EKSISTENSI SOLUSI LOKAL DAN KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN Muhammad Abdulloh Mahin Manuharawati Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Matematika, Universitas Negeri Surabaya muhammad2104@gmailcom ABSTRAK Pada makalah ini dibuktikan teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan nilai awal, dimana fungsional memenuhi kondisi Lipschitz lokal domainnya Pada proses pembuktian teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan menggunakan teorema titik tetap Banach Selanjutnya, dibuktikan juga ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan nilai awal tersebut menggunakan teorema Gronwall yang tergeneralisasi Katakunci : Eksistensi solusi lokal, ketunggalan, Kondisi Lipschitz, Persamaan diferensial tundaan, ruang Banach 1 PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel variabel tak bebas derivatif derivatifnya terhadap variabel variabel bebas [1] Persamaan diferensial terus berkembang sehingga diklasifikasikan menjadi beberapa jenis di antaranya, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, sistem persamaan diferensial, persamaan diferensial linier nonlinier, persamaan diferensial orde-n Beberapa jenis persamaan diferensial di atas adalah kasus khusus dari persamaan diferensial fungsional yang didefinisikan sebagai berikut Diberikan dimana adalah ruang fungsi kontinu yang memetakan interval ke topologi yang diinduksi oleh fungsi jarak yang disebut norma Norma dari elemen dinotasikan adalah norma Euclide Dengan norma tersebut adalah ruang Banach [3] Selanjutnya, diberikan, didefinisikan fungsi baru,, persamaan diferensial fungsional didefinisikan, dimana, Persamaan diferensial digunakan menyelesaikan permasalahan yang dapat dimodelkan persamaan diferensial, sehingga muncul perkembangan konsep persamaan diferensial itu sendiri karena permasalahan permasalahan yang muncul semakin bervariasi Persamaan diferensial banyak membantu merepresentasikan bagaimana proses alam big biologi, pengobatan, dll, yang mana melibatkan tundaan waktu secara alami dari semua proses tersebut Ketika tundaan waktu tersebut diabaikan sama halnya mengabaikan unsur nyata dari proses alami tersebut Persamaan diferensial tundaan muncul sekitar tahun 1920 ketika Vito Volterra mengaplikasikan persamaan diferensial model mangsa pemangsa (predator prey model) populasi parasit tundaan waktu yaitu waktu yang diperlukan parasit menginfeksi inangnya Akan tetapi persamaan diferensial tundaan kurang menjadi perhatian dipelajarai sampai sekitar setengah abad kemudian, tahun 1963, Bellman Cooke mengarang buku Differential Difference Equations buku tersebut diakui buku formal mempelajari persamaan diferensial tundaan Setelah itu, Matematikawan lainnya, yaitu Jack Hale mempelajari persamaan diferensial tundaan lebih dalam kemudian sebelum tahun 1991, bersama Verduyn Lunel, Hale menulis buku teks pengantar persamaan diferensial tundaan [2] Persamaan diferensial tundaan merupakan kasus khusus dari persamaan diferensial fungsional yang dinotasikan Pada suatu permasalahan pasti tidak pernah lepas dari pertanyaan Oleh karena itu pertanyaan dalam tulisan ini adalah adakah solusi dari permasalahan tersebut, jika ada bagaimana sifat solusi permasalahan tersebut Berdasarkan pertanyaan tersebut makalah ini penulis mengkaji tentang eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan berikut simulasi suatu permasalahan persamaan diferensial tundaan sederhana Metode yang digunakan penulis makalah ini adalah metode studi pustaka Referensi utama penulis adalah dua buku yang berjudul Ordinary and
Delay Differential Equations oleh R D Driver Introduction to Delay Differential Equations oleh Sue Ann Campbell Dengan metode tersebut penulis ingin mengkaji tentang eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan masalah nilai awal yang diberikan menggunakan metode iterasi Charles Emile Picard yang mana teorema titik tetap Stefan Banach (Stefan Banach s fixed point theorem) memiliki peran penting dalam proses pembuktian Dengan begitu ada yang menjamin eksistensi solusi lokal yaitu solusi interval yang lebih kecil dari domain yang sebenarnya ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan suatu masalah nilai awalnya 2 DEFINISI DAN KONSEP DASAR Diberikan sebarang bilangan real, misalkan himpunan setiap, adalah norma euclide Himpunan yang dilengkapi norma euclide ini adalah ruang banach Selanjutnya, didefinisikan himpunan Definisi 1 Diberikan,, maka didefinisikan fungsi baru Definisi 2 Persamaan diferensial tundaan dimana adalah persamaan berbentuk Untuk suatu,, dimana Untuk selanjutnya notasi adalah notasi pasangan terurut dari fungsional Fungsi, setiap disebut sebagai fungsional oleh karena itu persamaan disebut sebagai persamaan diferensial fungsional Persamaan adalah acuan membahas persamaan diferensial tundaan menekankan fakta bahwa hanya nilai sekarang lampau dari yang terlibat dalam menentukan 3 MASALAH NILAI AWAL DAN LEMMA LEMMA PENTING Pembahasan eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan bab ini menggunakan masalah nilai awal persamaan diferensial tundaan Berikut ini definisi definisi solusi persamaan diferensial tundaan nilai awalnya Definisi 3 Fungsi adalah solusi dari persamaan jika ada sedemikian hinga, (i) (ii) dimana (iii) memenuhi Selanjutnya suatu yang diberikan, masalah nilai awal yang terkait persamaan diferensial tundaan adalah atau Definisi 4 Suatu persamaan linier adalah persamaan berbentuk dimana suatu fungsi yang diberikan operator linier setiap, yaitu dimana adalah suatu fungsi yang memenuhi, segkan adalah bilangan real Perlu diketahui bahwa, jika dimana adalah operator linier dalam semua maka adalah persamaan diferensial tundaan linier persamaan dikatakan persamaan diferensial tundaan homogen jika Definisi 5 Fungsi adalah solusi dari masalah nilai awal persamaan atau jika adalah solusi dari persamaan Lemma lemma berikut akan digunakan membahas eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan suatu nilai awal Lemma 1 Diberikan bilangan real Jika kontinu maka kontinu di setiap Bukti : Karena kontinu interval tertutup terbatas, maka kontinu seragam Oleh karena itu,, ada,,
, berlaku Karena kontinu seragam sehingga, berlaku, setiap Berdasarkan definisi sehingga kontinu setiap bilangan real Lemma 2 Diberikan dimana, fungsional kontinu Fungsi adalah solusi masalah nilai awal jika hanya jika, fungsi memenuhi Definisi 7 Fungsional dikatakan Lipschitz lokal (locally Lipschitz) jika setiap ada bilangan real adalah himpunan bagian dari Lipschitz Lemma berikut ini adalah perluasan dari Lemma Gronwall (Generalized Gronwall s ) atau Lemma Gronwall versi Reid yang akan digunakan pembuktian ketunggalan solusi persamaan diferensial tundaan Lemma 3 (Reid s Lemma) Diberikan konstanta fungsi kontinu tidak negatif interval Jika setiap fungsi kontinu berlaku Bukti : adalah solusi masalah nilai awal Berdasarkan Definisi 3, maka diketahui bahwa fungsi Oleh karena itu setiap berlaku maka semua Bukti : Kedua sisi dikalikan fungsi kontinu tidak negatif Karena kontinu maka persamaan kontinu berdasarkan Lemma 1 kontinu Persamaan adalah persamaan integral yang diminta, kata lain juga memenuhi persamaan,, memenuhi sehingga berlaku, maka pertidaksamaan faktor integrasi Kemudian jika dikalikan Berdasarkan aturan perkalian dari dua fungsi terdiferensialkan Karena berdasarkan Fundamental Theorem of Calculus sehingga sehingga juga solusi masalah nilai awal Mengintegralkan dari ke ingat bahwa, didapatkan Definisi 6 Fungsional dikatakan Lipschitz ada setiap jika Sehingga menghasilkan berdasarkan
Selanjutnya, kasus Dengan cara yang sama proses pembuktian kasus, kedua sisi dikalikan fungsi kontinu non negatif, Perhatikan bahwa menggantikan batas integral pertidaksamaan 4 EKSISTENSI SOLUSI LOKAL Pada pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa, mengkonstruksi himpunan baru yang termuat domain fungsional persamaan diferensial biasa sehingga Lipschitz diperlukan, karena tujuan pembuktiannya adalah menunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial biasa hanya ada himpunan baru tersebut, kata lain solusinya tidak terdefinisi semua domain dari fungsional persamaan diferensial biasa tersebut Teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa pembuktiannya telah dibahas buku teks [4] Perbedaan dari teorema eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa persamaan diferensial tundaan terletak definisi masalah nilai awalnya Pada persamaan diferensial biasa, nilai awalnya terdefinisi domain yang sama domain dari fungsionalnya Segkan persamaan diferensial tundaan, nilai awalnya didefinisikan domain yang berbeda dari fungsionalnya Karena aya perbedaan tersebut, pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan ada sedikit modifikasi di awal pembuktian secara garis besar proses selanjutnya memiliki ide yang sama pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa Perbedaan pembuktian ini secara spesifik terletak saat mendefinisikan fungsi kontinu yang memenuhi interval (tertutup terbatas) yang lampau fungsional terbatas saat membentuk batas dari fungsional suatu himpunan yang memenuhi Teorema 1 (Eksistensi Solusi Lokal) Diberikan sebarang bilangan real, Jika kontinu Lipschitz lokal domainnya, maka setiap, masalah nilai awal memiliki solusi suatu Bukti : Karena Lipschitz lokal, terlebih dahulu didefinisikan himpunan sedemikian hingga Lipschitz Berdasarkan definisi fungsi Lipschitz, pilih sebarang,, adalah himpunan bagian dari Lipschitz konstanta Lipschitz Selanjutnya, pendefinisian fungsi kontinu berikut ini pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa tidak diperlukan, karena persamaan diferensial biasa semua memiliki argumen yang sama sehingga pembuktiannya langsung membentuk suatu batas suatu himpunan yang memenuhi Segkan definisi fungsi kontinu berikut, mendefinisikan fungsi kontinu yang lampau atau sebarang sehingga pembentukan batas dari fungsional selanjutnya melibatkan fungsi kontinu lampau ini juga sekarang ( itu sendiri), yaitu Didefinisikan fungsi kontinu sehingga bergantung secara kontinu karena kontinu Oleh karena itu ada konstanta Untuk suatu didefinisikan Dipilih sedemikian hingga Dari titik ini seterusnya, pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial tundaan secara garis besar memiliki ide yang sama pembuktian eksistensi solusi lokal persamaan diferensial biasa buku teks ordinary and delay differential equations Dipilih himpunan semua fungsi kontinu Perhatikan bahwa, jika, maka Berdasarkan pertidaksamaan segitiga, Lipschitz, definisi, pernyataan bahwa, suatu konstanta Lipschitz Selanjutnya,
setiap didefinisikan fungsi Sehingga berlaku juga, Maka, karena, Fungsi adalah fungsi kontinu jadi Setelah membentuk himpunan dimana mendefinisikan fungsi, selanjutnya mengkonstruksi successive approximations sebagai berikut Dipilih sebarang kemudian dibentuk successive approximations berikut, jadi bahwa Untuk, Berdasarkan definisi dari, Successive approximations dapat dituliskan sebagai berikut Untuk, Terlihat bahwa pola dari perhitungan di atas adalah sebagai berikut, setiap, barisan fungsi Setelah mendefinisikan barisan fungsi, selanjutnya akan dibuktikan bahwa konvergen Dibentuk pengurangan dari dua barisan yang berurutan dari dituliskan sebagai Sehingga dapat suatu relasi berulang dari pengurangan dua barisan barisan Untuk setiap Relasi berulang dari barisan barisan adalah sebagai berikut, Pertidaksamaan dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan induksi matematika Sudah ditunjukkan bahwa memenuhi Selanjutnya menghitung pertidaksamaan Jadi terlihat bahwa perhitungan di atas hanya mengganti sehingga melengkapi pembuktian menggunakan induksi matematika Jadi terbukti bahwa barisan konvergen Hal ini jika dikaitkan memberikan Diketahui bahwa kontinu sehingga ada Perhatikan bahwa barisan dapat direpresentasikan dalam bentuk penjumlahan parsial sebagai berikut, Selanjutnya, berdasarkan Weierstrass M Test, konvergen seragam, dimana
sehingga barisan konvergen seragam Jelaslah bahwa kontinu Lebih lanjut lagi bahwa berlaku Jadi maka dimana Karena memenuhi Lipschitz lokal, maka ada himpunan berada di dalam Lipschitz konstan Lipschitz Berdasarkan Lemma 1 ada Lebih jauh lagi solusi dari Jadi, Berdasarkan definisi Lipschitz konstanta Lipschitz sehingga Selanjutnya Dengan mengambil limit Karena sisi kanan karena adalah fungsi naik, maka Sehingga Ini menyatakan bahwa memenuhi adalah titik tetap dari 5 KETUNGGALAN SOLUSI Pada pembahasan berikut ini akan dibahas ketunggalan solusi persamaan membuktikan teorema ketunggalan berikut ini Teorema 2 (Ketunggalan solusi) Diberikan bilangan real, fungsional Jika kontinu Lipschitz lokal domainnya, maka sebarang, ada solusi tunggal masalah nilai awal Bukti : Andaikan ada dua solusi suatu yaitu yang keduanya merupakan pemetaan ke,, pertidaksamaan Dengan menggunakan Generalized Gronwall s Lemma atau Reid s Lemma Sehingga ini bertentangan definisi Sehingga benar bahwa solusi persamaan tunggal 6 APLIKASI Setelah membahas eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi suatu masalah nilai awal persamaan diferenisal tundaan, sub-bab ini akan dimunculkan permasalahan diferensial tundaan yang kemudian akan diperiksa eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi suatu masalah nilai awal yang diberikan menggunakan Teorema 1 Teorema 2 Diberikan diberikan berbentuk Berikut ini adalah persamaan diferensial tundaan nilai awal yang diberikan,
Berdasarkan teorema eksistensi solusi lokal ketunggalan solusi, persamaan dikatakan memiliki solusi lokal jika merupakan Lipschitz Andaikan bahwa Lipschitz, sehingga ada berlaku oleh karena naik Diberikan,,, bilangan asli, sehingga Berdasarkan sehingga Menyatakan bahwa setiap bilangan asli, tidak ada yang memenuhi sehingga bukan Lipschitz Akan tetapi, mungkin memenuhi kondisi Lipschitz dimana tertutup terbatas, segkan himpunan, akan diperiksa apakah memenuhi kondisi Lipschitz suatu himpunan dari di, maka Misal, sehingga Berdasarkan definisi turunan, sehingga Karena berlaku sebarang menggunakan norma Euclide Akibatnya adalah Lipschitz suatu atau adalah Lipschitz lokal, sehingga Teorema 1 Teorema 2 berlaku semua jenis permasalahan berbentuk 7 KESIMPULAN Diberikan anggota bilangan real Persamaan diferensial tundaan, fungsi, memiliki solusi lokal tunggal suatu nilai awal jika fungsional kontinu memenuhi kondisi Lipschitz atau merupakan Lipschitz lokal himpunan setiap suatu bilangan real Untuk, DAFTAR PUSTAKA [1] Nugroho D Budi 2011 Persamaan Diferensial Biasa Aplikasinya (Penyelesaian Manual Menggunakan Maple) Yogyakarta Graha Ilmu Jadi kontinu terdiferensialkan Perhatikan bahwa setiap, naik Berdasarkan teorema nilai rata rata suatu yang memenuhi [2] Verdugo, Anael 2008 [note] Delay Differential Equations,(online) http://peoplemathcornel ledu/~pmeerkamp/appl-dyn- sem/notes/%5b 5bnotes%5d%20delay%20differential%20eq sem/notes/%5bnotes%5d%20dela uations%20-%20verdugopdf :
[3] Kenneth, DR Donsig, PA 2002 Real Analysis with Applications Toronto Prentice Hall [4] Driver, R D 1977 Ordinary and Differential Equations Springer verlag New York