APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENJADWALAN PERKULIAHAN DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNWIDHA KLATEN Tasari* Abstrak : Tujuan penelitian ini adalah untuk mengaplikasikan pewarnaan graf pada penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Setelah data diperoleh dari literatur utama maupun literatur pendukung, selanjutnya dianalisis untuk mengetahui aplikasi pewarnaan graf pada penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. Kesimpulan dari penelitian ini adalah pewarnaan graf dapat diaplikasikan pada penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. Pada penelitian ini hanya diambil satu semester sebagai sampel, yaitu semester genap. Dalam pewarnaan grafnya harus memperhatikan beberapa komponen-komponen penting yang berhubungan erat dengan penjadwalan perkuliahan, antara lain banyaknya tingkatan semester, banyaknya kelas, banyaknya matakuliah, dan banyaknya waktu yang tersedia dalam perkuliahan (hari dan jam matakuliah). Kata kunci: Pewarnaan Graf, Penjadwalan Perkuliahan PENDAHULUAN Salah satu cabang ilmu matematika adalah teori graf. Pada teori graf diberikan model matematika untuk setiap himpunan dari sejumlah obyek diskrit, dimana beberapa pasangan unsur dari himpunan tersebut terikat menurut suatu aturan tertentu. Obyek diskrit dari himpunan tersebut misalnya dapat berupa orang-orang dengan aturan kenal, atau juga himpunan nama kota dengan aturan jalan yang menghubungkan antara kota satu ke kota yang lain. Saat ini teori graf semakin berkembang dan menarik karena keunikan dan banyak sekali penerapannya. Keunikan teori graf adalah kesederhanaan pokok bahasan yang dipelajarinya, karena dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan sisi (edge). Pewarnaan titik pada graf adalah pemberian warna untuk setiap titik pada graf sehingga tidak ada dua titik yang terhubung langsung berwarna sama. Sedangkan pewarnaan sisi-k untuk G adalah pemberian k warna pada sisi-sisi G sedemikian hingga setiap dua sisi yang bertemu pada titik yang sama mendapatkan warna berbeda. Pewarnaan graf mempunyai penerapan yang cukup luas, salah satuya adalah Penjadwalan Perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. Dimana pada Prodi Pendidikan Matematika ada beberapa tingkatan semester, mulai semester satu sampai semester delapan. Tujuan penjadwalan adalah untuk memperoleh kemungkinan waktu dan tempat yang paling efisien. Bagaimana mengatur jadwal kuliah * Staf Pengajar Prodi Pendidikan Matematika FKIP UNWIDHA Klaten 70 Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012
untuk beberapa semester yang ada agar waktu yang diperlukan dan tempat yang digunakan untuk kuliah tidak saling tumpang tindih. Selain itu juga, bagaimana agar jadwal yang ada tidak melebihi dari waktu atau jam kuliah yang telah ditetapkan. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah studi literature. Buku-buku yang dijadikan sebagai acuan pada penelitian ini antara lain Matematika Diskrit, Graph an Introductiory Approach. Disamping itu juga digunakan data-data dari Prodi Pendidikan Matematika seperti sebaran matakuliah, tingkatan semester yang ada, ruang kuliah yang ada. Setelah data diperoleh dari literatur utama maupun literatur pendukung, selanjutnya dianalisis untuk mengetahui aplikasi pewarnaan graf pada penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. PEMBAHASAN 1. Kurikulum S1 Pendidikan Matematika Unwidha Klaten Guna menyelesaikan studi S1 pada Prodi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten setiap mahasiswa reguler harus menempuh 159 SKS. Di bawah ini disajikan semua matakuliah yang ditempuh bagi mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika. 1. Mata Kuliah Dasar Umum No. Kode MK Nama Matakuliah SKS Kelompok 1. MKU 4020 Pendidikan Agama 2 MPK 2. MKU 4010 Pendidikan Pancasila 2 MPK 3. MKU 4050 Bahasa Inggris I 2 MPK 4. MKU 4060 Bahasa Inggris II 2 MPK 5. MKU 4110 Komputer Dasar 2 MPK 6. MKU 4040 Bahasa Indonesia 2 MPK 7. MKU 4070 Ilmu Sosial Budaya Dasar 2 MPK 8. KIP 4010 Pengantar Pendidikan 2 MKK 9. KIP 4020 Psikologi Pendidikan 2 MKK 10. KIP 4030 Belajar dan Pembelajaran 2 MKK 11. KIP 4040 Bimbingan dan Konseling 2 MKK 12. KIP 4050 Profesi Kependidikan 2 MKK 13. KIP 4060 Administrasi Pendidikan 2 MKK 14. MKU 4030 Pend. Kewarganegaraan 2 MPK 15. MKU 4100 Kewirausahaan 2 MPK 2. MATA KULIAH INTI No. Kode MK Nama Matakuliah SKS Kelompok 1. MAT 4011 Kalkulus I 2 MKB 2. MAT 4021 Fisika Dasar I 3 MKB 3. MAT 4031 Kimia Dasar I 3 MKB 4. MAT 4040 Biologi Umum 3 MKB 5. MAT 4050 Peng. Dasar Matematika 2 MKB 6. MAT 4060 Trigonometri 2 MKB 7. MAT 4012 Kalkulus II 2 MKB 8. MAT 4022 Fisika Dasar II 3 MKB 9. MAT 4032 Kimia Dasar II 3 MKB 10. MAT 4070 Pengetahuan Lingkungan 3 MKB 11. MAT 4081 Aljabar I 2 MKB 12. MAT 4090 Teori Bilangan 2 MKB 13. MAT 4082 AljabarII 2 MKB 14. MAT 4100 Aljabar Matriks 2 MKB 15. MAT 4110 Geometri 2 MKB 16. MAT 4121 Kalkulus Lanjut I 2 MKB 17. MAT 4131 Komputer Program I 2 MBB 18. MAT 4340 Interaksi Belajar Mengajar 2 MKB 19. MAT 4350 Strategi Belajar Mengajar 2 MKB 20. MAT 4140 Program Linier 2 MKB Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012 71
21. MAT 4132 Komputer Program II 2 MBB 22. MAT 4151 Geometri Analitik I 2 MKB 23. MAT 4161 Statistika Dasar I 2 MKB 24. MAT 4170 Matematika Diskrit 2 MKB 25. MAT 4122 Kalkulus Lanjut II 2 MKB 26. MAT 4180 Matematika Ekonomi 2 MKB 27. MAT 4360 Perencanaan Pengajaran 2 MKB Matematika 28. MAT 4370 Evaluasi Proses dan Hasil 2 MKB Belajar 29. MAT 4191 Aljabar Linier I 2 MKB 30. MAT 4200 Riset Operasi 2 MKB 31. MAT 4152 Geometri Analitik II 2 MKB 32. MAT 4210 Persamaan Diferensial Biasa 2 MKB 33. MAT 4221 Struktur Aljabar I 2 MKB 34. MAT 4162 Statistika Dasar II 2 MKB 35. MAT 4231 Telaah Kurikulum Mat. SMA I 2 MKB 36. MAT 4240 Metode Numerik 2 MKB 37. MAT 4133 Komputer Program III 2 MKB 38. MAT 4300 Micro Teaching 2 MBB 39. MAT 4490 Program Pengalaman 2 MPB Lapangan 40. MAT 4250 Geometri Transformasi 2 MKB 41. MAT 4232 Telaah Kurikulum Mat SMA II 2 MKB 42. MAT 4222 Struktur Aljabar II 2 MKB 43. MAT 4134 Komputer Program IV 2 MBB 44. MAT 4261 Statistika Matematika I 2 MKB 45. MAT 4390 Seminar Matematika 2 MPB 46. MAT 4400 Metodologi Penelitian 2 MKB 47. MAT 4000 Kuliah Kerja Lapangan 2 MBB 48. MAT 4192 AljabarLinier II 2 MKB 49. MAT 4470 KKN/KKT 3 MPB 50. MAT 4262 Statistika Matematika II 2 MKB 51. MAT 4301 Analis Real I 2 MKB 52. MAT 4311 Analisis Kompleks I 2 MKB 53. MAT 4302 Analisis Real II 2 MKB 54. MAT 4312 Analisis Kompleks II 2 MKB 55. MAT 4500 Skripsi 6 MPB 3. Mata Kuliah Pilihan No. Kode MK Nama Mata Kuliah SKS Kelompok 1. MAT 4270 Model Matematika 2 MKB 2. MAT 4220 Persamaan Diferensial Parsial 2 MKB 3. MAT 4281 Telaah Kurikulum 2 MKB Matematika SD I 4. MAT 4291 Telaah Kurikulum 2 MKB Matematika SMP I 5. MAT 4320 Rancangan Percobaan 2 MKB 6. MAT 4282 Telaah Kurikulum 2 MKB Matematika SD II 7. MAT 4292 Telaah Kurikulum 2 MKB Matematika SMP II 8. MAT 4330 Masalah Nilai Awal dan 2 MKB Syarat Batas 2. Keterbatasan Ruang dan Waktu Dalam melaksanakan perkuliahan Program Studi Pendidikan Matematika dialokasikan menempati 3 ruang (non laboratorium) yakni ruang G.1.2, G.1.4, dan G.1.5 dan waktu perkuliahan efektif hanya lima hari yaitu Senin sampai Jum at. Batasan waktu dalam setiap harinya adalah dari pukul 07.30 WIB sampai dengan pukul 15.40 WIB. Sedangkan jumlah kelas yang ada lebih banyak dibandingkan dengan jumlah ruangan yang disediakan, yaitu ada sebanyak sebelas kelas. Semua itu adalah semester I/II ada tiga kelas, semester III/IV ada tiga kelas, semester V/VI ada tiga kelas, dan semester VII/VIII ada dua kelas. Dengan demikian jelas terlihat bahwa kebutuhan akan ruang perkuliahan sangat besar. Dalam pembahasan ini, peneliti hanya mengambil sampel sebanyak lima dari sebelas kelompok kelas dalam tiap semesternya untuk mempermudah pembahasan. 72 Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012
GAMBAR GRAF PENJADWALAN Pada Program Studi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten, terdapat dua semester dalam tiap tahunnya, yaitu semester gasal dan genap. Untuk masing-masing tingkatan yang masih aktif melakukan perkuliahan ada empat tingkatan, pada semester gasal yaitu semester I, III, V, dan VII. Pada semester genap yaitu semester II, IV, VI, dan VIII. Karena banyaknya tingkatan semester dan terbatasnya ruang perkuliahan, sedangkan hari efektif perkuliahan adalah Senin hingga Jum at, maka diperlukan penjadwalan yang paten atau konsisten agar tidak terjadi tumpang tindih ruang ataupun waktu dalam proses perkuliahan. Waktu perkuliahan untuk setiap harinya adalah pukul 07.30-15.40 WIB. Waktu perkuliahan kuliah tersebut adalah: 1. Pukul 07.30 09.10 WIB Dari gambar graf di atas, untuk masingmasing semester mempunyai jadwal kuliah mulai hari Senin sampai dengan hari Jum at. Demikian pula dengan ruang perkuliahan, masing-masing semester mempunyai ruang kuliah di gedung G.1.2, G.1.4 dan G.1.5. Jika dua sisinya bertemu pada titik yang sama, maka perkuliahan tidak dapat dilakukan secara serempak atau bersamasama. b. Graf antara Banyaknya Matakuliah per Semester, Banyaknya Hari dan Banyaknya Ruang Kuliah Sebagaimana telah disampaikan di atas tentang matakuliah yang harus ditempuh sesuai dengan sebaran matakuliah tiap semester, maka yang dapat digambarkan adalah sebagai berikut: 2. Pukul 09.20 11.00 WIB 3. Pukul 11.10 12.50 WIB 4. Pukul 14.00 15.40 WIB Penjadwalan kuliah tersebut dilakukan dengan terlebih dahulu mengekspresikan seluruh obyek atau komponen yang ada dalam bentuk graf. a. Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari dan Banyaknya Ruang Kuliah Contoh graf antara banyaknya tingkatan semester, banyaknya hari dan banyaknya ruang kuliah adalah sebagai berikut: Gbr. 2. Graf antara Banyaknya Matakuliah per Semester, Banyaknya Hari, dan Banyaknya Ruang Kuliah Dari gambar graf di atas, ketiga jenis matakuliah A, B, dan C masing-masing menempati ruang G.1.2, G.1.4, dan G.1.5. Untuk masing-masing matakuliah mempunyai jadwal kuliah mulai hari Senin sampai dengan hari Jum at. c. Pewarnaan Graf dalam Penjadwalan Gbr. 1. Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari, dan Banyaknya Ruang Kuliah Pewarnaan yang digunakan pada graf penjadwalan ini yaitu pewarnaan sisi. Pewarnaan sisi yaitu pemberian warna pada sisisisi suatu graf sedemikian hingga setiap dua sisi yang bertemu pada titik yang sama mendapatkan Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012 73
warna berbeda. Kemudian dari pewarnaan tersebut dicari bilangan kromatiknya, yaitu banyaknya warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai sisi. Penjadwalan diambil hanya untuk semester genap. Berdasarkan graf pada gambar 1 dapat dikatakan bahwa apabila terdapat dua sisi bertemu pada titik yang sama, maka kuliah tidak dapat dilakukan pada hari dan ruang yang sama. Warna-warna yang berbeda dapat diberikan pada sisi graf yang menunjukkan bahwa jadwal kuliahnya tidak bersamaan pada hari dan tempat yang sama. Diinginkan jadwal kuliah seefisien mungkin untuk memudahkan pelaksanaannya. Jadi harus ditentukan bilangan kromatik grafnya. Jadi gambar grafnya adalah seperti berikut: Jadi minimal bisa diwarnai dengan empat warna sehingga bilangan kromatiknya (G) = 4. Warna 1 untuk (IIA, G1.2), (IIB, G1.4) dan (IVB, G1.5) Warna 2 untuk (IIA, G1.4), (IIB, G1.2) dan (VIA, G1.5) Warna 3 untuk (IVA, G1.2) dan (IVB, G1.4) Warna 4 untuk (IVA, G1.4) dan (VIA, G1.2) 2) Hari Selasa Gambar 5. Pewarnaan sisi Graf Semester Genap Hari Selasa Gbr. 3. Pewarnaan sisi Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari dan Banyaknya Ruang Kuliah a) Pewarnaan Harian 1) Hari Senin Jadi minimal bisa diwarnai dengan tiga warna sehingga bilangan kromatiknya (G) = 3. Warna 1 untuk (IIA, G.1.4), (IIB, G.1.2) dan (VIA, G.1.5) Warna 2 untuk (IIA, G.1.2), (IIB, G.1.4) dan (IVA, G.1.5) Warna 3 untuk (IVA, G.1.4) dan (IVB, G.1.2) Gbr. 4. Pewarnaan sisi Graf Smt.r Genap Hari Senin 74 Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012
3) Hari Rabu Warna 1 untuk (IIA, G1.4), (IIB, G1.2) dan (IVA, G1.5) Warna 2 untuk (IIA, G1.2), (IIB, G1.4) dan (IVB, G1.5) Gambar 6. Pewarnaan sisi Graf Semester Genap Hari Rabu Warna 3 untuk (IVA, G1.2), (IVB, G1.4) dan (VIA, G1.5) Warna 4 untuk (IVB, G1.2) dan (VIA, G1.4) 5) Hari Jum at Jadi minimal bisa diwarnai dengan empat warna sehingga bilangan kromatiknya (G) = 4. Warna 1 untuk (IIA, G1.2), (IIB, G1.4) dan (IVA, G1.5) Warna 2 untuk (IIA, G1.4), (IIB, G1.2) dan (IVB, G1.5) Warna 3 untuk (IVA, G1.2), (IVB, G1.4) dan (VIA, G1.5) Warna 4 untuk (VIA, G1.4) 4) Hari Kamis Gambar 8. Pewarnaan sisi Graf Semester Genap Hari Jum at Jadi minimal bisa diwarnai dengan tiga warna sehingga bilangan kromatiknya (G) = 3. Warna 1 untuk (IIA, G1.2), (IIB, G1.4) dan (VIA, G1.5) Warna 2 untuk (IIA, G1.4), (IIB, G1.2) dan (IVA, G1.5) Warna 3 untuk (IVA, G1.2) dan (IVB, G1.4) b) Pewarnaan berdasarkan Jam Matakuliah 1) Hari Senin Gambar 7. Pewarnaan sisi Graf Semester Genap Hari Kamis Jadi minimal bisa diwarnai dengan empat warna sehingga bilangan kromatiknya (G) = 4. Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012 75
3) Hari Rabu Gambar 9. Graf Jadwal Kuliah Semester Genap Hari Senin 2) Hari Selasa Gambar 11. Graf Jadwal Kuliah Semester Genap Hari Rabu 4) Hari Kamis Gambar 10. Graf Jadwal Kuliah Semester Genap Hari Selasa Gambar 12. Graf Jadwal Kuliah Semester Genap Hari Kamis 76 Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012
5) Hari Jum at PEMBAHASAN Dari hasil pewarnaan graf antara banyaknya tingkatan semester, banyak hari, dan banyaknya ruang kuliah yaitu dengan membagi pewarnaan tersebut dari pewarnaan dalam satu minggu menjadi pewarnaan harian hingga pewarnaan berdasarkan jam matakuliah, maka bilangan kromatik yang diperoleh semakin kecil. Hal tersebut karena derajat titik graf akan semakin berkurang, di mana banyaknya minimum pewarnaan atau bilangan kromatik graf bipartit adalah derajat terbesar titik yang dimiliki oleh graf, sebagaimana yang telah dijelaskan dalam teorema Konig. Gambar 13. Graf Jadwal Kuliah Semester Genap Hari Jum at Pewarnaan sisi berdasarkan jam matakuliah pada masing-masing gambar graf di atas yaitu setiap sisinya tidak mempunyai hubungan dengan sisi yang lain. Dengan demikian cukup diwarnai dengan satu warna saja, sehingga = 1 Penjadwalan kuliah semester genap mulai dari hari Senin sampai dengan hari Jum at menunjukkan bahwa untuk semester II hanya kuliah pada pukul 09.20 12.50 WIB. Sedangkan untuk semester IV dan VI mulai pukul 07.30 15.40 WIB. Untuk semester II masing-masing kelas ada sembilan pertemuan yang sesuai dengan jumlah matakuliah beserta bobot semester yang ditempuh, semester IV ada duabelas pertemuan untuk masing-masing kelas dan semester VI ada duabelas pertemuan. Maksimal untuk tiga ruang kelas perkuliahan pada masing-masing jam ditempati satu semester. Pada semester genap, dalam seminggu hanya terpakai selama lima hari dari hari Senin sampai dengan Jum at untuk perkuliahan. Masing-masing jam perkuliahan hampir semua penuh. Dengan demikian, jadwal yang terbentuk dari hasil pewarnaan graf adalah lima hari aktif dalam seminggu terpakai untuk jam perkuliahan mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika Unwidha Klaten. SIMPULAN Dalam pewarnaan graf harus memperhatikan beberapa komponen penting yang berhubungan erat dengan penjadwalan kuliah, antara lain banyaknya tingkatan semester, banyaknya kelas, banyaknya matakuliah, dan banyaknya waktu yang tersedia dalam perkuliahan (hari dan jam matakuliah). Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012 77
Pewarnaan graf di atas yaitu pewarnaan antara banyaknya tingkatan semester, banyak hari, dan banyaknya ruang kuliah. Hasil pewarnaan grafnya diperoleh bilangan kromatik yang semakin kecil. Pada semester genap, dalam seminggu hanya terpakai selama lima hari yakni hari Senin sampai dengan Jum at untuk perkuliahan. Masing-masing jam perkuliahan hampir semua penuh. Dari hasil pewarnaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa minimal ada tiga ruang kelas untuk perkuliahan, dengan lima hari perkuliahan (Senin- Jum at) dimulai dari pukul 07.30-15.40 WIB. DAFTAR PUSTAKA Lipschutz, Seymour dan Lipson, Marc Lars (diterjemahkan oleh Tim Editor Penerbit Salemba Teknika). Matematika Diskrit 2. Jakarta: Salemba Teknika Munir, Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung Murty dan Bondy. 1976. Graph Theory with Applications. Canada: The Macmillan Press LTD Tim Penyusun. 2006. Pedoman Akademik 2006/2009 Universitas Widya Dharma Klaten. Klaten: UNWIDHA Wilson, Robin J dan Watkins, John J (diterjemahkan oleh Dra. Theresia MH Tirta Seputro, M.Pd). 1990. Graph An Introductory Approach. Canada: Wiley. 78 Magistra No. 82 Th. XXIV Desember 2012