BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN

Transkripsi

1 BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN 3.1 Analisis Pada bab 2, telah delaskan mengenai pemilihan negative cycle yang akan mengalami proses canceling tanpa menggunakan aturan-aturan tertentu. Dengan kondisi tersebut, maka metode cycle canceling akan memiliki kompleksitas total sebesar 2 OVACU ( ). Dengan kompleksitas seperti itu, algoritma ini sudah dapat tergolong kedalam kelompok polynomial, tetapi dalam kasus sehari-hari C dan U seringkali bernilai sangat besar, sehingga kompleksitas tersebut akan jatuh kedalam keadaan weak polynomial. Untuk itu diperlukan algoritma yang lebih cepat yang memiliki kompleksitas yang tergolong sebagai strong polynomial. Hal tersebut dapat tercapai dengan cara menghilangkan faktor C dan U dari perhitungan kompleksitas, atau menggunakan algoritma yang dapat membuat pertumbuhan kompleksitas terhadap C dan U menjadi sangat kecil. Seperti pada hipotesis, bahwa penggunaan aturan-aturan yang berbeda dalam memilih negative cycle yang akan mengalami proses canceling akan menghasilkan kompleksitas metode cycle canceling yang berbeda. Sekarang akan digunakan aturan pemilihan negative cycle yang memiliki nilai rata-rata terkecil ( (, i j ) W W c ). Berikut ini adalah analisis kompleksitas cycle canceling apabila menggunakan aturan tersebut. 33

2 3.1.1 Approximate Optimality Pertama-tama diperkenalkan terhadap satu variabel yang sangat penting yaitu ε dan sebuah kondisi, yaitu ε optimal. Untuk beberapa atau semua node potential pada pasangan ( x, ) harus memiliki kondisi ε optimal sebagai berikut: If c > ε, then x = 0 (3.1.1) If ε c ε, then 0 x u (3.1.2) If c < ε, then x = u (3.1.3) Kondisi ε optimal di atas merupakan kondisi optimal complementery slackness yang telah dibahas pada bab 2. Sehingga solusi optimal akan dihasilkan apabila ε = 0. Karena nilai ε > 0, maka dapat diintegrasikan kedalam kondisi optimal reduced cost, sehingga akan didapatkan kondisi sebagai berikut: c ε (3.2) Supaya suatu graph Gx ( ) dapat memenuhi kondisi ε optimal, maka nilai ε C. Dari kondisi (3.2) dan kondisi optimal reduced cost juga dapat disimpulkan (, i j) W c εv 1, karena cost akan selalu bernilai integer, maka kondisi optimal akan 1 terjadi pada saat ε < dan V tersebut, maka c tidak akan bernilai negatif. Dengan perolehan hasil (, i j) W c = c () i + ( j) = c akan selalu bernilai positif untuk (, i j) W (, i j) W (, i j) W setiap W, dan karena tidak ada negative cycle pada Gx, ( ) maka x merupakan solusi optimal dari minimum cost flow. 34

3 3.1.2 Properti Sekarang hubungkan antara approximate optimality dengan metode cycle canceling yang menggunakan aturan (, i j ) W W c terkecil untuk dilibatkan pada proses canceling. Seperti yang telah dibahas sebelumnya, bahwa flow x merupakan ε optimal untuk beberapa set node potential, dan reduced cost c untuk setiap arcs paling sedikit ε. Perhatikan bahwa untuk setiap flow x akan menjadi ε optimal untuk banyak ε, karena sebuah flow yang merupakan ε optimal juga merupakan optimal ε untuk setiap ε ε. Kemudian untuk setiap node potential, set ε ( x) = min( c :( i, j) G( x)), sehingga c ε ( x). Jadi x merupakan ε optimal untuk ε( x) = min ε ( x). Berikutnya terdapat variabel μ ( x) yang mewakili nilai cost rata-rata minimum dari sebuah cycle. Karena x adalah ε optimal, maka kondisi (3.2) dapat diterapkan menjadi c = c ε ( x)* W, dengan memilih cycle yang memiliki nilai cost (, i j) W (, i j) W rata-rata minimum sebagai W, maka didapatkan μ( x) ε ( x). Kemudian ganti semua nilai c dengan c = c μ( x), dengan pergantian ini, maka nilai cost rata-rata dari setiap cycle akan berkurang sebanyak μ ( x), dan cycle yang memiliki nilai cost rata-rata terkecil akan memiliki nilai cost rata-rata = 0, sehingga apabila semua cycle yang memiliki nilai cost rata-rata < 0 dihilangkan, maka graph G(x) tidak memiliki negative cycle. Dengan mengintegrasikan hal ini dengan kondisi optimal shortest path (2.1), maka: d ( j) d () i + c = d () i + c μ( x), dengan mengganti j = d, maka ( ) 35

4 pertidaksamaan tersebut menjadi c μ( x), jadi x adalah ( μ( x)) optimal, sehingga ε ( x) μ( x). Dari hal ini dapat disimpulkan, bahwa apabila x bukan optimal flow, maka ε ( x) = μ( x). Kemudian karena c = c = μ( x) W, maka didapatkan (, i j) W (, i j) W persamaan berikut ini: c = μ( x) = ε ( x). Anggap W merupakan nilai rata-rata negative cycle yang minimum pada graph G(x). Dari analisa sebelumnya untuk node potential, nilai c = ε ( x) untuk setiap arc (, i j) W. Kemudian x merupakan flow setelah menghilangkan cycle W dari G(x). Ketika melakukan proses canceling, terdapat 2 hal, yaitu adanya penghilangan dan penambahan satu atau lebih arc. Jika arc (, i j ) terdapat pada G(x), maka c ε ( x). Jika arc (, i j ) tidak terdapat pada G(x), maka arc (, i j ) merupakan kebalikan dari arc ( j, i ), sehingga c = ε ( x) dan c = c ε ( x) > 0. Untuk arc (, i j ) dari ji memiliki reduced cost c ε ( x). Hal ini menunjukkan bahwa μ dalam ji Gx ( ) Gx ( ) manapun akan bernilai sekurang-kurangnya ε ( x). Karena c = μ( x), maka didapatkan ε( x ) = μ( x) ε( x) = μ( x). Dari pertidaksamaan tersebut, dapat disimpulkan, bahwa apabila flow x bukan merupakan solusi optimal dari minimum cost flow, maka nilai ε ( x) tidak akan pernah bertambah, dan nilai μ ( x) juga tidak akan pernah berkurang. Negative cycle dapat dibagi menjadi dua tipe: a) Semua arc pada negative cycle bernilai negatif b) Setidaknya ada satu buah arc pada negative cycle yang bernilai positif. 36

5 Apabila setiap kali menjalankan tipe (a) akan melakukan canceling minimal untuk satu buah arc, maka tipe (a) paling banyak akan dalankan sebanyak A kali, dan kemudian diakhiri oleh tipe (b), atau tidak sama sekali. Hal ini disebabkan karena ketika tipe (a) terlibat dalam proses canceling, maka cost yang bernilai negatif akan berubah menjadi positif, dan setelah A kali, maka semua cost akan bernilai positif, dan metode cycle canceling akan selesai dalam keadaan optimal. Berikutnya analisa ketika terjadi canceling pada negative cycle tipe (b). Misalkan terjadi canceling pada cycle W, yang memiliki setidaknya satu buah arc postitif. Kemudian terdapat flow x yang mewakili flow sebelum proses canceling dan flow x yang mewakili flow sesudah proses canceling. Sehingga c ε ( x) untuk semua arc (, i j) W, dan c 0 untuk semua kl arc ( kl, ) W. Sehingga dapat diketahui cost dari flow x, yaitu cw ( ) = c W 1 ( x). Sebelumnya telah diketahui bahwa nilai ε ( x) (, i j) W ( )( ε ) tidak akan pernah bertambah, dan μ ( x ) μ( x ), sehingga akan didapatkan 1 1 W V pertidaksamaan μ ( x ) μ ( x ) 1 ( ε ( x )) 1 ( ε ( x )). Kemudian dengan mengalikan -1 pada setiap sisinya, akan didapatkan pertidaksamaan 1 μ x V ( ε x ) ( ) 1 ( ), karena ε = maka ε( x ) 1 ( ε( x )) ( x ) μ( x ) 1 V. Sehingga dapat disimpulkan, bahwa setelah terjadi A proses canceling, maka nilai 1 ε ( x), akan berkurang paling banyak sebesar 1 ( ( x) ) V ε. 37

6 3.1.3 Kompleksitas Seperti yang sudah dibahas pada subbab 3.1.1, bahwa agar graph G(x) memenuhi kondisi ε optimal, maka ε C. Kemudian dari properti pada subbab 3.1.2, telah disimpulkan bahwa pada setiap A proses canceling, maka nilai ε ( x) akan 1 V berkurang sebesar 1 ( ε ( x) ), dan ketika 1 ε ( x), maka G(x) merupakan solusi V optimal untuk minimum cost flow. Oleh karena itu secara keseluruhan, ε ( x) harus berkurang sebesar faktor dari VC. Karena ε( x ) 1 ε( x ) VA iterasi, maka ( x ) ( x ) k+ 1 1 V k, maka setiap terjadi ε k ε k+ v. Sehingga metode cycle canceling dengan 2 menggunakan aturan nilai rata-rata negative cycle terkecil memiliki kompleksitas O(VA lg (VC)) Pencarian Negative Cycle Setelah mendapatkan kompleksitas cycle canceling secara keseluruhan, kompleksitas dari pencarian negative cycle untuk diproses juga sangat berpengaruh. Untuk mencari negative cycle yang memiliki nilai terkecil dapat dicari dengan langkahlangkah sebagai berikut: Langkah 1: Carilah jarak terpendek dari suatu vertex s menuju vertex i (dimana i merupakan vertex selain s) dengan tepat k langkah. Untuk melakukan langkah 1 ini, dapat digunakan metode dinamic programming. Subproblem dari langkah ini yaitu untuk mendapatkan jarak terpendek dari vertex s menuju vertex i dalam k langkah, maka diperlukan nilai 38

7 optimal dari jarak terpendek dari vertex s menuju vertex lainnya dalam (k 1) langkah. Dari karakteristik ini, didapatkan persamaan rekursif sebagai berikut: dk [, j] dk [ 1, i] + c untuk setiap arc (, i j) A. Langkah 2: Mencari nilai rata-rata negative cycle minimum dari suatu graph G(x), dengan menggunakan persamaan: min max μ = ( j V) (0 k ( n 1)) dn [, j] dk [, j] n k ketika μ 0, maka pada graph tidak terdapat negative cycle, sedangkan ketika μ < 0, maka terdapat negative cycle pada graph Gx ( ) dengan nilai rata-rata μ. Langkah 3: Kurangi semua nilai cost pada arcs dengan μ. Sebab ketika semua nilai cost pada arcs dikurangi dengan μ, maka setiap negative cycle yang memiliki nilai rata-rata μ akan berubah sehingga tidak berstatus negative cycle, karena nilai μ berikutnya dari cycle tersebut sama dengan 0. Langkah 4: Hitung jarak terpendek dari vertex s ke semua vertex kecuali vertex s sendiri. Langkah 5: Dengan konsentrasi hanya kepada arc yang memiliki reduced cost = 0, jalankan algoritma topological sorting. Algoritma ini akan sukses dalankan secara utuh, ketika tidak terdapat cycle pada graph. Sehingga ketika algoritma ini terhenti sebelum semua arc pada graph di eliminasi, maka sisa arc tersebut merupakan cycle. Karena langkah 1 memiliki kompleksitas O(VA), langkah 2 memiliki kompleksitas 2 OV ( ), langkah 3 memiliki kompleksitas OA, ( ) langkah 4 memiliki kompleksitas 39

8 OVA ( ), dan langkah 5 memiliki kompleksitas OV 2 ( ), sehingga kompleksitas keseluruhan untuk mencari negative cycle ini adalah OVA ( ), karena prosedur ini dalankan sebanyak O(VA lg (VC)), maka total kompleksitas dari metode cycle 2 2 canceling ini adalah O( V A lg (VC)). 3.2 Perancangan Berdasarkan analisis sebelumnya, maka solusi yang diusulkan akan dirancang untuk penyusunan metode cycle canceling. Pada subbab berikut akan dibahas lebih mendetil Cycle Canceling Langkah-langkah untuk cycle canceling telah dibahas pada bab 2, berikut ini adalah pseudocode dari cycle canceling. function cycle_canceling() Cost = 0 Push_relabel() For i := 0 to n 1 do For j := 0 to n 1 do If adju[i][j] AND adjc[i][j] < 0 then Cost += (adju[i][j] * -adjc[i][j]) End if End for End for While (terdapat negative cycle) Hilangkan jalur negative cycle Cost = cost cost_negative_cycle End while End. Pseudocode 3.1: Cycle canceling 40

9 3.2.2 Pencarian Basic Feasible Solution Untuk mencari basic feasible solution dari minimum cost flow dapat digunakan maximum flow, berikut ini adalah pseudocode dari maximum flow menggunakan metode push relabel. function push_relabel() For i := 0 to n 1 do e[i] = 0 h[i] = inf h[t] = 0 breadth_first_search() set all sudahaktif[0..n-1] = false for i := 0 to n 1 do if adju[s][i]!= 0 AND h[i] = h[s] + 1 then e[i] = adju[i][s] = adju[s][i] adju[s][i] = 0 dequeue (i) sudahaktif[i] = true while (queue tidak kosong) av = queue paling depan for i := 0 to n 1 do if adju[av][i] AND h[i] == h[av] 1 then p = min (adju[av][i], e[av]) kurangi nilai e[av] dan adju[av][i] dengan p tambahkan nilai e[i] dan adju[i][av] dengan p if i belum aktif then enqueue (i) sudahaktif[i] = true if av sudah tidak aktif then dequeue () else h[av] = min(h[i] dimana i adalah semua vertex kecuali s dan t) end while end. Pseudocode 3.2: maximum flow 41

10 3.2.3 Pencarian Tinggi Minimum dari Masing-masing Vertex Untuk mencari tinggi minimum dari masing-masing vertex sebagai setting awal pada algoritma push-relabel, digunakan algoritma pencarian breadth first search. function breadth_first_search() enqueue (t) while (queue tidak kosong) tt = queue paling depan, dan dequeue() for i := 0 to n 1 do h[i] = h[tt] + 1 enqueue (i) end while end. Pseudocode 3.3: Breadth First Search Pencarian Negative Cycle Pencarian negative cycle yang memiliki nilai rata-rata minimum, menggunakan metode yang telah delaskan sebelumnya. function detect_negative_cycle() set d[0..n-1, 0..n-1] = inf d[0][t] = 0 for k := 0 to n 1 do for all arc (i, j) do d[k][j] = min (d[k][j], d[k 1][i] + c[i][j]) μ = inf for j := 0 to n 1 do maxi = -inf for k := 0 to n 1 do maxi = max (maxi, (d[n][j] d[k][j]) / (n k)) μ = min ( μ, maxi) if μ < 0 then ada negative cycle else tidak ada negative cycle end. Pseudocode 3.4: Detect negative cycle 42

11 3.2.5 Mendapatkan Jalur Negative Cycle Untuk mendapatkan jalur negative cycle yang telah dicari sebelumnya, cukup memperhatikan arcs yang memiliki reduced cost = 0. function membentuk_graph_baru() set all ds[0..n-1] = inf for i := 0 to n 1 do for j := 0 to m 1 do if ds[to[j]] > ds[from[j]] + adjc[i][j] then ds[to[j]] = ds[from[j]] + adjc[i][j] set all dummy[0..n-1, 0..n-1] = false for all arc (i,j) do if adjc[i][j] - μ + ds[i] ds[j] == 0 then dummy[i][j] = true end. Pseudocode 3.5: Membentuk Graph Baru kemudian proses dengan menggunakan algoritma topological sorting, sehingga arc yang tersisa merupakan jalur dari negative cycle yang dicari. function topological_sorting() set all degree[0..n-1] = 0 for i := 0 to n - 1 do for j := 0 to n 1 do if dummy[i][j] then degree[j] = degre[j] + 1 for i := 0 to n 1 do if degree[i] == 0 then enqueue (i) next = 0 while (queue tidak kosong) av = pilih queue paling depan, dan dequeue() next = next + 1 for i := 0 to n 1 do if dummy[av][i] then degree[i] = degree[i] 1 dummy[av][i] = false if degree[i] == 0 then 43

12 enqueue (i) end while if next < n then return ada cycle else return tidak ada cycle end. Pseudocode 3.6: Topological sorting 44