6 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengendalian Persediaan 2.1.1 Definisi Persediaan Persediaan adalah bahan atau barang yang disimpan yang akan digunakan untuk memenuhi tujuan tertentu, misalnya untuk proses produksi atau perakitan, untuk dijual kembali, dan untuk suku cadang dari suatu peralatan atau mesin. Persediaan dapat berupa bahan mentah, bahan pembantu, barang dalam proses, barang jadi, ataupun suku cadang (Herjanto, 1999: 219). Persediaan (inventory), dalam konteks produksi, dapat diartikan sebagai sumber daya menganggur (idle resource). Sumber daya menganggur ini belum digunakan karena menunggu proses lebih lanjut. Yang dimaksud dengan proses lebih lanjut, berupa kegiatan produksi seperti dijumpai pada sistem manufaktur, kegiatan pemasaran seperti dijumpai pada sistem distribusi ataupun kegiatan konsumsi seperti pada sistem rumah tangga (Rosnani Ginting, 2007). Keberadaan persediaan atau sumber daya menganggur ini dalam suatu sistem mempunyai suatu tujuan tertentu. Alasan utamanya adalah karena sumber daya tertentu tidak bisa didatangkan ketika sumber daya tersebut dibutuhkan. Sehingga, untuk menjamin tersedianya sumber daya tersebut perlu adanya persediaan yang siap digunakan ketika dibutuhkan. Adanya persediaan menimbulkan konsekuensi berupa resiko-resiko tertentu yang harus ditanggung perusahaan akibat adanya persediaan tersebut.
7 2.1.2 Fungsi Persediaan Berdasarkan fungsinya, persediaan dapat dikelompokkan dalam 4 jenis, yaitu (Herjanto, 1999): a. Fluctuation Stock Merupakan persediaan untuk menjaga terjadinya fluktuasi permintaan yang tidak dapat diperkirakan sebelumnya, dan untuk mengatasi jika terjadi kesalahan/ penyimpangan dari perkiraan penjualan, waktu produksi, atau waktu pengiriman barang. b. Anticipation Stock Merupakan persediaan yang dibutuhkan untuk menghadapi permintaan yang diramalkan, misalnya pada saat jumlah permintaan besar, tetapi kapasitas produksi tidak mampu memenuhi permintaan tersebut. Jumlah permintaan yang besar ini diakibatkan oleh sifat musiman dari suatu produk. Persediaan ini juga menjaga kemungkinan sukarnya diperoleh bahan baku, agar proses produksi tidak berhenti. c. Lot Size Inventory Merupakan persediaan yang diadakan dalam jumlah yang lebih besar daripada kebutuhan saat itu. Persediaan jenis ini dilakukan untuk mendapatkan potongan harga (discount) karena pembelian barang dalam jumlah besar. Persediaan jenis ini juga dapat menghemat biaya pengangkutan karena memperkecil frekuensi pengiriman barang dan biaya per unit pengangkutannya lebih murah. d. Pipeline/ Transit Inventory Merupakan persediaan yang sedang dalam proses pengiriman dari tempat asal ke tempat di mana barang itu akan digunakan. Persediaan ini timbul karena jarak dari tempat asal ke tempat tujuan cukup jauh dan bisa memakan waktu beberapa hari atau beberapa minggu.
8 2.1.3 Jenis-Jenis Persediaan Persediaan dapat dikelompokkan menurut jenis dan posisi barang tersebut di dalam urutan pengerjaan produk, yaitu (Assauri, 1993): a. Persediaan Bahan Baku (Raw Material Stock) Merupakan persediaan dari barang-barang yang dibutuhkan untuk proses produksi. Barang ini bisa diperoleh dari sumber-sumber alam, atau dibeli dari supplier yang menghasilkan barang tersebut. b. Persediaan Bagian Produk (Purchased Parts) Merupakan persediaan barang-barang yang terdiri dari parts yang diterima dari perusahaan lain, yang secara langsung diassembling dengan parts lain tanpa melalui proses produksi. c. Persediaan Bahan-Bahan Pembantu (Supplies Stock) Merupakan persediaan barang-barang yang diperlukan dalam proses produksi untuk membantu kelancaran produksi, tetapi tidak merupakan bagian dari barang jadi. d. Persediaan Barang Setengah Jadi (Work in Process) Merupakan barang-barang yang belum berupa barang jadi, akan tetapi masih diproses lebih lanjut sehingga menjadi barang jadi. e. Persediaan Barang Jadi (Finished Good) Merupakan barang-barang yang selesai diproses atau diolah dalam pabrik dan siap untuk disalurkan kepada distributor, pengecer, atau langsung dijual ke pelanggan.
9 2.2 Pengertian, Hukum, Kurva dan Teori Permintaan 2.2.1 Permintaan Permintan adalah banyaknya jumlah barang yang diminta pada suatu pasar tertentu dengan tingkat harga tertentu pada tingkat pendapatan tertentu dan dalam periode tertentu. Permintaan seseorang atau suatu masyarakat kepada suatu barang ditentukan oleh faktor-faktor, diantaranya: a. Harga barang itu sendiri (Px) b. Harga barang lain (Py) c. Pendapatan konsumen (Inc) d. Cita rasa (T) e. Iklim (S) f. Jumlah penduduk (Pop) g. Ramalan masa yang akan datang (C) Persamaan: Qd = F.(Px, Py, Inc,T,S, Pop,C) 2.2.2 Hukum Permintaan Hukum permintaan pada hakikatnya merupakan suatu hipotesis yang menyatakan: Hubungan antara barang yang diminta dengan harga barang tersebut dimana hubungan berbanding terbalik yaitu ketika harga meningkat atau naik maka jumlah barang yang diminta akan menurun dan sebaliknya apabila harga turun jumlah barang meningkat.
10 2.2.3 Daftar dan Kurva Permintaan Daftar permintaan ialah suatu tabel yang memberi gambaran dalam angka-angka tentang hubungan antara harga dengan jumlah yang diminta masyarakat. Ia menggambarkan besarnya permintaan yang ada pada berbagai tingkat harga. Contoh: Tabel 2.1 Contoh Daftar Permintaan P(Harga) Q(Quantity) 100 2000 200 1500 300 1000 400 500 500 0 (Sumber: http://matakuliah.files.wordpress.com/2007/09/te-mik-2.pdf) Kurva Permintaan dapat didefinisikan sebagai: Suatu kurva yang menggambarkan sifat hubungan antara harga suatu barang tertentu dengan jumlah barang tersebut yang diminta para pembeli. Kurva permintaan berbagai jenis barang pada umumnya menurun dari kiri ke kanan bawah. Kurva yang demikian disebabkan oleh sifat hubungan antara harga dan jumlah yang diminta yang mempunyai sifat hubungan terbalik. P 500 400 300 200 100 0 500 1000 1500 2000 Q Gambar 2.1 Kurva Permintaan (Sumber: http://matakuliah.files.wordpress.com/2007/09/te-mik-2.pdf)
11 Fungsi permintaan: Q = a - bp 2.2.4 Teori Permintaan Dapat dinyatakan: Perbandingan lurus antara permintaan terhadap harganya yaitu apabila permintaan naik, maka harga relatif akan naik, sebaliknya bila permintaan turun, maka harga relatif akan turun. (http://matakuliah.files.wordpress.com/2007/09/te-mik-2.pdf) 2.3 Produksi 2.3.1 Pengertian Produksi Produksi adalah kegiatan perusahaan untuk menghasilkan barang atau jasa dari bahan-bahan atau sumber-sumber faktor produksi dengan tujuan untuk dijual lagi. Tanggung jawab produksi sangat berkaitan erat dan secara langsung memberikan dampak yang besar bagi perusahaan. Oleh karena itu tanggung jawab manajer adalah memutuskan keputusan-keputusan penting untuk mengubah sumber-sumber ekonomi menjadi hasil yang dapat dijual. Kalau diperinci lebih lanjut keputusan manajer produksi ada dua macam. Keputusan yang pertama adalah menyangkut penentuan desain produk barang yang sedang diproses, kemudian peralatannya, pembagian tugas, lokasi produksi dan fasilitas yang diperlukan maupun layout fasilitas tersebut bagaimana agar tercapai proses produksi bisa berlangsung secara efisien. Keputusan yang kedua, menyangkut proses pengolahan barang itu sendiri sampai bagaimana mengendalikan proses pengolahan persediaan, kualitas maupun biayanya.
12 4 golongan: Adapun proses produksi menurut pembagian yang macam-macam digolongkan menjadi a. Sifat Produk Sifat produk menjadikan suatu proses produksi dari suatu produk tertentu akan lain dengan sifat produk yang berbeda. Hal ini biasanya dibedakan apakah produk yang akan diproduksikan mencerminkan sifat khusus dari konsumsi pembeli (spesifik) ataukah produk yang akan diproduksi merupakan produk standar yang didasarkan pada keputusan perusahaan. b. Tipe proses produksi Tipe proses produksi ditinjau dari status bahan mentah sampai menjadi barang jadi dapat dibagi menjadi 2 tipe, yaitu: 1) Tipe proses produksi terus-menerus (Continuous Process) Proses produksi yang terus menerus akan terjadi jika perusahaan yang berproduksi membutuhkan waktu yang lama untuk mempersiapkan peralatan atau mesin dan jenis mesin tersebut hanya bervariasi sedikit saja karena biasanya sudah ditentukan pola dan jenisnya yang khusus untuk menghasilkan produk secara besar-besaran. 2) Tipe proses produksi terputus-putus (intermitent) Pola produksi yang terputus-putus ini terjadi karena sering terhentinya mesin atau alat produksi untuk menyesuaikan dengan keinginan produk akhir yang akan diciptakan. Jadi yang membedakan adalah saat proses produksi dari bahan mentah sampai menjadi produk akhir (hasil proses produksi) selalu mempunyai pola urutan yang berbeda-beda sesuai dengan hasil produk akhir yang diinginkan konsumen. c. Manfaat yang diciptakan Berdasarkan manfaat yang diciptakan proses produksi bisa dilakukan dengan cara yang berbeda-beda tergantung manfaat yang diciptakan. Berdasarkan hal tersebut di atas, kegiatan atau manfaat dapat dibagi menjadi 5 manfaat yaitu:
13 1) Manfaat dasar (primary utility) Manfaat dasar akan terjadi jika kegiatan yang dilakukan perusahaan merupakan kegiatan yang bergerak dalam bidang pengambilan dan penyediaan barang-barang atau hasil-hasil dari sumber yang sudah tersedia oleh alam. 2) Manfaat bentuk (form utility) Proses produksi yang menciptakan manfaat bentuk adalah meubel. Proses produksi ini terjadi setelah manfaat dasar dilakukan kemudian baru dilakukan proses selanjutnya untuk menciptakan manfaat yang lebih baik lagi. 3) Manfaat waktu (time utility) Manfaat waktu dihubungkan dengan kenaikan nilai barang yang mempunyai selisih waktu misalnya: disimpan di pergudangan (bulog) setelah harga-harga naik maka beras yang tidak habis dalam masa turunnya harga karena waktu berjalan terus menyebabkan nilai beras tersebut bertambah. 4) Manfaat tempat (place utility) Manfaat tempat dapat kita lihat pada perusahaan transportasi. Perusahaan apakah itu kereta api, kendaraan, truk maupun pesawat udara akan menyebabkan bertambahnya manfaat barang yang dipindahkan tersebut. 5) Manfaat milik (Ownership utility) Manfaat milik adalah usaha untuk memindahkan barang bari hak milik orang yang satu ke orang yang lain. Contohnya: pedagang, toko, dealer, distributor, pengecer dan sebagainya. d. Teknik Proses Produksi Pengggolongan proses produksi menurut teknik atau sifat proses produksi akan menentukan jenis atau bentuk pokok yang dipakai dalam proses produksi. Berdasarkan tekniknya, dapat dibagi menjadi beberapa macam yaitu: 1) Proses Ekstraktif Proses produksi yang dijalankan dengan mengambil langsung dari sumber alam yang telah tersedia. Misalnya: proses penambangan, perusahaan perikanan, perkebunan dan sebagainya.
14 2) Proses Analitis Proses Analitis adalah proses untuk menguraikan atau memisahkan dari suatu bahan mentah tertentu menjadi beberapa macam bentuk yang menyerupai jenis aslinya. Contohnya: Pertamina 3) Proses Fabrikasi Seperti proses analitis tetapi dalam menggunakan alat seperti mesin, gergajinya menjadikan bentuk baru beberapa macam tanpa harus sejenis aslinya. Contohnya: pakaian, proses pembuatan sepatu dan sebagainya.\ 4) Proses Sintesis Proses mengkombinasikan beberapa bahan (persenyawaan zat) dalam suatu bentuk produk. Contohnya: perusahaan kimia, obat-obatan, gelas, kaca dan sebagainya. 5) Proses Assembling Proses assembling berarti merangkaikan beberapa produk jadi atau setengah jadi menjadi produk baru (barang baru) tanpa merubah bentuk fisik susunan kimiawinya. Contoh: perusahaan karoseri mobil, IPTN, perusahaan alat listrik dan sebagainya. 2.3.2 Kegiatan Produksi Kegiatan produksi adalah salah satu bagian dari beberapa kegiatan perusahaan di samping kegiatan personalia, keuangan dan pemasaran. Keempat kegiatan perusahaan tersebut tidak bisa dipisahkan-pisahkan karena merupakan satu kesatuan yang menjadikan perusahaan berhasil, maju dan berkembang. Kegiatan produksi atau fungsi produksi, pelaksanaan maupun pencapaian tujuan bagi produksi menjadi tanggung jawab manajer produksi. Pada fungsi produksi di sini, seorang manajer produksi akan menghadapi masalah-masalah yang berkaitan dengan perusahaan secara keseluruhan dan harus diatasinya. Masalah-masalah di bagian produksi diantaranya: a. Perencanaan Produksi Perencanaan produksi adalah proses kegiatan penelitian dan pengembangan produk baru maupun produk lama yang nanti akan dan telah diproduksi perusahaan.
15 Perencanaan produk dilakukan di 2 tempat yaitu perencanaan produk yang dilakukan dengan meneliti lapangan (survei pasar dan konsumen) baru kemudian perencanaan produk tersebut dimatangkan di laboratorium. Dengan meneliti lapangan diharapkan perusahaan sudah menggunakan secara kasar tentang keadaan pasar, segmen pasar, manfaat produk, bentuknya, kualitas, warna yang disukai konsumen. Kemudian dari data-data yang diperoleh di lapangan diteliti dan dikembangkan di laboratorium perusahaan sehingga tercipta produk baru. b. Perencanaan Fasilitas Fisik Produk Perencanaan fasilitas fisik produk adalah merupakan suatu proses integrasi dimana semua aspek produktifitas harus dipertimbangkan dengan masak. Fasilitas fisik perusahaan misalnya: gedung, tempat bekerja, mesin dan sebagainya. Fasilitas fisik perusahaan tersebut termasuk perencanaan fasilitas fisik perusahaan. c. Pengendalian Produksi Pengendalian produksi adalah berbagai kegiatan dan metoda yang digunakan oleh manajemen perusahaan untuk mengelola, mengatur, mengkoordinir dan mengarahkan proses produksi (peralatan, bahan baku, mesin dan tenaga kerja) ke dalam suatu arus aliran yang memberikan hasil dengan jumlah biaya yang seminimum mungkin dan waktu yang secepat mungkin. Pengendalian produksi dapat dilakukan: a) Order Control: Perusahaan yang beroperasi berdasarkan pesanan dari konsumen sehingga kegiatan operasionalnya juga tergantung pada pesanan tersebut. b) Flow Control: Perusahaan yang beroperasi untuk menghasilkan produk standar sehingga sebagian produk merupakan produk untuk persediaan dalam jumlah yang besar. Tahap-tahap Pengendalian Produksi a) Production Forecasting Production forecasting adalah peramalan produksi untuk mengetahui jumlah dan manfaat produksi yang akan dibuat di masa yang akan datang, sehingga kalau terjadi penyimpangan akan cepat diadakan penyesuaian produksi di masa yang akan datang.
16 b) Routing Routing adalah kegiatan untuk menentukan urut-urutan proses dan penggunaan alat produksinya dari bahan mentah sampai menjadi produk akhir, sehingga sebelum produksi dimulai masalah sudah tercantum pada rout sheet. c) Schedulling Schedulling adalah kegiatan untuk membuat jadwal proses produksi sebagai satu kesatuan dari awal proses sampai selesainya proses produksi. d) Dipatching Dipatching adalah suatu proses untuk pemberian perintah untuk melaksanakan pekerjaan sesuai dengan routing dan schedulling yang dibuat. e) Follow up Follow up adalah kegiatan untuk menghilangkan terjadinya penundaan/keterlambatan kerja dan mendorong terkoordinasi pelaksanaan kerja. d. Pengendalian Persediaan dan Kualitas 1) Pengendalian Persediaan Bahan Baku Bahan baku merupakan salah satu faktor pembentuk terjadinya barang jadi sehingga segala sesuatu yang menyangkut bahan baku harus benar-benar diperhatikan. Dengan adanya pengendalian bahan baku maka perusahaan akan berusaha untuk menyediakan bahan baku yang diperlukan dalam proses produksi sedemikian rupa agar berjalan dengan lancar tanpa terjadi kekurangan persediaan atau kelebihan persediaan. 2) Pengendalian Kualitas (Quality Control) Pengendalian kualitas merupakan suatu proses untuk menentukan barang-barang yang rusak dan diusahakan dikurangi serta mempertahankan barang-barang yang sudah baik kemudian mengontrol agar hasil produksi di waktu yang akan datang tidak lagi mengalami penurunan kualitas atau kerusakan.
17 2.4 Himpunan Fuzzy Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi objek-objek yang mempunyai kesamaan sifat tertentu (Frans Susilo, 2006). Himpunan fuzzy merupakan suatu pengembangan lebih lanjut tentang konsep himpunan dalam matematika. Himpunan fuzzy adalah rentang nilai-nilai, masing-masing nilai mempunyai derajat keanggotaan antara 0 sampai dengan 1. Suatu himpunan fuzzy à dalam semesta pembicaraan U dinyatakan dengan fungsi keanggotaan, yang nilainya berada dalam interval [0,1], dapat dinyatakan dengan : U [0,1]. Himpunan fuzzy à dalam semesta pembicaraan U biasa dinyatakan sebagai sekumpulan pasangan elemen u (u anggota U) dan derajat keanggotaannya dinyatakan sebagai berikut: à = {(u, (u) u U}. Ada beberapa cara untuk menotasikan himpunan fuzzy, antara lain: 1. Himpunan fuzzy ditulis sebagai pasangan berurutan, dengan elemen pertama menunjukkan nama elemen dan elemen kedua menunjukkan nilai keanggotaannya. Contoh 2.1 Misalkan industri kendaraan bermotor ingin merancang dan memproduksi sebuah mobil yang nyaman untuk digunakan keluarga yang besar. Ada 5 model yang telah dirancang dan ditunjukkan dalam variabel X = {1, 2, 3, 4, 5}, dengan 1 adalah desain mobil ke-1, dan seterusnya. Himpunan fuzzy à yang merupakan himpunan mobil yang nyaman digunakan untuk keluarga yang besar dapat ditulis sebagai: à = {(1; 0,6); (2; 0,3); (3; 0,8); (4; 0,2); (5; 0,1)} 2. Apabila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka himpunan fuzzy à dapat dinotasikan sebagai: atau Tanda Σ bukan menotasikan operasi penjumlahan seperti yang dikenal pada aritmetika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur x X bersama dengan fungsi keanggotaan
18 dalam himpunan fuzzy Ã. Tanda + bukan menotasikan penjumlahan, tetapi melambangkan pemisahan antara keanggotaan elemen himpunan fuzzy à dan fungsi keanggotaan yang lain. Tanda / juga bukan lambang pembagian yang dikenal dalam kalkulus, tetapi melambangkan hubungan antara satu elemen himpunan fuzzy à dan fungsi keanggotaannya. 3. Apabila semesta X adalah himpunan yang kontinu maka himpunan fuzzy à dapat dinotasikan sebagai: Tanda bukan lambang integral seperti dalam kalkulus, yang menotasikan suatu integrasi, melainkan keseluruhan unsur-unsur titik x X bersama dengan fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy Ã. Tanda / juga bukan lambang pembagian yang dikenal dalam kalkukus, tetapi melambangkan hubungan antara satu elemen x pada himpunan fuzzy à dengan fungsi keanggotaannya. Contoh 2.2 Dalam semesta himpunan semua bilangan real yang dekat dengan nol, dengan, misalkan à dalam himpunan bilangan real pada x, maka himpunan à tersebut dapat dinyatakan sebagai Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami himpunan fuzzy, yaitu: 1. Variabel fuzzy Variabel fuzzy merupakan suatu lambang atau kata yang menunjuk kepada suatu yang tidak tertentu dalam sistem fuzzy. Contoh: permintaan, persediaan, produksi, dan sebagainya. Contoh 2.3 Berikut ini adalah contoh-contoh variabel dikaitkan dengan himpunan, yaitu: a. Variabel produksi barang terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy BERTAMBAH dan himpunan fuzzy BERKURANG. b. Variabel permintaan terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy NAIK dan himpunan fuzzy TURUN.
19 c. Variabel persediaan terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy SEDIKIT dan himpunan fuzzy BANYAK. 2. Himpunan fuzzy Himpunan fuzzy merupakan suatu kumpulan yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu: a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang memiliki suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa, seperti: MUDA, PAROBAYA, TUA. b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti: 5, 10, 15, dan sebagainya. 3. Semesta pembicaraan Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. 4. Domain Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Contoh domain himpunan fuzzy untuk semesta X = [0, 175] a. Himpunan fuzzy MUDA = [0, 45], artinya: seseorang dapat dikatakan MUDA dengan umur antara 0 tahun sampai 45 tahun. b. Himpunan fuzzy PAROBAYA = [35, 65], artinya: seseorang dapat dikatakan PAROBAYA dengan umur antara 35 tahun sampai 65. c. Himpunan fuzzy TUA = [65, 175], artinya: seseorang dapat dikatakan TUA dengan umur antara 65 tahun sampai 175 tahun. Definisi 2.1 (J.S.R.Jang, 1997) Support atau pendukung himpunan fuzzy Ã. Supp (Ã), di dalam semesta X, adalah himpunan tegas dari semua anggota X yang mempunyai derajat keanggotaan lebih dari nol Supp (Ã) = {x X > 0}.
20 Contoh 2.4 Misalkan dalam semesta X = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, himpunan fuzzy à dinyatakan sebagai: = 0/-5 + 0,1/-4 + 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2 + 0.3/3 + 0.1/4 + 0/5 Maka elemen-elemen {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} merupakan support dari himpunan fuzzy Ã. Definisi 2.2 (Frans Susilo, 2006) Himpunan α-cut merupakan nilai ambang batas domain yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap-tiap domain. Himpunan ini berisi semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan lebih besar atau sama dengan α sedemikian hingga: 1. Untuk α-cut dapat dinyatakan sebagai: 2. Untuk strong α-cut dapat dinyatakan sebagai: Contoh 2.5 Pada contoh 2.4, dapat dilihat: a. Untuk nilai α = 0.1; maka = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, dan = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. b. Untuk nilai α = 0.3; maka = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, dan = {-2, -1, 0, 1, 2}. c. Untuk nilai α = 0.5; maka = {-2, -1, 0, 1, 2}, dan = {-1, 0, 1}. d. Untuk nilai α = 0.7; maka = {-1, 0, 1}, dan = {0}. e. Untuk nilai α = 1; maka = {0}.
21 Definisi 2.3 (Klir, Yuan, 1995) Tinggi (height) suatu himpunan fuzzy à di dalam semesta X, yang dilambangkan dengan h(ã), adalah himpunan yang menyatakan derajat keanggotaan tertinggi dalam himpunan fuzzy tersebut Contoh 2.6 Pada contoh 2.4, dapat dilihat: = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} = 1 (pada x=0) Untuk himpunan fuzzy à dalam contoh 2.4, h(ã) = 1. Himpunan fuzzy yang tingginya sama dengan 1 (satu) disebut himpunan fuzzy normal, sedangkan himpunan fuzzy yang tingginya kurang dari 1 (satu) disebut himpunan fuzzy subnormal. Titik dari semesta yang nilai keanggotaan sama dengan 0,5 dalam himpunan fuzzy disebut titik silang (crossover point) himpunan fuzzy itu. Definisi 2.4 (Klir, Clair, Yuan,1997) Inti (Core) suatu himpunan fuzzy à di dalam semesta X, yang dilambangkan dengan Core(Ã), adalah himpunan tegas yang menyatakan himpunan semua anggota X yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1 yaitu: Contoh 2.7 Pada contoh 2.4, dapat dilihat: = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Sehingga dalam contoh 2.4,
22 2.5 Fungsi Keanggotaan Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan diantaranya: a. Representasi linier. b. Representasi kurva segitiga. c. Representasi kurva trapesium. d. Representasi kurva bentuk bahu. 2.5.1 Representasi Linier Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya dapat digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Ada 2 keadaan himpunan fuzzy yang linier. a. Representasi linier naik, yaitu kenaikan himpunan dimulai dari nilai domain yang memiliki nilai keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih tinggi (Gambar 2.2). derajat 1 keanggotaan 0 a b Gambar 2.2 Representasi linier naik (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002: 31)
23 Fungsi keanggotaan: b. Representasi linier turun, yaitu garis lurus yang dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak turun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah (Gambar 2.3). 1 derajat keanggotaan 0 a b Gambar 2.3 Representasi linier turun (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002: 32) Fungsi keanggotaan: 2.5.2 Representasi Kurva Segitiga Representasi kurva segitiga, pada dasarnya adalah gabungan antara dua representasi linier (representasi linier naik dan representasi linier turun), seperti terlihat pada Gambar 2.4.
24 1 derajat keanggotaan 0 a b c Gambar 2.4 Representasi kurva segitiga (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002: 33) Fungsi keanggotaan: Contoh 2.8 Himpunan fuzzy à = bilangan real yang dekat dengan 2 dapat pula dinyatakan dengan mengunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut: 1 0.5 0 2 1 1,5 2,5 3 R Gambar 2.5 Grafik fungsi keanggotaan himpunan fuzzy bilangan real yang dekat dengan 2. (Sumber: Frans Susilo, 2006: 57)
25 Dengan fungsi keanggotaannya adalah: 2.5.3 Representasi Kurva Trapesium Representasi kurva trapesium pada dasarnya seperti bentuk kurva segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1 (satu), seperti pada Gambar 2.6. derajat 1 keanggotaan 0 a b c d x Gambar 2.6 Representasi kurva trapesium (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002: 34) Fungsi keanggotaan: 2.5.4 Representasi Kurva Bentuk Bahu Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang direpresentasikan dalam bentuk segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik dan turun. Tetapi terkadang salah satu sisi dari variabel tersebut tidak mengalami perubahan. Himpunan fuzzy bahu, digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. Bahu kiri bergerak dari benar ke salah dan bahu kanan bergerak dari salah ke benar.
26 derajat 1 keanggotaan 0 x Gambar 2.7 Representasi kurva bentuk bahu (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002: 36) 2.6 Operasi-Operasi pada Himpunan Fuzzy Seperti halnya himpunan tegas ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Nilai keanggotaan sebagai hasil dari operasi dua himpunan sering dikenal dengan nama fire strength atau α-cut. Ada tiga operator dasar yang diciptakan oleh Zadeh, yaitu: AND, OR, dan NOT. 2.6.1 Operasi AND Operasi AND (intersection) berhubungan dengan operasi irisan pada himpunan. Intersection dari 2 himpunan adalah minimum dari tiap pasangan elemen pada kedua himpunan. Dimisalkan, himpunan fuzzy adalah intersection dari himpunan fuzzy à dan himpunan fuzzy dan didefinisikan sebagai: Dengan derajat keanggotaannya adalah: untuk semua
27 2.6.2 Operasi OR Operasi OR (union) berhubungan dengan operasi gabungan pada himpunan. Union dari 2 himpunan adalah maksimum dari tiap pasang elemen pada kedua himpunan. Dimisalkan, himpunan fuzzy adalah union dari himpunan fuzzy à dan himpunan fuzzy dan didefinisikan sebagai: Dengan derajat keanggotaannya adalah: 2.6.3 Operasi NOT untuk semua Operasi NOT berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan. Komplemen himpunan fuzzy à diberi tanda (NOT ) dan didefinisikan sebagai:. 2.7 Logika Fuzzy 2.7.1 Dasar Logika Fuzzy Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis aturan-aturan penalaran yang absah (valid) (Frans Susilo, 2006). Logika yang biasa dipakai dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam penalaran ilmiah adalah logika dwi nilai, yaitu logika yang setiap pernyataan mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu benar atau salah. Filosof Yunani kuno Aristoteles, mempermasalahkan pernyataan-pernyataan yang menyangkut masa depan, misalkan pernyataan: minggu depan ia akan datang. Pernyataan
28 semacam ini tidak memiliki nilai benar, dan tidak pernah salah, karena peristiwa yang diungkapkan oleh pernyataan semacam itu tidak tentu, sampai yang diungkapkannya tersebut terjadi (atau tidak terjadi). Untuk menampung pernyataan-pernyataan semacam itulah logikawan Polandia Jan Lukasiewicsz pada tahun 1920-an mengembangkan logika tri nilai dengan memasukan nilai-nilai kebenaran ketiga, yaitu nilai tak tertentu. Nilai logika dalam logika ini dinyatakan dengan suatu bilangan rasional dalam selang [0,1] yang diperoleh dengan membagi sama besar selang tersebut menjadi n-1 bagian. Maka himpunan bilangan rasional sebagai berikut: nilai-nilai kebenaran dalam logika n-nilai adalah himpunan n buah Nilai kebenaran tersebut juga dapat dipandang sebagai derajat kebenaran suatu pernyataan, dapat dikatakan bahwa logika dwi nilai merupakan kejadian khusus dari logika n- nilai, yaitu untuk. Logika n-nilai ini dapat dinyatakan dengan lambang. 2.7.2 Variabel Numeris dan Linguistik Variabel adalah suatu lambang atau kata yang menunjukkan kepada sesuatu yang tidak tertentu dalam semesta pembicaraannya (Frans Susilo, 2006). Terdapat dua macam variabel dalam logika fuzzy, yaitu: a. Variabel Numeris Variabel numeris adalah suatu variabel yang semesta pembicaraannya berupa himpunan bilangan-bilangan. Misalnya pada proposisi x habis dibagi 3 variabel x merupakan variabel numeris, karena semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan-bilangan. b. Variabel Linguistik Variabel linguistik adalah suatu variabel yang semesta pembicaraanya berupa himpunan kata-kata atau istilah-istilah bahasa sehari-hari. Misalnya: banyak, sedikit, muda, tua, cepat, lambat, dan seterusnya. Bentuk umum variabel linguistik, dapat dirumuskan sebagai berikut:
29 dengan: 1) x adalah lambang variabel. 2) T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x. 3) X adalah semesta pembicaraan numeris dari nilai-nilai linguistik dalam T (juga merupakan variabel x). 4) G adalah himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T. 5) M adalah himpunan aturan-aturan sistematik yang mengkaitkan istilah dalam T dengan suatu himpunan fuzzy dalam semesta X. 2.8 Proposisi Fuzzy Proposisi fuzzy adalah kalimat yang memuat predikat fuzzy, yaitu predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan fuzzy. Nilai kebenaran suatu pernyataan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam rentang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran pernyataan fuzzy. Bentuk umum suatu proposisi fuzzy adalah: dengan x adalah suatu variabel linguistik dan A adalah predikat yang menggambarkan keadaan x. Bila à adalah himpunan fuzzy yang dikaitkan dengan nilai linguistik A, dan adalah suatu elemen tertentu dalam semesta X dari himpunan fuzzy Ã, maka memiliki derajat keanggotaan dalam himpunan fuzzy Ã. Derajat kebenaran pernyataan fuzzy adalah A didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan dalam himpunan fuzzy Ã, yaitu. Misalkan jika proposisi fuzzy dilambangkan dengan, pernyataan fuzzy dengan, dan derajat kebenaran dengan. Contoh 2.9 Dalam proposisi fuzzy: Kecepatan mobil itu adalah sedang. Predikat sedang dapat dikaitkan dengan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan seperti dinyatakan dalam gambar 2.8 berikut:
30 0 40 55 80 Gambar 2.8 Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy sedang. (Sumber: Frans Susilo, 2006: 139) Derajat kebenaran dari pernyataan fuzzy, kecepatan mobil 55 km/jam adalah sedang, sama dengan derajat keanggotaan 55 km/jam adalah himpunan fuzzy sedang, yaitu 2.9 Implikasi Fuzzy Proposisi fuzzy yang sering digunakan dalam aplikasi teori fuzzy adalah implikasi fuzzy. Bentuk umum suatu implikasi fuzzy adalah: dengan x dan y adalah variabel linguistik, A dan B adalah predikat-predikat fuzzy yang dikaitkan dengan himpunan-himpunan fuzzy dan dalam semesta X dan Y berturut-turut. Proposisi yang mengikuti kata Jika disebut sebagai anteseden, sedangkan proposisi yang mengikuti kata maka disebut sebagai konsekuen. 2.10 Sistem Inferensi Fuzzy Salah satu aplikasi logika fuzzy yang telah berkembang amat luas dewasa ini adalah sistem inferensi fuzzy (Fuzzy Inference System/FIS), yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar prinsip penalaran fuzzy, seperti halnya manusia melakukan penalaran dengan nalurinya. Misalnya penentuan produksi barang, sistem pendukung keputusan, sistem klasifikasi data, sistem pakar, sistem pengenalan pola, robotika, dan sebagainya.
31 Dalam subbab ini akan dibahas salah satu dari proses semacam itu, yaitu penentuan produksi barang. Sistem ini berfungsi untuk mengambil keputusan melalui proses tertentu dengan mempergunakan aturan inferensi berdasarkan logika fuzzy. Pada dasarnya sistem inferensi fuzzy terdiri dari empat unit, yaitu: a. Unit fuzzifikasi (fuzzification unit) b. Unit penalaran logika fuzzy (fuzzy logic reasoning unit) c. Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua bagian: 1) Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari himpunanhimpunan fuzzy yang terkait dengan nilai dari variabel linguistiknya. 2) Basis aturan (rule base), yang memuat aturan-aturan berupa implikasi fuzzy. d. Unit defuzzifikasi atau unit penegasan (defuzzification unit). Langkah-langkah tersebut secara skematis disajikan dalam gambar 2.9 berikut ini:
32 Proses Pengambilan Keputusan Unit Basis Pengetahuan Basis Data Basis Aturan Fuzzy Unit Penalaran Fuzzy Unit Fuzzifikasi Unit Defuzzifikasi Input (tegas) Output (tegas) Gambar 2.9 Struktur dasar suatu sistem inferensi fuzzy (Sumber: Frans Susilo, 2006: 162) 2.10.1 Unit Fuzzifikasi Proses fuzzifikasi merupakan proses mengubah variabel non fuzzy (variabel numerik) menjadi variabel fuzzy (variabel linguistik) (Frans Susilo, 2006).
33 Karena sistem inferensi fuzzy bekerja dengan aturan dan input fuzzy, maka langkah pertama adalah mengubah input tegas yang diterima, menjadi input fuzzy. Itulah yang dikerjakan unit fuzzifikasi. Untuk masing masing variabel input, ditentukan suatu fungsi fuzzifikasi (fuzzyfication function) yang akan mengubah variabel masukan yang tegas (yang biasa dinyatakan dalam bilangan real) menjadi nilai pendekatan fuzzy. 2.10.2 Unit Penalaran Penalaran fuzzy suatu cara penarikan kesimpulan berdasarkan seperangkat implikasi fuzzy dan suatu fakta yang diketahui (sering disebut premis) (Frans Susilo, 2006). Penarikan kesimpulan dalam logika klasik didasarkan pada tautologi, yaitu proposisi-proposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya. Salah satu aturan penalaran yang paling sering dipergunakan adalah modus ponen, yang didasarkan pada tautologi. Bentuk umum penalaran modus ponen adalah sebagai berikut: Premis 1: x adalah A Premis 2: Bila x adalah A, maka y adalah B Kesimpulan: y adalah B 2.10.3 Basis Pengetahuan Basis pengetahuan suatu sistem inferensi fuzzy terdiri dari basis data dan basis aturan. a. Basis data adalah himpunan fungsi-fungsi keanggotaan dari himpunan-himpunan fuzzy yang terkait dengan nilai-nilai linguistik dari variabel-variabel yang terlibat dalam sistem itu (Frans Susilo, 2006). b. Basis aturan adalah himpunan implikasi-implikasi fuzzy yang berlaku sebagai aturan dalam sistem itu. Bila sistem itu memiliki m buah aturan dengan (n-1) variabel, maka bentuk aturan ke i (i=1,,m) adalah sebagai berikut: dengan adalah operator (misalnya: OR atau AND), dan adalah variabel linguistik dengan semesta pembicaraan.
34 2.10.4 Unit Defuzzifikasi Unit defuzzifikasi digunakan untuk menghasilkan nilai variabel solusi yang diinginkan dari suatu daerah konsekuen fuzzy. Karena sistem inferensi hanya dapat membaca nilai yang tegas, maka diperlukan suatu mekanisme untuk mengubah nilai fuzzy output itu menjadi nilai yang tegas. Itulah peranan unit defuzzifikasi yang memuat fungsi-fungsi penegasan dalam sistem itu. Terdapat beberapa metode defuzzifikasi dalam pemodelan sistem fuzzy, misalnya: Metode Centroid, Metode Bisektor, Metode Mean of Maximum. Pada metode centroid, metode pengambilan keputusan dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy (Frans Susilo, 2006). Pada metode ini, solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Pada metode bisektor, solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Pada metode Mean of Maximum, solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil nilai rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum. 2.11 Logika Fuzzy Dalam Pengambilan Keputusan Metode Sugeno Metode penalaran fuzzy ada tiga, yaitu metode Tsukamoto, metode Mamdani, dan metode Sugeno. Pada metode Tsukamoto, setiap konsekuen pada aturan yang berbentuk IF-THEN harus direpresentasikan dengan suatu himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan monoton. Sebagai hasilnya, output hasil inferensi dari tiap-tiap aturan diberikan secara tegas berdasarkan α-predikat. Hasil akhirnya diperoleh dengan menggunakan rata-rata terbobot. Metode Mamdani sering dikenal dengan metode Max-Min. untuk mendapatkan output diperlukan empat tahapan, yaitu pembentukan himpunan fuzzy, aplikasi fungsi implikasi, komposisi, dan defuzzifikasi. Perbedaan antara Metode Mamdani dan Metode Sugeno ada pada konsekuen. Metode Mamdani menggunakan himpunan fuzzy sebagai konsekuen rule sedangkan metode Sugeno menggunakan konstanta atau fungsi matematika dari variabel input:
35 Dengan a, b dan c adalah variabel linguistik, dan himpunan fuzzy ke-i untuk a dan b, dan f(a,b) adalah fungsi matematik. Untuk mendapatkan output (hasil) pada metode Sugeno, maka terdapat 4 langkah/tahapan sebagai berikut: a. Pembentukan himpunan fuzzy b. Aplikasi fungsi implikasi Menyusun basis aturan, yaitu aturan-aturan berupa implikasi-implikasi fuzzy yang menyatakan relasi antara variabel input dengan variabel output. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut: Dengan a, b, dan c adalah predikat fuzzy yang merupakan variabel linguistik, dan himpunan fuzzy ke-i untuk a dan b, sedangkan f(a,b) adalah fungsi matematik. Banyaknya aturan ditentukan oleh banyaknya nilai linguistik untuk masing-masing variabel input. c. Komposisi aturan Apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan korelasi antar aturan. Metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy adalah Metode Min (Minimum). Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai minimum aturan, kemudian menggunakan nilai tersebut untuk memodifikasi daerah fuzzy dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (gabungan). Jika semua proporsi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksikan kontribusi dari tiap-tiap proporsi. Secara umum dapat dituliskan: dengan: = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i d. Penegasan Masukan dari proses penegasan adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan real yang tegas. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range
36 tertentu, maka dapat diambil suatu nilai tegas tertentu sebagai output. Apabila komposisi aturan menggunakan metode Sugeno maka defuzzifikasi (Z*) dilakukan dengan cara mencari nilai rata-rata terpusatnya. Dengan adalah nilai keluaran pada aturan ke-i dan adalah derajat keanggotaan nilai keluaran pada aturan ke-i sedangkan n adalah banyaknya aturan yang digunakan.