BAB II KAJIAN TEORI A. Masalah Matematika Masalah adalah suatu situasi yang memerlukan pemikiran dan sebuah sintesis pengetahuan belajar sebelumnya untuk menyelesaikannya. Masalah yang baik harus mempunyai tiga kasus yaitu, penerimaan adalah dimana individu menerima masalah, hambatan adalah kebiasaan dalam memberikan tanggapan dan pola pengerjaan, dan eksplorasi adalah memaksa individu untuk mengeksplorasi metode baru dalam pengerjaan (Sutriyono, 2005) Usman (2007) menyatakan bahwa masalah dalam matematika adalah segala sesuatu atau kondisi yang memerlukan suatu tindakan penyelesaian serta pada saat situasi tersebut muncul diperlukan suatu usaha untuk mendapatkan cara yang dapat digunakan untuk mengatasinya. Kata segala sesuatu atau kondisi dapat berupa pertanyaan atau soal yang memerlukan penyelesaian. Dalam matematika suatu pertanyaan atau soal akan menjadi masalah apabila tidak terdapat aturan atau hukum tertentu yang dapat segera digunakan untuk menjawab atau menyelesaikannya. Jupri (2009) berpendapat bahwa masalah adalah sesuatu yang mengganjal dan perlu diselesaikan, tetapi kita belum tahu cara atau prosedur penyelesaiannya. Menurut Shadiq (2004) masalah merupakan pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Namun tidak semua pertanyaan akan menjadi masalah. Suatu pertanyaan akan menjadi suatu masalah jika pertanyaan tersebut menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat diselesaikan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui pelaku. Pada dasarnya masalah matematika adalah pertanyaan atau soal-soal matematika yang cara penyelesaiannya belum diketahui. Suatu masalah dikatakan masalah matematika bilamana masalah tersebut dapat dianalisis dan pemecahannya dapat diperoleh dengan menggunakan metode atau prosedur matematika. Menurut Blum dan Niss dalam Susiana (2010) menyatakan bahwa masalah adalah situasi atau keadaan yang didalamnya terdapat pertanyaan terbuka, dimana pertanyaan tersebut menantang seseorang untuk segera menjawab pertanyaan tersebut dengan metode atau prosedur yang dimilikinya. Ada dua syarat bahwa suatu pertanyaan menjadi masalah bagi siswa yaitu pertama, pertanyaan yang diberikan kepada siswa haruslah dapat dimengerti oleh siswa tersebut namun pertanyaan tersebut juga harus menjadi tantangan bagi siswa 5
6 untuk menjawabnya. Kedua, pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin yang telah diketahui oleh siswa. Beberapa pengertian masalah matematika diatas dapat diambil sebuah intisari atau definisi yang akan digunakan dalam penelitian ini. Definisi yang akan digunakan adalah definisi menurut Shadiq (2004) yang mendefinisikan masalah sebagai sesuatu pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Dimana Suatu pertanyaan akan menjadi suatu masalah jika pertanyaan tersebut menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat diselesaikan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui pelaku. Pada dasarnya masalah matematika adalah pertanyaan atau soal-soal matematika yang cara penyelesaiannya belum diketahui. Masalah matematika berangkat dari adanya kemauan untuk menjawab pertanyaan tersebut, namun pada awalnya terdapat kesulitan untuk menyelesaikannya karena belum mengetahui langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah tersebut. Suatu masalah yang diberikan kepada siswa tidak dapat dikatakan suatu masalah jika siswa tersebut langsung mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar. B. Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Menurut Nasution (2008) memecahkan masalah dapat dipandang sebagai proses dimana siswa menemukan gabungan dari aturan-aturan yang telah dipelajarinya lebih dahulu yang digunakannya untuk menyelesaikan masalah yang baru. Penemuan itu selalu merupakan suatu pemecahan masalah yang didasarkan atas pengetahuan yang banyak sekali tentang masalah yang dihadapi. Tanpa latar belakang pengetahuan yang banyak serta mendalam dan disertai dengan pemikiran yang sungguh-sungguh tidak akan terjadi penemuan yang berarti. Dalam memecahkan masalah diharapkan siswa menemukan aturan baru, sekalipun siswa mungkin tidak dapat merumuskannya secara lisan. Menurut penelitian masalah yang dipecahkan dan ditemukan sendiri tanpa bantuan khusus memberi hasil yang lebih unggul yang dapat digunakan dalam situasi-situasi lainnya. Karena itu didalam pendidikan pemecahan masalah sangatlah penting untuk mendorong anak menemukan penyelesaian soal dengan pemikiran sendiri. Robert W. Bailey (1989) dalam Purba berpendapat pemecahan masalah merupakan suatu kegiatan yang kompleks dan tingkat tinggi dari proses mental seseorang sebagai kombinasi dari gagasan yang cemerlang untuk membentuk kombinasi gagasan yang baru. Disini seseorang mementingkan penalaran sebagai dasar untuk mengkombinasikan gagasan dan mengarahkan kepada penyelesaian masalah.
Johnson dan Rising dalam Usman (2007) menyatakan pemecahan masalah menjadi suatu kegiatan belajar yang paling signifikan dalam setiap pembelajaran matematika, yaitu karena pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk belajar suatu konsep baru dan suatu cara yang paling tepat untuk mempraktekkan ketrampilan komputasional, pemecahan masalah dapat merangsang rasa keingintahuan intelektual, dan melalui pemecahan masalah diperoleh pengetahuan baru. Pemecahan masalah dilakukan dengan menggunakan pendekatan berfikir secara ilmiah. Berfikir dengan menggunakan metode ilmiah adalah proses berfikir deduktif dan induktif. Proses berfikir ini dilakukan secara sistematis dan empiris. Sistematis artinya berfikir ilmiah dilakukan melalui tahapan-tahapan atau langkahlangkah tertentu, sedangkan empiris artinya proses penyelesaian masalah didasarkan pada data dan fakta yang jelas, Sanjaya (2006) Pada dasarnya pemecahan masalah adalah kecakapan yang mencakup pengetahuan, ketrampilan dan sikap yang terdapat pada semua orang untuk menyelesaikan pertanyaan atau soal-soal matematika yang cara penyelesaiannya belum diketahui dengan menggunakan metode atau prosedur matematika. Kemampuan seseorang dapat dikembangkan melalui aspek dalam diri sendiri dan aspek dari lingkungan serta adanya pembiasaan latihan secara terus menerus dan berusaha sekuat tenaga dan pikiran sehingga kemampuan dapat berkembang dengan optimal. Kemampuan pada seseorang itu berbeda-beda ada yang condong ke akademik dan ada yang condong ke ketrampilan, maka dengan adanya perbedaan itu masing-masing individu akan berbeda-beda pula kemampuannya dalam pemecahan masalah. Menurut Sutriyono, pemecahan masalah mengacu pada proses perpindahan dari pernyataan yang diberikan untuk mendapatkan penyelesaian suatu masalah. Hal ini berarti seorang individu menggunakan pengetahuan, ketrampilan, dan pemahaman yang telah diperoleh sebelumnya untuk memenuhi tuntutan situasi yang asing. Para siswa harus mensintesis apa yang telah dipelajarinya dan belajar untuk menghadapi situasi yang baru dan berbeda. Kemampuan untuk menggunakan informasi dan fakta adalah bagian penting dari proses pemecahan masalah (Sutriyono, 2005). Mayer dalam Sutriyono (2005) menggambarkan pemecahan masalah sebagai rangkaian operasi mental yang diarahkan ke suatu tujuan. Demikian pula Hayes dalam Sutriyono (2005) menggambarkan pemecahan masalah sebagai menemukan cara yang tepat untuk menyebrangi celah dua bagian utama yang 7
8 mewakili pemecahan masalah adalah masalah dan mencari cara untuk menyelesaikan masalah. C. Strategi Pemecahan Masalah Matematika Setiap siswa berhadapan dengan berbagai masalah yang menuntut penyelesaian, mulai dari masalah yang paling sederhana sampai persoalan yang rumit. Untuk menyelesaikan suatu masalah diperlukan strategi yaitu strategi pemecahan masalah. Strategi pemecahan masalah adalah suatu proses memikirkan dan mencari jalan keluar terhadap suatu masalah yang dihadapi, Gulo (2002). Proses ini berlangsung secara bertahap mulai dari menerima stimulus dan memberi respon yang tepat. Menurut Usman (2007) strategi pemecahan masalah adalah kerangka berfikir atau asumsi dasar atau cara pandang yang digunakan siswa untuk menyelesaikan suatu masalah. Strategi pemecahan masalah adalah segala cara yang dikerahkan oleh seseorang dalam berfikir dengan tujuan menyelesaikan suatu permasalahan, Suryosubroto (2009). Cara yang sering digunakan orang dan sering berhasil pada proses pemecahan masalah disebut strategi penyelesaian masalah. Sebuah strategi akan menjadi alat yang berguna bagi siswa. Walle (2006) strategi yang sering muncul dalam pelajaran matematika adalah: (1) Membuat gambar, menggunakan gambar, dan menggunakan model. Strategi ini merupakan strategi menggunakan gambar untuk memperluas model ke dalam interpretasi nyata dari situasi soal; (2) mencari pola. Mencari pola merupakan inti dari banyak tugas berbasis soal dalam membuat alasan secara aljabar. Pola-pola bilangan dan operasi memainkan peran sangat besar dalam membantu siswa belajar dan menguasai fakta-fakta dasar; (3) Membuat tabel atau diagram. Diagram atau tabel merupakan bentuk utama analisis dan komunikasi. Dalam Penggunaan strategi ini sering digabungkan dengan pencarian pola yang digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan soal; (4) Coba versi sederhana dari soal, dengan menyelesaikan soal yang lebih mudah diharapkan memperoleh wawasan yang kemudian dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang lebih kompleks; (5) Menduga dan memeriksa, strategi ini dapat juga disebut dengan strategi coba dan periksa apa yang dapat ditemukan; 6. Buat daftar yang teratur, strategi ini melibatkan secara sistematis perhitungan semua hasil yang mungkin dalam suatu situasi dengan tujuan untuk menemukan berapa banyak kemungkinannya ada. Sobel (2004: 63-75) menyatakan untuk menyelesaikan masalah dapat menggunakan strategi sebagai berikut: (1) Cara coba-coba; (2) Gunakan alat peraga, model, atau sketsa; (3) Mencari pola; (4) Buat peragaan; (5) Gunakan
daftar, tabel, atau bagan. Strategi pemecahan masalah menurut Polya dan Pasmep dalam Shadiq (2004) adalah: (1) Mencoba-coba; (2) Membuat diagram; (3) Mencobakan pada soal yang lebih sederhana; (4) Membuat tabel; (5) Menemukan pola; (6) Memecah tujuan; (7) Memperhitungkan setiap kemungkinan; (8) Berpikir logis; (9) Bergerak dari belakang; (10) Mengabaikan hal yang tidak mungkin. Strategi pemecahan masalah matematika menurut Reys (1998) disebutkan beberapa macam strategi pemecahan masalah yaitu: (1) Beraksi (act it Out), strategi ini menuntut kita melihat apa yang ada dalam masalah dan membuat hubungan antar komponen dalam masalah menjadi jelas melalui serangkaian aksi fisik atau manipulasi objek; (2) Membuat gambar atau diagram, strategi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah dan memperjelas hubungan yang ada. Untuk membuat gambar atau diagram ini, kita tidak perlu membuatnya secara detail tetapi cukup yang berhubungan dengan permasalahan yang ada; (3) Mencari pola, pada prinsipnya strategi mencari pola ini sudah dikenal sejak di Sekolah Dasar. Untuk memudahkan memahami permasalahan, siswa seringkali diminta untuk membuat tabel dan kemudian menggunakannya untuk menemukan pola yang relevan dengan permasalahan yang ada; (4) Membuat tabel, strategi ini membantu mempermudah siswa untuk melihat pola dan memperjelas informasi yang hilang. Dengan kata lain, strategi ini sangat membantu dalam mengklasifikasi dan menyusun informasi atau data dalam jumlah besar; (5) Menghitung semua kemungkinan secara sistematis, strategi ini sering digunakan bersamaan dengan strategi mencari pola dan membuat tabel, karena kadangkala tidak mungkin bagi kita untuk mengidentifikasi seluruh kemungkinan himpunan penyelesaian. Dalam kondisi demikian, kita dapat menyederhanakan pekerjaan kita dengan mengkategorikan semua kemungkinan tersebut ke dalam beberapa bagian. Jika memungkinkan kadangkadang kita juga perlu mengecek atau menghitung semua kemungkinan jawaban tersebut; (6) Menebak dan menguji, strategi menebak yang terdidik ini didasarkan pada aspek-aspek yang relevan dengan permasalahan yang ada, ditambah pengetahuan dari pengalaman sebelumnya. Hasil tebakan tentu saja harus diuji kebenarannya serta diikuti oleh sejumlah alasan yang logis; (7) Bekerja mundur, strategi ini cocok untuk menjawab permasalahan yang menyajikan kondisi (hasil) akhir dan menanyakan sesuatu yang terjadi sebelumnya; (8) Mengidentifikasi informasi yang diinginkan, diberikan, dan diperlukan. Strategi ini membantu kita menyortir informasi dan memberi mereka pengalaman dalam merumuskan pertanyaan. Hal ini kita perlu menentukan pemasalahaan yang akan dijawab, menyortir informasi- 9
10 informasi penting untuk menjawabnya, dan memilih langkah-langkah penyelesaian yang sesuai dengan soal; (9) Menulis kalimat terbuka, strategi ini membantu kita melihat hubungan antara informasi yang diberikan dan yang dicari. Untuk menyederhanakan permasalahan, kita dapat menggunakan variabel sebagai pengganti kalimat dalam soal; (10) Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana atau serupa, Suatu masalah yang rumit dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan masalah yang serupa tetapi lebih sederhana; (11) Mengubah pandangan, strategi ini bisa digunakan setelah beberapa strategi lain telah dicoba tanpa hasil. Masalah yang dihadapi perlu didefinisikan dengan cara yang sama sekali berbeda. Berdasarkan uraian tentang strategi pemecahan masalah di atas terdapat beberapa startegi yang membedakan antara strategi menurut Polya dan Reys, tetapi hampir sebagian besar strategi yang dikemukakan Polya dan Reys adalah sama. Oleh karena itu, penelitian ini akan menggunakan strategi pemecahan masalah yang diungkapkan oleh Reys (1998) yang meliputi: Beraksi (act it Out), Membuat gambar atau diagram, Mencari pola, Membuat tabel, Menghitung semua kemungkinan secara sistematis, Menebak dan menguji, Bekerja mundur, Mengidentifikasi informasi yang diinginkan, diberikan, dan diperlukan, Menulis kalimat terbuka, Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana atau serupa, Mengubah pandangan. Strategi pemecahan masalah yang dikemukakan oleh reys dapat dilihat secara terperinci pada tabel di bawah ini: Tabel 1 Indikator Strategi Pemecahan Masalah Menurut Reys No Strategi Pemecahan Indikator Masalah 1 Beraksi (Art It Out) - Melihat apa yang ada di dalam masalah - Membuat hubungan antar komponen - Membuat serangkaian aksi fisik atau manipulasi objek 2 Membuat gambar atau - Digunakan untuk menyederhanakan diagram masalah dan memperjelas hubungan yang ada - Membuat gambar atau diagram tidak perlu terlalu detail tetapi cukup yang berhubungan dengan permasalahan yang ada 3 Mencari pola - Membuat tabel kemudian menggunakannya untuk menemukan pola yang relevan dengan permasalahan yang ada 4 Membuat tabel - Mempermudah untuk melihat pola dan
11 memperjelas informasi yang hilang - Membantu dalam mengklasifikasi dan menyusun informasi atau data dalam jumlah besar 5 Menghitung semua - Sering digunakan bersamaan dengan kemungkinan secara strategi mencari pola dan membuat tabel sistematis 6 Menebak dan menguji - Didasarkan pada aspek-aspek yang relevan dengan permasalahan yang ada, ditambah pengetahuan dari pengalaman sebelumnya - Hasil tebakan diujikan kebenaranya serta diikuti sejumlah alasan yang logis 7 Bekerja mundur - Untuk menjawab permasalahan yang menyajikan kondisi (hasil) akhir dan menanyakan sesuatu yang terjadi sebelumnya 8 Mengidentifikasi - Menyortir informasi dan memberi mereka informasi yang pengalaman dalam merumuskan diinginkan, diberikan, pertanyaan dan diperlukan - Menentukan permasalahan yang akan dijawab - Menyortir informasi-informasi penting untuk menjawabnya - Memilih langkah-langkah penyelesaian yang sesuai dengan soal 9 Menulis kalimat terbuka - Melihat hubungan antara informasi yang diberikan dan yang dicari - Dapat menggunakan variabel sebagai pengganti kalimat dalam soal 10 Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana atau serupa - Masalah yang rumit dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan masalah yang serupa tetapi lebih sederhana 11 Mengubah pandangan - Strategi ini bisa digunakan setelah beberapa strategi lain telah dicoba tanpa hasil - Masalah yang dihadapi perlu didefinisikan dengan cara yang sama sekali berbeda D. Tinjauan Materi Himpunan Pembelajaran matematika memerlukan tahap-tahap yang hirarkis, yakni bentuk belajar yang terstruktur dan terencana berdasarkan pada pengetahuan dan latihan sebelumnya yang menjadi dasar untuk mempelajari materi selanjutnya. Misalnya untuk memahami soal pada materi himpunan siswa harus menguasai dahulu konsep dasar pada himpunan. Himpunan adalah kumpulan
benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Materi himpunan yang diajarkan di kelas VII SMP mencakup sub pokok bahasan pengertian, notasi, penyajian himpunan; konsep himpunan bagian operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan; penyajian himpunan dengan diagram venn; serta menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram venn dan konsep himpunan. Materi himpunan merupakan salah satu pokok bahasan di kelas VII Sekolah Menengah Pertama (SMP). Salah satu bagian terpenting dalam materi ini adalah suatu permasalahan matematika yang disajikan dalam bentuk kalimat dan biasanya berhubungan dengan masalah sehari-hari. Peta konsep himpunan dapat dilihat dalam bentuk bagan seperti di bawah ini. 12
13 Pengertian dan notasi himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C,..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan dapat ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(a). Konsep himpunan bagian Himpunan Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A B. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A B. Irisan Operasi himpunan Gabungan Kurang (difference) Komplemen Diagram venn Menyatakan suatu himpunan, menentukan himpunan semesta, menentukan himpunan bagian, dan operasi pada himpunan secara visual (gambar) Menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram venn dan konsep himpunan Bagan 1 Peta Konsep Materi Himpunan
E. Penelitian yang Relevan Untuk mendukung penelitian ini, ada beberapa penelitian yang telah dilakukan terkait terhadap strategi pemecahan masalah yang dilakukan siawa dalam menyelesaikan pertanyaan. Margana (2009) dalam penelitianya yang berjudul proses dan strategi pemecahan masalah trigonometri menyimpulkan bahwa dalam memecahkan masalah siswa menggunakan langkah penyelesaian masalah menurut Polya, yaitu memahami masalah, merencanakan pemecahan masalah, melaksanakan pemecahan masalah, dan memeriksa kembali hasil penelitian. Dalam melaksanakan penyelesaian, strategi penyelesaian masalah yang digunakan siswa adalah siswa menggunakan strategi coba-coba (trial and error) dan berusaha menemukan pola dari tiap - tiap langkah yang siswa jalankan. Noviarianto (2008) dalam penelitianya yang berjudul cara pemecahan masalah soal cerita perbandingan metematika secara aljabar oleh siswa kelas VIII SMP menyimpulkan bahwa cara pemecahan masalah yang dilakukan oleh siswa sesuai dengan model yang disarankan oleh Polya yaitu mengidentifikasi masalah, merencanakan penyelesaian, melaksanakan rencana penyelesaian, dan memeriksa kembali jawaban yang ada. Indrajaya (2012) dalam penelitiannya yang berjudul strategi pemecahan masalah dalam menyelesaikan soal cerita pada materi SPLDV siswa kelas VIII di SMP Kristen 2 Salatiga menyimpulkan bahwa hasil penelitian siswa menggunakan pendekatan pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Polya yaitu memahami masalah (understanding), merencanakan penyelesaian (planning), menyelesaikan masalah (solving), dan melakukan kembali semua langkah yang telah dikerjakan (checking). Sedangkan strategi yang digunakan ada 4 strategi yaitu mengidentifikasi informasi yang diinginkan, diberikan, dan diperlukan; strategi menebak dan menguji; strategi mengubah pandangan; dan strategi menulis kalimat terbuka. Penelitian ini bertujuan untuk melihat strategi apa saja yang digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah pada materi himpunan. 14