Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Pertama y 1 = v 1, panjang vektor ini satu. v 1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Pertama y 1 = v 1, panjang vektor ini satu. v 1 Selanjutnya, kita akan mencari vektor y 2 = v 2 + αv 1 yang panjang 1 dan orthogonal terhadap y 1 atau v 1. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Pertama y 1 = v 1, panjang vektor ini satu. v 1 Selanjutnya, kita akan mencari vektor y 2 = v 2 + αv 1 yang panjang 1 dan orthogonal terhadap y 1 atau v 1. Jadi y 2, v 1 = 0 v 2 + αv 1, v 1 = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Pertama y 1 = v 1, panjang vektor ini satu. v 1 Selanjutnya, kita akan mencari vektor y 2 = v 2 + αv 1 yang panjang 1 dan orthogonal terhadap y 1 atau v 1. Jadi atau α = v 2,v 1 v 1 2. y 2, v 1 = 0 v 2 + αv 1, v 1 = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Misalkan S subhimpunan di V, kita akan mencari basis di span (S) yang bersifat orthogonal. Misalkan S = {v 1, v 2, v 3 }, sekali lagi kita akan mencari basis di span (S). Kita dapat anggap bahwa v i = 0 setiap i. Pertama y 1 = v 1, panjang vektor ini satu. v 1 Selanjutnya, kita akan mencari vektor y 2 = v 2 + αv 1 yang panjang 1 dan orthogonal terhadap y 1 atau v 1. Jadi atau α = v 2,v 1 v 1 2. y 2, v 1 = 0 v 2 + αv 1, v 1 = 0 Panjang y 2 2 = 1 atau y 2 = v 2+αv 1 v 2 +αv 1 2. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 13

Perhatikan bahwa span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 13

Perhatikan bahwa span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } Sekarang, kita akan mencari vektor y 3 = v 3 + αv 1 + βv 2 dengan y 3 orthogonal terhadap y 1 (v 1 ) dan y 2 (v 2 ). Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 13

Perhatikan bahwa span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } Sekarang, kita akan mencari vektor y 3 = v 3 + αv 1 + βv 2 dengan y 3 orthogonal terhadap y 1 (v 1 ) dan y 2 (v 2 ). Jadi y 3, v 1 = v 3 + αv 1 + βv 2, v 1 = 0 y 3, v 2 = v 3 + αv 1 + βv 2, v 2 = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 13

Perhatikan bahwa span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } Sekarang, kita akan mencari vektor y 3 = v 3 + αv 1 + βv 2 dengan y 3 orthogonal terhadap y 1 (v 1 ) dan y 2 (v 2 ). Jadi y 3, v 1 = v 3 + αv 1 + βv 2, v 1 = 0 y 3, v 2 = v 3 + αv 1 + βv 2, v 2 = 0 Hasilnya y 3 = v 3 v 3, v 1 v 1 2 v 1 v 3, v 2 v 2 2 v 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 13

Kita sudah mempunyai span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 13

Kita sudah mempunyai span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } dan juga span {v 1, v 2, v 3 } = span {y 1, y 2, y 3 } Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 13

Kita sudah mempunyai span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } dan juga dan tentu saja span {v 1, v 2, v 3 } = span {y 1, y 2, y 3 } span {v 1 } = span {y 1 } Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 13

Kita sudah mempunyai span {v 1, v 2 } = span {y 1, y 2 } dan juga dan tentu saja span {v 1, v 2, v 3 } = span {y 1, y 2, y 3 } span {v 1 } = span {y 1 } demikian seterusnya. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 13

Theorem Misalkan S = {v 1, v 2,..., v k } himpunan orthonormal di V, dan y span (S), maka y = k j=1 y, v j v j Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 13

Theorem Misalkan S = {v 1, v 2,..., v k } himpunan orthonormal di V, dan y span (S), maka Karena y span (S), maka y = k j=1 y, v j v j y = α 1 v 1 +... + α k v k Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 13

Theorem Misalkan S = {v 1, v 2,..., v k } himpunan orthonormal di V, dan y span (S), maka Karena y span (S), maka Kemudian, dengan menghitung y = k j=1 y, v j v j y = α 1 v 1 +... + α k v k y, v i = α 1 v 1, v i +... + α i v i, v i +... + α k v k, v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 13

Theorem Misalkan S = {v 1, v 2,..., v k } himpunan orthonormal di V, dan y span (S), maka Karena y span (S), maka Kemudian, dengan menghitung Jadi α i = y, v i. y = k j=1 y, v j v j y = α 1 v 1 +... + α k v k y, v i = α 1 v 1, v i +... + α i v i, v i +... + α k v k, v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 13

Corollary Misalkan V ruang hkd dan β = {v 1,..., v n } basis orthonormal di V. Jika T : V V operator linear, maka [T ] β = [a ij ] dengan a ij = T (v j ), v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 13

Corollary Misalkan V ruang hkd dan β = {v 1,..., v n } basis orthonormal di V. Jika T : V V operator linear, maka [T ] β = [a ij ] dengan a ij = T (v j ), v i Kita mengetahui bahwa T (v j ) = n a ij v i i=1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 13

Corollary Misalkan V ruang hkd dan β = {v 1,..., v n } basis orthonormal di V. Jika T : V V operator linear, maka [T ] β = [a ij ] dengan Kita mengetahui bahwa a ij = T (v j ), v i T (v j ) = n a ij v i i=1 Dengan menggunakan penyajian vektor orthonormal, diperoleh T (v j ) = n i=1 T (v j ), v i v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 13

Corollary Misalkan V ruang hkd dan β = {v 1,..., v n } basis orthonormal di V. Jika T : V V operator linear, maka [T ] β = [a ij ] dengan Kita mengetahui bahwa a ij = T (v j ), v i T (v j ) = n a ij v i i=1 Dengan menggunakan penyajian vektor orthonormal, diperoleh jadi a ij = T (v j ), v i. T (v j ) = n i=1 T (v j ), v i v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 13

Definition Misalkan S subhimpunan di ruang hkd V. S = {x V : x, y = 0 untuk semua y S} Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 13

Definition Misalkan S subhimpunan di ruang hkd V. S = {x V : x, y = 0 untuk semua y S} Mudah dibuktikan bahwa S merupakan subruang. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 13

Definition Misalkan S subhimpunan di ruang hkd V. S = {x V : x, y = 0 untuk semua y S} Mudah dibuktikan bahwa S merupakan subruang. Dapat diuji bahwa {0} = V dan V =... Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 13

Definition Misalkan S subhimpunan di ruang hkd V. S = {x V : x, y = 0 untuk semua y S} Mudah dibuktikan bahwa S merupakan subruang. Dapat diuji bahwa {0} = V dan V =... Jika S = {e 3 } R 3, maka S = {(x, y, 0) : x, y R} Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 13

Theorem Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Ada satu vektor u W dan z W sehingga y = u + z Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 13

Theorem Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Ada satu vektor u W dan z W sehingga y = u + z Jika {v 1,..., v k } basis orthonormal di W, maka u = k i=1 y, v i v i Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 13

y u, v j = y, v j u, v j = y, v j y, v j = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 13 Theorem Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Ada satu vektor u W dan z W sehingga y = u + z Jika {v 1,..., v k } basis orthonormal di W, maka u = k i=1 y, v i v i Jika y V diketahui, definisikan u W seperti di atas, maka y u memenuhi

Jika y V diketahui, definisikan u W seperti di atas, maka y u memenuhi y u, v j = y, v j u, v j = y, v j y, v j = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 13

Jika y V diketahui, definisikan u W seperti di atas, maka y u memenuhi y u, v j = y, v j u, v j = y, v j y, v j = 0 Jadi y u W, maka z = y u W Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 13

Jika y V diketahui, definisikan u W seperti di atas, maka y u memenuhi y u, v j = y, v j u, v j = y, v j y, v j = 0 Jadi y u W, maka z = y u W Misalkan ada dua, y = u 1 + z 1 = u 2 + z 2 dengan u 1, u 2 W dan z 1, z 2 W, maka u 1 u 2 = z 2 z 1 W W Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 13

Jika y V diketahui, definisikan u W seperti di atas, maka y u memenuhi y u, v j = y, v j u, v j = y, v j y, v j = 0 Jadi y u W, maka z = y u W Misalkan ada dua, y = u 1 + z 1 = u 2 + z 2 dengan u 1, u 2 W dan z 1, z 2 W, maka u 1 u 2 = z 2 z 1 W W Vektor... hanya yang berada di W W. Jadi... Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 13

Corollary Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Vektor u = k i=1 y, v i v i dengan {v 1,..., v k } basis orthonormal di W merupakan vektor di W yang terdekat dengan y, artinya untuk setiap x W. y u y x Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 13

Corollary Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Vektor u = k i=1 y, v i v i dengan {v 1,..., v k } basis orthonormal di W merupakan vektor di W yang terdekat dengan y, artinya untuk setiap x W. Misalkan z = y u W, maka y u y x Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 13

Corollary Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y V. Vektor u = k i=1 y, v i v i dengan {v 1,..., v k } basis orthonormal di W merupakan vektor di W yang terdekat dengan y, artinya untuk setiap x W. Misalkan z = y u W, maka y u y x y x 2 = u + z x 2 = u x + z 2 = u x 2 + z 2 + 2 Re u x, z Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 13

: Vektor terdekat Misalkan z = y u W, maka Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 13

: Vektor terdekat Misalkan z = y u W, maka y x 2 = u + z x 2 ditambah dengan 2 u x, z = 0. = u x + z 2 = u x 2 + z 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 13

: Vektor terdekat Misalkan z = y u W, maka y x 2 = u + z x 2 = u x + z 2 = u x 2 + z 2 ditambah dengan 2 u x, z = 0. Jadi y x 2 z 2 = y u 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal, maka dapat diperluas menjadi {v 1,..., v k, w k+1,..., w n } Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal, maka dapat diperluas menjadi {v 1,..., v k, w k+1,..., w n } Selanjutnya dengan menggunakan GramSchmidt pada {v 1,..., v k, w k+1,..., w n }, maka {w k+1,..., w n } dapat diubah menjadi {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } menjadi basis orthonormal di V. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 13 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 13 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Dalam hal ini mudah dilihat bahwa S 1 W. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 13 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Dalam hal ini mudah dilihat bahwa S 1 W. Untuk melihat membangun W, misalkan x V, maka x = n i=1 x, v i v i, dan khususnya jika x W, maka x, v i = 0 untuk i = 1,..., k. Jadi x = n x, v i v i i=k+1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 13 / 13

: Perluasan Basis Theorem Misalkan S = {v 1,..., v k } basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } untuk V. Jika W = span (S), maka S 1 = {v k+1,..., v n } basis dari W. Jika W sebarang subruang, maka dim (V ) = dim (W ) + dim ( W ). Dalam hal ini mudah dilihat bahwa S 1 W. Untuk melihat membangun W, misalkan x V, maka x = n i=1 x, v i v i, dan khususnya jika x W, maka x, v i = 0 untuk i = 1,..., k. Jadi x = n x, v i v i i=k+1 Untuk yang terakhir, akibat dari sifat di atas. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 13 / 13