COMPROMISE PROGRAMMING UNTUK PEMILIHAN PORTOFOLIO Nama Mahasiswa : Putri Ciptaningrum NRP : Dosen Pembimbing : Drs.

Transkripsi

1 COMPROMISE PROGRAMMING UNTUK PEMILIHAN PORTOFOLIO Nama Mahasiswa : Putri Ciptaningrum NRP : Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Drs. Sulistiyo, MT Abstrak merupakan gabungan atas sekumpulan asset yang dimiliki oleh investor. Dengan memiliki beberapa asset, resiko dapat dikurangi. Pada tugas akhir ini asset yang digunakan berupa saham, terdiri dari 5 saham perusahaan yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses, Kalbe Farma tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA tbk, sehingga portofolio yang dapat dibentuk dari kombinasi 5 saham tersebut sebanyak 26 portofolio. Dalam model optimasi pemilihan portofolio terdapat 2 fungsi obyektif yang harus dipertimbangkan investor, yaitu memaksimalkan nilai expected return portofolio dan meminimalkan nilai resiko portofolio. Pada tugas akhir ini, digunakan compromise programming untuk menyelesaikan permasalahan multi-objective pada model optimasi portofolio, dengan meminimalkan penyimpangan antara fungsi obyektif dengan nilai ideal fungsi obyektif. Penyelesaian dengan menggunakan compromise programming akan mendapatkan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada masing-masing saham. Pada tugas akhir ini juga didapatkan 5 portofolio efisien. efisien didapatkan dengan cara membandingkan portofolio yang mempunyai nilai resiko yang hampir sama, kemudian dicari portofolio yang memberikan nilai expected return yang terbesar atau dari portofolio yang mempunyai nilai expected return yang hampir sama, dicari portofolio yang memberikan nilai resiko terkecil. Kata kunci: Compromise Programming, Pemilihan, Multi-Objective Programming. investor yaitu memaksimalkan nilai expected I. PENDAHULUAN return dan meminimalkan nilai resiko. adalah gabungan atau Teori dasar tentang pemilihan kombinasi dari berbagai instrumen atau saham potofolio pertama kali dicetuskan oleh yang disusun untuk mencapai tujuan investor Markowitz (1952). Pemilihan portofolio dalam melakukan investasi. Investor harus membahas tentang permasalahan bagaimana memilih dan mengalokasikan kekayaannya di mengalokasikan sebuah modal agar tengah berbagai sekuritas. Saham adalah salah penanaman tersebut dapat membawa satu jenis sekuritas yang diperdagangkan di pasar finansial. Jika para investor membeli saham, berarti mereka membeli prospek perusahaan dari saham tersebut. Kalau prospek keuntungan terbanyak namun dengan resiko yang terkecil. Pada penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Sastri Endhartia (2009) membahas tentang pemilihan portofolio dari perusahaan membaik, harga saham tersebut kumpulan saham dengan menggunakan akan meningkat. Dengan gambaran seperti itu, algoritma Markowitz. orang semakin tertarik untuk melakukan Pada tugas akhir ini, digunakan investasi, sehingga investasi di sektor finansial compromise programming dalam menjadi primadona di kalangan investor, karena menjanjikan tingkat return yang lebih tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor real asset. Namun perlu diketahui bahwa semakin besar return maka tingkat resikonya menyelesaikan permasalahan multi-objective pada model optimasi portofolio. Compromise programming memberikan solusi kompromi dari mengoptimalkan dua atau lebih fungsi objektif dengan meminimalkan penyimpangan semakin meningkat pula. Investor pada antara fungsi objektif dengan nilai ideal fungsi umumnya merupakan pihak yang sangat tidak menyukai resiko tetapi menginginkan return yang maksimal, sehingga jika dirumuskan objektif. Penyelesaian dengan menggunakan compromise programming akan mendapatkan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada dalam sebuah model optimasi, akan terdapat masing-masing saham. Selain itu akan dua fungsi objektif yang dipertimbangkan didapatkan pula portofolio efisien dari sekumpulan portofolio yang sudah terbentuk. 1

2 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Studi Pendahuluan Pada penelitian sebelumnya, Sastri Endhartia (2009) pada tugas akhirnya, membahas tentang pemilihan portofolio dari kumpulan saham dengan menggunakan algoritma Markowitz. Dalam model meanvariance Markowitz terdapat dua macam model dalam menentukan proporsi dana yaitu, meminimalkan resiko dengan menetapkan expected return terlebih dahulu, dan Memaksimalkan expected return dengan mempertahankan resiko pada tingkat tertentu. 2.2 Investasi Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan dana pada saat ini dengan harapan memperoleh keuntungan di masa mendatang. Umumnya investasi dibedakan menjadi dua yaitu investasi pada financial assets dan investasi pada real assets. Investasi pada financial assets dilakukan di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat berharga, pasar uang dan lainnya. Atau dilakukan di pasar modal misalnya berupa saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets diwujudkan dalam bentuk pembelian assets produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan, pembukaan perkebunan, dan lainnya. 2.3 merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan assets, baik berupa real assets maupun financial assets yan dimiliki oleh investor. Hakikat pembentukan portofolio adalah unuk mengurangi resiko dengan cara diversifikasi, yaitu mengalokasikan sejumlah dana pada berbagai alternatif investasi. Dalam pembentukan portofolio investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal. 2.4 Return dalam Investasi Dalam konteks manajemen investasi, return merupakan imbalan yang diperoleh dari investasi Return Saham Individual Return saham individual dapat dihitung berdasarkan data historis harga saham. Selanjutnya return dapat dihitung dengan : = return saham i pada waktu j = Closing Price = Opening Price = Dividen Expected Return Saham Individual Expected return secara sederhana adalah rata-rata tertimbang dari berbagai return, faktor penimbangnya adalah probabilitas masing-masing return. Expected return atas saham individual dapat dihitung dengan: Dengan, = return yang terjadi pada periode pengamatan Expected Return Expected Return secara sederhana adalah rata-rata tertimbang dari expected return saham individual, faktor penimbangnya adalah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham. Expected return portofolio dapat dihitung dengan formula sebagai berikut : Dengan, = expected return portofolio = expected return dari investasi saham i = proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i 2.5 Resiko dalam Investasi Dalam konteks manajemen investasi, resiko merupakan besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar tingkat resikonya. Alat yang digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut adalah varian atau standard deviasi Resiko Saham Individual Resiko saham individual dapat dihitung sebagai berikut : Dengan adalah return yang terjadi pada periode pengamatan Resiko 2

3 Secara umum, bagi portofolio dengan aktiva sebanyak, varians portofolio adalah Dengan rumus adalah : kovarian return saham dengan saham Jenis Resiko Sementara itu secara umum dalam konteks portofolio, resiko dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Resiko Sistematis (Systematic Risk) Resiko Sistematis (Systematic Risk) merupakan resiko yang tidak dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi, karena fluktuasi resiko ini dipengaruhi oleh faktor makro yang dapat mempengaruhi pasar secara keseluruhan. Misalnya adanya perubahan tingkat bunga, kurs valas, kebijakan pemerintah, dan sebagainya. Koefisien resiko adalah suatu ukuran untuk resiko sistematis. Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan return history asset dengan return pasar dengan formulasi sebagai berikut : Dimana, : koefisien resiko saham ke- : return pasar (diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)), dengan t = periode pengamatan : varian pasar Koefisien resiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar secara keseluruhan. Jika nilai koefisien resiko adalah 1 berarti memiliki resiko yang sama dengan nilai resiko rata-rata pasar. Misalnya, jika IHSG naik 5per sen maka harga pasar saham tersebut cenderung meningkat 5per sen. Jika nilai koefisien resiko kurang dari 1 berarti memiliki resiko lebih kecil dari resiko rata-rata pasar, misalnya nilai koefien resiko adalah 0,5, maka saham tersebut akan bergerak 0,5 kali perubahan IHSG. Selanjutnya, jika nilai koefisien resiko lebih besar daripada 1, berarti memiliki resiko lebih besar dari resiko ratarata pasar, misalnya nilai koefisien resiko adalah 1,5, maka saham tersebut akan bergerak 1,5 kali perubahan IHSG. Oleh karena itu, semakin besar koefisien resiko, maka akan semakin peka excess return suatu saham terhadap perubahan excess return portofolio pasar, sehingga saham itu akan semakin beresiko. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa, tingkat return portofolio ditentukan oleh resiko sistematis ataun resiko pasar yang diukur dengan resiko dan tingkat return pasar. 2. Resiko Tidak Sistematis (Unsystematic Risk) Resiko tidak sistematis (unsystematic risk) merupakan resiko yang dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi, karena resiko ini hanya ada dalam satu perusahaan atau industri tertentu. Fluktuasi resiko ini besarnya berbeda-beda antara satu saham dengan yang lain. Karena perbedaan itulah maka masingmasing saham memiliki tingkat sensitivitas yang berbeda terhadap setiap perubahan pasar. Misalnya faktor: struktur modal, struktur asset, tingkat likuiditas, tingkat keuntungan, dan sebagainya. Resiko ini juga disebut diversiable risk. 2.6 Compromise programming Compromise programming diperkenalkan oleh Zeleny (1974). Compromise programming digunakan untuk mencari solusi kompromi terbaik dari mengoptimalkan dua atau lebih fungsi obyektif yang menghasilkan penyimpangan minimal dari solusi ideal. Dalam permasalahan maksimasi, nilai ideal dapat ditulis sebagai = maksimasi Dengan kendala :, adalah fungsi obyektif ke-. dimana S adalah daerah yang mungkin (feasible region), Sedangkan dalam permasalahan minimasi, nilai ideal dapat ditulis sebagai = minimasi Dengan kendala :, adalah fungsi obyektif ke-. dengan S adalah daerah yang mungkin (feasible region). Jarak antara titik efisien dengan titik ideal (jarak terdekat dari 3

4 titik efisien dan titik ideal) dapat dijelaskan pada persamaan (2.13). Penyimpangan individu dapat ditingkatkan ke setiap, sebelum dijumlahkan, dan bobot 1 =1 =1 dapat ditambahkan pada fungsi tujuan yang berbeda. Oleh karena itu penting untuk menggunakan penyimpanganpenyimpangan relatif daripada penyimpangan absolut. Hal ini dapat ditunjukkan pada persamaan (2.14). Untuk masalah multi-objective, titik ideal didefinisikan sebagai solusi ideal individu,, dimana semua multiobjective bertujuan meminimasi penyimpangan dari setiap fungsi individu. Formulasi compromise programming dapat dilihat pada persamaan (2.15). Dengan kendala, Dengan adalah bobot dari tujuan, dan adalah solusi optimal individu. 2.7 Pemilihan portofolio yang efisien Suatu portofolio dikatakan efisien apabila portofolio tersebut bila dibandingkan dengan portofolio lain memenuhi kondisi sebagai berikut : 1. Menawarkan ekspektasi return terbesar dengan resiko yang sama. 2. Menawarkan resiko terkecil dengan ekspektasi return yang sama. III. METODE PENELITIAN 1. Pengumpulan Data Data saham yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Bursa Efek Indonesia. Data yang digunakan meliputi data opening price, data closing price dan data dividen saham serta data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) mulai bulan Januari 2005 sampai dengan bulan Oktober Data yang digunakan adalah, data lima perusahaan terlengkap di Bursa Efek Indonesia.Perusahaan yang memiliki data terlengkap tersebut adalah PT Gudang Garam (GGRM), Indofood Sukses (INDF), Kalbe Farma tbk (KLBF), Ultra Jaya Milk (ULTJ), dan JAPFA tbk (JPFA) 2. Menghitung Return dan Expected Return Saham Individual 3. Menghitung Varian dan Kovarian Saham 4. Menghitung Koefisien Resiko Masingmasing Saham 5. Membentuk 6. Merancang Model Optimasi 7. Menentukan Proporsi Dana 8. Memilih yang Efisien 9. Penarikan Kesimpulan IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Perhitungan Return dan Expected Return Saham Individual Hasil dari investasi diukur dari pengembalian (return) yang diperoleh dalam periode waktu tertentu. Dengan menggunakan persamaan (2.1), didapatkan return masingmasing saham pada setiap periode. Return saham Gudang Garam tbk pada periode Januari 2009 adalah 0, atau tingkat pengembaliannya sebesar 27,0588%, sedangkan pada bulan Februari 2009 return saham tersebut adalah -0, atau - 3,7037%. Hal ini menunujukkan bahwa pada bulan Februari saham tersebut mengalami kerugian. Selanjutnya adalah menghitung nilai expected return dari masing-masing saham. Dengan persamaan (2.3), didapatkan hasil yang disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Nilai Expected Return Masing- Masing Saham Nama Saham GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA Perhitungan Varian dan Kovarian Saham Dengan menggunakan persamaan (2.8) dan (2.12) varian dan kovarian antar saham didapatkan hasil yang disajikan pada Tabel

5 Tabel 4.2 Nilai Varian dan Kovarian Saham GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA Sehingga dengan menggunakan persamaan (2.9), standar deviasi masingmasing saham disajikan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Nilai Standard Deviasi Saham Saham Standar Deviasi GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA Perhitungan Koefisien Resiko Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan kovarian saham-return pasar dengan varians return pasar, maka perlu dihitung varian return pasar dan kovarian saham-return pasar, dengan hasil perhitungannya disajikan pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 Nilai Kovarian Saham-Return Pasar R m GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA R m Setelah diketahui varian return pasar dan kovarian antara masing-masing saham dengan return pasar, maka dengan persamaan (2.5) dapat dihitung koefisien resiko atau koefisien resiko masing-masing saham disajikan pada Tabel 4.5. Tabel 4.5 Nilai Koefisien Resiko Saham Saham Koefisien Resiko GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA Pembentukan Kombinasi yang dapat dihasilkan dari kumpulan lima saham tersebut antara lain: 1. 1 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJ- JPFA 2. 2 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJ 3. 3 : GGRM-INDF-KLBF-JPFA 4. 4 : GGRM-INDF -ULTJ-JPFA 5. 5 : GGRM -KLBF-ULTJ-JPFA 6. 6 : INDF-KLBF-ULTJ-JPFA 7. 7 : GGRM-INDF-KLBF 8. 8 : GGRM-INDF-ULTJ 9. 9 : GGRM-INDF-JPFA : GGRM -KLBF-ULTJ : GGRM- KLBF- JPFA : GGRM- ULTJ-JPFA : INDF-KLBF-ULTJ : INDF-KLBF-JPFA : INDF- ULTJ-JPFA : KLBF-ULTJ-JPFA : GGRM-INDF : GGRM- KLBF : GGRM- ULTJ : GGRM- JPFA : INDF-KLBF : INDF-ULTJ : INDF-JPFA : KLBF-ULTJ : KLBF- JPFA : ULTJ-JPFA Jadi dari kumpulan 5 saham tersebut dapat dibentuk 26 portofolio. 4.5 Model Optimasi Model optimasi portofolio terdiri dari dua fungsi obyektif yaitu memaksimalkan nilai expected return dan meminimalkan resiko portofolio, resiko dalam hal ini adalah varian. Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut. Pendefinisian variabel keputusannya adalah sebagai berikut : : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT Gudang Garam, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Indofood Sukses, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Kalbe Farma tbk, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Ultra Jaya Milk, dan, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham JAPFA tbk (JPFA) Perumusan Fungsi Obyektif Model Penentuan fungsi obyektif model portofolio mempertimbangkan dua aspek yaitu return dan resiko dari portofolio, sebagai berikut : 1. Fungsi Obyektif Maksimasi Expected Return 5

6 Perumusan fungsi obyektif maksimasi expected return dapat dilihat pada persamaan (2.4) Maks 2. Fungsi Obyektif imasi Resiko Perumusan fungsi obyektif minimasi resiko dapat dilihat pada persamaan (2.10)...(4.2) Perumusan Fungsi Kendala Dalam memenuhi tujuan optimasi portofolio tersebut ada beberapa kendala, antara lain: 1. Fungsi Kendala Koefisien Resiko Koefisien resiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar secara keseluruhan. Perumusan fungsi kendala koefisien resiko adalah sebagai berikut : Dengan, = nilai koefisien resiko saham. Karena investor cenderung menghindari resiko, maka koefisien resiko harus kurang dari atau sama dengan satu. 2. Fungsi Kendala Jumlah Proporsi Dana yang Diinvestasikan Perumusan fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan adalah sebagai berikut Jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham adalah satu. 3. Fungsi Kendala Batas Bawah Dana yang Diinvestasikan Agar dana yang diinvestasikan dapat terisi untuk semua saham, diasumsikan batas bawah penanaman modal adalah 10per sen Jadi model optimasi portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut : Maks Dengan kendala : 4.6 Compromise programming Sebelum merumuskan kedalam fungsi objektif compromise programming, maka perlu didapatkan terlebih dahulu nilai ideal dari masing-masing fungsi objektif, dengan cara mengoptimasi masing-masing fungsi objektif dengan fungsi kendala yang ada. Untuk memudahkan perhitungan digunakan software LINDO Nilai Ideal Expected Return Nilai ideal expected return dari masingmasing portofolio dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.1). Expected return masing-masing saham disajikan pada tabel 4.1. Sedangkan nilai koefisien resiko masing-masing saham disajikan pada tebel 4.5. Untuk portofolio 1 terdiri dari 5 saham yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses, Kalbe Farma tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA tbk maka dirumuskan: Dengan adalah nilai ideal expected return pada portofolio 1. Didapatkan. Dengan perumusan yang sama, nilai ideal untuk masing-masing portofolio didapatkan sebagai berikut : Tabel 4.6 Nilai Ideal Expected Return infeasible infeasible infeasible infeasible

7 4.6.2 Nilai Ideal Resiko Nilai ideal resiko dari masing-masing portofolio dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.2). Varian dan kovarian untuk masing-masing saham disajikan pada tabel 4.2. Untuk portofolio 1 maka nilai ideal resiko portofolionya dapat dirumuskan sebagai berikut: programming dapat dilihat pada persamaan (2.16). Dengan asumsi dan bobot masing-masing untuk (ekspektasi return) dan (resiko). Sehingga untuk masing-masing portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut : Dengan kendala Perhitungan Proporsi Dana Setelah didapatkan nilai ideal masingmasing fungsi objektif dan fungsi objektif compromise programming, maka untuk portofolio 1 dapat dirumuskan sebagai berikut: + Dengan adalah nilai ideal varian pada portofolio 1. Didapatkan Dengan perumusan yang sama, nilai ideal resiko portofolio untuk masing-masing portofolio disajikan pada Tabel 4.7. Tabel 4.7 Nilai Ideal Resiko infeasible infeasible infeasible infeasible Perumusan Fungsi Objektif Compromise programming Perhitungan pada fungsi compromise programming ini dengan menganggap semua fungsi objektif mempunyai bobot yang sama dan nilai dari adalah sama dengan satu. Perumusan fungsi objektif dalam compromise Dengan kendala Sehingga didapatkan proporsi dana pada portofolio 1 disajikan pada Tabel 4.8. Tabel 4.8 Nilai Proporsi Dana Pada 1 Investasi Saham Proporsi Dana Dengan nilai expected return pada portofolio 1 atau adalah Nilai varian pada portofolio 1 atau adalah dan standar deviasi sebesar

8 Dengan cara yang sama, hasil perhitungan proporsi dana untuk masingmasing portofolio disajikan pada tabel 4.9. Pada portofolio 14, 21, 23,dan 25, nilai ideal return dan varian portofolio tidak ada yang memenuhi sehingga portofolio ini tidak dipakai dalam perhitungan selanjutnya. Tabel 4.9 Nilai Proporsi Dana Pada Masing-Masing Pemilihan Efisien Titik-titik diatas menunjukkan portofolio dengan masing-masing sumbu koordinatnya adalah standard deviasi atau nilai resiko portofolio dan expected return atau tingkat pengembalian yang diharapkan dari portofolio. Nilai expected return dan standard deviasi portofolio disajikan pada lampiran 5. Karena untuk mendapatkan portofolio yang efisien adalah dengan cara membandingkan portofolio-portofolio yang memiliki nilai resiko yang sama atau membandingkan portofolio-portofolio yang memiliki nilai expected return yang sama, maka dari gambar grafik diatas, terlihat bahwa portofolio 16 lebih efisien daripada portofolio 9, karena dengan nilai expected return yang hampir sama yaitu sekitar 2.59 persen untuk portofolio 16 dan sekitar 2.57 per sen untuk portofolio 9, portofolio 16 memberikan nilai resiko lebih rendah yaitu sekitar 10.5per sen, sedangkan portofolio 9 menawarkan nilai resiko sekitar 12.5per sen. 6 lebih efisien daripada portofolio 15, nilai expected return yang diberikan sekitar 2.34 per sen untuk portofolio 6 dan sekitar 2.46 per sen untuk portofolio 15, namun portofolio 6 menawarkan nilai resiko yang lebih kecil yaitu sekitar 9.96 per sen, sedangkan portofolio 15 memberikan 11.7per sen. 1 dan 5 lebih efisien daripada portofolio 13 karena dengan nilai expected return yang hampir sama yaitu sekitar 1.91 per sen untuk portofolio 1 dan 5, dan 1.95 per sen untuk portofolio 13, portofolio 1 dan 5 memberikan nilai resiko yang lebih rendah yaitu sekitar 8.81 per sen untuk portofolio 1 dan 8.76 per sen untuk portofolio 5, sedangkan portofolio 13 memberikan nilai resiko sekitar 9.83 per sen. 1 juga lebih efisien daripada portofolio 2 dan portofolio 10, karena dengan nilai resiko yang hampir sama yaitu sekitar 8.81 per sen untuk portofolio 1, 8.79 per sen untuk portofolio 2, dan 8.80 per sen untuk portofolio 10, portofolio 1 memberikan nilai expected return lebih tinggi yaitu sekitar 1.91 per sen, sedangkan portofolio 2 memberikan 8

9 E (Rp) sekitar 1.64 per sen dan portofolio memberikan sekitar 1.60 per sen Standard Deviasi (Rp) Gambar 4.1 Grafik Resiko dan Expected Return Sehingga sesuai gambar grafik diatas (titik-titik yang berwarna merah) didapatkan 5 portofolio yang efisien yaitu portofolio 1, portofolio 5, portofolio 6, portofolio 16, dan portofolio 26. V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Model optimasi portofolio adalah multiobjective programming, dengan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return portofolio dan meminimalkan resiko portofolio. Model optimasi portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut : Maks Dengan kendala : Oleh karena itu, dalam peyelesaiannya digunakan Compromise Programming untuk mendapatkan berapa proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masingmasing saham. Sebelum pada tahap pembentukan fungsi obyektif Compromise Programming dihitung nilai ideal dari masing-masing fungsi obyektif. Nilai ideal dari masing-masing fungsi obyektif disajikan pada Tabel 4.6 dan Tabel 4.7. Nilai ideal tersebut digunakan dalam pembentukan fungsi obyektif Compromise 9

10 Programming, sehingga dengan menyelesaikannya didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham yang disajikan pada Tabel Setelah didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan, maka diketahui nilai expected return dan nilai resiko masingmasing portofolio. yang sudah terbentuk, digambarkan pada sebuah grafik sesuai dengan expected return dan nilai resiko masing-masing portofolio. yang efisien adalah portofolio yang menawarkan expected return terbesar dengan resiko yang sama atau menawarkan resiko terkecil dengan expected return yang sama. Dari hasil analisis gambar grafik tersebut didapatkan 5 portofolio efisien dari 22 portofolio yang sudah dibentuk. efisien yang didapat disajikan pada Tabel 5.1. Tabel 5.1 Efisien Saran Saran yang dapat diberikan pada tugas akhir ini adalah: 1. Disarankan selain mendapatkan portofolio yang efisien dari sekumpulan portofolio yang sudah terbentuk, dicari pula portofolio optimal dari portofolioportofolio yang efisien. 2. Diharapkan pada penelitian selanjutnya, fungsi obyektif yang digunakan tidak hanya melihat dari segi ekspektasi return dan nilai resiko portofolio saja, sehingga ada penambahan fungsi obyektif baru dalam pemilihan portofolio. Selanjutnya dapat dibandingkan seberapa besar pengaruh penambahan fungsi obyektif tersebut dalam hal pemilihan portofolio. DAFTAR PUSTAKA Abdelaziz, F., Belaid Aouni, dan Rimeh El Fayedh. Nov Multi-Objective Stochastic Programming for Portfolio Selection. European Journal of Operational Research 177 (2007) Chen, Wei, Margaret M. Wiecek, dan Jinhuang Zhang. Okt Quality Utility-A Compromise Programming Approach to Robust Design. Modified Manuscript to JMD 14. Endhartia, S Analisis Efisien pada No Short Selling dengan Menggunakan Algoritma Markowitz.Tugas Akhir, Matematika.Surabaya:Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Fabozzi, F.J Manajemen Investasi (buku satu). Jakarta. Halim, A Analisis Investasi. Jakarta: Penerbit Salemba Empat. Sierliawati, Widdya P Optimasi Perencanaan Produksi pada Multi-Item Produk dengan Pendekatan Compromise Programming.Tugas Akhir, Matematika.Surabaya:Institut Teknologi Sepuluh Nopember. TIM BEI.Februari.2008.Investasi di Bursa Efek Indonesia Selalu Lebih Menarik,URL:http//economy.okezone. com Zeleny, M A Concept of Compromise Solutions and The Method of the displaced Ideal. Computers and Operations Research I