OPTIMASI PARAMETER α DAN γ DALAM PEMULUSAN EKSPONENSIAL DUA PARAMETER DENGAN METODE MODIFIKASI GOLDEN SECTION NILA YUWIDA 1208100015 Dosen Pembimbing : Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Drs. Lukman Hanafi, M.Sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2012
1.1 Latar Belakang Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown Metode Pemulusan Eksponensial Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt Evaluasi Parameter Parameter Yang Optimal Pemulusan Eksponensial Tripel dari Winter
1.2 Rumusan Masalah Bagaimana menentukan estimasi nilai parameter α dan γ yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dengan menggunakan algoritma Nonlinear Programming.
1.3 Batasan Masalah Ukuran error peramalan yang digunakan adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolute Persentage Error). Metode dalam algoritma Nonlinear Programming yang dipakai adalah modifikasi algoritma Golden Section. Program dibuat dengan bantuan software MATLAB. Data yang digunakan berasal dari data jumlah pengunjung Kusuma Agrowisata, Batu Asumsi yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini yaitu :
1.4 Tujuan Untuk mendapatkan estimasi nilai parameter α dan γ yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dengan metode modifikasi Golden Section.
1.5 Manfaat Dapat memberikan informasi mengenai penggunaan algoritma nonlinear programming dalam menyelesaikan permasalahan peramalan dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial.
Metode Pemulusan Eksponensial Metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap nilai observasi yang lebih tua (Makridakis,1999). Metode ini terdiri atas metode pemulusan eksponensial satu parameter, metode pemulusan eksponensial dua parameter, dan metode pemulusan eksponensial tiga parameter.
Pemulusan eksponensial ganda dua parameter Model ini digunakan untuk memodelkan data yang mengandung pola trend (kecenderungan). Ramalan dari pemulusan ekponensial ganda didapat dengan menggunakan dua konstanta pemulusan (dengan nilai antara 0 dan 1). Rumus pemulusan eksponensial ganda dua parameter adalah:
Ukuran Error Peramalan Ukuran kesalahan peramalan digunakan untuk mengevaluasi nilai parameter peramalan. Nilai parameter peramalan yang terbaik adalah nilai yang memberikan nilai kesalahan peramalan yang terkecil.
Ukuran kesalahan peramalan yang digunakan adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolut Percentage Error) karena menghilangkan nilai negatif pada tiap perhitungan. Rumus umum rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolut Percentage Error) : MAPE =
Suatu model mempunyai kinerja sangat bagus jika nilai MAPE berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai berada di antara 10% dan 20%. (Zainun dan Majid,2003)
Metode Modifikasi Golden Section Metode ini sebagai perluasan dari algoritma golden section yang hanya dapat menyelesaikan nonlinear programming dengan satu variabel. Dengan menggunakan prinsip-prinsip dasar dari algoritma golden section, untuk didapatkan penyelesaian nonlinear programming sejenis tetapi dengan banyak variabel. Maksimasi atau Minimasi : f(x 1,x 2, x 3,, x N ) Dengan kendala : a 1 x 1 d 1 a 2 x 2 d 2 a 3 x 3 d 3 : a N x N d N
Langkah Pengerjaan Studi pendahuluan Mendapatkan Data Berpola Trend Mendapatkan nilai α dan γ yang optimal Analisis Hasil Membuat Program Metode Modifikasi Golden Section Pada Software MATLAB Input Data Ke Program Kesimpulan dan Saran
Data Penelitian Tahun Periode Jumlah Pengunjung 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1430 1520 1610 1390 1370 1740 1420 1410 1620 1800 1640 1710 Tahun Periode Jumlah Pengunjung 2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2060 1930 2070 2180 2290 2250 2040 2270 2230 2420 2390 2660 Sumber : Kusuma Agrowisata, Batu
Langkah Metode Modifikasi Golden Section Proses untuk mencari nilai parameter α dan γ yang optimal adalah suatu proses iterasi. Minimasi : F(α,γ) Kendala : 0 α 1 0 γ 1 Langkah-langkah pada metode modifikasi Golden Section : = 0 = 1 = 0 = 1 Dan diambil nilai toleransi = 0.0001 = 0.0001
Nilai dan adalah toleransi variabel keputusan yang menjadi pembatas berhentinya iterasi, dimana iterasi akan berhenti saat nilai dan. Selanjutnya nilai dimasukkan pada : Mencari nilai fungsi maksimum dari fungsi Setelah mendapatkan nilai fungsi yang maksimum maka nilai interval akan berganti dengan nilai interval yang baru sesuai dengan fungsi mana yang maksimum.
Kemudian dilakukan pengujian iterasi apakah selisih batas akhir dan awal yang baru kurang dari dan. Jika nilai tersebut kurang dari dan maka iterasi akan berhenti dan dilanjutkan pada langkah selanjutnya yaitu mencari nilai fungsi yang minimum dari semua kombinasi dengan. Dari nilai fungsi yang minimum tersebut maka didapat nilai α dan γ yang optimal. Pada metode ini nilai adalah nilai MAPE dengan nilai adalah nilai yang dimasukkan sebagai nilai α dan γ pada metode pemulusan eksponensial.
Grafik Data Penelitian dan Hasil Peramalan Dengan α= 0,416408 dan γ= 0,188471 2800 2600 Data Penelitian Data Ramalan 2400 Jumlah Pengunjung 2200 2000 1800 1600 1400 1200 0 5 10 15 20 25 Periode ke-t
Tabel Iterasi Metode Modifikasi Golden Section a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 0 0.2361 0.2361 0.382 0.382 0.618 0.2361 0 0.382 0.1459 0.4721 0.2361 0.618 0.2361 0.1459 0.3262 0.2361 0.382 0.2918 0.4721 0.3262 0.1459 0.382 0.2016 0.4164 0.2361 0.4721 0.382 0.1459 0.4164 0.1803 0.4377 0.2016 0.4721 0.382 0.1803 0.4033 0.2016 0.4164 0.2148 0.4377 0.4033 0.1803 0.4164 0.1935 0.4245 0.2016 0.4377 0.4164 0.1803 0.4245 0.1885 0.4296 0.1935 0.4377 0.4164 0.1885 0.4214 0.1935 0.4245 0.1966 0.4296 0.4164 0.1885 0.4195 0.1916 0.4214 0.1935 0.4245 0.4164 0.1885 0.4183 0.1904 0.4195 0.1916 0.4214 0.4164 0.1885 0.4176 0.1897 0.4183 0.1904 0.4195 0.4164 0.1885 0.4171 0.1892 0.4176 0.1897 0.4183 0.4164 0.1885 0.4169 0.1889 0.4171 0.1892 0.4176
15 16 17 18 19 20 21 22 23 0.4164 0.1885 0.4167 0.1888 0.4169 0.1889 0.4171 0.4164 0.1885 0.4166 0.1886 0.4167 0.1888 0.4169 0.4164 0.1885 0.4165 0.1886 0.4166 0.1886 0.4167 0.4164 0.1885 0.4165 0.1885 0.4165 0.1886 0.4166 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4165 0.1885 0.4165 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4165 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164 0.1885 0.4164
Kombinasi Nilai α dan γ yang Dimasukkan Secara Acak 11 10 9 8 Gamma 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 11 10 9 8 Alpha 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 alpha = 0.1 alpha = 0.2 alpha = 0.3 alpha = 0.4 alpha = 0.5 alpha = 0.6 alpha = 0.7 alpha = 0.8 alpha = 0.9 gamma = 0.1 gamma = 0.2 gamma = 0.3 gamma = 0.4 gamma = 0.5 gamma = 0.6 gamma = 0.7 gamma = 0.8 gamma = 0.9 Memasukkan nilai α dan γ secara acak sehingga akan muncul suatu kombinasi dari nilai α dan γ.
Tabel MAPE terkecil pada grafik α No. α γ MAPE (%) 1 0.1 0.6 9.1293 2 0.2 0.2 7.9346 3 0.3 0.2 7.2624 4 0.4 0.5 7.0845 5 0.5 0.3 7.1956 6 0.6 0.1 7.3751 7 0.7 0.1 7.5561 8 0.8 0.1 7.7289 9 0.9 0.1 7.8813 Tabel MAPE terkecil pada grafik γ No. α γ MAPE (%) 1 0.4 0.1 7.0951 2 0.4 0.2 7.0996 3 0.4 0.3 7.1316 4 0.4 0.4 7.1274 5 0.4 0.5 7.0845 6 0.4 0.6 7.1681 7 0.3 0.7 7.288 8 0.3 0.8 7.2709 9 0.3 0.9 7.3266 MAPE terkecil
Pada metode memasukkan nilai α dan γ secara acak menghasilkan nilai parameter optimal α=0,4 dan γ=0,5. Dari parameter optimal tersebut didapat nilai MAPE sama dengan 7,0845%. Berikut adalah hasil plot dari nilai α dan γ yang optimal. 2800 2600 Data Aktual Data Ramalan 2400 Jumlah Pengunjung 2200 2000 1800 1600 1400 1200 0 5 10 15 20 25 periode ke-t
Kesimpulan Proses untuk mendapatkan parameter α dan γ yang optimal dengan metode modifikasi Golden Section menghasilkan nilai α sama dengan 0,416408 dan γ sama dengan 0,188471. Dari nilai α dan γ optimal didapat nilai MAPE 7,09209%. Dengan cara memasukkan nilai parameter α dan γ secara acak menghasilkan nilai parameter yang optimal α sama dengan 0,4 dan γ sama dengan 0,5. Dari parameter optimal tersebut didapat nilai MAPE sama dengan 7,0845%. Nilai MAPE yang dihasilkan dari metode modifikasi Golden Section berada di bawah 10 %, itu menunjukkan bahwa metode ini menghasilkan sebuah model yang kinerjanya sangat bagus. Sehingga metode modifikasi Golden Section merupakan sebuah metode yang efektif untuk mendapatkan parameter α dan γ yang optimal pada metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt.
Saran Saran yang penulis berikan untuk penelitian berikutnya adalah pertimbangan yang dapat dipakai untuk pengembangan atau penelitian kedepan, yaitu obyek penelitian dapat dikembangkan pada metode pemulusan eksponensial tiga parameter dan metode nonlinear programming yang digunakan adalah metode untuk mencari nilai optimal dengan lebih dari dua variabel atau multivariabel.
DAFTAR PUSTAKA [1] Makridakis, S., Wheelwright S.C., dan McGee V.E. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Diterjemahkan oleh Suminto, H. Jakarta: Binarupa Aksara. [2] Makridakis, S., Wheelwright, S.C. (1989). Forecasting Methods for Management. 5 ed. John Wiley & Sons, Inc: New York [3] Nurhidayati, E. N. (2011). Aplikasi Algoritma Nonlinear Programming Untuk Mengoptimalkan Parameter Alfa Dalam metode Pemulusan Eksponensial Satu Parameter. Jurusan Matematika FMIPA ITS. [4] The Jin Ai. (1999). Optimasi Peramalan Pemulusan Eksponensial Satu Parameter Dengan Menggunakan Algoritma Nonlinear Programming. Jurnal Teknologi Industri, Vol. III, No. 3, hal 139 148 [5] The Jin Ai. (2002). Penyelesaian Non-Linear Programming (NLP) yang berbentuk Maks/Min f(x) dengan Kendala a x d dengan Modifikasi Algoritma Golden Section. Jurnal Teknologi Industri, Vol. VI, No. 1, Januari 2002: 37 42 [6] Zainun, N. Y. dan Majid, M. Z. A. (2003). Low Cost House Demand Predictor.universitas Teknologi Malaysia