Unit 4 MENYUSUN PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA Inawati Budiono Banyak orang yang berpendapat bahwa matematika itu adalah ilmu yang pasti. Masalah-masalah atau persoalan matematika dapat diselesaikan dengan prosedur yang jelas, terurut, dan saklek. Hal itu berbeda dengan ilmu-ilmu sosial pada umumnya. Dalam ilmu-ilmu sosial, untuk menyelesaikan suatu permasalahan tak ada prosedur pasti yang dapat digunakan. Benarkah pendapat itu? Benarkah permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan prosedur yang pasti? Terlepas benar tidaknya, sepertinya banyak orang yang setuju dengan pendapat tersebut. Termasuk guru-guru di sekolah mempercayainya. Baik guru-guru dari bidang ilmu-ilmu sosial ataupun para guru matematika sendiri mempercayai akan pendapat tersebut. Pertama, karena pengalaman mereka. Pengalaman semasa mereka menjadi siswa, mahasiswa, dan hingga menjadi guru. Mereka terbiasa dengan pembelajaran matematika yang prosedural, algoritmik, dan saklek. Pengalaman belajar matematika mereka membuktikan bahwa soal-soal atau permasalahan matematika itu hanya dapat diselesaikan dengan prosedur yang pasti. Sedangkan permasalahan ilmu-ilmu sosial tidak demikian. Kedua, karena mereka terpengaruh oleh teori-teori belajar kuno yang pernah mereka dapatkan semasa menempuh pendidikan. Pengaruh teori ini begitu membekas dalam diri mereka, Sama halnya seperti ilmu-ilmu sosial, permasalahan atau soal-soal dalam matematika pun secara garis besar dapat diklasifikasi menjadi menjadi dua bagian. Yang pertama adalah masalah-masalah matematika tetutup (closed problems). Dan yang kedua adalah masalahmasalah matematika terbuka (open problems). Yang selama ini muncul di permukaan dan banyak diajarkan di sekolah adalah masalahmasalah matematika yang tertutup (closed problems). Di mana memang dalam menyelesaikan masalah-maslah matematika tertutup ini, prosedur yang digunakannya sudah hampir bisa dikatakan standar alias baku. Akibatnya timbul persepsi yang agak keliru terhadap matematika. Matematika dianggap sebagai pengetahuan yang pasti, prosedural, dan saklek. Sementara itu, masalah-masalah matematika terbuka (open problems) sendiri hampir tidak tersentuh, hampir tidak pernah muncul dan disajikan dalam proses pembelajaran matematika di sekolah. Akibatnya Pemecahan Masalah Matematika 22
bila ada permasalahan matematika macam ini, soal atau permasalahan itu dianggap salah soal atau soal yang tidak lengkap. Secara sederhana, open problems sendiri dapat dikelompokkan menjadi dua bagian. Yakni open-ended problems dan pure open problems. Untuk open-ended problems sendiri dapat dikelompokkan menjadi dua bagian. Yakni: (1) problems dengan satu jawaban banyak cara penyelesaian; dan (2) problems dengan banyak cara penyelesaian juga banyak jawaban. Contoh 1: Seekor sapi yang diniatkan untuk dikurbankan berat nya 500 kg. Berat sapi ini sama dengan berat 20 orang anak-anak. Berapa rata-rata berat masing-masing anak? Soal ini termasuk closed problems karena dengan prosedur yang standar, yakni pembagian = 25, kita dengan pasti dapat menentukan rata-rata berat masing-masing anak. Dan ini jelas merupakan soal yang berupa satu cara dan satu jawaban. Makanya soal ini termasuk dalam kelompok closed problems. Soal di atas, dapat diubah menjadi sebuah soal yang termasuk dalam kelompok open-ended problems sehingga menjadi soal berikut ini. Seekor sapi yang berat nya 500 kg akan dikurbankan. Setara dengan berapa orang anakkah berat sapi tersebut? Soal ini termasuk dalam open-ended problems karena kita tidak secara pasti tahu prosedur untuk menjawab soal ini. Soal ini akan mengundang banyak cara dan juga banyak jawaban. Soal semacam ini amat jarang diberikan. Padahal, soal semacam ini menuntut kreativitas kita dalam menjawabnya. Soal semacam ini pun menuntut kita untuk berfikir lebih ketimbang hanya mengingat prosedur baku dalam menyelesaikan suatu masalah. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita tak dapat langsung begitu saja menjawabnya. Soal ini menuntut kita berpikir lebih cerdas. Menuntut kita untuk melakukan perencanaan sebelum mendapat jawaban. Soal ini menuntut kita agar dapat mengantisipasi berbagai kemungkinan jawaban. Pun mengantisispasi berbagai cara yang mungkin dilakukan untuk menjawabnya. Menurut Sawada (1997), bila open-ended problems diberikan pada para siswa di sekolah, setidaknya ada lima keuntungan yang dapat diharapkan: 1. Para siswa terlibat lebih aktif dalam proses pembelajaran dan mereka dapat mengungkapkan ide-ide mereka secara lebih sering. Para siswa tak hanya pasif menirukan cara yang dicontohkan gurunya. Pemecahan Masalah Matematika 23
2. Para siswa mempunyai kesempatan yang lebih dalam menggunakan pengetahuan dan keterampilan matematika mereka secara menyeluruh. Ya, mereka terlibat lebih aktif dalam menggunakan potensi pengetahuan dan keterampilan yang sudah dimiliki sebelumnya. 3. Setiap siswa dapat menjawab permasalahan dengan caranya sendiri. Ini artinya, tiap kreativitas siswa dapat terungkapkan. 4. Pembelajaran dengan menggunakan open-ended problems semacam ini memberikan pengalaman nyata bagi siswa dalam proses bernalar. 5. Ada banyak pengalaman-pengalaman (berharga) yang akan didapatkan siswa dalam bentuk kepuasan dalam proses penemuan jawaban dan juga mendapat pengakuan dari siswasiswa lainnya. Berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikannya merupakan ciri khas makhluk hidup yang berakal. Pemecahan masalah (problem solving) merupakan latihan bagi siswa untuk berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikan. Ini adalah salah satu kompetensi yang harus ditumbuhkan pada diri siswa. Kompetensi seperti ini ditumbuhkan melalui bentuk pemecahan masalah. Pembelajaran pemecahan masalah tidak sama dengan pembelajaran soal-soal yang telah diselesaikan (solved problems). Pada pemecahan masalah kita memberikan bekal kepada siswa berbagai teknik penyelesaian untuk menyelesaikan masalah. Strategi ataupun taktik untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini disebut heuristics, karena pada dasarnya pembelajar harus dapat menemukan sendiri. Terdapat berbagai strategi dalam pemecahan masalah, dari yang sederhana sampai strategi yang cukup kompleks. Diantaranya menerka dan menguji kembali, membuat daftar yang teratur, mengasumsikan jika sebagian dari masalah telah terselesaikan, menghapuskan beberapa kemungkinan, menyelesaikan masalah yang setara, menggunakan simetri, memperhatikan hal khusus, menggunakan alasan langsung, menyelesaikan sutau persamaan, melihat pola yang muncul, mengskets suatu gambar, memikirkan masalah sejenis yang telah diselesaikan, menyelesaikan masalah yang lebih sederhana, menyelesaikan masalah yang mirip, bekerja mundur dan menggunakan formula atau rumus. Menurut Polya ada 4 langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan masalah matematika, yaitu: 1. Memahami masalah yang ada a. Apakah kita mengetahui arti semua kata yang digunakan? Jika tidak carilah di indeks, kamus, definisi, dan lainnya b. Apakah kita mengetahui yang dicari atau ditanya? Pemecahan Masalah Matematika 24
c. Apakah kita mampu menyajikan masalah dengan menggunakan kata-kata sendiri? d. Apakah masalah dapat disajikan dengan cara lain? e. Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan? f. Apakah informasi cukup untuk menyelesaikan masalah? g. Apakah informasi berlebihan? h. Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari masalah? Menyusun suatu strategi. Jangan ragu-ragu untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah yang kita hadapi. Pada umumnya, strategi yang berhasil ditemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah satu langkah kecil untuk mencapai tujuan dalam pemecahan masalah. Melakukan strategi yang terpilih langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Disini hanya diperlukan kesabaran dan kehati-hatian untuk menjalankan strategi. Melihat kembali pekerjaan yang telah dilakukan. Selanjutnya, jika perlu menyusun strategi baru yang lebih baik atau menuliskan jawaban dengan lebih baik berada di langkah ini. Pada tahap ini ada empat langkah penting yang dapat dijadikan pedoman untuk melaksanakan langkah ini; a. Mencocokan hasil yang diperoleh dengan hal yang ditanya b. Menginterpretasikan jawaban yang diperoleh c. Mengidentifikasi adakah cara lain untuk mendapatkan penyelesaian masalah d. Mengidentifikasi adakah jawaban atau hasil lain yang memenuhi Di kelas, empat langkah ini dikenal nama macam-macam, antara lain: SEE PLAN DO CHECK atau KENALI SUSUN RENCANA LAKUKAN PERIKSA KEMBALI. Kemampuan pemecahan masalah ini akan terbantu perkembangannya kalau dalam diri siswa dipenuhi dengan berbagai macam strategi pemecahan masalah (Usaid;2006). Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang Pemecahan Masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu. Diantaranya penyelidikan dilakukan oleh Dodson (1971), Hollander (1974). Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus ditumbuhkan adalah: 1. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika; 2. Kemampuan mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi; 3. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar; 4. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan; 5. Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa; 6. Kemampuan untuk memvisualisasi dan mengimplementasi kuantitas atau ruang; Pemecahan Masalah Matematika 25
7. Kemampuan untuk memperumum (generalisasi) berdasarkan beberapa contoh; 8. Kemampuan untuk menganti metode yang telah diketahui; 9. Mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya. Selain kemampuan di atas, siswa mempunyai keadaan yang tentu untuk masa yang akan datang sehingga dengan percaya diri dapat mengembangkan kemampuan tersebut. Untuk mengembangkan kemampuan di atas, guru memberikan hal berikut: 1. Ajari siswa dengan berbagai strategi yang dapat digunakan untuk berbagai masalah; 2. Berikan waktu yang cukup untuk siswa mencoba masalah yang ada; 3. Ajaklah siswa untuk menyelesaikan masalah dengan cara lain; 4. Setelah masalah terselesaikan, ajaklah siswa untuk melihat kembali, melihat kemungkinan lain, mengatakan dengan bahasa mereka sendiri. John Dewey seorang ahli pendidikan berkebangsaan amerika yang dikutip Wina Sanjaya (2006:217) menjelaskan 6 langkah strategi pembelajaran bebasis masalah yang kemudian dinamakan metode pemecahan masalah (Problem Solving), yaitu; 1. Merumuskan masalah, yaitu langkah siswa dalam menentukan masalah yang akan dipecahkan. 2. Menganalisis masalah, yaitu langkah siswa meninjau masalah secara kritis dari berbagai sudut pandang. 3. Merumuskan hipotesis, yaitu langkah siswa merumuskan bebagai kemungkinan pemecahan yang sesuai dengan pengetahuan yang dimilikinya. 4. Mengumpulkan data, yaitu langkah siswa mencari dan menggambarkan informasi yang diperlukan untuk pemecahan masalah 5. Pengujian hipotesis, yaitu langkah siswa mengembil atau merumuskan kesimpulan sesuai dengan penerimaan dan penolakan hipotesis yang diajukan 6. Merumuskan rekomendasi pemecahan masalah, yaitu langkah siswa menggambarkan rekomendasi yang dapat dilakukan sesuai rumusan hasil pengujian hipotesis dan rumusan kesimpulan kemudian ajaklah untuk mencari penyelesaian dengan cara yang lebih baik. Jika kita berhadapan dengan masalah yang sulit, tidak berarti kita harus menghindar. Tetapi gunakan cukup waktu untuk mengulang dan mengerjakan masalah yang lebih banyak. Mulailah dengan mengerjakan masalah serupa, dan kemudian masalahmasalah yang menantang. 7. Fleksibelitas di dalam pemecahan masalah merupakan perilaku belajar yang baik. Pemecahan Masalah Matematika 26
Latihan 1. Soal-soal dalam matematika secara garis besar dapat diklasifikasi menjadi menjadi dua bagian, yaitu masalah-masalah matematika tertutup (closed problems) dan masalah-masalah matematika terbuka (open problems). Jelaskan (sertakan contoh soalnya) apa yang dimaksudkan dengan closed problems dan open problems. 2. Apa yang Saudara ketahui tentang open-ended problems? Jika open-ended problems diberikan kepada siswa, setidaknya ada lima keuntungan yang dapat diharapkan. Sebut dan jelaskan lima keuntungan tsb. 3. Menurut Polya ada empat langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan masalah matematika, silahkan Saudara uraikan ke empat langkah tersebut. Pemecahan Masalah Matematika 27