MODUL PEMBELAJARAN FISIKA Momen Inersia, Momentum Sudut, Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi dengan Hukum Kekekalan Energi, Keseimbangan Benda Tegar dan Titik Berat.
Bagian Satu Momen Inersia 1. Definisi Momen Inersia Momen inersia merupakan ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya Momen inersia didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel terhadap kuadrat jarak dari titik poros. 2. Persamaan Matematis Momen Inersia I=mr 2 Keterangan: I = momen inersia (kg.m 2 ) m = massa benda (kg) r = jarak antara benda dan sumbu putar (m) Jika terdapat banyak partikel masing-masing m 1, m 2, m 3,., dan mempunyai jarak r 1, r 2, r 3,, terhadap poros, maka momen inersia total adalah penjumlahan momen inersia setiap partikel, yaitu: I = mi.ri 2 = m 1.r 1 2 + m 2.r 2 2 + m 3.r 3 2 +.+ m n.r n 2
3. Momen Inersia Benda Tegar 4. Analogi Hukum II Newton tentang Gerak Translasi dan Rotasi Ingat kembali Hukum II Newton, F = m.a Ingat a =.r Jadi, F = m..r masing-masing ruas dikalikan r Jadi, r.f = m..r 2 Ingat kembali r.f = τ dan I = mr 2 Jadi, τ = I. α
Bagian Dua Momentum Sudut 1. Momentum Sudut Momentum sudut/momentum anguler adalah ukuran tingkat kesukaran benda untuk dihentikan bila sedang berputar. Besarnya momentum sudut ditentukan oleh momen inersianya dan kecepatan sudutnya. Besar momentum sudut dihitung dengan rumus: Keterangan: L = momentum sudut (kgm 2 rad s -1 ) ω = kecepatan sudut (rad/s) L=Iω 2. Hukum Kekekalan Momentum Sudut Jika tidak ada gaya yang mempengaruhi sistem, momentum sudut adalah tetap. L1=L2 I1 ω1 = I2ω2 Keterangan: L1 = momentum sudut keadaan 1 L2 = momentum sudut keadaan 2
Bagian Tiga Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi dengan Hukum Kekekalan Energi a. Energi Kinetik Rotasi Seperti yang diketahui bahwa benda bermassa m bergerak translasi dengan kecepatan v memiliki energi kinetik ½mv 2. Walaupun benda tidak bergerak translasi, tetapi jika benda tersebut berotasi (berputar) terhadap suatu poros, benda tersebut memiliki energin kinetik yang disebut energi kinetik rotasi. Energi kinetik rotasi dapat diturunkan dari rumus energi kinetik translasi. EK = ½mv 2 = ½m(rω) 2 = 1 2 (mr2 )ω 2 Seperti yang dipelajari sebelumnya bahwa mr 2 = I, jadi: Ekrotasi = ½Iω 2 b. Energi Kinetik Gerak Menggelinding Gerak menggelinding adalah ketika suatu benda tegar bergerak translasi dalam suatu ruang sambil berotasi tanpa tergelincir, dimana total energi kinetik yang didapatkan adalah jumlah energi kinetik translasi dan rotasinya. Dengan demikian dapat dibentuk persamaan sebagai berikut: EK = EKtranslasi + Ekrotasi EK = ½mv 2 + ½Iω 2
Contoh Kasus Perbandingan Kelajuan Benda pada saat Meluncur dan Menggelinding Sebuah silinder homogen dengan jari-jari R dan massa m berada dipuncak suatu bidang miring (lihat gambar). Manakah yang kelajuannya lebih besar saat tiba di dasar bidang miring? Silinder yang meluncur tanpa gesekan atau silinder yang menggelinding? Jawab: Untuk silinder yang meluncur tanpa gesekan, hukum kekekalan energi mekanik memberikan persamaan sebagai berikut. EPpuncak + EKpuncak = EPdasar + EKdasar mgh + 0 = 0 + ½mv 2 gh = ½v 2 v = 2gh Untuk silinder yang menggelinding, energi kinetik didasar bidang merupakan gabungan energi kinetik translasi dan rotasi sehingga hukum kekekalan energi mekanik memberikan persamaan berikut. EPpuncak + EKpuncak = EPdasar + EKdasar mgh + 0 = 0 + (½mv 2 + ½Iω 2 ) Untuk silinder pejal, I = ½mR 2, dan v = ωr dan ω = v/r sehingga persamaan menjadi seperti berikut.
mgh = ½mv 2 + ½(½mR 2 )( v R )2 4gh = 2v 2 + R 2 ( v2 R 2) 4gh = 3v 2 v 2 = 4gh 3 v = 4gh 3 Kesimpulan yang didapat adalah, silinder yang menggelinding akan lebih lambat menuruni bidang miring daripada silinder yang meluncur tanpa gesekan. Hal itu disebabkan sejumlah energi diserap oleh gerak rotasi benda. Energi total silinder di dasar bidang adalah sama pada kedua kasus. How To Solve Bagaimana menentukan kelajuan benda di dasar bidang miring? Suatu benda yang dapat berotasi terhadap porosnya (silinder dan bola) dilepaskan dari keadaan diam dari suatu bidang miring. Posisi benda saat dilepaskan memiliki ketinggian vertikal h dari dasar bidang miring (perhatikan kembali gambar pada contoh kasus). Jika benda menggelinding menuruni bidang miring tanpa tergelicir, tunjukkan dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik bahwa kelajuan menggelinding benda di dasar bidang miring dapat dinyatakan sebagai berikut. v = 2gh 1+k Tetapan k yang diperoleh dari momen inersia benda terhadap porosnya yang dinyatakan sebagai berikut. Momen Inersia I = kmr 2 (note k = konstanta inersia) Misal untuk silinder pejal: I = ½mr 2 k = ½ bola pejal : I = 2/5 mr 2 k = 2/5 note: untuk bidang miring licin sehingga benda meluncur (bergerak lurus tanpa rotasi) dan nilai k = 0 sehingga v = 2gh
Bagian Empat Keseimbangan Benda Tegar a. Keseimbangan Statis Sistem Partikel Dalam sistem partikel, benda dianggap sebagai suatu titik materi. Semua gaya yang bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik materi tersebut sehingga gaya yang bekerja pada partikel hanya menyebabkan gerak translasi (tidak menyebabkan gerak rotasi. Oleh karena itu, syarat yang berlaku bagi keseimbangan partikel hanya keseimbangan translasi. Syarat keseimbangan sistem partikel F = 0 F x = 0 resultan gaya pada komponen sumbu x F y = 0 resultan gaya pada komponen sumbu y Contoh Kasus Keseimbangan Statis Sistem Partikel oleh Tiga Gaya Perhatikan gambar disamping. Sebuah benda memiliki berat 400 N dan digantung pada keadaan diam. Tentukan tegangan-tegangan pada tali penahannya! (T1 dan T 2 )
Catatan: Tinjau titik A dan gambar gaya-gaya yang bekerja pada A. Tetapkan arah mendatar sebagai sumbu X dan arah vertikal sebagai sumbu Y. Uraikan gaya-gaya pada sumbu X dan sumbu Y, sesuaikan dengan syarat kesetimbangan pada sistem partikel. Jawab: Komponen-komponen tegangan tali T1 adalah T1x dan T1y, sedangkan T2 adalah T2x dan T2y. T1x = T1 cos 37 = 0,8 T1 T2x = T2 cos 53 = 0,6 T2 T1y = T1 sin 37 = 0,6 T1 T2y = T2 sin 53 = 0,8 T2 Gunakan persamaan kesetimbangan statis partikel, yaitu F x = 0 dan F y = 0. Perhatikan tanda untuk setiap komponen gaya, positif untuk arah ke kanan atau ke atas, dan negatif untuk arah ke kiri dan ke bawah. F x = 0 F y = 0 T2x - T1x = 0 T1y + T2y w = 0 T2x = T1x 0,6 T1 + 0,8 T2 400 = 0 0,6 T2 = 0,8 T1 0,6 T1 + 0,8 T2 = 400. (2) T1= 0,6T 2 = 3T 2 0,8 4... (1) Substitusi T1 = 3T 2 4 ke dalam persamaan (2) menjadi,
0,6 ( 3T 2 4 ) + 0,8 T 2 = 400 kalikan kedua ruas dengan 4 1,8 T2 + 3,2 T2 = 1600 5T2 = 1600 T2 = 320 N Substitusikan kembali nilai T2 = 320 N ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh nilai T1. T1 = 3(320) 4 = 240 N b. Keseimbangan Statis Benda Tegar Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis jika mula-mula benda berada dalam keadaan diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap titik sembarang yang dipilih sebagai poros sama dengan nol. Secara matematis, syarat keseimbangan benda tegar yang terletak dalam suatu bidang datar (misal bidang XY) dinyatakan sebagai berikut. 1. Resultan gaya harus NOL F x = 0 F y = 0 2. Resultan torsi harus NOL τ = 0
Contoh Kasus Keseimbangan pada Batang Berengsel Batang homogen berengsel (Gambar 1) dengan berat 50 N berada dalam keadaan seimbang. Hitung tegangan pada kabel pendukungnya. Strategi: Pisahkan batang, lalu gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada batang (Gambar 2). Perhatikan, berat batang homogen bekerja di titik berat batang homogen, yaitu ditengah-tengah batang. Untuk dapat langsung menghitung tegangan dalam kabel T, pilihlah titik P sebagai poros dan gunakan syarat keseimbangan rotasi τ = 0. Gambar 1 Gambar 2 Jawab: Gaya-gaya yang bekerja pada batang adalah berat batang 50 N, dengan titik kerja tepat di tengah-tengah batang; tegangan tali T; beban 100 N; serta gaya engsel dengan komponen horizontal H dan komponen vertikal V (Gambar 2). Dengan menetapkan arah horizontal sebagai sumbu X dan arah vertikal sebagai sumbu Y, maka gaya yang perlu kita uraikan atas komponen-komponennya hanyalah gaya tegangan T, yaitu Tx dan Ty. Tx = T cos 37 = 0,80T dan Ty = T sin 37 = 0,60T
Gaya horizontal dan vertikal engsel, yaitu H dan V, yang bekerja di titik P tidak di ketahui sehingga sebaiknya titik P kita tetapkan sebagai poros. Dengan menetapkan P sebagai poros, maka gaya gaya H, V dan Tx tidak menghasilkan torsi karena garis kerja ketiganya melalui poros P. τ = 0 50(0,7) - Ty(1) + 100(1,4) = 0 35 - Ty + 140 = 0 Ty = 175 N Ty = 0,60T = 175 T = 175 0,60 = 292 N Tegangan kabel pendukung adalah 292 N. Bagaimana jika gaya pada engsel ditanyakan? Tentu saja, kita terlebih dahulu menghitung gaya horizontal engsel, H, dengan F x = 0 dan gaya vertikal, V, dengan F y = 0. F x = 0 F y = 0 H - Tx = 0 V 50 + Ty 100 = 0 H = 0,80 T V = 150 0,60T H = 0,80(292) = 150 0,60(292) = 234 N = -25,2 N Besar engsel Fp dihitung dengan teorema Pythagoras. Fp = H 2 + V 2 = (234) 2 + ( 25,2) 2 = 235,4 N Jadi, gaya engsel adalah 235,4 N.
Bagian Lima Titik Berat Setiap partikel dalam suatu benda tegar memiliki berat. Berat keseluruhan benda adalah resultan dari semua gaya gravitasi berarah vertical ke bawah dari semua partikel. Resultan ini bekerja melalui suatu titik tunggal yang disebut titik berat, atau sebutan lainnya pusat gravitasi. Titik berat atau pusat gravitasi terdapat di koordinat x dan koordinat y, yang dirumuskan dengan: XG = w ix i w i YG = w iy i w i Mengapa titik berat sering di identikkan dengan pusat massa? Pada persamaan sebelumnya, komponen percepatan gravitasi dapat di tiadakan. Tetap muncul notasi untuk menentukan koordinat XG dan YG. Titik koordinat (XG,YG) dalam kasus ini disebut sebagai pusat massa. Setelah menghilangkan lambang gravitasi, untuk pusat massa dapat dituliskan dengan: XG = m ix i m i YG = m iy i m i
Contoh Kasus Bagaimana menentukan pusat massa suatu benda? Sebuah palu terdiri atas bagian kepala yang berbentuk silinder dengan massa 2,00 kg dan diameter 8,00 cm, serta tangkai yang juga berbentuk silinder dengan massa 0,500 kg dan panjang 26,0 cm, seperti yang ditunjukkan pada gambar disamping. Jika palu tersebut dilemparkan berputar ke udara, berapa jauh di atas dasar tangkai letak titik yang membentuk lintasan parabola? Perlu di ketahui: Ketika palu dilemparkan berputar ke udara, maka titik yang membentuk lintasan parabola adalah titik-titik lintasan pusat massa (atau titik berat) palu. Jawab: Titik berat tangkai palu ada di tengah-tengah tangkai, diberi indeks 2. x2 = 26,0 2 = 13,0 cm Titik berat kepala palu ada di tengah-tengah kepala palu, diberi indeks 1. x1 = 26 + 8,00 2 = 30,0 cm
Titik berat palu, yaitu titik G, dapat ditentukan menggunakan persamaan: X G = m ix i m i = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 (2,00)(30,0) +(0,500)(13) = 2,00+0,500 = 26,6 cm Jadi, letak titik yang membentuk lintasan parabola ketika dilemparkan dengan berputar ke udara adalah titik yang berjarak 26,6 cm dari dasar tangkai. Next, Untuk titik berat dalam satu dimensi, dapat ditentukan dengan rumus: Untuk titik berat dalam dua dimensi, dapat ditentukan dengan rumus: Untuk titik berat dalam tiga dimensi, dapat ditentukan dengan rumus:
Titik Berat dalam Berbagai Bidang Datar
Contoh Kasus Bagaimana cara menentukan koordinat titik berat X dan Y pada bidang datar? Tentukan letak titik berat bangun berupa luasan berikut dihitung dari bidang alasnya! Jawab: Tinjau bidang datar yang berwarna hitam, A1 = 20 x 60 = 1200 cm 2 Y1 = 30 cm Tinjau bidang datar yang berwarna biru, A2 = 20 x 60 = 1200 cm 2 Y2 = 60 + 10 = 70 cm Y = y 1A 1 + y 2 A 2 (1200)(30)+(1200)(70) = A 1 + A 2 1200+1200 = 50 cm
Let s try the Exercise! Latihan Soal I. Momen Inersia 1. Susunan 3 buah massa titik seperti gambar berikut! Jika m1 = 1 kg, m2 = 2 kg dan m3 = 3 kg, tentukan momen inersia sistem tersebut jika diputar menurut : a) poros P b) poros Q 2. Lima titik massa tersusun seperti gambar berikut m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, m4 = 4 kg, m5 = 5 kg Tentukan momen inersianya jika:
a) poros putar sumbu X b) poros putar sumbu Y 3. Tiga buah benda masing-masing : Bola pejal massa 5 kg Silinder pejal massa 2 kg Batang tipis massa 0,12 kg D = 2 m Tentukan momen inersia masing- masing benda dengan pusat benda sebagai poronya. 4. Sebuah pipa dengan panjang L = 2 meter memiliki jari-jari luar pipa adalah 22 cm dengan jari-jari dalam 20 cm. Jika massa pipa adalah 4 kg, tentukan momen inersia pipa 5. Diberikan sebuah batang tipis dengan panjang 4 meter dan bermassa 240 gram seperti gambar berikut:
Jika momen inersia dengan poros di pusat massa batang adalah I = 1/12 ML 2 tentukan besar momen inersia batang jika poros digeser ke kanan sejauh 1 meter II. III. Momentum Sudut 6. Sebuah piringan berbentuk silinder pejal homogeny mula-mula berputar pada porosnya dengan kecepatan sudut 9 rad/s. Bidang piringan sejajar bidang horizontal. Massa dan jari-jari piringan 0,6 kg dan 0,2 m. Jika di atas piring diletakkan cincin yang mempunyai massa 0,6 kg dan jari-jari 0,1 m dan pusat cincin tepat di atas pusat piringan, maka piringan dan cincin akan bersama-sama berputar dengan kecepatan sudut.. 7. Sebuah bola pejal berputar melalui salah satu sumbunya dengan kecepatan sudut 2 rad/s. Jika massa bola itu 0,5 kg dan jari-jarinya 20 cm, maka momentum sudut adalah.. Hukum Kekekalan Energi Gerak Rotasi dan Translasi 8. Sebuah silinder pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni suatu bidang miring yang tingginya 15 m. Kelajuan linear silinder ketika tiba di kaki bidang adalah 9. Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni suatu bidang miring yang tingginya 1,4 m. kelajuan linear bola tersebut ketika sampai di dasar bidang adalah 10.Sebuah silinder pejal menggelinding murni di atas lantai datar yang kasar dengan kecepatan tetap 4 m/s. Bila diketahui massa silinder 0,1 kg, maka energy kinetiknya adalah
IV. Keseimbangan Benda Tegar 11. Seorang anak bermassa 50 kg berdiri diatas tong 50 kg diatas sebuah papan kayu bermassa 200 kg yang bertumpu pada tonggak A dan C. Jika jarak anak dari titik A adalah 1 meter dan panjang papan kayu AC adalah 4 m, tentukan : a) Gaya yang dialami tonggak A b) Gaya yang dialami tonggak C 12. Sebuah batang homogen AC dengan panjang panjang 4 m dan massanya 50 kg. Pada ujung C digantungkan beban yang massanya 20 kg. Batang ditahan oleh tali T sehingga sistem seimbang. Jika jarak BC 1 m, maka hitunglah tegangan tali T! 13. Sebuah tangga seberat 800 N dan panjang 10 m disandarkan pada dinding seperti gambar. Jika dinding licin dan lantai kasar, serta tangga tepat akan tergelincir maka hitunglah koefisien gesekan antara lantai dan tangga! (sin 53 = 0,8) 53 o V. Titik Berat 14. Tentukan koordinat titik berat susunan enam buah kawat tipis berikut ini dengan acuan titik 0!
15. Tentukan letak titik berat bangun berikut terhadap alasnya! 16. Karton I dan II masing-masing homogen, terbuat dari bahan yang sama dan digabung menjadi satu seperti gambar di bawah. Tentukan koordinat titik berat benda gabungan dari titik A 17. Diberikan sebuah bangun datar sebagai berikut. Tentukan koordinat titik berat diukur dari titik O.
18. Sebuah tabung pejal disambung dengan kerucut pejal seperti pada gambar berikut! Tentukan letak titik berat bangun tersebut terhadap garis AB!