Analisis Dimensi 1 Oleh : Abdurrouf 2 0.1 Tujuan Setelah mempelajari topik ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian dimensi, mengenal dimensi besaran pokok, dapat menurunkan dimensi besaran satuan, serta dapat memanfaatkan analisis dimensi untuk menduga bentuk persamaan fisis tertentu. 0.2 Ringkasan Besaran adalah representasi dari kuantitas fisis yang ada di alam, baik yang ada secara riil maupun maupun yang muncul untuk penyederhanaan kerja matematis. Setiap besaran selalu memiliki identitas berupa Satuan. Satuan ini diperlukan untuk memberi kepastian akan nilai kuantitatif suatu besaran. Hubungan antar satuan diatur dalam sistem satuan. Beberapa sistem satuan yang dikenal antara lain adalah sistem internasional (SI), sistem British, sistem Gauss, dan lain-lain. Hubungan antar sistem satuan diatur dalam sistem konversi. Satuan yang diambil dari nama orang ditulis dengan huruf kecil jika ditulis lengkap tetapi ditulis dengan huruf besar jika disingkat. Contoh: satuan arus adalah ampere dan disingkat A. Dimensi. Dimensi diperlukan untuk mengetahui kesetaraan dua besaran, mengecek kebenaran suatu persamaan, serta menduga bentuk suatu persamaan fisis. Dimensi untuk besaran pokok biasanya ditulis dengan huruf pertama dari nama besaran yang bersangkutan, dalam bahasa Inggris. Contoh: dimensi untuk panjang (Inggris: length) adalah [L]. Dimensi dari besaran pokok ditunjukkan pada tabel. 1. Dimensi untuk besaran turunan merupakan kombinasi dari dimensi besaran pokok, sesuai dengan cara besaran turunan tersebut diperoleh dari besaran pokok. Dimensi dari beberapa besaran turunan dalam mekanika ditunjukkan pada tabel. 2. Terlihat bahwa besaranmekanika merupakan gabungan dari tiga besaran pokok, yaitu massa, panjang, dan waktu. 1 Disampaikan pada training of trainer (ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-jawa Timur, di Hotel Orchid, Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010 2 Dr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatat sebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI. 1
Tabel 1: Besaran pokok dalam sistem SI Besaran Satuan dalam SI Dimensi (*) Panjang (l) meter (m) [L] Massa (m) kilogram (kg) [M] Waktu (t) second (sec) [T ] Arus listrik (i) ampere [I] Temperatur (t) kelvin (K) [θ] Intensitas cahaya (I) candela (Cd) [J] Jumlah zat (n) mole (mol) [N] Sudut bidang radian (rad.) tak berdimensi Sudut ruang steradian (strad.) tak berdimensi (*) Seringkali dimensi ditulis tanpa tanda kurung tegak. Dalam kasus ini dimensi panjang adalah L Dimensi memegang peranan setral dalam analisis dimensi, dan dapat digunakan untuk Merunut bagaimana suatu besaran turunan dapat dibentuk dari suatu besaran pokok. Contoh: Besaran kecepatan v memiliki dimensi [L] [T ] 1. Ini berarti bahwa untuk mengukur kecepatan v, orang harus mengukur panjang l dan waktu t. Mendefinisikan kesetaraan satuan turunan dengan satuan pokok. Contoh: Gaya F memiliki dimensi [M] [L] [T ] 2. Ini berarti satuan gaya (newton N) juga dapat dinyatakan sebagai kg m s 2. Mengetahui kesetaraan dua besaran. Dua besaran dikatakan setara jika keduanya memiliki dimensi yang sama. Contoh: Usaha W dan energi E adalah setara, karena keduanya memiliki dimensi [M] [L] 2 [T ] 2. Mengetahui kebenaran suatu persamaan. Suatu persamaan fisis dianggap benar jika kedua suku memiliki dimensi yang sama. Contoh: Persamaan gerak jatuh bebas s = 1 2 gt2 adalah benar secara dimensi, karena kedua suku memiliki dimensi panjang[l]. Menduga bentuk eksplisit suatu persamaan fisis. Fungsi ke empat inilah yang kita bahas dalam contoh berikut. 2
Tabel 2: Beberapa besaran turunan dalam mekanika, dalam sistem SI Satuan Besaran Definisi Dimensi (dalam satuan Satuan SI pokok) luas (A) panjang kali panjang [L] 2 m 2 - volume (V ) luas kali tinggi [L] 3 m 3 - massa jenis (ρ) massa per satuan volume [M] [L] 3 kg m 3 - kecepatan (v) perpindahan per satuan waktu [L] [T ] 1 ms 1 - percepatan (a) kecepatan per satuan waktu [L] [T ] 2 ms 1 - gaya (F ) massa kali percepatan [M] [L] [T ] 2 kg m s 2 newton (N) usaha (W ) gaya kali perpindahannya [M] [L] 2 [T ] 2 kg m 2 s 2 joule (J) energi (E) massa kali kuadrat percepatan [M] [L] 2 [T ] 2 kg m 2 s 2 joule (J) daya (P ) energi (atau usaha) per satuan waktu [M] [L] 2 [T ] 3 kg m s 3 watt (W) intensitas (energi) (I) energi per satuan waktu per satuan luas [M] [T ] 3 kg s 2 Wm 2 momentum (p) massa kali pecepatan [M] [L] [T ] 1 kg m s 1 - impuls (I) gaya kali waktu [M] [L] [T ] 1 kg m s 1 second Newton- (Ns) tekanan / tegangan (p) gaya per satuan luas [M] [L] 1 [T ] 2 kg m 1 s 2 pascal (Pa) regangan (ε) perubahan panjang per panjang mula-mula - - - modulus Young (Y ) tegangan per regangan [M] [L] 1 [T ] 2 kg m 1 s 2 - viskositas (η) regangan per gradien kecepatan [M] [L] 1 [T ] 1 kg m 1 s 1 - momen gaya (τ) jarak kali gaya [M] [L] 2 [T ] 2 kg s 2 meter Newton- (Nm) momentum sudut (L) jarak kali momentum [M] [L] 2 [T ] 1 kg m 2 s 1 - Catatan: Terdapat beberapa besaran yang memiliki dimensi yang sama atau setara, yaitu: usaha dan energi, impuls dan momentum, serta tegangan dan modulus Young. Terdapat beberapa besaran yang dimensinya berbeda dengan faktor [T ]. Hal ini berarti besaran dengan pangkat [T ] lebih rendah merupakan turunan waktu dari besaran dengan [T ] lebih tinggi. Contoh pasangan tersebut adalah: perpindahan-kecepatan, kecepatanpercepatan, energi-daya, gaya-momentum, serta momen gaya - momentum sudut. 3
0.3 Contoh Soal dengan Penyelesaian 1. Soal OSK tahun 2007: Gaya angkat pesawat Sebuah pesawat dengan massa M terbang pada ketinggian tertentu dengan laju v. Kerapatan udara di ketinggian itu adalah ρ. Diketahui bahwa gaya angkat udara pada pesawat bergantung pada: kerapatan udara, laju pesawat, luas permukaan sayap pesawat A, dan suatu konstanta tanpa dimensi yang bergantung geometri sayap. Pilot pesawat memutuskan untuk menaikkan ketinggian pesawat sedemikian sehingga rapat udara turun menjadi 0.5ρ. Tentukan berapa kecepatan yang dibutuhkan pesawat untuk menghasilkan gaya angkat yang sama? (nyatakan dalam v). Penyelesaian Secara umum dapat dikatakan bahwa daya angkat pesawat F tergantung konstanta tak berdimensi k, kerapatan udara ρ, laju pesawat v, serta luas permukaan sayap pesawat A. Permaslahan ini dapat dipeahkan sebagai berikut: Langkah 1: menuliskan persamaan matematis. Karena gaya F bergantung pada k, ρ, v, dan A, maka persamaan untuk F dapat ditulis sebagai F = kρ α v β A γ di mana α, β, dan γ adalah konstanta yang akan dicari nilainya. Langkah 2: menuliskan persamaan dimensi. Kaidah dimensi mengatakan bahwa dimensi suku kiri harus sama dengan dimensi suku kanan, atau [M] [L] [T ] 2 = ( [M] [L] 3) α ( [L] [T ] 1) β ( [L] 2) γ. Langkah 3: menyelesaikan sistem persamaan linier untuk mendapatkan nilai parameter α, β, dan γ yang tidak diketahui. Persamaan di atas menghasilkan 3 persamaan, terkait dengan 3 dimensi yang ada, yaitu persamaan untuk [M], [L], dan [T ]. Kita mulai dengan persamaan untuk [M] (karena [M] hanya muncul satu kali di suku kanan), sebagai berikut 1 = α atau α = 1. Selanjutnya persmaan untuk [T ] 2 = β atau β = 2. 4
Terakhir adalah persamaan untuk[l], di mana 1 = 3α + β + 2γ atau γ = 1. Langkah 4: menuliskan persamaan akhir. Dengan memanfaatkan nilai α, β, dan γ, didapatkan persamaan untuk F sbb F = kρv 2 A. Langkah 5: mencari hubungan antar kuantitas, jika diperlukan. Untuk kasus hanya v dan ρ yang berubah, persamaan di atas dapat ditulis sebagai F v 2 ρ. Jika rapat udara ρ turun menjadi 0, 5ρ maka untuk mempertahankan gaya F yang sama dibutuhkan kecepatan 2v = 1, 41v. 2. Soal OSK tahun 2009: Daya angkat pesawat Sebuah helikopter memiliki daya angkat P yang hanya bergantung pada berat beban total W (yaitu berat helikopter ditambah berat beban) yang diangkat, massa jenis udara ρ dan panjang baling-baling helikopter l. (a) Gunakan analisa dimensi untuk menentukan ketergantungan P pada W, ρ, dan l. (b) Jika daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total W adalah P 0, berapakah daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total 2W? Penyelesaian (a) Dari informasi soal didapat P = CW α ρ β l γ Dengan mengingat bahwa C adalah sebuah konstanta tidak berdimensi, dimensi daya P adalah [M][L] 2 [T ] 3, dimensi gaya W adalah [M][L][T ] 2, dimensi rapas jenis udara ρ adalah [M][L] 3, sedang dimensi panjang l adalah [L]. Dengan demikian dapat diperoleh persamaan dimensi sebagai berikut [M][L] 2 [T ] 3 = ( [M][L][T ] 2) α ( [M][L] 3) β ([L]) γ. Dengan mencocokan dimensi [T ], didapatkan 3 = 2α atau α = 3 2. 5
Selanjutnya, dengan mencocokkan dimensi [M] didapatkan 1 = α + β atau β = 1 2. Terakhir, dengan mencocokkan dimensi [L] didapatkan 2 = α 3β + γ atau γ = 1. Dengan demikian didapatkan persamaan akhir P = CW 3/2 ρ 1/2 l 1. (b) Terlihat bahwa P W 3/2. Jika beban total W dinaikkan dua kali, maka daya baru P menjadi 2 3/2 P 0 = 2 2P 0. 3. Periode revolusi planet Periode revolusi (T ) dari sebuah planet yang berputar mengelilingi matahari dalam orbit lingkaran tergantung pada jari-jari orbit (r), massa matahari (M), konstanta gravitasi (G), serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah Hukum ke-3 Keppler untuk gerakan planet. Penyelesaian Persamaan periode T dapat ditulis sebagai T = Cr α M β G γ, yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut [T ] = [L] α [M] β ( [M] 1 [L] 3 [T ] 2) γ. Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu 1 = 2γ 0 = α + 3γ 0 = β γ, sehingga didapatkan γ = 1/2, β = 1/2 dan α = 3/2. Dengan demikian persamaan untuk periode adalah T = Cr 3/2 M 1/2 G 1/2. 6
Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai T 2 = C2 r 3 T 2, yang menunjukkan bahwa C 2 MG = konstan, yang tidak lain adalah Hukum ke-3 Keppler untuk pergerakan planet. 4. Bola yang bergerak dalam fluida MG r 3 = Stokes mengamati bahwa sebuah bola yang bergerak dalam fluida akan mengalami gaya perlambatan F yang besarnya bergantung pada (i) koefisien viskositas µ (ii) kecepatan gerak bola v, (iii) jari-jari bola r, serta (iv) konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk gaya F sebagai fungsi ketiga parameter tersebut. Penyelesaian Persamaan gaya F dapat ditulis sebagai F = Cµ α v β r γ, yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut [M] [L] [T ] 2 = ( [M] [L] 1 [T ] 1) α ( [L] [T ] 1) β ([L]) γ. Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu 1 = α 1 = α + β + γ 2 = α β, yang memberi kita α = 1, β = 1, dan γ = 1. Dengan demikian persamaan untuk F dapat ditulis sebagai F = Cηvr, yang dikenal sebagai hukum Stokes. Kelak diketahui bahwa C = 6π. 5. Energi ledakan bom Ketika sebuah bom nuklir meledak, maka energi ledakannya akan menyebar ke seluruh arah membentuk permukaan bola dengan jari-jari R. Tentunya masuk akal jika kita asumsikan bahwa nilai R dipengaruhi oleh energi ledakan E, massa jenis bahan ledak ρ, selang waktu antara pengamatan dan ledakan t, serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk getaran R sebagai fungsi keempat parameter tersebut. Penyelesaian 7
Secara umum persamaannya dapat ditulis sebagai berikut R = CE α ρ β t γ, yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut [L] = ( [M] [L] 2 [T ] 2) α ( [M] [L] 3) β [T ] γ = [M] α+β [L] 2α 3β [T ] 2α+γ. Persamaan terakhir menghasilkan tiga persamaan linier, yaitu α + β = 0 2α 3β = 1 2α + γ = 0, yang memberikan solusi α = 1/5, β = 1/5, dan γ = 2/5. persamaan yang benar adalah Dengan demmikian, R = CE 1/5 ρ 1/5 t 2/5. 0.4 Soal Latihan 1. Gerak jatuh bebas Misalkan sebuah mengalami gerak jatuh bebas. Adalah masuk akal untuk membayangkan bahwa jarak yang ditempuh benda akan bergantung pada waktu jatuh t, percepatan gravitasi g, serta massa benda m. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk s sebagai fungsi dari m, g, dan t. (Jawab: s gt 2 ) 2. Panjang gelombang Panjang dari suatu gelombang (λ) dapat dihitung jika frekuensi (f) dan kecepatan rambat (v)-nya diketahui. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk λ sebagai fungsi dari f dan v. (Jawab: λ = v ) f 3. Tekanan fluida statis Tekanan fluida pada kedalaman tertentu p dipengaruhi oleh rapat fluida ρ, percepatan gravitasi g, serta kedalaman titik pengamatan h. Tunjukan bahwa persamaan yang benar adalah p = ρgh. 4. Tekanan fluida dinamis 8
Tekanan yang diakibatkan oleh fluida yang mengalir p dapat dianggap dipengaruhi oleh massa jenis fluida tersebut ρ, laju alir fluida v, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk tekanan adalah p = Cρv 2 (di mana dari pengukuran diketahui bahwa C bernilai 1 2 ). 5. Bandul matematis Frekuensi getaran ω pada bandul matematis sangat mungkin dipengaruhi oleh massa benda yang bergetar m, percepatan gravitasi g, serta panjang tali l. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan bahwa persamaan untuk getaran adalah ω = g l. 6. Osilasi massa dan pegas Misalkan sebuah massa m digantung pada pegas dengan konstanta kekakuan k, pada suatu daerah yang percepatan gravitasinya g. Dengan menggunakan analisis dimensi, tentukan ketergantungan T pada m, k, g, dan konstanta tak berdimensi C. (Jawab: T = C m k ) 7. Getaran bintang Bintang di angkasa mengalami osilasi atau getaran dengan frekuensi sudut ω, yang nilainya tergantung pada kerapatan massa bintang ρ, jari-jari bintang R, konstanta gravitasi universal G, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi sudut getaran ω sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: ω = C Gρ) 8. Periode osilasi busa Periode osilasi T dari gelembung gas akibat ledakan dalam air bergantung pada tekanan statis air (p), rapat massa air ρ, energi total dari ledakan E, serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk periode getaran T sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: T = Cp 5/6 ρ 1/2 E 1/3 ) 9. Frekuensi garpu tala Frekuensi dari garpu tala (f) bergantung pada panjang giginya (l), rapat massa (ρ), dan modulus Young (Y ) dari material garpu tala, serta konstanta tak berdimensi C. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekkuensi garpu tala f sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: f = C Y ) l d 10. Frekuensi gelombang gravitasi Gelombang di permukaan zat cair (biasanya disebut sebagai gelombang gravitasi atau gelombang kapiler), memiliki frekuensi ω yang bergantung pada bilangan gelombang k, rapat massa cairan ρ, percepatan gravitasi g, dan konstanta tak berdimensi C. Dengan 9
menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi anguler getaran ω sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab: ω = gk) 11. Kecepatan jalar gelombang gravitasi (λ besar dan air cukup dalam) Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar air, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup besar (20 cm atau lebih) tetapi cukup kecil dibandingkan dengan kedalaman air. Secara intuitif, kecepatan jalar gelombang v g akan bergantung pada panjang gelombang λ, percepatan gravitasi g, serta rapat massa air ρ. Silahkan dicek, apakah v g merupakan fungsi dari rapat massa ρ atau tidak. (Jawab: tidak, karena v g λg) 12. Kecepatan jalar gelombang kapiler (λ pendek dan air cukup dalam) Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar air, seperti laut. gelombang memiliki λ cukup kecil (2 mm atau kurang) dan cukup kecil dibandingkan dengan kedalaman air. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah laju rambat gelombang v g sebagai fungsi dari panjang gelombang λ, rapat massa air ρ, serta tegangan permukaan s. (Jawab: v g s/ (λρ)) 13. Kecepatan jalar gelombang dengan λ panjang pada air dangkal Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis dengan panjang gelombang λ yang merambat melalui air yang dangkal dengan kedalaman h, sehingga λ h. Dalam kasus ini, tegangan permukaan air s dapat diabaikan, sehingga kecepatan gelombang hanya bergantung pada percepatan gravitasi g dan kedalaman air h. Carilah ungkapan untuk kecepatan jalarnya v g. (Jawab: v g gh) 14. Bilangan Reynold Adalah diketahui bahwa bilangan Reynold Re tergantung pada kerapatan fluida ρ, panjang benda l, viskositas fluida η, serta kecepatan gerak benda v. Carilah bentuk eksplisit ketergantungan Re terhadap ρ, l, η, dan v. (Jawab: Re = ρvl η ) 15. Viskositas Viskositas η suatu gas tergantung pada massa m, diameter efektif d dan kecepatan ratarata molekul v. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumus η sebagai fungsi variabel-variabel ini. (Jawab: η = C mv d 2 ) 16. Kecepatan bunyi Tentukan rumus kecepatan bunyi v jika kecepatannya tergantung pada tekanan p dan massa jenis udara ρ. (Jawab: v = C P ρ ) 10