1 Case : Dalam suatu koridor pejalan kaki tertentu (perlajur permeter) terdapat data kecepatan dan speed yang diperoleh dari survey volume dari pejalan kaki. Data tersebut terlampir sebagai berikut: Tabel 1.1 Data Volume dan Kecepatan Pejalan Kaki No. Volume (V) = X i *Y i (orang/jam) Speed (S) = Y i (km/jam) 1 1200 6.8 2 1800 6.4 3 3200 6.2 4 3600 6.0 5 4200 5.9 6 4700 5.7 7 5700 5.6 8 8400 5.4 9 7650 5.1 10 4900 4.8 11 4700 4.6 12 3200 4.2 13 2400 3.2 14 2200 2.8 15 2000 1.1 Pertanyaan : Dari data tersebut turunkan hubungan fungsi S = f(d), V = f(d), V = f(s). Tentukan V maks.! Tentukan pula pada kondisi speed, spacing, density, dan volume berapa kondisi tersebut terjadi! Jika terjadi volume = 5000 orang/jam, tentukan pada kondisi speed, spacing, dan density berapa kondisi tersebut terjadi! I. Buat dalam Model Greenshield. II. Buat dalam Model Greenberg. III. Jika terdapat volume = 35.000 orang/jam, rencanakan berapa lebar lajur pejalan kaki yang dibutuhkan jika tingkat pelayanan tertentu mensyaratkan spacing antar pejalan kaki adalah 2 meter.
2 IV. Dengan volume = 35.000 orang/jam, tentukan berapa lajur minimum yang harus dibuka agar volume tersebut bisa berjalan sesuai tanpa terganggu adanya hambatan. V. Berapa lajur yang harus dibuka bila kecepatan yang diinginkan = 3 km/jam. VI. Dengan perilaku yang sama, buat dalam Model Greenberg. VII. Buat dalam Model Underwood. VIII. Gambarkan grafik hubungan fungsi S = f (D), V = f(d), V = f(s) tersebut untuk Model Greenshield, Greenberg, dan Underwood. IX. Tentukan model mana yang paling baik dari ketiga model tersebut yang paling merepresentasikan realita. Penyelesaian : I. Model Greenshield Greenshields merumuskan bahwa hubungan matematis antara kecepatan kepadatan [S = f(d)] diasumsikan linear, seperti yang dinyatakan dengan persamaan : (1.1) dengan : = kecepatan (km/jam) = kecepatan arus bebas (km/jam) = kepadatan pada kondisi lalu lintas macet total (orang/km) = kepadatan (orang/km) Persamaan umum hubungan antara kecepatan dan kepadatan dengan cara regresi linier adalah : y = A + Bx (1.2) dengan nilai : ( ) (1.3) (1.4) dan adalah nilai rerata dari Y i dan X i.
3 Tabel 1.2 Prosedur Perhitungan Analisis Regresi Linear Hubungan Matematis Kecepatan Kepadatan (Model Greenshields) No. Volume (V) = X i *Y i Speed (S) = Y i Density (D) = V/S = X i (orang/jam) (km/jam) (orang/km) (X i ) 2 1 1200 6.8 176.471 31141.869 2 1800 6.4 281.250 79101.563 3 3200 6.2 516.129 266389.178 4 3600 6.0 600.000 360000.000 5 4200 5.9 711.864 506750.934 6 4700 5.7 824.561 679901.508 7 5700 5.6 1017.857 1036033.163 8 8400 5.4 1555.556 2419753.086 9 7650 5.1 1500.000 2250000.000 10 4900 4.8 1020.833 1042100.694 11 4700 4.6 1021.739 1043950.851 12 3200 4.2 761.905 580498.866 13 2400 3.2 750.000 562500.000 14 2200 2.8 785.714 617346.939 15 2000 1.1 1818.182 3305785.124 Σ 59850 73.80 13342.061 14781253.774 Rata-rata 4.92 889.47 Σ X i : 13342.061 Σ Y i : 73.80 Σ X i.y i : 59850 Σ (X i ) 2 : 14781253.774 : 889.47 : 4.92 ( ) S = f (D) linear : y = A + Bx S = A + BD D = 0 maka S = S ff S ff = A = 6.6883 km/jam S = A + BD D = D j maka S = 0 0 = A + BD j
4 S = f (D) S = A + BD V = f(d) V = D x S S = V = f(s) V = D x S D = Mencari Nilai Maksimum :
5 Diketahui : V = 5000 orang/jam V = D x S * +
6 Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan = 0.002 km/orang
7 Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan II. Model Greenberg Greenberg mengasumsikan bahwa hubungan matematis antara kecepatan kepadatan [S = f(d)] bukan merupakan fungsi linear melainkan fungsi eksponensial, seperti yang dinyatakan dengan persamaan : (1.5) dengan : D = kepadatan (orang/km) C dan e = koefisien S = kecepatan (km/jam) Persamaan umum hubungan antara kecepatan dan kerapatan dengan cara regresi linier adalah : y = A + Bx dengan nilai, ( ) dan adalah nilai rerata dari Y i dan X i.
8 Tabel 1.3 Prosedur Perhitungan Analisis Regresi Linear Hubungan Matematis Kecepatan Kerapatan (Model Greenberg) No. Speed (S) Density (D) = Volume (V) = Y i V/S (X i ) = L n.d (orang/jam) (km/jam) (orang/km) X i *Y i (X i ) 2 1 1200 6.8 176.471 5.173 35.177 26.762 2 1800 6.4 281.250 5.639 36.091 31.801 3 3200 6.2 516.129 6.246 38.727 39.017 4 3600 6.0 600.000 6.397 38.382 40.921 5 4200 5.9 711.864 6.568 38.751 43.137 6 4700 5.7 824.561 6.715 38.275 45.089 7 5700 5.6 1017.857 6.925 38.783 47.962 8 8400 5.4 1555.556 7.350 39.688 54.016 9 7650 5.1 1500.000 7.313 37.297 53.483 10 4900 4.8 1020.833 6.928 33.256 48.002 11 4700 4.6 1021.739 6.929 31.875 48.015 12 3200 4.2 761.905 6.636 27.870 44.034 13 2400 3.2 750.000 6.620 21.184 43.825 14 2200 2.8 785.714 6.667 18.666 44.443 15 2000 1.1 1818.182 7.506 8.256 56.334 Σ 59850 73.80 13342.061 99.612 482.279 666.842 Rata-rata 4.92 6.64 Σ X i : 99.612 Σ Y i : 73.80 Σ X i.y i : 482.279 Σ (X i ) 2 : 666.842 : 6.64 : 4.92 ( ) S = f (D) y = Bx + A
9 S = f (D) V = f(d) V = D x S V = f(s) V = D x S
10 Mencari Nilai Maksimum : U = -1.4652 (D) U = -1.4652 V = ln (D) V = U = U =
11 V = V = Diketahui : V = 5000 orang/jam V = D x S Dari persamaan dengan nilai V = 5000, dari Excel diperoleh nilai D 1 = 1159.5613 orang/km = 1160 orang/km dan D 2 = 18246.72 orang/km = 18247 orang/km
12 Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan = 0.002 km/orang Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan
13 III. Model Underwood Underwood mengasumsikan bahwa hubungan matematis antara kecepatan kepadatan [S = f(d)] merupakan fungsi logaritma, seperti yang dinyatakan dengan persamaan : (1.6) dengan : = kecepatan arus bebas (km/jam) = kepadatan maksimum (orang/km) S = kecepatan (km/jam) Persamaan umum hubungan antara kecepatan dan kerapatan dengan cara regresi linier adalah : y = A + Bx dengan nilai, ( ) dan adalah nilai rerata dari Y i dan X i.
14 Tabel 1.4 Prosedur Perhitungan Analisis Regresi Linear Hubungan Matematis Kecepatan Kerapatan (Model Underwood) Density (D) = No. Volume (V) Speed (S) V/S = X (Y i ) = i X Log e (S) i *Y i (X i ) 2 (orang/jam) (km/jam) (orang/km) 1 1200 6.8 176.471 1.917 338.280 31141.869 2 1800 6.4 281.250 1.856 522.084 79101.563 3 3200 6.2 516.129 1.825 941.703 266389.178 4 3600 6.0 600.000 1.792 1075.056 360000.000 5 4200 5.9 711.864 1.775 1263.525 506750.934 6 4700 5.7 824.561 1.740 1435.121 679901.508 7 5700 5.6 1017.857 1.723 1753.530 1036033.163 8 8400 5.4 1555.556 1.686 2623.287 2419753.086 9 7650 5.1 1500.000 1.629 2443.861 2250000.000 10 4900 4.8 1020.833 1.569 1601.295 1042100.694 11 4700 4.6 1021.739 1.526 1559.231 1043950.851 12 3200 4.2 761.905 1.435 1093.398 580498.866 13 2400 3.2 750.000 1.163 872.363 562500.000 14 2200 2.8 785.714 1.030 808.987 617346.939 15 2000 1.1 1818.182 0.095 173.291 3305785.124 Σ 59850 73.80 13342.061 22.761 18505.013 14781253.774 Rata-rata 889.47 1.52 Σ X i : 13342.061 Σ Y i : 22.761 Σ X i.y i : 18505.013 Σ (X i ) 2 : 14781253.774 : 889.47 : 1.52 ( )
15 S = f (D) y = A + Bx km/jam S = f (D) V = f(d) V = D x S ( ) V = f(s) V = D x S
16 Mencari Nilai Maksimum : V = f(d)
17 Diketahui : V = 5000 orang/jam V = D x S Dari persamaan dengan nilai V = 5000, dari Excel diperoleh nilai D 1 = 1676.420 orang/km = 1677 orang/km dan D 2 = 1,046 orang/km = 2 orang/km Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan = 0.002 km/orang
18 Diketahui : V = 35.000 orang/jam dan Selanjutnya untuk menentukan model mana yang terbaik yang paling mendekati dengan realita dinyatakan dengan koefisien determinasi (R 2 ). Dari grafik diperoleh bahwa Model Greenshields lah yang memiliki nilai R 2 yang paling mendekati realita dengan nilai R 2 sebesar = 1
Volume (orang/jam) Kecepatan (km/jam) SI 5242 Model Simulasi dan Sistem Transportasi 19 Grafik Hubungan Antara Kecepatan dan Kepadatan 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y = -0.0020x + 6.6883 R² = 1.0000 y = 6.2388e -0.0003x R² = 0.9202 y = -2.0077ln(x) + 17.5907 R² = 0.9426 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Kerapatan (orang/km) Greenshield Greenberg Underwood Gambar 1.1 Hubungan matematis antara kecepatan kerapatan untuk model Greenshields, Greenberg, dan Underwood. 8000 Grafik Hubungan Antara Volume dan Kerapatan 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 y = 1,682.0314e 0.0009x R² = 0.8406 y = 2.7046x + 1,584.3196 R² = 0.8721 y = 1,652.1297ln(x) - 7,287.8249 R² = 0.9818 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Kerapatan (orang/km) Greenshield Greenberg Underwood Gambar 1.2 Hubungan matematis antara volume kerapatan untuk model Greenshields, Greenberg, dan Underwood.
Kecepatan (km/jam) SI 5242 Model Simulasi dan Sistem Transportasi 20 Grafik Hubungan Antara Volume dan Kecepatan 10 8 6 y = -0.0006x + 6.7959 R² = 0.4322 4 2 y = -3.55ln(x) + 33.50 R² = 0.557 y = 8.618e -2E-0x R² = 0.924 Greenshield Greenberg Underwood 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Volume (orang/jam) Gambar 1.3 Hubungan matematis antara volume kecepatan untuk model Greenshields, Greenberg, dan Underwood.