MAKALAH TRANSFORMASI FOURIER MATA KULIAH PENGOLAHAN CITRA OLEH: 1. RISKA NOR AULIA (08 615 013) 2. DYA AYU NINGTYAS (08 615 017) JURUSAN TEKNOLOGI INFORMASI POLITEKNIK NEGERI SAMARINDA 2010
TRANSFORMASI FOURIER 1. Pengertian Transformasi Fourier, dikemukakan oleh Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. 2. Transformasi Fourier Transformasi Fourier dari f(x), didefinisikan sebagai berikut: ஶ di mana ஶ j = 1 Sebaliknya, jika diketahui F(u), maka f(x) dapat diperoleh dengan Inverse Transformasi Fourier berikut: ஶ ஶ Kedua persamaan di atas disebut dengan pasangan transformasi Fourier. Jika f(x) adalah bilangan real, biasanya F(u) merupakan bilangan kompleks yang bisa diuraikan menjadi: F(u) = R(u) + ji(u) dimana R(u) dan I(u) adalah komponen real dan imajiner dari F(u). Persamaan di atas juga sering dituliskan sebagai:
F(u)= F(u) e jφu dimana F(u) adalah magnitude dari F(u), yang diperoleh dari : F(u) = [ R2(u) + I2(u) ]1/2 f(u) = tan-1[ I(u) / R(u) ] Fungsi magnitude F(u) disebut juga spektrum Fourier dari f(x), dan f(u) disebut dengan sudut fase dari f(u). Jika f(x) dijadikan diskrit maka persamaan transformasi Fourier diskrit adalah: = (ݔ) ଵ [ /ݔݑߨ 2 ] exp (ݔ) 1 ௫ Karena pada pengolahan citra digital, data yang digunakan berbentuk digital/diskrit maka dapat digunakan kedua persamaan diatas untuk melakukan transformasi dan inverse transformasi Fourier. Untuk menganalisa citra pada frequency domain, hasil transformasi Fourier dapat ditampilkan sebagai citra, dimana intensitasnya proporsional dengan besarnya F(u) atau spektrum Fourier. Namun karena dynamic range dari spektrum Fourier biasanya sangat besar, maka sebelum ditampilkan sebagai citra harus diubah menjadi: D(u,v) = c log ( 1 + F(u,v) ) dimana c adalah konstanta. Selanjutnya yang ditampilkan sebagai citra adalah nilai dari D(u,v). Nilai D(u,v) ini akan memiliki dynamic range yang lebih kecil daripada F(u,v). Berikut ini adalah contoh gambar beberapa citra dengan spektrum Fouriernya.
3. Contoh Program Menggunakan Tranformasi Fourier Dengan Matlab Fungsi pada matlab yang digunakan dalam program IMREAD Fungsi ini berguna untuk membaca citra dari suatu file. Jika citra yang dibaca memiliki format warna grayscale, fungsi ini akan menghasilkan array dua dimensi yang berisi informasi intensitas grayscale dari citra tersebut. Fungsi ini mendukung format BMP, JPEG, TIF, PNG, HDF, PCX, dan XWD. IMSHOW Fungsi ini digunakan untuk menampilkan citra pada layar. IMWRITE Fungsi ini digunakan untuk menyimpan citra ke dalam file. Fungsi ini merupakan kebalikan dari fungsi IMREAD. FFT2 Fungsi ini digunakan untuk melakukan transformasi Fourier terhadap array 2 dimensi. Hasil yang diperoleh juga akan berbentuk array 2 dimensi.
FFTSHIFT Fungsi ini digunakan untuk melakukan pergeseran dari hasil transormasi Fourier, sehingga memudahkan analisa visualisasi dari spektrum Fourier. Karena spectrum Fourier bersifat periodik, pergeseran ini tidak akan berpengaruh pada citra yang dihasilkan jika dilakukan inverse transformasi Fourier. IFFT2 Fungsi ini digunakan untuk melakukan inverse transformasi Fourier terhadap array 2 dimensi. Hasil yang diperoleh juga akan berbentuk array 2 dimensi. Langkah pertama yang dilakukan adalah membaca file citra yang akan diproses dan menyimpan informasi graylevel dari semua pixelnya ke dalam sebuah matriks. Perintah yang digunakan adalah: nmfile = 'flo_nois.bmp'; img = imread(nmfile); Selanjutnya dilakukan transformasi Fourier dan dilanjutkan dengan penggeseran (shifting) hasil transformasi Fourier tersebut supaya hasil visualisasinya lebih mudah diamati dan dianalisa. Untuk itu digunakan perintah: % Transformasi Fourier dengan FFT img_f = fft2(img); img_fs = fftshift(img_f); Setelah itu baru digunakan perintah imshow untuk menampilkan citra maupun spektrum Fouriernya. Namun pada saat spektrum Fourier akan ditampilkan, karena dynamic range dari spektrum Fourier sangat besar, lebih dulu dilakukan proses dengan perintah berikut: img_spectrum = log(1+abs(img_fs)); Proses ini akan memperkecil dynamic range sehingga dapat ditampilkan di layar dengan lebih jelas dan lebih mudah untuk dianalisa. Untuk menghilangkan noise, lebih dulu dibuat sebuah matriks h yang dimensinya sama dengan dimensi dari matriks untuk menyimpan hasil transformasi Fourier, yaitu 256 x 256. Matriks h ini dinisialisasi dengan diisi nilai satu pada setiap elemennya dengan menggunakan perintah: h = ones(256);
Selanjutnya bagian tertentu dari matriks yang menunjukkan area dimana noise berada pada spektrum Fourier citra diubah menjadi nol, dengan menggunakan perintah: % Memilih area frekuensi yang akan difilter % untuk menghapus noise. for ix = 1:256, for iy = 1:256, % Noise berasal dari frekuensi yang membentuk garis % vertikal di bagian tengah spektrum. % Nilai pada area ini akan dihilangkan dengan cara % dikalikan 0. if (iy > 127) & (iy < 130) & ((ix < 123) (ix > 134)) h(ix,iy) = 0; end end end Perintah di atas hanya berlaku untuk noise yang ada pada citra yang digunakan oleh penulis. Jika noise pada spektrum Fourier citra lainnya berada di area yang berbeda, tentunya perintah di atas harus dimodifikasi angka-angkanya sehingga sesuai dengan area noise pada spektrum Fourier yang akan dihilangkan. Setelah bagian tertentu dari matriks tersebut diberi nilai nol, sedangkan yang lainnya tetap bernilai satu, maka masing-masing elemen matriks tersebut dikalikan dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks spektrum Fourier citra, dengan perintah: g = img_fs.* h; Perkalian ini akan menghasilkan spektrum Fourier baru dimana area noise telah hilang karena dikalikan dengan nol. Pada visualisasi spektrum Fourier hilangnya area noise ini ditunjukkan dengan warna hitam di area tersebut. Langkah berikutnya adalah melakukan inverse transformasi Fourier dari spectrum Fourier yang baru untuk mendapatkan informasi citra kembali, dengan perintah: hasil = uint8(abs(ifft2(g))); Digunakannya uint8 adalah supaya informasi citra yang diperoleh memiliki tipe data pixel 8-bit atau 256 graylevel, sehingga sama dengan citra asalnya.