TUGAS AKHIR PERBANDINGAN ANALISIS SIMULASI DAN TEORI PADA MODEL ANTRIAN M/M/S diajukan untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan sarjana (S-1) pada Departemen Teknik Elektro Sub Konsentrasi Teknik Telekomunikasi Oleh IRA MELATI SILALAHI NIM : 120402045 DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016
ABSTRAK Sistem antrian dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dalam beberapa bentuk. Model antrian M/M/S adalah model antrian dengan server majemuk, memiliki laju kedatangan dan waktu pelayanan menggunakan distribusi Poisson, disiplin antrian FIFO, panjang antrian tak terbatas, jumlah pelanggan yang tak terbatas, serta laju pelayanan yang sama pada semua server. Pada tulisan ini dianalisis karakteristik dari model antrian M/M/S dengan mengevaluasi secara simulasi dan analisis matematik kemudian membandingkan hasilnya. Karakteristik yang dianalisis adalah: rata rata waktu antri (WW qq ), rata-rata waktu pelayanan (EE tt ), rata-rata waktu dalam sistem (WW SS ), rata-rata jumlah waktu dalam antrian (LL qq ), rata-rata jumlah paket dalam pelayanan (L), dan rata-rata jumlah paket dalam sistem (LL ss ). Dari analisis yang dilakukan dengan parameter Random Number Generator (RNG) yang dibangkitkan, serta panjang paket 10000 paket, 15000 paket, dan 20000 paket, diperoleh hasil simulasi dan teori yang bervariasi. Untuk nilai utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7, WW qq EE tt tidak mengalami perubahan antara simulasi dan teori, sedangkan untuk WW SS, LL qq, L, dan LL ss berubah pada interval 0.66% sampai 90.87%. Perbedaaan hasil simulasi dan teori terjadi disebabkan oleh perbedaan panjang paket untuk setiap utilisasinya. Kata kunci : Model Antrian M/M/S, Karakteristik Antrian M/M/S, DEV C++ i
KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat, karunia dan kasih-nya sehingga penulis diberikan kesempatan untuk dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik dengan kemampuan yang dimiliki. Tugas Akhir ini berjudul : PERBANDINGAN ANALISIS SIMULASI DAN TEORI PADA MODEL ANTRIAN M/M/S Tugas akhir ini merupakan bagian dari kurikulum yang harus diselesaikan untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan Sarjana Strata Satu (S-1) di Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik. Selama penulis menjalani pendidikan di kampus hingga diselesaikannya Tugas Akhir ini, penulis banyak menerima bantuan, bimbingan serta dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Keluarga tersayang : Bapak Edu Silalahi, S.Pd., Mamak Linda Dupi Marita Sinaga, S.Pd., Kakak Febrina Uly Nova Silalahi, S.T., adek Immanuel Nicolas Silalahi dan adek Farel Paul Jhogi Silalahi atas semua cinta, kasih sayang, doa, semangat, arahan, nasehat dan segala perhatiannya. 2. Bapak Ir. M. Zulfin M.T sebagai Dosen Pembimbing Tugas Akhir penulis yang selalu bersedia memberikan bantuan yang sangat dibutuhkan oleh penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. 3. Bapak Fahmi, S.T.,M.Sc.,Ph.D sebagai Dosen Wali penulis yang membantu penulis selama menyelesaikan pendidikan di kampus USU. ii
4. Bapak Ir. Surya Tarmizi Kasim, M.Si dan Bapak Rahmad Fauzi, S.T. M.T sebagai Ketua dan Sekretaris Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik. 5. Bapak Suherman, S.T, M.Com, Ph.D dan Ibu Naemah Mubarakah, S.T, M.T sebagai Dosen Penguji penulis, yang memberikan arahan dan nasihat kepada penulis. 6. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Teknik Elektro FT-USU. 7. Sahabat penulis Novita dan France atas kebersamaan, doa, dukungan dan bantuan kepada penulis. 8. Kawan seperjuangan penulis Bambang, Bobby, Desy, Johannes, Marco, dan Valentino atas kebersamaan dan kekompakan selama penulis berada di kampus. 9. Teman terdekat penulis, yang telah memberikan semangat, doa dan segala perhatiannya. 10. Pihak-pihak yang telah membantu penulis namun tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa tugas akhir jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, penulis sangat menerima kritik dan saran yang membangun dari pembaca dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini. Akhir kata, penulis mengharapkan Tugas Akhir ini dapat bermanfaat untuk wawasan pembaca dan juga dalam pengembangan selanjutnya. Medan, Oktober 2016 Penulis, Ira Melati Silalahi iii
DAFTAR ISI ABSTRAK... i KATA PENGANTAR... ii DAFTAR ISI... iv DAFTAR GAMBAR... vii DAFTAR TABEL... viii BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang... 1 1.2. Rumusan Masalah... 1 1.3. Tujuan Penelitian... 2 1.4. Manfaat Penelitian... 2 1.5. Batasan Masalah... 2 1.6. Metodologi Pembahasan... 3 1.7. Sistematika Penulisan... 3 BAB II LANDASAN TEORI... 5 2.1. Umum... 5 2.2. Sistem Antrian... 6 2.3. Defenisi Sistem Antrian... 7 2.4. Komponen Sistem Antrian... 7 2.5. Karakteristik Sistem Antrian... 9 2.5.1. Karakteristik Kedatangan... 9 2.5.2. Disiplin Antrian... 13 2.5.3. Fasilitas Pelayanan... 14 iv
2.6. Notasi Sistem Antrian... 16 2.7. Teori Antrian M/M/S... 18 2.8. Pembangkit Bilangan Acak... 20 2.8.1 Additive/Arithmetic RNG... 20 2.8.2. Multiplicate RNG... 21 BAB III SIMULASI KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/S... 24 3.1. Flowchart Penelitian... 24 3.2. Model Antrian... 25 3.3. Flowchart Simulasi... 26 3.3.1. Pembangkitan Bilangan Acak... 30 3.3.2. Waktu Kedatangan Paket... 31 3.3.3. Waktu Transaksi Paket... 32 3.3.4. Waktu Mulai Transaksi Paket... 32 3.3.5. Waktu Selesai Transaksi Paket... 33 3.3.6. Waktu Antri Paket... 34 3.3.7. Waktu Paket di dalam Sistem... 35 BAB IV ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/S... 36 4.1. Hasil Simulasi... 36 4.2. Hasil Analitik Matematik... 44 4.3. Perbandingan Analisis Hasil Simulasi dan Hasil Teori... 58 4.4. Selang Kepercayaan (Confidence Interval)... 70 4.4.1. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk WW qq... 72 4.4.2. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk EE tt... 73 4.4.3. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk WW ss... 73 v
4.4.4. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk LL qq... 73 4.4.5. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk L... 73 4.4.6. Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk LL ss... 74 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN... 75 5.1.Kesimpulan... 75 5.2.Saran... 76 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vi
DAFTAR GAMBAR 1. Gambar 2.1 Komponen Sistem Antrian... 7 2. Gambar 2.2 Model Sistem Pelayanan Single Channel Single Phase... 14 3. Gambar 2.3 Model Sistem Pelayanan Single Channel - Multi Phase... 15 4. Gambar 2.4 Model Sistem Pelayanan Multi Channel - Single Phase... 15 5. Gambar 2.5 Model Sistem Pelayanan Multi Channel - Multi Phase... 16 6. Gambar 2.6 Teori antrian M/M/S... 19 7. Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian Tugas Akhir... 24 8. Gambar 3.2 Model Antrian Tugas Akhir... 25 9. Gambar 3.3 Diagram Alir Simulasi Tugas Akhir... 27 10. Gambar 3.4 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak Metode LCG... 31 11. Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Kedatangan Paket... 31 12. Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket... 32 13. Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi... 33 14. Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi... 34 15. Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu Antri... 34 16. Gambar 3.10 Diagram Alir Waktu di Dalam Sistem... 35 17. Gambar 4.1 Simulasi Karakteristik Sistem Antrian M/M/5.... 40 18. Gambar 4.2 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq)... 59 19. Gambar 4.3 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam pelayanan (E(t)) 61 20. Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam sistem (Ws)... 62 21. Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)... 65 22. Gambar 4.6 Grafik Perbandingan Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)... 67 23. Gambar 4.7 Grafik Perbandingan Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)... 69 vii
DAFTAR TABEL 1. Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG... 36 2. Tabel 4.4 Waktu Kedatangan... 37 3. Tabel 4.3 Waktu Transaksi... 37 4. Tabel 4.4 Waktu Mulai... 38 5. Tabel 4.5 Waktu Selesai... 38 6. Tabel 4.6 Waktu Antri... 39 7. Tabel 4.7 Waktu Dalam Sistem... 39 8. Tabel 4.8 Hasil Simulasi untuk Jumlah Paket 10000... 42 9. Tabel 4.9 Hasil Simulasi untuk Jumlah Paket 15000... 43 10. Tabel 4.10 Hasil Simulasi untuk Jumlah Paket 20000... 44 11. Tabel 4.11 Hasil Perhitungan Teoritis untuk Jumlah Paket 10000... 48 12. Tabel 4.12 Hasil Perhitungan Teoritis untuk Jumlah Paket 15000... 53 13. Tabel 4.13 Hasil Perhitungan Teoritis untuk Jumlah Paket 20000... 57 14. Tabel 4.14 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq)... 58 15. Tabel 4.15 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam pelayanan (E(t))... 60 16. Tabel 4.16 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam sistem (Ws)... 62 17. Tabel 4.17 Perbandingan Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)... 64 18. Tabel 4.18 Perbandingan Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)... 66 19. Tabel 4.19 Perbandingan Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)... 68 viii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada kehidupan sekarang ini, semua orang ingin yang serba cepat dalam semua hal. Kegiatan yang dapat cepat dilakukan, maka akan berdampak pada penggunaan waktu yang cepat pula. Artinya bila seseorang dapat mempercepat kegiatannya, maka dia mampu menghemat waktu. Salah satu kegiatan yang membutuhkan kecepatan dan penghematan waktu adalah antrian. Antrian dapat dimodelkan dalam beberapa bentuk. Model antrian dapat dibentuk berdasarkan model pelayanan dan fasilitas pelayanan. Model pelayanan pada model antrian yaitu : Single Channel Single Phase, Single Channel Multi Phase, Multi Channel Single Phase, Multi Channel Multi Phase. Untuk fasilitas pelayanan nya, model antrian dapat memiliki lebih dari satu fasilitas pelayanan tergantung jenis dari model antriannya. Salah satu model antrian yaitu model antrian M/M/S. Model ini menggunakan model pelayanan Multi Channel Single Phase. Tugas Akhir membahas model antrian M/M/S, dimana M adalah Memorylessness yang memiliki laju kedatangan menggunakan distribusi Poisson, M berikutnya adalah Memoryless yang memiliki waktu pelayanan menggunakan distribusi Poisson. Pada tulisan ini akan dianalisis karakteristik model antrian M/M/S dengan melalui analisis sistematis dan simulasi kemudian kedua metode tersebut akan dibandingkan hasilnya. 1
1.2 Rumusan Masalah Dalam Tugas Akhir ini, dirumuskan beberapa permasalahan, yaitu: 1. Bagaimana model matematis antrian M/M/S 2. Menyimulasikan model antrian M/M/S 3. Bagaimana hasil perbandingan karakteristik antrian M/M/S secara sistematis dan simulasi. 1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian Tugas Akhir ini adalah untuk membandingkan hasil karakteristik model antrian M/M/S secara teori dan simulasi. 1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari Tugas Akhir ini adalah untuk mendapatkan perbandingan hasil karakteristik model antrian M/M/S apabila dilakukan dengan teori dan simulasi, serta pengertian dan penjelasan serta memperkaya ilmu pengetahuan tentang model antrian. 1.5 Batasan Masalah Mengingat luasnya topik yang dibahas pada model antrian ini, maka pembahasan dibatasi secara umum. Untuk memudahkan pembahasan, maka dibuat batasan masalah sebagai berikut: 1. Parameter input a = 65539, c = 839543, m = 2147483647, Z[0] =789134. 2. Panjang paket 10000 paket, 15000 paket, 20000 paket. 2
3. Utilisasi yang dihitung 0.4, 0.5, dan 0.6. 4. Server yang digunakan pada antrian ini sebanyak 5 5. Disiplin antrian FIFO 1.6 Metodologi Pembahasan Metodologi pembahasan yang dilakukan pada penelitian ini adalah : 1. Studi Literatur Studi kepustakaan dan kajian dari buku buku, jurnal, dan tulisan yang didapatkan dari layanan internet maupun perpustakaan. 2. Simulasi Melakukan simulasi data dengan menggunakan DEV C++ menggunakan bahasa C. 1.7 Modelatika Penulisan Untuk memudahkan pemahaman terhadap Tugas Akhir, maka dibuatlah modelatika penulisan, yaitu sebagai berikut : BAB I : PENDAHULUAN Bab ini merupakan pendahuluan yang berisi tentang latar belakang masalah, tujuan dan manfaat penulisan, batasan masalah, metode dan modelatika penulisan. BAB II : LANDASAN TEORI Bab ini membahas tentang model antrian, model antrian M/M/S dan parameter parameter yang terdapat pada model antrian M/M/S. 3
BAB III : SIMULASI MODEL ANTRIAN M/M/S Bab ini berisi tentang simulasi karakteristik dari model antrian M/M/S BAB IV : ANALISIS KARAKTERISTIK MODEL ANTRIAN M/M/S Bab ini berisi tentang perbandingkan hasil karakteristik model antrian M/M/S yang diperoleh dari simulasi dan perhitungan dengan menggunakan teori. BAB V : PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran dari hasil analisis. 4