sedangkan individu penderita diabetes menghasilkan keturunan dengan kelainan genetik, namun tidak menutup kemungkinan menghasilkan keturunan yang sehat. Jika proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik dinotasikan dengan ρ dan laju kelahiran dinotasikan dengan α, maka banyaknya kelahiran individu sehat adalah αs +α(1 ρ)(d+c) dan banyaknya kelahiran dengan kelainan genetik adalah αρ(d+c). Kelahiran individu sehat meningkatkan banyaknya individu pada kelompok S sedangkan kelahiran individu dengan kelainan genetik meningkatkan jumlah individu pada kelompok D. Dengan memperhatikan faktor genetik sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai = αs + α(1 ρ)(d + C) β SD µs = αρ(d + C) + β SD λd + µd + γc = λd (γ + δ + ν + µ)c, (3.2) dengan α, β, γ, δ, λ, µ, ν > 0, dan 0 ρ 1. Model SDC (3.2) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu Populasi pada model SDC (3.2) didefinisikan sebagai gabungan dari kelompok individu S, D, dan C. Gabungan ketiga kelompok individu tersebut merepresentasikan jumlah penduduk yang hidup pada suatu wilayah (). Pada model SDC (3.2), terdapat sebanyak νc individu yang dikeluarkan dari populasi karena mengalami disabilitas. Dikeluarkannya individu yang mengalami disabilitas menimbulkan kontradiksi dengan definisi populasi sehingga model SDC (3.2) perlu

5 dimodifikasi. Individu yang mengalami disabilitas merupakan bagian dari penduduk yang masih hidup dan keberadaannya tidak perlu dikeluarkan dari populasi. Individu yang mengalami disabilitas tetap dipertahankan dalam populasi dengan menjadi bagian dari kelompok individu C. Dengan demikian, model SDC yang memperhatikan faktor gaya hidup dan faktor genetik sebagai penyebab insidensi serta tidak mengeluarkan individu yang mengalami disabilitas dari populasi dapat dinyatakan sebagai = αs + α(1 ρ)(d + C) β SD µs = αρ(d + C) + β SD λd + µd + γc = λd (γ + δ + µ)c (3.3) dengan S(0) > 0, D(0) > 0, dan C(0) > 0. Parameter α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturutturut menyatakan laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi, laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik. ilai parameter α, β, γ, δ, λ, dan µ > 0, sedangkan 0 ρ 1. Model SDC (3.3) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian model SDC (3.3) dapat digunakan untuk menentukan prevalensi diabetes. Prevalensi merupakan standar pengukuran individu berpenyakit dalam populasi. Prevalensi diabetes dapat dihitung dengan formula ( D(t)+C(t) (t) ) Penerapan. Pada penerapan ini, model SDC digunakan untuk mengetahui perubahan prevalensi diabetes di Amerika Serikat. Populasi diasumsikan homogen dan tidak memperhatikan persebaran populasi berdasarkan wilayah kependudukan maupun kategori usia. Komplikasi dibatasi pada lima penyakit yang paling sering dijumpai pada penderita diabetes yaitu cardiovascular diseases (CVD), penyakit ginjal kronis, lower extrimity conditions (LEC ), gangguan penglihatan, dan ketoacidosis. Data diperoleh dari Centers for Disease Control and Prevention (CDC ) [3], ational Vital Statistics Report (VSR) [9], dan World Bank [12] tahun Data tahun digunakan untuk mengestimasi parameter, sedangkan data tahun digunakan untuk mengukur keakuratan model. Berdasarkan data tahun , diperoleh nilai laju kelahiran α sebesar , laju interaksi β sebesar , laju kesembuhan komplikasi γ sebesar , laju kematian komplikasi δ sebesar , laju terjadinya komplikasi λ sebesar , dan laju kematian alami µ sebesar Sedangkan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik ρ diperoleh dari old dan Georgief [10] yaitu sebesar 1/ Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut

6 ke sistem (3.3), diperoleh model SDC yang diterapkan di Amerika Serikat yaitu = S (D + C) SD = (D + C) SD D C (3.4) = D C. Sistem (3.4) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier yang secara analitik sulit ditentukan penyelesaian eksaknya, oleh karena itu digunakan penyelesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Algoritme Runge-Kutta orde empat memerlukan nilai awal. ilai awal yang digunakan mengacu pada banyaknya individu S, D, dan C tahun 2011 (t = 0). Menurut data CDC [3], 6.67% dari juta penduduk Amerika Serikat adalah penderita diabetes yang terdiri dari 9.65 juta penderita diabetes yang tanpa komplikasi dan juta penderita diabetes yang mengalami komplikasi, sedangkan juta yang lainnya merupakan individu yang sehat namun rentan terkena diabetes. Berdasarkan data tersebut diperoleh nilai awal dalam satuan jutaan penduduk yaitu (S(0), D(0), C(0)) = (289.8, 9.65, 11.05). (3.5) Selanjutnya, ditentukan penyelesaian sistem (3.4) dengan syarat awal (3.5) dalam kurun waktu 3 tahun pertama ( ). Penyelesaian tersebut dibandingkan dengan data yang diperoleh dari CDC [3] sehingga dapat diukur nilai eror relatifnya. ilai eror relatif pada kelompok individu S, D, dan C, serta eror relatif prevalensi diabetes untuk tahun ditunjukkan pada Tabel 1. Tabel 1. Eror relatif masing-masing kelompok individu dan eror relatif prevalensi diabetes Tahun S D C Prevalensi Rata-rata Keakuratan model SDC (3.4) dalam memprediksi prevalensi diabetes di Amerika Serikat dapat diketahui berdasarkan eror relatif pada Tabel 1. Rata-rata eror relatif pada kelompok individu S, D, dan C berturut-turut adalah , , dan Rata-rata eror relatif tergolong cukup kecil sehingga model dapat dikatakan cukup akurat untuk memprediksi banyaknya individu pada ketiga kelompok tersebut. Sedangkan rata-rata eror relatif dalam memprediksi prevalensi diabetes adalah , artinya prediksi prevalensi diabetes dengan menggunakan model

7 SDC hanya 4.88% lebih tinggi dibandingkan data sebenarnya. Dengan demikian, model SDC (3.4) cukup akurat dalam memprediksi prevalensi diabetes. Selanjutnya, prevalensi diabetes berdasarkan penyelesaian model SDC (3.4) dalam rentang waktu ditunjukkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 ter- Gambar 1. Prevalensi diabetes tahun lihat bahwa prevalensi diabetes pada tahun 2011 adalah 6.67% dan diprediksikan mencapai 14% pada tahun 2030, terjadi peningkatan lebih dari dua kali lipat (110%) dalam kurun waktu 19 tahun pertama. Prevalensi diabetes cenderung selalu meningkat setiap tahunnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun. Peningkatan prevalensi berakibat pada peningkatan banyaknya kematian karena diabetes. Pada tahun 2011 terdapat individu yang meninggal karena diabetes. Banyaknya kematian karena terus mengalami peningkatan setiap tahunnya, rata-rata terjadi peningkatan 5% dibandingkan banyaknya kematian pada tahun sebelumnya. Kematian karena diabetes pada tahun 2030 diprediksikan mencapai jiwa, lebih dari dua kali lipat dibandingkan kematian pada tahun Jika diakumulasikan, maka terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes dalam rentang waktu Kesimpulan Dari pembahasan yang telah dilakukan, diambil 3 kesimpulan. (1) Model SDC adalah = αs + α(1 ρ)(d + C) β SD µs = αρ(d + C) + β SD (λ + µ)d + γc = λd (γ + δ + µ)c dengan α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturut-turut menyatakan parameter laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi,

8 laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik. (2) Model SDC diterapkan di Amerika Serikat, nilai parameter diestimasi berdasarkan data , diperoleh nilai parameter α = , β = , γ = , δ = , λ = , µ = , dan ρ = Penyelesaian model dibandingkan dengan data Berdasarkan rata-rata eror relatifnya, model SDC cukup akurat untuk memprediksi S, D, C, serta prevalensi diabetes. (3) Dalam rentang waktu , prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun. Sedangkan banyaknya kematian karena diabetes meningkat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun. Diprediksikan terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes selama periode DAFTAR PUSTAKA 1. Berkman, L. F. and I. Kawachi, Social Epidemiology, Oxford University Press, ew York, Boutayeb, A., E. H. Twizell, K. Achouayb, and A. Chetouani, A Mathematical Model for The Burden of Diabetes and Its Complication, BioMedical Engineering Online 3 (2004), no Centers for Disease Control and Prevention (CDC), ational Data of Diabetes, Deshpande, A. D., M. Harris-Hayes, and M. Schootman, Epidemiology of Diabetes and Diabetes-Related Complications, Physical Therapy 88 (2008), no. 11, Gary-Webb, T. L., S. F. Suglia, and P. Tehranifar, Social Epidemiology of Diabetes and Associated Conditions, Current Diabetes Reports 13 (2013), no. 6, Gerungan, W.A., Psikologi Sosial, Refika Aditama, Bandung, Hill, J., M. ielsen, and M. H. Fox, Understanding the Social Factors That Contribute to Diabetes: A Means to Informing Health Care and Social Policies for the Chronically Ill, The Permanente Journal 2 (2013), no. 17, International Diabetes Federation (IDF), IDF Atlas Seventh Edition, ational Vital Statistics Reports (VSR), Deaths : Final Data , old, J. L. and M. K. Georgieff, Infant of Diabetic Mothers, Pediatric Clinics of orth America 51 (2004), Rich, S. S., Genetics of Diabetes and Its Complications, Journal of The American Society of ephrology 17 (2006), World Bank, Birth and Death Rate, Crude, World Health Organization (WHO), Definition and Diagnosis of Diabetes Mellitus and Intermediate Hyperglycaemia, Report of a WHO/IDF Consultation, World Health Organization (WHO), The Top 10 Causes of Death, Wu, Y., Y. Ding, W. Tanaka, and W. Zhang, Risk Factors Contributing to Type 2 Diabetes and Recent Advances in the Treatment and Prevention, International Journal of Medical Sciences 11 (2014), no. 11,