MODUL PERKULIAHAN OSILASI Bagian- Fakultas Program Studi atap Muka Kode MK Disusun Oleh eknik eknik Elektro 3 MK4008, S. M Abstract Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik sederhana Kompetensi Setelah membaca modul ini, mahasiswa diharapkan mampu untuk: Memahami dan menyelesaikan permasalahan tentang energi pada Gerak Harmonik Sederhana yang terdiri atas Energi Kinetik dan Energi Potensial Memahami Bandul sebagai contoh partikel yang bergerak osilasi.
Osilasi 3. Energi pada Gerak Harmonik Sederhana Bila sebuah benda berosilasi pada sebuah pegas, energi kinetik benda dan energi potensial sistem benda-pegas berubah terhadap waktu, sementara jumlah kedua energi itu, yakni energi total, konstan (dengan menganggap tak ada gesekan). Energi potensial sebuah pegas dengan konstanta gaya k yang teregang sejauh x dari kesetimbangannya diberikan oleh Persamaan 9-0: EPelastik kx (3-) Energi kinetik sebuah benda bermassa m yang bergerak dengan kelajuan adalah: EK (3-) m Energi total adalah jumlah energi potensial dan energi kinetik: E total EP EK (3-3) kx m Ketika simpangan maksimum, x = A, kecepatan nol, dan energi total E total ka (3-4) Persamaan ini memberikan sifat umum penting yang dimiliki gerak harmonik sederhana: Energi total dalam gerak harmonik sederhana berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo. Kita dapat menunjukkan bahwa energi total untuk benda yang berosilasi pada sebuah pegas bernilai konstan dengan mensubstitusi pernyataan bagi x dan dalam Persamaan -5 dan -6 ke dalam Persamaan 3- dan 3- untuk energi potensial dan kinetik. Kita memperoleh: A t EP k cos atau EP ka cos t (3-5) dan EK m A sin t Dengan menggunakan k m dari Persamaan -9, energi kinetik dapat ditulis EK ka sin t (3-6) Dengan menjumlahkan energi potensial dan kinetik untuk memperoleh energi total, kita mendapatkan 0
E total ka ka ka cos cos t ka sin t t sin t di mana kita gunakan identitas trigonometri cos sin Bila dinyatakan dengan energi total, energi potensial dan kinetik pada gerak harmonik sederhana adalah: dan EP E total cos EK E total sin dengan t. Gambar 3-b dan c memperlihatkan grafik EP dan EK sebagai fungsi t untuk = 0. Kurva ini memiliki bentuk sama, kecuali bahwa EP maksimum ketika EK bernilai nol dan EP bernilai nol ketika EK maksimum. Nilai rata-rata kecuali energi untuk satu atau beberapa siklus bernilai sama, dan karena EP + EK = E total, nilai rata-rata ini diberikan oleh EP EK E Gambar 3-: Ploting grafik x dari EP dan EK terhadap t. rata rata ratarata total (3-7) Contoh : Sebuah benda 3 kg yang dihubungkan pada sebuah pegas berosilasi dengan amplitudo 4 cm dan periode s. (a) Berapakah energi total? (b) Berapakah kecepatan maksimum benda? Jawab: (a) Energi total adalah ka. Konstanta gaya pegas, k, berhubungan dengan periode melalui persamaan m k 0 3
sehingga m 4 3 kg k 9,6 N / m 4 s Oleh karena itu, energi totalnya adalah E total ka 9,6 N / m0,04 m,37 0 J (b) Energi total kita gunakan untuk mencari kecepatan maksimum. Ketika kelajuannya maksimum, energi potensial sama dengan nol dan energi total sama dengan energi kinetik saat itu: maks E total m,37 0 3 kg J 0,6 m / s Kita dapat mencari kelajuan maksimum dari Persamaan -b: maks A sin t A maks Dengan menggunakan (Persamaan -4), kita peroleh maks A 3,44 cm s,6 cm / s 0,6 m / s. Bandul Bandul Sederhana Contoh gerak osilasi yang terkenal ialah gerak osilasi bandul. Gerak bandul merupakan gerak harmonik sederhana hanya jika amplitudo geraknya kecil. Gambar 3- memperlihatkan bandul sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan beban bermassa m. Gaya yang bekerja pada beban adalah mg dan tegangan pada tali. Bila tali membuat sudut terhadap vertikal, berat memiliki komponen-komponen mg cos sepanjang tali dan mg sin tegak lurus tali dalam arah berkurangnya. Misalkan s sebagai panjang busur diukur dari dasar lingkaran. Pamjang busur dihubungkan ke sudut oleh s L (3-8) 0 4
Gambar 3-: Bandul sederhana. Gaya pada beban adalah beratnya mg dan tegangan. Komponen tangensial gaya total adalah mg sin = mg sin(s/l). Untuk simpangan kecil, gerak bandul mendekati gerak harmonik sederhana. Komponen tangensial percepatan benda adalah d s. Komponen tangensial hukum kedua Newton adalah atau d s F t mgsin m d s s g sin g sin (3-9) L Jika s jauh lebih kecil daripada s L, sudut = s L adalah kecil, dan kita dapat mendekati sin dengan sudut. Dengan menggunakan s L s L memperoleh: d s g L s Kita dapat melihat bahwa untuk sudut cukup kecil sehingga sin dalam Persamaan 3-9, kita akan (3-0a) sin berlaku, percepatan berbanding lurus dengan simpangan. Gerak bandul dengan demikian mendekati gerak harmonik sederhana untuk simpangan kecil. Persamaan 3-0a dapat ditulis dengan S d s (3-0b) 0 5
g (3-) L Penyelesaian Persamaan -0b adalah s s0 cos t, dengan s 0 adalah simpangan maksimum diukur sepanjang busur lingkaran. Periode gerak harmonik tersebut adalah L (3-) g Menurut Persamaan 3- makin panjang tali, makin besar periode, yang konsisten dengan pengamatan eksperimen. Perhatikan bahwa periode tidak bergantung pada massa. Hal ini berlaku karena gaya pemulih berbanding lurus dengan massa. Karena itu, percepatan a F m karena itu tak bergantung pada massa. Perhatikan bahwa frekuensi dan periode tak bergantung pada amplitudo osilasi, segi umum gerak harmonik sederhana. Seringkali gerak bandul sederhana lebih mudah dinyatakan dalam bentuk simpangan sudutnya. Dengan menggunakan s = L dalam Persamaan 3-9, kita akan memperoleh d L g sin atau d L g sin (3-3) L yang untuk kecil menjadi d g L Penyelesaian Persamaan 3-4 adalah (3-4) 0 cos t (3-5) dengan 0 s 0 L sebagai simpangan sudut maksimum. Kreteria gerak harmonik sederhana yang dinyatakan dalam besaran-besaran sudut ini adalah bahwa percepatan sudut harus berbanding lurus dengan simpangan sudut dan berlawanan arah seperti dalam Persamaan 3-4. Contoh : (a) Perkirakan panjang pendulum pada jam besar yang bedetak sekali setiap detik. (b) Berapa periode jam dengan pendulum yang panjangnya,0 m? Jawab: 0 6
(a) Jika kita menganggap jam berdetak sekali per siklus, maka periode =,0 s. Kita selesaikan dengan mempergunakan Persamaan 3- untuk mendapatkan L: L 4 g L g,0 s 9,8 m / s 0,5 m 4 (b) Dari Persamaan 3-, L. Jadi jika L empat kali lipat 4 0,5 m,0 m, maka akan 4 = kali lebih besar, atau,0 s. Bandul Fisis Sebuah benda tegas yang digantung dari suatu titik yang bukan merupakan pusat massanya akan berosilasi ketika disimpangkan dari posisi kesetimbangannya. Sistem seperti ini disebut bandul fisis. injaulah sebuah bangun datar yang digantung pada sebuah titik berjarak D dari pusat massanya dan disimpangkan dari kesetimbangan sebesar sudut seperti ditunjukkan dalam Gambar 3-3. orka terhadap titik gantung bernilai MgD sin dan cenderung mengurangi. Percepatan sudut dihubungkan dengan torka oleh d I I dengan I momen inersia di sekitar titik gantung. Dengan mensubstitusikan MgD sin untuk torka total, kita memperoleh Gambar 3-3: Bandul fisis. orka terhadap poros karena gaya gravitasi bernilai MgD sin dan cenderung merngurangi. atau d MgD sin I d MgD sin (3-6) I Untuk bandul sederhana, I = ML dan D = L, sehingga Persamaan 3-6 sama seperti Persamaan 3-3. Sekali lagi, gerak mendekati gerak harmonik sederhana jika simpangan sudutnya kecil sehingga aproksimasi sin berlaku. Dalam kasus ini, kita memperoleh 0 7
dengan d MgD I (3-7) I (3-8) MgD Bandul Puntir Gambar 3-4 memperlihatkan sebuah bandul puntir, yang terdiri dari benda yang digantung dengan kawat yang disangkutkan pada titik tetap. Bila dipuntir hingga sudut, kawat akan mengerjakan suatu torka pemulih yang sebanding dengan ; (3-9) Konstanta kesebandingan disebut konstanta puntir. Nilai konstanta itu dapat dicari dengan menerapkan torka yang diketahui untuk memuntir kawat dan mengukur simpangan sudut yang terjadi. Jadi I adalah momen inersia benda terhadap sumbu sepanjang kawat, hukum kedua Newton untuk gerak rotasi memberikan atau d I d I Gambar 3-4: Bandul puntir. (3-0) Persamaan 3-0 menjelaskan gerak harmonik sederhana dengan frekuensi sudut I. Periode gerak tersebut adalah I (3-) Perhatikan bahwa kita tidak melakukan aproksimasi sudut kecil. Gerak bandul puntir merupakan gerak harmonik sederhana sepanjang torka pemulih berbanding lurus dengan sudut puntiran. Hal seperti itu terjadi sepanjang batas elastik kawat untuk tegangan geser tidak terlampaui. Roda penyeimbang dalam jam merupakan bandul puntir seperti halnya timbangan puntir Cavendish. 0 8
.3 Soal Latihan. Corong pengeras suara bergetar dalam Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dengan frekuensi 6 Hz ( C tengah ). Amplitudo di pusat corong adalah A =,5 0-4 m, dan pada t = 0, x = A. (a) Bagaimana persamaan yang mendeskripsikan gerak di pusat corong? (b) Berapa kecepatan maksimum dan percepatan maksimumnya? (c) Bagaimana posisi corong pada t =,00 ms (=,00 0-3 )?. Massa 400 g bergetar menurut persamaan x 0,35sin5, 50t di mana x dalam meter dan t dalam detik. entukan (a) Amplitudo, (b) Frekuensi, (c) Periode, (d) Energi total, dan (e) EK dan EP ketika x = 0 cm. (f) Gambarkan grarik x terhadap t yang rinci dengan menunjukkan amplitudo dan periode yang benar. 3. Sebuah benda bermassa kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta gaya 40 N/m. Benda itu bergerak dengan kelajuan 5 cm/s ketika berada pada posisi kesetimbangannya. (a) Berapakah energi total benda? (b) Berapakah amplitudo gerak? [jawaban: (a) E = 0,065 J. (b) A = 5,59 cm] 4. Sebuah pegas (Gambar 3-5a) meregang 0,50 m ketika massa 0,300 kg digantungkan padanya (Gambar 3-5b). Pegas kemudian diregangkan 0,00 m dari titik setimbang ini, dan dilepaskan. entukan (a) konstanta pegas, k, (b) amplitudo osilasi A, (c) kecepatan maksimum 0, (d) besar kecepatan, ketika massa berada 0,050 m dari kesetimbangan, dan (e) besar percepatan maksimum massa tersebut. 5. Untuk osilator harmonis sederhana dari Soal Latihan 4, tentukan (a) Energi total, dan (b) Energi kinetik dan potensial pada setengah amplitudo x A. 6. Sebuah benda bermassa kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta gaya 40 N/m. Benda itu bergerak dengan kelajuan 5 cm/s ketika berada pada posisi kesetimbangannya. (a) Berapakah energi total benda? (b) Berapakah amplitudo gerak? [Jawaban: (a) E = 0,065 J. (b) A = 5,59 cm] Gambar 3-5: Soal Latihan 4. 7. Benda 4 kg digantung pada sebuah pegas dengan konstanta gaya k = 00 N/m. (a) 0 9
Carilah regangan y 0 pegas ketika dalam kesetimbangan. (b) Carilah energi potensial total, termasuk energi potensial gravitasi, ketika pegas diregang cm dari kesetimbangan (asumsikan EP = 0 pada y y0 ) (c) Carilah periode osilasi. [Jawaban: (a) 9,6 cm, (b),44 J, (c) 0,889 s] 8. Pendulum jam berosilasi dengan frekuensi,0 Hz. Pada t = 0, pendulum dilepaskan dari keadaan diam dengan sudut 5 terhadap vertikal. Dengan mengabaikan gesekan, di mana posisi (sudut) pendulum pada (a) t = 0,5 s, (b) t =,60 s, dan (c) t = 500 s? [Petunjuk: Jangan kacaukan sudut ayunan dari pendulum dengan sudut yang muncul sebagai argumen cosinus] Daftar Pustaka [] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. (00). Fundamental of Physics Extended. Jilid. 9 th ed. NY. John Wiley & Sons. [] Giancoli. (00). Fisika. Jilid. 5 th ed., Jakarta, Erlangga [3] Giancoli. (03). Physics Principles With Applications. Jilid. 7 th ed. NY. Pearson. [4] ripler. (00). Fisika Untuk Sains dan eknik. Jilid. 3 rd ed. Jakarta: Erlangga [5] ripler, Paul A & Gene Mosca. (008). Physics For Scientists and Engineers. 6 th ed. NY: W. H. Freeman and Company 0 0