BAB II LANDASAN TEORI 2. Analisis Regresi Linier Berganda Analisis regresi merupakan salah satu analisis statistik yang sering digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua variabel atau lebih. Menurut Drapper Smith (992 analisis regresi merupakan metode analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis data mengambil kesimpulan yang bermakna tentang hubungan ketergantungan variabel terhadap variabel lainnya. Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang menyatakan hubungan antara variabel bebas (idependent variable variabel tak bebas (dependent variable dalam bentuk persamaan sederhana.,2,, (2. Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasan terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut. Bentuk umum regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut:... (2.2 keterangan: variabel tak bebas, variabel bebas parameter regresi variabel gangguan Model persamaan regresi linier pada persamaan (2.2 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut: dengan: y y Y 2 ; X y n x x 2 x n x 2 x 22 x n2 x k β0 ε β ε x 2k ; β ε 2 x nk βk ε n
2.2 Asumsi Regresi Linier Berganda Dalam metode regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah:. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu E ( 0, untuk i,2,...,n 2. Varian ( E ( 3. Tidak ada autokorelasi antara kesalahan pengganggu (galat/error, berarti 4. kovarian (, 0, i Variabel bebas,,...,, konstan dalam sampling yang terulang bebas terhadap kesalahan penganggu 5.. Tidak ada multikolenieritas diantara variabel bebas ~ 6. (0;, artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 varian 2.3. Metode Kuadrat Terkecil Salah satu metode penduga parameter dalam model regresi adalah metode kuadrat terkecil. Metode ini memerlukan beberapa asumsi klasik yang harus dipenuhi oleh komponen, yaitu memenuhi asumsi kenormalan, kehomogenan ragam, tidak memiliki autokorelasi. Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang digunakan untuk menaksir parameter regresi dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat kekeliruan (error dari model regresi yang terbentuk. Jumlah kuadrat kekeliruan (error untuk persamaan regresi linier sederhana, yaitu: ( ;,2,, Sehingga diperoleh pendugaan kuadrat terkecil dari (2.3 pada regresi linier berganda adalah, sebagai berikut: ( (2.4 Estimasi persamaan regresi linier sederhana, yaitu: II-2
,2,, (2.5 (2.6 (2.7 Dengan mendistribusikan Persamaan (2.5 ke Persamaan (2.4, maka diperoleh jumlah kaudrat kekeliruan, yaitu: 2 2 ( ( (. ( ( ( ( 0 ( ( ( ( Selanjutnya untuk meminimumkan Persamaan (2.7, maka diturunkan terhadap : 2 ( ( 0 II-3
Estimasi dari Persamaan regresi linier sederhana dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dinotasikan dengan diduga dari Dengan Setelah yaitu nilai dari ( dengan rumus: ( adalah jumlah data pengamatan yaitu nilai yang adalah nilai rata-rata y. diperoleh maka estimasi persamaan regresi linier sederhana menjadi :,2,, (2.8 Pada metode kuadrat terkecil ini untuk mendapatkan nilai,, kita dapat menggunakan metode kuadrat terkecil dengan rumus sebagai berikut: ( (2.9 ( ( ( (2.0 Persamaan regresi linear berganda dengan dua variabel bebas mempunyai, perhitungan nilai,. Menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu dengan meminimumkan nilai atau (. Dengan menyamakan fungsi-fungsi turunan pertama parsial dari jumlah terhadap setiap nilai, Turunan pertama dari 2 ( 2 (,. terhadap 2 2 menjadi: 2 ( (2. ( (2.2 2 2 II-4
2 ( 2 2 ( 2 (2.3 Dengan mengunakan Persamaan (2.2 (2.3 untuk mendapatkan nilai menggunakan sistem eliminasi. Mencari nilai dilakukan dengan mengoperasikan atau menggunakan Persamaan (2.2, Sehingga diperoleh Persamaan 2.9, sebagai berikut: ( ( Mencari nilai dilakukan dengan mengoperasikan atau menggunakan Persamaan(2.2 Persamaan (2.3 Sehingga diperoleh Persamaan (2., sebagai berikut: 2.4 ( Multikolinieritas Multikolinieritas adalah suatu kondisi dimana terjadi korelasi yang kuat diantara variabel-variabel bebas ( yang diikutsertakan dalam pembentukan model regresi linier. Jelas bahwa multikolinieritas adalah suatu kondisi yang menyalahi asumsi regresi linier. Tentu saja, multikolinieritas tidak mungkin terjadi apabila variabel bebas ( yang diikut sertakan hanya satu. Dalam bentuk matriks, multikolinearitas adalah suatu kondisi buruk atau ill condition dari matriks yaitu suatu kondisi yang tidak memenuhi asumsi klasik. Jika multikolinearitas terjadi antara dua variabel atau lebih dalam suatu persamaan regresi, maka nilai perkiraan koefisien dari variabel yang bersangkutan menjadi tak berhingga, sehingga tidak mungkin lagi menduganya. Hal ini disebabkan menjadi singular atau mendekati nol. Ada beberapa cara untuk mengetahui ada tidaknya multikolinieritas, yaitu: a. Nilai Korelasi (Korelasi antar Peubah Bebas II-5
Prosedur ini merupakan pendeteksian yang paling sederhana paling mudah. Nilai korelasi yang tinggi antara peubah satu dengan yang lainnya memperlihatkan aya hubungan linier pada peubah-peubah tersebut. b. Nilai Kondisi Ada beberapa metode untuk menghitung nilai kondisi ( yang menunjukkan tingkat multikolenieritas Vonod Ulah (98 menyarankan bahwa nilai kondisi diberikan oleh: (2.4 Montgomery Peck (992 mendefinisikan nilai kondisi merupakan perbandingan dari yang didapat dari matriks korelasi memberikan kategori multikolenieritas berdasarkan nilai kondisi yang diperoleh, adapun Persamaan perbandingan dari sebagai berikut : (2.5 dengan: adalah nilai eigen yang terbesar (maksimum adalah nilai eigen yang terkecil (minimum jika: < 00 maka disebut multikolenieritas rendah 00 < 000 maka disebut multikolenieritas cukup kuat 000 maka disebut multikolenieritas kuat Nilai kondisi yang terlalu besar mengindifikasikan multikolenieritas yang serius. Nilai kondisi yang terlalu besar menunjukkan ketidakstabilan koefisien regresi terhadap perubahan dalam data variabel bebas. Pagel Lunnebor (985 menyatakan bahwa nilai kondisi adalah: c. (2.6 VIF (Varians Inflantion Factors VIF adalah elemen-elemen diagonal utama dari invers matriks korelasi. VIF digunakan sebagai kriteria untuk medeteksi multikolenieritas pada regresi linier II-6
berganda yang melibatkan lebih dari dua variabel bebas. Nilai VIF lebih besar dari 0 mengindifikasikan aya masalah mutikolenieritas yang serius. VIF untuk koefisien regresi ke-j didefinisikan sebagi berikut: VIF (2.7 dengan : koefisien deterninasi antar,2, 3, 2.5 dengan variabel bebas lainnya; Uji Uji dilakukan untuk melihat pengaruh variabel-variabel bebas secara keseluruhan terhadap variabel terikat. Pengujian ini dilakukan dengan membandingkan nilai dengan. Untuk uji statistik koefisien berganda, uji statistiknya menggunakan uji keterangan: ( / /( ini dengan memakai rumus: (2.8 koefisien korelasi berganda jumlah variabel bebas jumlah anggota sampel Prosedur uji statistiknya adalah sebagai berikut: a. Menentukan hipotesis : β 0 (tidak ada pengaruh secara signifikan antara variabel bebas secara simultan atau bersama-sama terhadap variabel terikat atau : β 0 (ada pengaruh secara signifikan antara variabel bebas secara simultan atau bersama-sama terhadap variabel terikat atau b. Mentukan taraf nyata ( nilai tabel Nilai taraf nyata yang digunakan 0.05 nilai tabel memiliki. c. Menentukan kriteria pengijuan memberikan kesimpulan II-7
> jika berarti di tolak, jika diterima. Kemudian menghitung nilai ketika bandingkan dengan Berdasarkan uji variabel bebas 2.6 dari > berarti tabel membuat kesimpulan. yang lebih kecil dari berarti semua berpengaruh secara signifikan terhadap nilai taksiran. Ridge Regression (Regresi Gulud Menurut RE Walpole R.H Mayers pada Tahun 985, dengan aya multikolenieritas dapat menyebabkan pendugaan koefisien regresi sangat tidak stabil sensitif terhadap perubahan data. Selain itu dapat menyebabkan perbedaan koefisien untuk data sampel yang berbeda cenderung besar. Oleh sebab itu diperlukan suatu metode penaksiran alternatif yang memberi hasil penaksiran yang baik yang menghasilkan penduga koefisien regresi bias tetapi cenderung mempunyai ketepatan yang lebih baik. Prosedur regresi gulud diusulkan pertama kali oleh A.E Hoerl pada Tahun 962 dibahas secara mendalam dalam dua tulisan Hoerl Kennard. Prosedur tersebut ditujukan untuk mengatasi suatu multikolenieritas kolom matriks dari tidak bebas linier yang menyebabkan matriks hampir singular. Pada metode regresi gulud, penduga koefisien regresi yang dihasilkan adalah penduga bias. Penaksiran metode alternatif tidak sebaik metode kuadrat terkecil karena jumlah kuadrat residual tidak terlalu kecil koefisien korelasi ganda tidak terlalu besar tetapi lebih potensial untuk ketepatan yang lebih baik. Regresi gulud merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah multikolinearitas melalui modifikasi terhadap metode kuadrat terkecil Neter, Waserman Kutner (990 dalam Herwindiati (997. Modifikasi tersebut ditempuh dengan cara menambah tetapan bias k yang relatif kecil pada diagonal matriks, sehingga koefisien penduga gulud dipengaruhi oleh besarnya tetapan bias k. Dengan demikian paramater dugaan akan menjadi: (, 0 (2.9 II-8
dengan : : Vektor koefisien regresi gulud : Matriks korelasi peubah : Tetapan bias : Matriks identitas : Vektor korelasi antara peubah Pemilihan besarnya tetapan bias k merupakan masalah yang perlu diperhatikan. Tetapan bias k yang diinginkan adalah tetapan bias yang menghasilkan bias relatif kecil menghasilkan koefisien penduga yang relatifstabil. Ada beberapa acuan yang digunakan untuk memilih besarnya k, diantaranya dengan melihat besarnya VIF melihat pola kecendrungan jejak gulud. Jejak gulud berupa plot dari penduga regresi gulud secara bersama dengan berbagai kemungkinan nilai tetapan bias k Gibbons McDonald (984 dalam Herwindiati 997. Nilai k yang dipilih yaitu k yang memberikan nilai penduga regresi gulud ( yang relatif stabil. Hoerl Kennard (970 dalam Gusriani (2004 menentukan nilai k dengan menggunakan jejak gulud yang merupakan suatu plot data antara ( dengan beberapa nilai k dalam selang antara 0 hingga tercapai kestabilan pada parameter dugaannya. Akan tetapi pemilihan k dengan jejak gulud menjadi prosedur yang subjektif karena memerlukan keputusan peneliti untuk menentukan nilai yang akan dipilih, Montgomery Peck (992. Hoerl, Kennard, Balwin (975 dalam Gusriani (2004 menyarankan pemilihan nilai k dengan menggunakan rumus HKB : dengan: ( / (2.20 adalah : banyaknya parameter diluar : diperoleh dari metode kuadrat terkecil Pada penelitian selanjutnya Montgomery Peck (992 mengajukan prosedur iterasi dengan menggunakan nilai k pada (2.20 sebagai nilai awal untuk II-9
menghitung nilai k selanjutnya yang digunakan diperoleh dari metode regresi gulud dengan demikian prosedur ini akan berhenti jika: [ ( ( ( ] dengan > ( 20 2.6. Pemusatan Pengskalaan (Centering and Scaling Pemusatan pengskalaan data merupakan bagian dari membakukan (standardized variabel. Pemusatan merupakan perbedaan antara masing-masing pengamatan rata-rata dari semua pengamatan untuk variabel. Segkan pengskalaan meliputi gambaran pengamatan pada kesatuan (unit standar deviasi dari pengamatan untuk variabel Kutner (2005. Berikut ini merupakan pembakuan variabel terikat Y variabel bebas Yi Y SY,, :,,2,, dengan : (2.2 (2.22 Y : rata-rata dari Y Xj : rata-rata dari pengamatan X j SY : standar deviasi dari Y SX j : standar deviasi dari X j Transformasi korelasi merupakan fungsi sederhana dari pembakuan variabel Sehingga melalui transformasi diperoleh persamaan sebagai berikut: Yi* X ij* Yi Y n SY X ij X j n S X j (2.23, j,2,, k (2.24 II-0
Berdasarkan transformasi variabel yang didefinisikan dengan transformasi korelasi pada model Persamaan (2.23 (2.24 di atas diperoleh model regresi sebagai berikut: y i * X i* 2* X i*2 k* X ik* Terdapat hubunga antara parameter regresi yang baku dengan parameter regresi, yaitu diantara parameter, parameter,,,,, pada model regresi baku dengan pada model regresi linear berganda yang biasa terdapat suatu hubungan linear. Hubungan antara kedua parameter dari dua model yang berbeda tersebut dijabarkan seperti di bawah ini Kutner (2005: S j Y SX j *, j,2,, k j (2.25 0 Y X 2 X 2 k X k k Y jx j j (2.26 2.6.2 Matriks Korelasi Persamaan atau model yang didapat dari prosedur pemusatan penskalaan pada Persamaan (2.26, maka dapat dituliskan dalam bentuk matriks seperti berikut: y * * X * y * * * 2 2 X 2 * * yk * k X n X 2* * X 22 X n*2 X *k * X 2*k 2* * * X nk n selanjutnya dari persamaan bentuk matriks diatas didapat matriks, yaitu: (2.27 II-
n *2 X i n i X* X* * * i2 i X X i n X ik* X i* i n X i* X i*2 i n X i *2 i2 n X i * ik X i*2 X ik* i n * * X i2 X i2 i n *2 X ik i n * i (2.28 (2.29 pada persamaan (2.28 (2.29 di atas dapat diubah dalambentuk matriks korelasi. Matriks pertama adalah matriks korelasi dari variabel. dengan matriks yang kedua adalah vektor yang berisikan koefisien korelasi sederhana diantara variabel dengan dinotasikan setiap variabel yang dinotasikan, yaitu: (2.30 (2.3 Berdasarkan Persamaan (2.30 (2.3 diperoleh persamaan seperti berikut ini: II-2
Untuk matriks kedua,yaitu adalah vektor yang berisikan koefisien korelasi sederhana diantara variabel terikat dinotasikan dengan 2.7, yang setiap variabel bebas. Matriks korelasinya didefinisikan sebagai berikut: Koefisien Determinasi ( Koefisien determinasi adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar nilai variabel dijelaskan oleh variabel bebas. Koefisien determinasi merupakan salah satu patokan yang biasanya digunakan untuk melihat suatu model regresi yang dicocokkan belum atau sudah memadai, yang dinotasikan dengan Untuk menghitung., maka: (2.32 (2.33 atau dalam bentuk simpangan baku, sebagai berikut: Dengan mengkuadratkan Persamaan (2.33 pada kedua sisi menjumlahkan untuk semua sampel, akan diperoleh: y e 2 β X (2.34 Berbagai jumlah kuadrat yang muncul dalam Persamaan (2.34 dapat digambarkan sebagai berikut : ( 2 total variasi nilai yang sebenarnya disekitar rata-rata sampelnya, yang bisa disebut sebagai jumlah kuadrat total (total sum of squares, TSS. ( ( di sekitar rata-ratanya ( 2 β X variasi nilai yang ditaksir yang bisa disebut secara benar sebagai jumlah kuadrat akibat regresi. Atau cukup dengan jumlah kuadrat yang dijelaskan (eksplained sum of squares, ESS. (unexplained dari nilai residual atau variasi yang tak terjelaskan di sekitar garis regresi, atau cukup dengan jumlah kuadrat residual (residual sum of squares, RSS. II-3
TSS ESS RSS ( ( 2 ini dapat didefinisikan: ( ( 2 (2.35 Besaran yang didefinisikan demikian dikenal dengan determinasi (sampel merupakan besaran yang paling digunakan untuk mengukur kebaikan-sesuai tase total variasi dalan Dua sifat. 2. yang dijelaskan oleh model regresi. bisa dicatat: merupakan besaran non negatif Batasan adalah 0. Suatu sebesar berarti suatu kecocokan sempurna, dengan variabel yang di jelaskan. Meskipun dapat dihitung secara langsung dari definisinya yang diberikan dalam Persamaan (2.35, dapat diperoleh secara lebih cepat dari rumus berikut: β β β Besaran pada persamaan di atas dapat dihitung baik dari definisinya. ± atau dari II-4
( ( ( ( ( ( (2.38 Setelah menghitung koefisien determinasi, maka kita akan dapat mengetahui seberapa besar variasi peubah tak bebas yang dapat dijelaskan oleh model regresi. 2.8 Definisi Tenaga Kerja Tenaga kerja merupakan penduduk yang berada dalam usia kerja. Menurut UU No.3 tahun 2003 Bab pasal ayat 2 disebutkan bahwa tenaga kerja adalah setiap orang yang mampu melakukan pekerjaan guna menghasilkan barang atau jasa baik untuk memenuhi kebutuhan sendiri maupun untuk masyarakat. Tenaga medis adalah tenaga ahli kedokteran dengan fungsi utamanya adalah memberikan pelayanan medis kepada pasien dengan mutu sebaik-baiknya dengan menggunakan tata cara teknik berdasarkan ilmu kedokteran etik yang berlaku serta dapat dipertanggungjawabkan Anireon (984. Jumlah atau tenaga kerja yang dimaksud pada studi kasus ini adalah dokter atau paramedis non paramedis yang bekerja disetiap poli di RSUD Arifin Achmad. II-5