MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS(DT M C) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH oleh EKA LISMAWATI M0112028 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i
ABSTRAK Eka Lismawati. 2016. MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DT M C) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS) merupakan model epidemi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik individu yang telah sembuh dapat terinfeksi penyakit kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Model epidemi SIS yang perubahan banyak individu pada setiap kelompok S dan I mengikuti proses Markov waktu diskrit disebut dengan model epidemi discrete time Markov chains (DTMC ) SIS. Model epidemi DTMC SIS dapat diterapkan pada satu atau lebih penyakit. Selain itu, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan pada satu daerah atau lebih karena terjadi perpindahan individu dari daerah satu ke daerah lain. Dengan demikian, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan untuk dua penyakit dan dua daerah. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah. Model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah disajikan dalam bentuk probabilitas transisi pada proses infeksi dan dispersal. Pada proses infeksi disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected pada masing-masing daerah, sedangkan pada proses dispersal disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected dari daerah satu ke daerah dua. Dari penerapan model diperoleh banyaknya individu susceptible semakin lama semakin menurun, sedangkan banyaknya individu infected semakin lama semakin meningkat. Kata Kunci : epidemi, DTMC, SIS, dua penyakit, dua daerah iii
ABSTRACT Eka Lismawati. 2016. DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) EPIDEMIC MODEL TWO PATHOGENS TWO PATCHES. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. The SIS epidemic model describes the pattern of disease spread with characteristics recovered individuals can be infected, because does not develop immunity to the disease. The model which the number of individuals in S and I group following discrete time Markov process can be represented by discrete time Markov chains (DTMC) SIS. The DTMC SIS epidemic model can be apllied for one or more pathogen. Furthermore, the DTMC SIS epidemic model can be developed in one or more patch because people move from one patch to another patch. Thus, the DTMC SIS epidemic model can be developed for two pathogens two patches. The aims of this research are to reconstruct and to apply DTMC SIS epidemic model two pathogen two patches. The DTMC SIS epidemic model two pathogen two patches were presented as a transition probabilities in the infection process and dispersal process. Transition probabilities of the susceptible and infected individual in each patch were presented in the infection process, while transition probabilities of the susceptible and infected individual from one patch to another patch were presented in dispersal process. The DTMC SIS two pathogens two patches were applied. It was obtained that the number of susceptible individuals decreased while the number of infected individuals increased. Keywords: epidemic, DTMC, SIS, two pathogens, two patches iv
PERSEMBAHAN Karya ini dipersembahkan untuk ibu, bapak, dan adik atas doa dan semangat yang diberikan. v
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Dra. Respatiwulan, M. Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, saran, dan motivasi selama proses penyusunan skripsi, 2. Dra. Purnami Widyaningsih, M. App. Sc. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan pengarahan, bimbingan, dan saran selama proses penyusunan skripsi, 3. Firdaus Fajar Saputra, Satrio Wicaksono, dan Wisnu Wardana atas kerja sama, saran, dan dukungan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi, dan 4. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, Oktober 2016 Penulis vi
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i PENGESAHAN............................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v KATA PENGANTAR........................... vi DAFTAR ISI................................ viii DAFTAR GAMBAR............................ ix I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan Penelitian........................... 2 1.4 Manfaat Penelitian.......................... 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori Penunjang............................ 5 2.2.1 Proses Stokastik........................ 6 2.2.2 Discrete Time Markov Chains (DTMC ).......... 6 2.2.3 Model Epidemi DTMC SIS Satu Penyakit......... 7 2.2.4 Model Epidemi DTMC SIS Dua Penyakit......... 9 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 9 III METODE PENELITIAN 11 vii
IV PEMBAHASAN 12 4.1 Perununan Model........................... 12 4.2 Penerapan Model........................... 15 V PENUTUP 18 5.1 Kesimpulan.............................. 18 5.2 Saran.................................. 19 DAFTAR PUSTAKA 20 viii
DAFTAR GAMBAR 4.1 Banyaknya individu (a) S 1 I 11 I 12 dan (b) S 2 I 21 I 22 dalam 600 satuan waktu pertama............................ 15 4.2 Banyaknya individu (a) I 11 I 12 dan (b) I 21 I 22 dalam 10 satuan waktu pertama.............................. 16 ix