ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA POPULASI PENDERITA DIABETES SKRIPSI KARTIKA DAMAYANTI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016
ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA POPULASI PENDERITA DIABETES SKRIPSI KARTIKA DAMAYANTI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016 i
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ANALISIS DAN KONTROL... KARTIKA DAMAYANTI
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ANALISIS DAN KONTROL... KARTIKA DAMAYANTI
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan tanpa seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv
KATA PENGANTAR Dengan menyebut asma Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang. Segala puji syukur tercurahkan kepada Allah SWT sumber inspirasi kehidupan yang telah melimpahkan rahmat dan karunia - Nya sehingga dapat terselesaikannya penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik - baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Populasi Penderita Diabetes. Pada kesempatan ini, Penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah berperan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan, antara lain: 1. Universitas Airlangga dan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberi tempat untuk saya mengenyam pendidikan, 2. Dr. Fatmawati, M.Si selaku pembimbing I dan Dr. Miswanto, M.Si selaku pembimbing II yang memberikan bimbingan, arahan serta masukan dalam penyelesaian skripsi. 3. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. vi
vii 4. Agus Prasetyo dan Indriyani selaku orang tua saya dan Eka Pratiwi Hadiyani dan Triyana Prasetyo Mulyo selaku kakak dan adik saya, yang selalu memberikan doa, dukungan serta semangat sehingga menjadi motivasi dalam penulisan skripsi ini. 5. Sahabat terbaikku, Windha Nanti Anggraini, atas kesabaran yang luar biasa dan waktu yang telah diberikan. 6. Marcellia, Rezza, Lista, Isa, Auladi, Radifa, Dwi Veni, Prabu, Steven, Ibrahim, Arista, yang sudah memberikan warna-warni di akhir perkuliahan yang melelahkan ini. 7. Teman-teman Matematika 2011 Universitas Airlangga yang lain atas dukungan, motivasi serta semangat yang diberikan selama ini. 8. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi. Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat kekurangan, sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi bagi pembaca. Surabaya, Januari 2016 Kartika Damayanti
ADLN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGA Kartika Damayanti, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Populasi Penderita Diabetes, Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati dan Dr. Miswanto, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga. ABSTRAK Diabetes mellitus adalah salah satu penyakit tidak menular yang disebabkan oleh dua faktor utama, yaitu faktor eksternal dan internal. Faktor eksternal adalah faktor yang disebabkan karena gaya hidup dari penderita. Gaya hidup yang tidak sehat dapat memicu terkenanya penyakit ini. Sedangkan faktor internal adalah faktor genetik yang membawa gen penyakit diabetes tersebut. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisis kestabilan dan interpretasi dari model matematika populasi penderita diabetes baik secara analitik maupun numerik, serta melakukan kontrol optimal pada model matematika populasi penderita diabetes tersebut. Dari analisis model tanpa kontrol diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang bebas penyakit (titik setimbang non endemik) dan titik setimbang endemik. Titik setimbang non endemik dan endemik dapat dikatakan stabil asimtotis jika nilai eigen dari persamaan model matematika populasi penderita bernilai negatif. Sedangkan untuk memperoleh kontrol yang optimal dapat dicari dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Simulasi numerik dilakukan dengan menginputkan nilai parameter dari model matematika populasi penderita diabetes menggunakan program kompuer Matlab. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa dengan kontrol pola hidup sehat dapat efektif meminimalkan populasi penderita diabetes dengan biaya minimal. Kata Kunci: Model Matematika, Diabetes Mellitus, Pola Hidup Sehat, Kontrol Optimal viii
ADLN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGA Kartika Damayanti, 2016, Analysis and Optimal Control of The Mathematic Models of Diabetics Population, This undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati and Dr. Miswanto, Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University. ABSTRACT Diabetes mellitus is non infectious disease caused by two main factors, the external and internal factors. External factors caused by the lifestyle. Unhealthy lifestyle can trigger this disease. While the internal factors is genetic factor that carries the genes of diabetes. The purpose of this thesis is to analyze stability and interpretation of the mathematic model of diabetics population whether analytic and numerical, and taking control optimal on the mathematic model of diabetics population. From the analysis model without control, we obtained two equilibriums. These are disease free equilibrium (non endemic equilibrium) and endemic equilibrium. Disease free equilibrium and endemic equilibrium will be stable asimtotic if eigen of the value from the models are negative. While to obtain control optimal is by using the Principle Maximum Pontryagin (PMP). The numerical simulation doing by insert the value of parameters of mathematic model of diabetics population using computer program named Matlab. Numerical simulation results showed that implementation of controller healthy lifestyle is effective to minimize the diabetics population with minimal cost. Keywords: Mathematic Model, Diabetes Mellitus, Healthy Lifestyle, Optimal Control ix
DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PENGESAHAAN... LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... KATA PENGANTAR...... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI..... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vii viii ix xi xii xiii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Rumusan Masalah... 3 1.3 Tujuan... 4 1.4 Manfaat... 4 1.5 Batasan Masalah... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diabetes Mellitus... 5 2.2 Sistem Persamaan Diferensial... 7 2.3 Kestabilan dari Sistem Linier... 8 2.4 Kriteria Routh-Hurwitz... 9 x
xi 2.5 Teori Kontrol Optimal... 13 2.6 Prinsip Maksimum Pontryagin... 14 2.7 Software Matlab... 16 BAB III METODE PENELITIAN... 17 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika Populasi Penderita Diabetes... 19 4.1.1 Titik Setimbang Model Matematika Populasi Penderita Diabetes... 23 4.1.2 Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal... 25 4.2 Model Matematika Populasi Penderita Diabetes dengan Kontrol Optimal... 27 4.2.1 Simulasi Numerik... 32 BAB V KESIMPULAN... 43 DAFTAR PUSTAKA... 45
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 4.1 Diagram Transmisi Populasi Penderita Diabetes Tanpa Kontrol. 22 Gambar 4.2 Diagram Transmisi Populasi Penderita Diabetes dengan Kontrol Optimal berupa Pola Hidup Sehat... 28 Gambar 4.3 Dinamika Populasi Pra-Diabetes... 35 Gambar 4.4 Dinamika Populasi Diabetes tanpa Komplikasi... 37 Gambar 4.5 Dinamika Populasi Diabetes dengan Komplikasi... 39 Gambar 4.6 Grafik Kontrol... 41 xii
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Variabel dan Parameter Model Populasi Penderita Diabetes... 20 Tabel 4.2 Nilai Parameter Simulasi Numerik Model dengan Kontrol... 34 Tabel 4.3 Perbandingan Jumlah Populasi Pra-Diabtes... 36 Tabel 4.4 Perbandingan Jumlah Populasi Diabtes tanpa Komplikasi... 38 Tabel 4.5 Perbandingan Jumlah Populasi Diabtes dengan Komplikasi... 40 Tabel 4.6 Fungsi Ongkos Atas Kontrol yang Diberikan... 42 xiii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Penghitungan Titik Setimbang Endemik Lampiran 2 Penghitungan Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal xiv