Modul 13. Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2007
1. PENGANTAR Antri adalah kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari-hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pada pompa bensin, pada pintu jalan tol, ketika akan keluar dari supermarket dan situasi-situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Teori antrian pertama kali dikemukankan oleh A. K. Erlang, seorang ahli matematika bangsa Denmark pada tahun 1913 dalam bukunya Solution of Some Problem in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange. Saat ini teori antrian banyak diterapkan dalam bidang bisnis (bank, supermarket), industri (pelayanan mesin otomatis, penyimpanan), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut, jasa-jasa pos) dan masih banyak masalah sehari-hari yang lain. Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan untuk mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu nganggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antri. Disini akan diperkenalkan teori antrian melalui sebuah model antrian yang paling sederhana. Tujuan akhir menyelesaikan model antrian adalah untuk menentukan ciri-ciri operasi sistem antrian. Diakhiri dengan menunjukkan bagaimana memanfaatkan ciri-ciri operasi itu untuk merancang fasilitas pelayanan yang optimum. 2. KOMPONEN PROSES ANTRIAN Komponen dasar proses antrian adalah : kedatangan, pelayanan dan antri. Seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Sumber Kedatangan Antrian Fasilitas Keluar Pelayanan 1
KEDATANGAN Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsure ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan proses random. PELAYAN Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Disamping itu, perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yang kadang-kadang merupakan proses random. ANTRI Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penemu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri, misalnya, datang awal dilayani dulu yang lebih dikenal dengan singkatan FCFS, datang terakhir dilayani dulu LCFS, berdasar prioritas dan secara random. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang nganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. 3. STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN Proses antrian pada umumnya dikelompokkan kedalam empat struktur dasar menurut sifatsifat fasilitas pelayanan, yaitu : 1. Satu saluran sati tahap 2. Banyak saluran satu tahap 3. Satu saluran banyak tahap 4. Banyak saluran banyak tahap 2
Keempat kelompok ini ditunjukkan pada gambar dibawah ini : (1) Antrian Pelayan (2) Antrian Pelayan 3) Antrian Pelayan (4) Antrian Pelayan http://www.mercubuana.ac. id 3
Banyaknya saluran dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan paralel yang tersedia. Banyaknya tahap menunjukkan jumlah pelaynanan berurutan yang harus dilalui oleh setiap kedatangan. Empat kategori yang disajikan diatas merupakan kategori dasar. Masih terdapat banyak variasi struktur antrian yang lain. 4. KERANGKA KEPUTUSAN MASALAH ANTRIAN Berbeda dengan LP, tak ada pengetahuan terpadu yang berhubungan dengan optimasi masalah antrian. Sehingga kebanyakan literature teori antrian menekankan pengembangan ciri-ciri operasi sistem antrian. Ciri-ciri operasi menjelaskan prestasi sistem dalam bentuk ukuran-ukuran, misalnya; rata-rata waktu menunggu, waktu nganggur pelayan dan lain-lain. namun, ukuran prestasi sistem sesungguhnya hanya input dalam suatu kerangka konsep yang lebih luas. Ciri-ciri operasi yang akan dipelajari adalah : Pn L : rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem Lq W : rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) Wq : probabilita n pengantri dalam sistem : rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian : rata-rata waktu antri I : proporsi waktu nganggur pelayan Kebanyakan analisa masalah antrian akhirnya samapai pada pertanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan yang seharusnya disediakan. Jika variasi keputusannya adalah tingkat pelayanan, maka model harus mengidentifikasi hubungan antara tingkat peleyanan dengan parameter dan variabel-variabel yang relevan. Kriteria evaluasi keputusan dari model ini adalah total expected cost. Hubungan variabel keputusan (tingkat pelayanan) dengan kriteria evaluasi (total expected cost) ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Terlihat bahwa total cost merupakan jumlah dari dua biaya yang berlainan ayitu (1) biaya pelayanan dan (2) biaya menunggu. 4
Expected Cost MODUL 13 Total Cost Biaya pelayanan Biaya Menunggu Tingkat Pelayanan BIAYA PELAYANAN Jika tingkat pelkayanan ditambah, biaya pelayanan akan bertambah. Contohnya jika dibuka dua loket, sebagai ganti dari satu loket, biaya akan bertambah sebesar gaji untuk penjaga loket yang kedua. Jika tingkat pelayanan bertambah, waktu nganggur pelayan yang diharapkan bertambah, sehingga pada tingkat pelayanan tertentu, biaya pelayanan dalam masalah antrian hanya memasukkan biaya waktu nganggur pelayan. Adanya waktu nganggur merupakan opportuniyy cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke kegiatan produktif yang lain. BIAYA MENUNGGU Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan waktu menunggu. Namun sangat sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagai pekerja. 5
Sehingga, masalah keputusannya merupakan konflik antara biaya waktu menunggu bagai pengantri melawan biaya tingkat pelayanan. Dan model keputusan masalah antrian dirumuskan sebagai : Minimumkan E Cs = I Ci + W Cw Keterangan : E Cs : total expected cost untuk tingkat pelayanan S I Ci W Cw : waktu nganggur pelayan yang diharapkan : biaya nganggur pelayan per unit waktu : waktu menunggu yang diharapkan untuk semua kedatangan : biaya menunggu pengantri per unit waktu 5. ASUMSI-ASUMSI Teori antrian dikembangkan dengan membuat sejumlah asumsi tentang beberapa komponen proses antrian. Terdapat banyak sekali variasi situasi antri. Meskipun pada buku ini hanya akan dibicarakan sebuah model antrian yang paling sederhana, namun seluruh konsep dasar antrian perlu dijelaskan. DISTRIBUSI KEDATANGAN Model antrian adalah model probabilistik (stochastic) karena unsure-unsur tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Baik kedatangan maupun waktu pelayanan dalam suatu proses antrian pada umumnya dinyatakan sebagai variabel random. Asumsi yang biasa digunakan dalam kaitannya dengan distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi Poisson. Rumus umum distribusi probabilitas Poisson adalah : e-a Ar P(r) = --------------, r! dimana r http://www.mercubu ana.ac.id : banyaknya kedatangan 6
P (r) A E r! : probabbilita r kedatangan : tingkat kedatangan rata-rata :dasar logaritma natural, yaitu 2,71828 : r (r-1) (r-2) 1. (dibaca r factorial) Distribusi Poisson adalah distribusi diskrit dengan rata-rata sama dengan varians. Suatu ciri menarik dari proses Poisson adalah bahwa jika banyaknya kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat kedatangan rata-rata A, maka waktu diantara kedatangan (inter arrival time) akan mengikuti distribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 1/A. DISTRIBUSI WAKTU PELAYANAN Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai atau pasa dengan salah satu bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial negatif. Sehingga jika waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif, maka tingkat pelayanan mengikuti distribusi Poisson. Rumus umum fungsi kepadatan probabilita eksponensial negatif adalah : F (t) t f (t) U 1/U e = U e-ut, dimana : waktu pelayanan : probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t : tingkat pelayanan rata-rata : waktu pelayanan rata-rata : dasar logaritma natural, yaitu 2,71828 Distribusi eksponensial negatif adalah distribusi probabilita kontinyu seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Terlihat bahwa waktu pelayanan yang pendek memiliki probabilita terjadi yang tinggi. Wilayah dibawah kurva pada gambar tersebut ditentukan melalui fungsi distribusi kumulatif yang dihitung dengan integral seperti berikut : f (t) = http://www.mercubuana.ac.id 0 T U e-ut dt = 1 e-ut 7
F(t) 0 t Penelitian empiris menunjukkan bahwa asumsi distribusi eksponensial negatif maupun Poisson sering kali tidak abash. Karena itu asumsi ini harus diperiksa sebelum mencoba menggunakan suatu model. Pemeriksaan dilakukan melalui test gooness of fit dengan menggunakan distribusi chisquare. DISIPLIN ANTRI Dalam teori antrian, pada umumnya diasumsikan pengantri dilayanai berdasar FCFS. Jika asumsi ini tidak cocok dengan sistem antri yang dipelajari, model lain harus dikembangkan. Suatu tingkah laku pengantri yang dapat mempengaruhi aturan pelayanan adalah pengantri yang tak sabar dan memutuskan untuk meninggalkan sistem sebelum dilayani, yang dikenal dengan nama reneging. SISTEM ANTRI STEADY STATE DAN TRANSIENT Suatu asumsi yanga sangat penting dalam teori antrian adalah apakah sistem mencapai suatu keadaan keseimbangan atau dinamakan steady state. Ini berarti diasumsikan bahwa ciri-ciri operasi seperti panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu akan memiliki nilai konstan setelah berjalan selama suatu periode waktu. 8
Panjang antrian MODUL 13 Hampir semua model antrian dasar mengasumsikan keadaan steady state. Namun, beberapa sistem antrian tak pernah dapat diharapkan berjalan cukup lama dalam keadaan steady state. Model terakhir ini dinamakan transient. Dalam analisa sistem antrian transient solusinya tergantung pada waktu yang telah dilewati sejak sistem mulai beroperasi. Disini hanya dibicarakan model steady state. TINGKAT KEDATANGAN DAN TINGKAT PELAYANAN Diasumsikan bahwa tingkat pelayanan U harus melebihi tingkat kedatangan pengantri A. jika tidak, antrian akan makin panjang sehingga tak ada solusi keseimbangan. Hubungan antara tingkat kedatangan A, dan tingkat pelayanan U dan panjang antrian yang diharapkan ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika A kurang dari U, maka traffic intensity atau utilization factor = A/U kurang dari 1. Jika rasio ini mendekati 1, panjang antrian yang diharapkan akan mendekati tak terbatas. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Perlu diingat bahwa dalam teori antrian umumnya dimulai dengan asumsi sumber kedatangan dan panjang antrian adalah tak terbatas, meskipun asumsi ini sering kali tidak realistik. 9
6. NOTASI KENDALL Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi itu dituliskan : a/b/c/d/e/f Notasi Kendall yang asli adalah : a / b / c Keterangan : a : distribusi kedatangan b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan, Untuk a dan b, M menunjukkan Poisson, Ek menujukkan Erlang, dan D berarti deterministik atau konstanta c : banyaknya pelayanan paralel d : disiplin antri, seperti FCFS, LCFS, prioritas dan random e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani) f : jumlah sumber kedatangan. Jika tiga dari notasi Kendall yang diperluas tak disebutkan berarti :. /. /. / FCFS / / artinya disiplin antri FCFS, jumlah maksimum pengantri dalam sistem tak terbatas dan jumlah sumber kedatangan tak terbatas. 7. MODEL ANTRIAN M / M / 1 Pada model ini kedatangan dan keberangkatan mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat A dan U. terdapat satu pelayan, kapasitas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas. Ini merupakan model antri yang paling sederhana dan merupakan satu-satunya model yang akan dibahas disini. 10
Untuk menentukan semua ukuran prestasi atau ciri-ciri operasi, dapat dilakukan dengan mudah setelah diperoleh Pn yaitu probabilitas n pengantri dalam sistem. Melalui penurunan matematik yang cukup panjang, dalam kondisi steady state diperoleh : Pn ( 1 R ) Rn, dimana ( R = A/U ) 1 dan n = 0,1,2,. Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri operasi lain, 1. Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dalam sistem adalah Pn k = Rk 2. Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem R L = n Pn = 1-R 3. Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri Lq = R2 1-R 4. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem 1 W = U-A 5. Rata-rata waktu antri A Wq = U (U A) 6. Proporsi waktu nganggur pelayan I=1 R Contoh : Penumpang kereta api datang pada loket dengan tingkat rata-rata 20 per jam. Secara ratarata setiap penumpang dilayani 2 menit. Setelah sistem berada dalam steady state, carilah : a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq Jawab: Tingkat kedatangan rata-rata A = 20 per jam, dan tingkat pelayanan rata-rata U = 30 per jam. Sehingga R = 2/3. a. P4 = ( 1 2/3 ) (2/3)4 = 16/192 2/3 b. L = 1 2/3 = 2 penumpang 4/9 c. Lq = 1 2/3 = 1,33 penumpang 11
1 d. W = 30-20 = 1/10 jam = 6 menit 20 e. Wq = 30 (30-20) = 4 menit Misalkan kepala station mengetahui dengan mengganti penjaga loket yang ada dengan penjagga yang lebih trampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namun upah penjaga yang trampil adalah Rp 600 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. kepala station juga memperkirakan biaya menunggu pengantri adalah Rp 500 per menit. Haruskah kepala station mengganti yang ada dengan penjaga yang lebih trampil? Jawab : Ciri-ciri operasi sistem yang diperlukan untuk menganalisa masalah itu adalah Wq dan I, yang dihitung seperti berikut : Kasus 1 : Pelayan yang ada U = 30 penumpang 20 Wq = 30 (30-20) = 1/15 jam = 4 menit I = 1 20/30 = 33,3% Kasus 2 : Pelayan yang ada U = 30 penumpang 20 Wq = 40 (40-20) = 1/40 jam = 1,5 menit I = 1 20/40 = 50% Karena tingkat kedatangan rata-rata A = 20 per jam dan loket dibuka 8 jam sehari, maka banyaknya pengantri diperkirakan 160. sehingga jumlah waktu menunggu diperkirakan 160 x 4 = 640 menit untuk kasus 1 dan 160 x 1,5 = 240 menit untuk kasus 2. Pelayan yang ada 12
nganggur selama 33% x 8 = 2,64 jam dan pelayan trampil nganggur selama 50% x 8 = 4 jam. Berikut ditunjukkan ringkasan kedua unsur biaya, Tabel Kasus 1 Kasus 2 Biaya tunggu pengantri 120.000 Biaya nganggur pelayan 640 x 500 = Rp. 320.000 2,64 x 300 = Rp. 792 240 x 500 = Rp. 4 x 600 = Rp. 2.400 Sehingga, dengan mengganti pelayan yang ada menjadi pelayan trampil, kepala station dapat menurunkan biaya tunggu pengantri sebanyak Rp. 200.000 (=320.000 200.000) dengan peningkatan biaya pelayanan Rp. 1.608 (=2.400 792). 13