BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Himpunan adalah kata benda yang berasal dari kata himpun. Kata kerjanya adalah menghimpun. Menghimpun adalah kegiatan yang berhubungan dengan berbagai objek apa saja. Objek-objek tersebut mempunyai suatu sifat-sifat yang dimiliki bersama. Hasil dari kegiatan itu berupa suatu himpunan. Sedangkan objek yang ada dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. (Setiadji, 2009) 2.2 Himpunan Tegas (Crisp) Himpunan tegas adalah suatu himpunan yang terdefenisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap objek selalu dapat ditentukan secara tegas apakah objek tersebut merupakan anggota himpunan atau tidak. Dengan kata lain, untuk setiap himpunan terdapat batas yang tegas antara objek-objek yang merupakan anggota dan objek-objek yang tidak merupakan anggota dari himpunan itu. Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalm suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan µ A (x), memiliki dua kemungkinan, yaitu: a. Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau b. Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
2.3 Himpunan Samar (Fuzzy) Himpunan fuzzy adalah generalisasi konsep himpunan biasa (ordiner). Fuzzy set memperluas jangkauan fungsi karakteristik pada crisp set sehingga fungsi tersebut mencakup bilangan riil pada interval [0.1]. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan yang memetakan setiap unsur dalam himpunan semesta X ke suatu nilai pada interval [0,1] yang selanjutnya disebut derajat keanggotaan. Fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur dalam semesta X adalah pemetaan (): 0,1. Nilai () menyatakan derajat keanggotaan unsur dalam himpunan kabur. Ada beberapa cara untuk menotasikan himpunan fuzzy, antara lain: 1. Himpunan fuzzy ditulis sebagi pasangan berurutan, dengan elemen pertama menunjukkan nama elemen dan elemen kedua menunjukkan nilai keanggotaannya. Contoh 2.3.1 Misalkan industri kendaraan bermotor ingin merancang dan memproduksi sebuah mobil yang nyaman untuk digunakan keluarga yang besar. Ada 5 model yang telah dirancang dan ditunjukkan dalam variabel X = {1, 2, 3, 4, 5}, dengan 1 adalah desain mobil ke-1, dan seterusnya. Himpunan fuzzy à yang merupakan himpunan mobil yang nyaman digunakan untuk keluarga yang besar dapat ditulis sebagai: à = {(1; 0,6); (2; 0,3); (3; 0,8); (4; 0,2); (5; 0,1)} 2. Apabila semesta X adalah himpunan yang diskrit, maka himpunan fuzzy à dapat dinotasikan sebagai: atau à = µ à (x 1 ) / x 1 + µ à (x 2 ) /x 2 + + µ à (x n ) /x n à = Ã(x i )/x i Tanda Σ bukan menotasikan operasi penjumlahan seperti yang dikenal pada aritmetika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur x X bersama dengan fungsi keanggotaan µ à (x) dalam himpunan fuzzy Ã. Tanda
+ bukan menotasikan penjumlahan, tetapi melambangkan pemisahan antara keanggotaan elemen himpunan fuzzy à dan fungsi keanggotaan yang lain. Tanda / juga bukan lambang pembagian yang dikenal dalam kalkulus, tetapi melambangkan hubungan antara satu elemen himpunan fuzzy à dan fungsi keanggotaannya. 3. Apabila semesta X adalah himpunan yang kontinu maka himpunan fuzzy à dapat dinotasikan sebagai: Ã=Ã()/ Tanda bukan lambang integral seperti dalam kalkulus, yang menotasikan suatu integrasi, melainkan keseluruhan unsur-unsur titik x X bersama dengan fungsi keanggotaan µ à (x) dalam himpunan fuzzy Ã. Tanda / juga bukan lambang pembagian yang dikenal dalam kalkukus, tetapi melambangkan hubungan antara satu elemen x pada himpunan fuzzy à dengan fungsi keanggotaannya. Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami himpunan fuzzy, yaitu: a. Variabel fuzzy Variabel fuzzy merupakan suatu lambang atau kata yang menunjuk kepada suatu yang tidak tertentu dalam sistem fuzzy. Contoh: Berikut ini adalah contoh-contoh variabel dikaitkan dengan himpunan: 1. Variabel produksi terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy bertambah dan himpunan fuzzy berkurang. 2. Variabel permintaan terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy naik dan himpunan fuzzy turun. 3. Variabel persediaan terbagi menjadi 2 himpunan fuzzy, yaitu: himpunan fuzzy sedikit dan himpunan fuzzy banyak.
b. Himpunan fuzzy Himpunan fuzzy merupakan suatu kumpulan yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu: 1. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang memiliki suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa, seperti: muda, parobaya, tua. 2. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti : 5, 10, 15, dan sebagainya. c. Semesta pembicaraan Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. d. Domain Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Contoh: Himpunan fuzzy muda = [0,45], artinya seseorang dapat dikatakan muda dengan umur antara 0 tahun sampai 45 tahun. Himpunan fuzzy parobaya = [35,65], artinya seseorang dapat dikatakan parobaya dengan umur antara 35 tahun sampai 65 tahun. Himpunan fuzzy tua = [65,175], artinya seseorang dapat dikatakan tua dengan umur antara 65 tahun sampai 175 tahun. Definisi 2.3.1 (J.S.R.Jang, 1997) Support atau pendukung himpunan fuzzy Ã. Supp(Ã), didalam semesta X, adalah himpunan tegas dari semua anggota X yang mempunyai derajat keanggotaan lebih dari nol. Supp (Ã) = {x X µ Ã (x) > 0}
Contoh 2.3.2 Misalkan dalam semesta X = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, himpunan fuzzy à dinyatakan sebagai: à = à (x)/x = 0/-5 + 0,1/-4 + 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2 + 0.3/3 + 0.1/4 + 0/5 Maka elemen-elemen {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} merupakan support dari himpunan fuzzy Ã. Definisi 2.3.2 (Frans Susilo, 2006) Himpunan α-cut merupakan nilai ambang batas domain yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap-tiap domain. Himpunan ini berisi semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan lebih besar atau sama dengan α sedemikian hingga: 1. Untuk α-cut dapat dinyatakan sebagai: à α = {x X µ à (x) α} 2. Untuk strong α-cut dapat dinyatakan sebagai: à +α = {x X µ à (x) > α} Contoh 2.3.3 Pada contoh 2.3.2, dapat dilihat: 1. Untuk nilai α = 0.1; maka à 0.1 = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, dan à +0.1 = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. 2. Untuk nilai α = 0.3; maka à 0.3 = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, dan à +0.3 = {-2, -1, 0, 1, 2}. 3. Untuk nilai α = 0.5; maka à 0.5 = {-2, -1, 0, 1, 2}, dan à +0.5 = {-1, 0, 1}. 4. Untuk nilai α = 0.7; maka à 0.7 = {-1, 0, 1}, dan à +0.7 = {0}. 5. Untuk nilai α = 1; maka à 1 = {0}.
Definisi 2.3.3 (Klir, Clair, Yuan,1997) Inti (Core) suatu himpunan fuzzy à didalam semesta X, yang dilambangkan dengan Core(Ã), adalah himpunan tegas yang menyatakan himpunan semua anggota X yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1 yaitu : Core(Ã) = {x X µ à (x) = 1} Contoh 2.3.4 Pada contoh 2.3.2, dapat dilihat: Χ Ã = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Core(Ã)= {-5 0;-4 0,1;-3 0,3;-2 0,5;-1 0,7;0 1;1 0,7;2 0,5;3 0,3;4 0,1;5 0} = {0} Sehingga dalam contoh 2.2.2, Core(Ã) = {0 1} 2.4 Fungsi Keanggotaan Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik titik input data ke dalam nilai keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan diantaranya: 1. Representasi linier 2. Representasi kurva segitiga 3. Representasi kurva trapesium 4. Representasi kurva bentuk bahu 2.4.1 Representasi Linier Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya dapat digambarkan sebagai suatu garis lusur. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.
Ada 2 keadaan himpunan fuzzy yang linier, yaitu: a. Representasi linier naik, yaitu kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi. () 1 0 a b Gambar 2.1 Representasi Linier Naik (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002) Fungsi Keanggotaan: 0 ; ()= ; ; 1 Dengan: () adalah derajat keanggotaan dari x x adalah variabel semesta pembicaraan a adalah himpunan nilai linguistik I b adalah himpunan nilai linguistik II b. Representasi linier turun, yaitu garis yang dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri bergerak menuju nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.
() 1 0 a b Gambar 2.2 Representasi Linier Turun (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002) Fungsi Keanggotaan: ()= ; 0 ; Dengan: () adalah derajat keanggotaan dari x x adalah variabel semesta pembicaraan a adalah himpunan nilai linguistik I b adalah himpunan nilai linguistik II 2.4.2 Representasi Kurva Segitiga Representasi kurva segitiga pada dasarnya adalah gabungan antara dua representasi linear (representasi linear naik dan representasi linear turun), seperti terlihat pada Gambar 2.3. () 1 0 a b c Gambar 2.3 Representasi Kurva Segitiga (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002)
Fungsi Keanggotaan: 0 : ; ()= ; Dengan: () adalah derajat keanggotaan dari x x adalah variabel semesta pembicaraan a adalah himpunan nilai linguistik I b adalah himpunan nilai linguistik II c adalah himpunan nilai linguistik III 2.4.3 Representasi Kurva Trapesium Representasi kurva trapesium pada dasarnya merupakan kurva segitiga hanya saja beberapa titik mempunyai nilai keanggotaan satu. () 1 0 a b c d Gambar 2.4 Representasi Kurva Trapesium (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002) Fungsi Keanggotaan: 0 ; ( ) ( ) ; ()= 1 ; ( ) ( ) ;
Dengan: () adalah derajat keanggotaan dari x x adalah variabel semesta pembicaraan a adalah himpunan nilai linguistik I b adalah himpunan nilai linguistik II c adalah himpunan nilai linguistik III d adalah himpunan nilai linguistik IV 2.4.4 Representasi Kurva Bentuk Bahu Representasi kurva bentuk bahu digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. () 1 0 Gambar 2.5 Representasi Kurva Bentuk Bahu (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002) 2.5 Operasi-Operasi pada Himpunan Fuzzy Seperti halnya himpunan tegas (crisp set), ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Nilai keanggotaan sebagai hasil dari operasi dua himpunan sering dikenal dengan nama fire strength atau α-cut. Ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy, yaitu (Sri Kusumadewi dan Hari Purnomo, 2003)
2.5.1 Operasi and Operator ini berhubungan dengan operasi interseksi pada himpunan. α-prediket sebagai hasil operasi dengan operator and diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terkecil antarelemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan. =(, ) 2.5.2 Opersai or Operator ini berhubungan dengan operasi union pada himpunan. α-prediket sebagai hasil operasi dengan operator or diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terbesar antarelemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan. = (, ) 2.5.3 Operasi not Operator ini berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan. α-prediket sebagai hasil operasi dengan operator not diperoleh dengan mengurangkan nilai keanggotaan elemen pada himpunan yang bersangkutan dari 1. =1 () 2.6 Logika Fuzzy 2.6.1 Dasar Logika Fuzzy Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis aturan-aturan penalaran yang absah (valid) (Frans Susilo, 2006). Logika fuzzy adalah suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang input ke dalam ruang output. Logika fuzzy pertama sekali diperkenalkan oleh Lotfi. A. Zadeh pada tahun 1965. Dasar logika fuzzy adalah teori himpunan fuzzy. Dalam teori himpunan dikenal fungsi karakteristik yaitu fungsi dari himpunan semesta X ke himpunan {0,1}(Sri Kusumadewi, 2002).
Pada penalaran ilmiah dan dalam kehidupan sehari-hari, setiap pernyataan (proposisi) mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu benar atau salah dan tidak kedua-duanya, logika ini disebut logika dwinilai. Asumsi dasar dalam logika tradisional ini sejak dulu telah dipermasalahkan. Filsuf Yunani kuno Aristoteles, mempermasalahkan nilai kebenaran pernyataan yang menyangkut masa depan, misalkan Lusa pak Andi akan datang. Pernyataan ini tidak mempunyai nilai benar ataupun salah, karna belum terjadi. Untuk mengatasi proposisi-proposisi seperti itu seorang logikawan Polandia Jan Lukasiewicz pada tahun 1920-an mengembangkan logika trinilai dengan memasukkan nilai kebenaran ketiga yaitu, nilai taktentu. Logika ini bukanlah sistem logika yang baru, melainkan merupakan semacam pengembangan dari logika dwinilai, dalam arti bahwa semua kata perangkai dalam logika trinilai itu didefinisikan seperti dalam logika dwinilai sejauh menyangkut nilai kebenaran. Salah satu akibatnya tidak semua aturan logika yang berlaku dalam logika dwinilai berlaku dalam logika Lukasiewicsz itu. Logika trinilai secara umum menghasilkan logika n-nilai yang juga dipelopori oleh Lukasiewicsz pada tahun 1930-an. Nilai logika dalam logika ini dinyatakan dengan suatu bilangan rasional dalam selang [0,1] yang diperoleh dengan membagi sama besar selang tersebut menjadi n-1 bagian. Maka himpunan nilai-nilai kebenaran dalam logika n-nilai adalah himpunan n buah bilangan rasional sebagai berikut: = {0 =,,,,, =1}, untuk n 2 Nilai kebenaran tersebut juga dapat dipandang sebagai derajat kebenaran suatu pernyataan, dapat dikatakan bahwa logika dwinilai merupakan kejadian khusus dari logika n-nilai, yaitu untuk =2. Logika n-nilai ini dapat dinyatakan dengan ( 2)
2.6.2 Variabel Numeris dan Linguistik Variabel adalah lambang atau kata yang menunjukkan kepada sesuatu yang tidak tentu dalam semesta wacananya (Frans Susilo, 2006). Ada 2 jenis variabel dalam logika fuzzy, yaitu: 1) Variabel Numeris Variabel numeris adalah suatu variabel yang semesta pembicaraannya berupa himpunan bilangan-bilangan. Misalnya pada proposisi x habis dibagi 4, variabel x dapat diganti dengan variabel numeris karena semesta wacananya adalah himpunan bilangan-bilangan. 2) Variabel Linguistik Variabel linguistik adalah suatu variabel yang semesta pembicaraannya berupa kata-kata atau istilah-istilah dari bahasa sehari-hari misalnya: dingin, panas, tinggi, rendah, cepat, lambat, muda, tua, dan seterusnya. Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5, yaitu:,,,, Dengan: x = lambang variabel. T = himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x. X = semesta pembicaraan numeris dari nilai-nilai linguistik dalam T G = himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T. M = himpunan aturan-aturan sistematik yang mengkaitkan istilah dalam T dengan suatu himpunan fuzzy dalam semesta X.
2.7 Proposisi Fuzzy Proposisi fuzzy adalah kalimat yang memuat prediket fuzzy, yaitu prediket yang dapat dipresentasikan dengan suatu himpunan fuzzy (Frans Susilo, 2006:138). Proposisi fuzzy yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan fuzzy. Nilai kebenaran suatu pernyataan fuzzy dapat disajikan dengan suatu bilangan real dalam interval [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran pernyataan fuzzy. Bentuk umum suatu proposisi fuzzy adalah: h dengan x adalah suatu variabel linguistik dan A adalah predikat yang menggambarkan suatu nilai linguistik dari x. Jika à adalah himpunan fuzzy yang dikaitkan dengan nilai linguistik A, dan 0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta X dari himpunan fuzzy Ã, maka 0 mempunyai derajat keanggotaan ( 0 ) dalam himpunan fuzzy Ã. Derajat kebenaran pernyataan fuzzy 0 adalah A didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan 0 dalam himpunan fuzzy Ã, yaitu ( 0 ). 2.8 Implikasi Fuzzy Tiap tiap aturan (proposisi) pada basis pengetahuan fuzzy akan berhubungan dengan suatu relasi fuzzy. Bentuk umum dari aturan yang digunakan dalam fungsi implikasi adalah: h, h A dan B adalah prediket-prediket fuzzy yang dikaitkan dengan himpunanhimpunan fuzzy dan dalam semesta X dan Y. Implikasi fuzzy adalah suatu relasi fuzzy dalam X x Y, yang dilambangkan dengan dengan fungsi keanggotaan:
, =(, ) Dengan s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen fuzzy. 2.9 Sistem Inferensi Fuzzy Salah satu aplikasi logika fuzzy yang telah berkembang amat luas dewasa ini adalah sistem inferensi fuzzy (Fuzzy Inference System/FIS), yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar prinsip penalaran fuzzy, seperti halnya manusia melakukan penalaran dengan nalurinya. Misalnya penentuan produksi barang, sistem pendukung keputusan, sistem klasifikasi data, sistem pakar, sistem pengenalan pola, robotika, dan sebagainya. Sistem inferensi fuzzy akan berfungsi sebagai pengendali proses tertentu dengan menggunakan aturan-aturan inferensi berdasarkan logika fuzzy. Pada dasarnya sistem inferensi memiliki 4 unit, yaitu: (Frans Susilo, 2006) 1) Unit fuzzifikasi (fuzzification unit) 2) Unit penalaran logika fuzzy (fuzzy logic reasoning unit) 3) Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua bagian : a. Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari himpunan-himpunan fuzzy yang terkait dengan nilai dari variabel linguistiknya. b. Basis aturan (rule base), yang memuat aturan-aturan berupa implikasi fuzzy. 4) Unit defuzzifikasi / unit penegasan (defuzzification unit). 2.9.1 Unit Fuzzifikasi Langkah pertama pada sistem inferensi fuzzy dilakukan oleh unit fuzzifikasi yaitu, mengubah masukan tegas yang diterima menjadi masukan fuzzy. Untuk masing
masing variabel input, ditentukan suatu fungsi fuzzifikasi (fuzzyfication function) yang akan mengubah variabel masukan yang tegas (yang biasa dinyatakan dalam bilangan real) menjadi nilai pendekatan fuzzy. Fungsi fuzzifikasi ditentukan berdasarkan beberapa kriteria (Frans Susilo, 2006): 1) Fungsi fuzzifikasi diharapkan mengubah suatu nilai tegas, misalnya R, ke suatu himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan a terletak pada selang tertutup [0,1] atau =[0,1]. 2) Bila nilai masukannya cacat karena gangguan, diharapkan fungsi fuzzifikasi dapat menekan sejauh mungkin gangguan itu. 3) Fungsi fuzzifikasi diharapkan dapat membantu menyederhanakan komputasi yang harus dilakukan oleh sistem tersebut dalam proses inferensinya. 2.9.2 Unit Penalaran Penalaran fuzzy adalah suatu cara penarikan kesimpulan berdasarkan seperangkat implikasi fuzzy dan suatu fakta yang diketahui (premis). Penarikan kesimpulan (penalaran) dalam logika klasik didasarkan pada proposisi-proposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya. Aturan penalaran tegas ini dapat digeneralisasikan menjadi aturan fuzzy dengan premis dan kesimpulan adalah proposisi-proposisi fuzzy. Kita perhatikan suatu contoh penalaran fuzzy berikut ini : Premis1: Bila soal matematika sulit, maka penyelesaiannya lama Premis2: Soal matematika agak sulit Kesimpulan: Penyelesaiannya agak lama Penalaran tersebut dapat dirumuskan secara umum dengan skema sebagai berikut: Premis 1 (kaidah): Bila x adalah A, maka y adalah B Premis 2 (fakta): x adalah A Kesimpulan: y adalah B
2.9.3 Unit Basis Pengetahuan Basis pengetahuan suatu sistem inferensi fuzzy terdiri dari basis data dan basis aturan. 1. Basis data adalah himpunan fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy yang terkait dengan nilai linguistik dari variabel-variabel yang terlibat dalam sistem itu (Frans Susilo, 2006). 2. Basis kaidah adalah himpunan implikasi-implikasi fuzzy yang berlaku sebagai aturan dalam sistem itu. Bila sistem itu memiliki m buah aturan dengan (n-1) variabel, maka bentuk aturan ke i (i=1,,m) adalah sebagai berikut: ( 1 h 1) ( 2 h 2) ( h ), h dengan adalah operator (misal : or atau and), dan adalah variabel linguistik dengan semesta pembicaraan =1,,. 2.9.4 Unit Deffuzikasi Unit defuzzifikasi digunakan untuk menghasilkan nilai variabel solusi yang diinginkan dari suatu daerah konsekuen fuzzy. Karena sistem inferensi hanya dapat membaca nilai yang tegas, maka diperlukan suatu mekanisme untuk mengubah nilai fuzzy output itu menjadi nilai yang tegas. Itulah peranan unit defuzzifikasi yang memuat fungsi-fungsi penegasan dalam sistem itu. Pemilihan fungsi defuzzifikasi biasanya ditentukan oleh beberapa kriteria: 1. Masuk akal, artinya secara intuitif bilangan tegas t( ) dapat diterima sebagai bilangan yang mewakili himpunan fuzzy. kesimpulan dari semua himpunan fuzzy output untuk setiap aturan. 2. Kemudahan komputasi, yaitu diharapkan perhitungan untuk menentukan bilangan defuzzifikasi dari semua aturan pada fungsi penegasan adalah sederhana dan mudah. 3. Kontinuitas, diartikan perubahan kecil pada himpunan fuzzy tidak mengakibatkan perubahan besar pada bilangan defuzzifikasi t( ).
Terdapat beberapa metode defuzzifikasi dalam pemodelan sistem fuzzy, misalnya: Metode Centroid, Metode Bisektor, Metode Mean of Maximum dan Metode Center Average Defuzzyfier. Untuk metode centroid pengambilan keputusan dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy (Frans Susilo, 2006). Pada metode ini, solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Untuk metode bisektor solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Untuk metode mean of maximum (MOM) solusi tegas diperoleh dengan cara mengambil nilai rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum. Untuk metode center average defuzzyfier output atau nilai tegas yang dihasilkan diperoleh dengan cara kali jumlah dari setiap α-prediket hasil inferensi pada setiap aturan dengan derajat keanggotaan nilai keluaran dari setiap aturan kemudian dibagikan dengan jumlah total semua α-prediket pada setiap aturan. 2.10 Metode Sugeno Metode penalaran fuzzy ada tiga, yaitu metode Tsukamato, metode Mamdani dan metode Sugeno. Pada metode Tsukamato, setiap konsekuen pada aturan yang berbentuk IF-THEN harus direpresentasikan dengan suatu himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan monoton. Sebagai hasilnya, output hasil inferensi dari tiaptiap aturan diberikan secara tegas berdasarkan -predikat. Hasil akhirnya diperoleh dengan menggunakan rata-rata terbobot. Penalaran metode Sugeno hampir sama dengan penalaran Mamdani yang sering dikenal dengan metode Max-Min, hanya saja output sistem tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linear. Metode ini diperkenalkan oleh Takagi-Sugeno Kang pada tahun 1985. Perbedaan antara
Metode Mamdani dan Metode Sugeno ada pada konsekuen. Metode Sugeno menggunakan konstanta atau fungsi matematika dari variabel input : jika a adalah ĩ dan b adalah B i, maka c adalah C i = f(a,b) Dengan a, b dan c adalah variabel linguistik, ĩ dan B i himpunan fuzzy ke-i untuk a dan b, dan f(a,b) adalah fungsi matematik. Untuk mendapatkan output (hasil) pada metode Sugeno, maka terdapat 4 langkah / tahapan sebagai berikut: 1. Pembentukan himpunan fuzzy Menentukan semua variabel yang terkait dalam proses yang akan ditentukan. Untuk masing-masing variabel input, tentukan suatu fungsi fuzzifikasi yang sesuai. 2. Aplikasi fungsi implikasi Menyusun basis aturan, yaitu aturan-aturan berupa implikasi-implikasi fuzzy yang menyatakan relasi antara variabel input dengan variabel output. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut: jika a adalah ĩ dan b adalah B i, maka c adalah C i = f(a,b) Dengan a, b dan c adalah predikat fuzzy yang merupakan variabel linguistik, ĩ dan B i himpunan fuzzy ke-i untuk a dan b, dan f(a,b) adalah fungsi matematik. Banyaknya aturan ditentukan oleh banyaknya nilai linguistik untuk masing-masing variabel input. 3. Komposisi aturan Apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan korelasi antar aturan. Metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy adalah metode Min (Minimun). Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai minimun aturan, kemudian menggunakan nilai tersebut untuk memodifikasi daerah fuzzy dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (gabungan). Jika semua proporsi telah
dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksikan kontribusi dari tiap-tiap proporsi. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: µ (xi) = min ( µ sf (x i ),µ kf (x i ) ) dengan: µ sf (x i ) = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i µ kf (x i ) = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i 4. Penegasan Masukan dari proses penegasan adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan real yang tegas. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka dapat diambil suatu nilai tegas tertentu sebagai output. Apabila komposisi aturan menggunakan metode Sugeno maka defuzzifikasi (Z*) dilakukan dengan cara mencari nilai rata-rata terpusatnya. Z* = () () Dengan: d i adalah nilai keluaran pada aturan ke-i U Ãi (d i ) adalah derajat keanggotaan nilai keluaran pada aturan ke-i n adalah banyaknya aturan yang digunakan
2.11 Metode Mamdani Metode Mamdani sering dikenal sebagai metode Max-Min. Metode ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1975. Untuk mendapatkan output, diperlukan 4 tahapan: 5. Pembentukan himpunan fuzzy Pada metode Fuzzy Mamdani, baik variabel input maupun variabel output dibagi menjadi satu atau lebih himpunan fuzzy. 6. Aplikasi fungsi implikasi (aturan) Pada metode Fuzzy Mamdani, fungsi implikasi yang digunakan adalah Min. (, ) 7. Komposisi aturan Ada 3 metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy, yaitu max, additive dan probabilistik OR (probor). a. Metode Max (maximum). Secara umum dapat dituliskan : Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimal aturan, kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy, dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksi konstribusi dari tiap-tiap proposisi. Secara umum dapat dituliskan: =, Dengan : = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke i. = nilai keanggotaan konsekuan fuzzy aturan ke i.
Misalkan ada 3 aturan (proposisi) sebagai berikut: [R1] if Biaya Produksi RENDAH and Permintaan NAIK then Produksi Barang BERTAMBAH; [R2] if Biaya Produksi STANDAR then Produksi Barang NORMAL; [R3] if Biaya Produksi TINGGI and Permintaan TURUN then Produksi Barang BERKURANG; 1. Input fuzzy 2. Aplikasi operasi fuzzy 3. Aplikasi metode omplikasi (min) RENDAH NAIK BERTAMBAH IF Biaya Produksi RENDAH And Permintaan NAIK THEN Produksi Barang STANDAR tak ada input NORMAL IF Biaya Produksi STANDAR THEN Produksi Barang NORMAL TINGGI TURUN BERKURANG IF Biaya Produksi TINGGI And Permintaan TURUN THEN Produksi Barang Gambar 2.6 Komposisi Aturan Fuzzy Metode MAX (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002)
b. Metode Additive (Sum) Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan bounded-sum terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan: ( )=(1, + ) Dengan : ( ) = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai autan ke-i ( ) = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i c. Metode Probabilistik OR (Probor) Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan produk terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan: ( )= ( )+ ( ) ( ( ) ( )) Dengan : ( ) = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i ( ) = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i. d. Penegasan (defuzzyfikasi) Input dari proses defuzzyfikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai crisp tertentu sebagai output seperti terlihat pada gambar.
Daerah fuzzy `A Daerah fuzzy `B Output : Daerah Fuzzy `D Daerah fuzzy `C Nilai yang diharapkan Gambar 2.7 Proses Defuzzyfikasi (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002) Ada beberapa metode defuzzyfikasi pada komposisi aturan MAMDANI, antara lain : a. Metode Centroid (Composite Moment) Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat (z*) daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan : Untuk variabel kontinu = () () Untuk variabel diskrit
Dengan: = Nilai domain ke - = ( ) ( ) ( ) = Derajat keanggotaan b. Metode Bisektor Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Secara umum dituliskan : R R sedemikian hingga ()= () c. Metode Mean of Maximum (MOM) Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum. d. Metode Largest of Maximum (LOM) Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terbesar dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum. e. Metode Smallest of Maximum (SOM) Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terkecil dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.