E-Jurnal Matematika. 1 of 5 2/2/2016 2:13 PM. Flag. Counter N OTIFICATIONS. View Subscribe / Unsubscribe

Transkripsi

1 E-Jurnal Matematika 1 of 5 2/2/2016 2:13 PM E - J u r n a l M a t e m a t i k a OPEN JOURNAL SYSTEMS Counter Flag N OTIFICATIONS View Subscribe / Unsubscribe JOU RNAL CON TENT Se a rch All Search Brows e By Issue By Author By Title Other Journals

2 FO NT SIZE INFO RMATION For Readers For Authors For Librarians KE Y W O RDS ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo Multicollinearity OLS Optimization Outlier Overdispersion Poisson Regression Portmanteau test Value at Risk Vector Autoregression biplot multicollinearity optimal lag test stationary test HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL TEAM CONTACT E-Jurnal Matematika Home > Vol 5, No 1 (2016)

3 E-Jurnal Matematika 3 of 5 2/2/2016 2:13 PM E-Jurnal Matematika is one of the electronic journal at Udayana University, as a medium of communication among enthusiasts in the field of mathematics and its application, such as statistics, financial mathematics, teaching mathematics and other sciences in the field of applied mathematics. This journal was born as one of the real role of the Department of Mathematics UNUD to support the acceleration of the achievement of quality targets UNUD, besides this journal issue is driven by the Director General of Higher Education circular on requirements for the publication of scientific papers in the journal Science Degree program. E-journal Mathematics also received the results of research that is not directly related to the students' final assignment involves research or articles that are scholarly study.

4 E-Jurnal Matematika 4 of 5 2/2/2016 2:13 PM Vol 5, No 1 (2016) Table of Contents Articles PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON- RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION PDF DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM IDA AYU EGA RAHAYUNI, KOMANG DHARMAWAN, LUH PUTU IDA HARINI 1-6 ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN PDF METODE ANALY TIC NETWORK PROCESS NI WAYAN NINING ISMIRANTI, I PUTU EKA N. KENCANA, I KOMANG GDE 7-13 SUKARSA PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA PENSIUN PDF LIA JENITA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST PDF MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA NI PUTU IIN VINNY DAYANTI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI, MADE SUSILAWATI PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON- LINEAR BLACK- SCHOLES PDF PUTU AYU DENI, KOMANG DHARMAWAN, G. K. GANDHIADI 27-31

5 E-Jurnal Matematika 5 of 5 2/2/2016 2:13 PM PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE PDF NI LUH PUTU RATNA DEWI, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License. ISSN:

6 Editorial Team 1 of 3 2/2/2016 2:14 PM E - J u r n a l M a t e m a t i k a OPEN JOURNAL SYSTEMS Counter Flag N OTIFICATIONS View Subscribe / Unsubscribe JOU RNAL CON TENT Se a rch All Search Brows e By Issue By Author By Title Other Journals

7 FO NT SIZE INFO RMATION For Readers For Authors For Librarians KE Y W O RDS ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo Multicollinearity OLS Optimization Outlier Overdispersion Poisson Regression Portmanteau test Value at Risk Vector Autoregression biplot multicollinearity optimal lag test stationary test HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL TEAM CONTACT Editorial Team Home > About the Journal > Editorial Team

8 Editorial Team 3 of 3 2/2/2016 2:14 PM Chief-in-Editor Desak Putu Eka Nilakusumawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia Associate Editor I Made Eka Dwipayana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Editorial Board Dr. Tjokorda Bagus Oka, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Dr. Komang Dharmawan, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Drs. GK Gandhiadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Ir. I Komang Gde Sukarsa, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Ir. I Putu Eka Nila Kencana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia I Gusti Ayu Made Srinadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Made Susilawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License. ISSN:

9 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6 ISSN: PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM Ida Ayu Ega Rahayuni 1, Komang Dharmawan 2, Luh Putu Ida Harini 3 1 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ egaidaayu@gmail.com] 2 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ dharmawan.komang@gmail.com] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ ballidah@gmail.com] Corresponding Author ABSTRACT Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods. Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, Newton-Raphson Method, Secant Method, Bisection Method 1. PENDAHULUAN Salah satu alternatif instrumen investasi yang dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973, model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron Scholes dan Fischer Black. Model ini memberikan solusi untuk penilaian call option dan put option yang tidak memberikan dividen. Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat konstan atau tetap selama usia opsi diketahui pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena volatilitas bergerak secara random dan tidak dapat diobservasi secara langsung, maka harus dilakukan penaksiran nilai volatilitas (Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility. Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham mengikuti gerak Brown geometrik pada suku bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut dengan : perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric : rata-rata dari pengembalian saham : perubahan waktu : nilai volatilitas : gerak Brownian Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai dengan menyatakan harga opsi observasi yang diperoleh dari harga pasar sebenarnya, 1

10 Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection dimana strike price dan masa jatuh tempo opsi sama dengan dan saham induk. Dalam hal ini, menyatakan harga opsi teoritis dari formula Black-Scholes yang didefinisikan oleh: dengan dengan adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar. Nilai volatilitas selalu positif karena adalah konstan dan monoton naik pada [ ) (Dharmawan & Widana [2]). Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Jika adalah hampiran saat ini, maka hampiran selanjutnya adalah yang dapat ditulis sebagai berikut. sampai, dengan dan. Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan hampiran awal dan untuk solusi. Selanjutnya dihitung sebagai hampiran baru untuk, yaitu sampai. Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan sebuah interval [, ], dimana dan berbeda tanda (Mathews [4]). Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul: (i) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ] (ii) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ] (iii) Jika, diperoleh bahwa akar pada Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama. Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai [, ] dan proses diulang sampai. Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah. Selanjutnya membandingkan perhitungan antara metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dalam mengestimasi nilai volatilitas saham. 2. METODE PENELITIAN A. Jenis dan Sumber Data Jenis data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang berupa data numerik. Adapun data yang digunakan terdiri dari strike price, dan harga saham sekarang (15 Mei 2015) dari saham PT Telekomunikasi Indonesia Tbk (TLK) dengan masa jatuh tempo opsi selama tiga bulan yang diperoleh dari data harga observasi call option diperoleh dari 2

11 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6 ISSN: B. Algoritma untuk Menaksir Implied Volatility Tahapan-tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari harga observasi call option yang memiliki masa jatuh tempo dan strike price yang sama dengan saham induk, serta mencari harga saham sekarang dari underlying asset. 2. Menentukan fungsi volatilitas dan mencari turunan pertamanya. 3. Menyelesaikan persamaan dari fungsi volatilitas menggunakan metode numerik, yakni metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection. a. Penyelesaian Menggunakan Metode Newton-Raphson Langkah 1: Tetapkan hampiran awal,, iterasi maksimum Langkah 2: Menghitung nilai dan turunan pertama fungsinya Langkah 3: Menentukan nilai hampiran kedua yang terletak pada perpotongan garis singgung di ( ) dengan sumbu, dapat dihitung menggunakan persamaan (6) Langkah 4: Menghitung dengan persamaan (7) Langkah 5: Melakukan pengecekan: (i) Jika, maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas (ii) Jika, maka kembali ke langkah 1. b. Penyelesaian menggunakan metode Secant Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan,,. Langkah 2: Mengitung nilai dan Langkah 3: Menentukan hampiran baru dengan persamaan (8) Langkah 4: Menghitung dengan persamaan (7) Langkah 5: Melakukan pengecekan (i) Jika, maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas (ii) Jika, maka kembali ke langkah 1 dengan menjadikan sebagai dan sebagai. c. Penyelesaian menggunakan metode Bisection Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan,,. Langkah 2: Hitung nilai dan. Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi berubah tanda sepanjang interval [ ], ini dapat diperiksa dengan:. Jika terpenuhi, hampiran awal dapat digunakan untuk iterasi berikutnya, namun jika tidak terpenuhi, pilih hampiran awal baru. Langkah 4: Hampiran ketiga dapat ditentukan menggunakan persamaan (9). Langkah 5: Hitung nilai Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai berikut untuk menentukan di dalam subinterval mana akar fungsi terletak: (i) Jika, maka 3

12 Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I (ii) Jika, maka Langkah 7: Menghitung dengan persamaan (7) Langkah 8: Melakukan pengecekan. (i) Jika, dengan, maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas (ii) Jika, dengan, maka kembali ke langkah Membandingkan nilai taksiran Implied Volatility, kecepatan iterasi, serta membandingkan keakuratan masingmasing metode dengan membandingkan nilai error relatif dari masing-masing metode. Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi volatilitas dapat didefinisikan sebagai ( ) atau adalah kontinu dan memiliki turunan sebagai berikut: adalah kontinu. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan (Waluya [5]), Misalkan dan kontinu, maka solusinya ada dan tunggal. Dalam hal ini, diperoleh bahwa dan kontinu, maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari persamaan (11). Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson e e e-006 Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant e e e e-006 4

13 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6 ISSN: Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection e e e e e e e e e e e e e e e e-006 Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode Newton- Raphson, Metode Secant dan Metode Bisection Metode Newton-Raphson Secant Bisection Implied Volatility 6,8254% 6,8254% 6,8254% Berhenti pada Iterasi ke Error Relatif 4,084282e-006 1,393661e-006 8,942384e-006 Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai dan error relatif. Berdasarkan Tabel 2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu dengan nilai dan error relatif. Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu dengan nilai % dan error relatif. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil simulasi menggunakan metode Newton- Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%. Simulasi berhenti secara berturutturut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e- 006; 1,393661e-006; 8,942384e-006. Implied Volatility yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, Secant, dan Bisection memiliki nilai yang lebih besar dari nilai Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar 6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II, Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal dan berlaku sebaliknya. Berdasarkan tabel 1, 2, dan 3, diperoleh bahwa pada iterasi ke-3 metode Newton- Raphson, metode Secant dan metode Bisection secara berturut-turut memiliki error relatif sebesar 4,084282e-006; 6,568799e-004; 7,692308e-002. Dalam hal ini, metode Newton- Raphson memiliki error relatif terkecil pada iterasi ke-3 yaitu sebesar 4,084282e-006. Artinya, metode Newton-Raphson lebih akurat 5

14 Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode Newton-Raphson konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. 4. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi Implied Volatility saham menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan metode Bisection memiliki perolehan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254% yang nilainya lebih tinggi dari Implied Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied Volatility yang tinggi akan mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Metode Newton- Raphson lebih cepat konvergen, yaitu pada iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif yang lebih kecil dari pada metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode ini konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection.. Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection DAFTAR PUSTAKA [1] Black, F. & Scholes, M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), PP [2] Dharmawan, Komang & Widana, I Nyoman., Aplikasi Algoritma Biseksi dan Newon-Raphson dalam Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember ISSN: [3] Lee, Roger. W., Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilitic Interpretation. Recant Advances in Applied Probability 2005, pp [4] Mathews, John H., Numerical Methods. For Mathematics, Science, and Engineering. Second edition. USA: Prentice-Hall International, Inc. [5] Waluya, St. Budi., Buku Ajar Persamaan Diferensial, B. Saran Metode Newton-Raphson, Secant dan Bisection tidak dapat memberikan keputusan di dalam pasar modal, metode ini hanya dapat menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat digunakan sebagai gambaran/acuan dalam melakukan suatu keputusan. Implied Volatility juga dapat ditaksir menggunakan metode GARCH (conditional volatility), Monte Carlo dengan simulasi, dan Model Heston dengan stokastik volatilitas. 6

15 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS Ni Wayan Nining Ismiranti 1,I Putu Eka N. Kencana 2, I Komang Gde Sukarsa 3 1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [ ning.ismiranti@gmail.com] 2 Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [ i.putu.enk@gmail.com] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [ sukarsakomang@yahoo.com] Corresponding Author ABSTRACT The aim of this research is to find the alternative solutions that could be used to handle the traffic congestions in the Denpasar City and the priorities of each alternative. The main problem of this research is determining the appropriateness of alternatives and its criterias that could be used to set the priorities of the alternatives. Based on the interview with the transport experts of Denpasar City, there are three main factors that affect the traffic congestion i.e (1) the ratio of the volume of vehicles on the road capacity, (2) the existing traffic management, and the traffic regulation. The interviewee also suggest that there are six alternatives that can be used to handle traffic congestion. These alternatives are (1)improve the public transport system, (2) use technology to monitor and enforce the rules,(3) create a 3 in 1 rule, (4) create road pricing rule,(5) optimize the existing management in the road, and (6) create rule of road zoning. Based on the calculations by Analytic Network Process (ANP) method, improving the public transport system is the best alternative among others that is appropriate to handle traffic congestion in the Denpasar City. Keywords: Analytic Network Process, Traffic Congestion, Priorities, Denpasar 1. PENDAHULUAN Metode ANP (Analytic Network Process) merupakan pengembangan dari Analytic Hierarcy Process (AHP) yang dikembangkan oleh Thomas L. Saaty yang digunakan untuk memilih alternatif terbaik dari sejumlah alternatif yang ada berdasarkan beberapa kriteria. Metode ANP menguraikan suatu masalah kedalam bentuk jaringan tanpa membuat asumsi elemen yang tingkatnya lebih tinggi dan elemen yang tingkatnya lebih rendah seperti yang terdapat pada AHP (Saaty & Vargas [3]). Pada penelitian ini metode ANP akan digunakan untuk mencari prioritas alternatifalternatif solusi yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar. Alternatif-alternatif solusi serta kriteria-kriteria yang akan digunakan diperoleh dari para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi di Kota Denpasar. Adapun alternatif-alternatif solusi yang akan dipaparkan merupakan alternatif solusi yang termasuk ke dalam manajemen lalu lintas tanpa pembangunan atau perluasan jalan. ANP merupakan suatu teori pengukuran multycriteria yang digunakan untuk mendapat skala prioritas dari suatu penilaian individu yang termasuk ke dalam sebuah skala fundamental (Saaty [1]), seperti yang terdapat pada Tabel 1. Intensitas Kepentingan Tabel 1. Skala Fundamental 1 Dua aktivitas berkontribusi secara sama besar Penjelasan Kontribusi suatu aktivitas sedikit lebih besar dibandingkan yang lain Kontribusi suatu aktivitas lebih besar dibandingkan yang lain Kontribusi suatu aktivitas jauh lebih besar dibandingkan yang lain, aktivitas ini lebih dominan dilakukan dalam kenyataan Fakta menunjukkan bahwa suatu aktivitas merupakan urutan tertinggi yang mungkin dalam suatu penegasan 2,4,6,8 Untuk kompromi nilai-nilai di atas 7

16 Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas Langkah awal dari penggunaan metode ANP adalah dengan membentuk suatu model yang berbentuk sebuah jaringan yang saling dihubungkan dengan tanda panah. Jaringan tersebut menggambarkan hubungan saling ketergantungan antara komponen satu dan komponen yang lain dimana komponen yang berada di pangkal tanda panah memberikan pengaruh kepada komponen yang berada di ujung tanda panah, seperti Gambar 1. Jaringan timbal balik yang memiliki ketergantungan dari dalam dan luar elemen C 4.. C 1.. C 3.. feedback Tanda panah dari C4 ke C2 menunjukkan ketergantungan elemen C2 pada elemen yang terdapat pada C4 C 2.. Putaran dalam komponen menunjukan ketergantungan dari elemen elemen dalam suatu komponen Gambar 1. Ilustrasi Jaringan ANP Selain dengan menggunakan jaringan, hubungan saling ketergantungan juga bisa digambarkan dengan menggunakan matriks seperti matriks berikut: C nn c11 c21 cn1 c c c n2 c1 n c 2n cnn Ketergantungan setiap komponen pada suatu sistem dapat dibentuk dalam suatu matriks nol-satu C dengan sifat nilai 1 pada matriks diberikan apabila terdapat pengaruh yang diberikan komponen c i terhadap komponen c j dan nilai 0 diberikan apabila tidak ada pengaruh yang diberikan komponen terhadap komponen nilai ketergantungan komponen komponen c i c j. Dalam hal ini cij adalah c j terhadap c i yang berisi nilai 0 atau 1, adalah komponen yang memberikan pengaruh dan c j adalah komponen yang dipengaruhi. c i Pada penelitian menggunakan ANP seringkali digunakan lebih dari satu narasumber sebagai acuan. Hal ini akan memungkinkan diperolehnya pendapat yang berbeda mengenai bobot dari suatu perbandingan, akan tetapi metode ANP hanya memerlukan satu bobot untuk satu perbandingan dalam membentuk suatu matriks perbandingan berpasangan. Apabila hal ini terjadi maka bobot-bobot dari para narasumber harus dirata-ratakan dengan menggunakan persamaan geometric mean (Saaty & Vargas [3]). a 1 n ij ( z1. z2.. z n ) (1) Dengan a : nilai rata-rata perbandingan ij Z k n berpasangan kriteria A i dengan : nilai perbandingan yang diberikan narasumber ke k, k =1,2,..., n : banyak narasumber 1 A j Matriks perbandingan berpasangan merupakan matriks berukuran n n yang berisikan bobot perbandingan yang dilakukan terhadap elemen-elemen dalam suatu komponen dimana elemen-elemen ini memengaruhi suatu elemen lainnya. Misalkan terdapat suatu komponen C 1 yang berisi elemen e 11, e12,..., e1 n dan elemen-elemen tersebut memberikan pengaruh terhadap elemen e 21 pada komponen C 2, maka matriks perbandingan yang terbentuk adalah seperti berikut: Nilai 1 a21 A an1 a a 12 1 n2 a1 n a 2n 1 a ij pada perbandingan berpasangan merepresentasikan nilai kepentingan dari elemen ke i terhadap elemen ke j pada komponen C1 berkaitan dengan e21sebagai faktor kontrol. Nilai yang dimasukkan ke 8

17 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: dalam perbandingan merupakan nilai yang terdapat pada Tabel 1 dan pengisiannya dilakukan dengan prinsip resiprokal. Maksud dari resiprokal adalah jika diketahui nilai dari a ij maka secara otomatis nilai dari sama dengan kebalikan dari a. ij a ji akan Setelah membentuk suatu matriks perbandingan A, selanjutnya akan dilakukan suatu proses pencarian eigen vector. Eigen vector diperoleh dari persamaan (Saaty & Vargas [3]): A. w max. w (2) dengan w : eigen vector max : eigen value terbesar A : matriks perbandingan berpasangan Eigen vector yang diperoleh dari proses ini akan menjadi vektor prioritas dari elemenelemen yang dibandingkan dalam matriks A. Konsistensi dari setiap perbandingan berpasangan harus diuji, berikut adalah persamaan untuk menguji konsistensi dari matriks perbandingan berpasangan (Saaty & Vargas [3]).. CI CR RI (3) Keterangan: CR : rasio konsistensi CI : index konsistensi RI : random consistency index Index konsistensi diperoleh dengan rumus (Saaty & Vargas [3]): ( max n) CI (4) n 1 Nilai-nilai dari RI dapat dilihat pada Tabel 2 Tabel 2. Tabel Random Consistency Index Orde RI 0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 Sumber: Saaty & Vargas, 2001, hal.9. [2] Setiap matriks perbandingan dikatakan konsisten apabila nilaicr tidak lebih dari 10%. Setelah memastikan bahwa setiap matriks perbandingan berpasangan cukup konsisten, langkah selanjutnya adalah membuat suatu supermatriks. Supermatriks berisikan vektorvektor prioritas dari setiap perbandingan. Misalkan suatu sistem memiliki N komponen yaitu C, C, 1 2, CN dan setiap komponen memiliki beberapa elemen. Komponenkomponen tersebut dihubungkan satu sama lain hingga terbentuk suatu model jaringan dari sistem yang diinginkan. Dari model tersebut akan dibentuk matriks-matriks perbandingan berpasangan yang masing-masing akan menghasilkan vektor prioritas. Nilai vektor prioritas dari setiap perbandingan dimasukkan pada kolom blok supermatriks yang bersesuaian. Blok-blok supermatriks tersebut akan disusun menjadi satu supermatriks seperti supermatriks berikut: W11 W21 W W N1 W W W N 2 W W W 1N 2N NN Keterangan: W : supermatriks yang terbentuk : matriks yang berisi bobot prioritas W ij elemen-elemen dalam komponen ke i terhadap elemen-elemen dalam komponen ke j. Submatriks W ij yang terdapat dalam supermatriks disebut blok supermatriks. W merupakan sebuah matriks berukuran ij ni n j seperti yang ditampilkan pada matriks berikut: ( j wi 1 ( j wi 2 Wij ( j win i Keterangan: ( j w l ik 1) 1) 1) w w w ( j2 ) i1 ( j2 ) i2 ( j2 ) ini w w w ( jn j ) i1 ( jn j ) i2 ( jn j ) ini ) : nilai prioritas elemen ke k dari komponen ke i terhadap elemen ke l komponen ke j. 9

18 Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas Setiap perhitungan yang dilakukan pada penelitian ini akan dilakukan dengan bantuan software super decision. Perangkat lunak super decision merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk membantu pengambilan keputusan yang mengimplementasikan metode ANP. 2. METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data primer yang diperoleh melalui proses wawancara yang dilakukan terhadap para narasumber. Adapun narasumber yang menjadi acuan dalam penelitian ini adalah anggota satuan lalu lintas, dinas perhubungan serta para pengamat transportasi yang terdapat di Kota Denpasar. Langkah-langkah penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut (Santoso, et al [4]): 1. Tentukan narasumber yang akan diwawancarai. 2. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk memperoleh kriteria dan alternatif solusi yang sesuai untuk menangani kemacetan yang terjadi di Kota Denpasar. 3. Membentuk model jaringan beradasarkan hasil wawancara yang di peroleh pada poin ke-2 serta menyusun angket beradasarkan model jaringan yang terbentuk. 4. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk mengetahui bobot dari masing-masing kriteria dan alternatif. Wawancara ini merupakan wawancara terstruktur dengan menggunakan angket yang telah dibuat. 5. Membuat matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan pengaruh setiap elemen terhadap kriteria. 6. Setelah semua bobot perbandingan terkumpul, masukkan nilai-nilai kebalikannya serta nilai di diagonal utama kedalam matriks perbandingan berpasangan, cari prioritas masing-masing kriteria dan uji konsistensinya. 7. Cari vektor prioritas dari matriks yang dibuat pada langkah ke Ulangi langkah 5, 6, dan 7 pada semua kriteria 9. Buat unweighted supermatrix 10. Buat weighted supermatrix 11. Buat limmiting supermatrix. 12. Ambil nilai dari alternatif yang dibandingkan untuk mengetahui hasil akhir perhitungan. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Tahap awal dari penelitian ini adalah pengambilan data yang menggunakan metode wawancara. Wawancara dilakukan untuk memperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan lalu lintas serta solusinya.wawancara ini dilakukan terhadap para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi yang juga merupakan anggota Masyarakat Transportasi Indonesia (MTI) yang berada di Kota Denpasar. Setelah melakukan wawancara terhadap para pengamat transportasi maka diperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan serta alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menanganinya. Faktor-faktor serta alternatif solusi ini kemudian disusun menjadi suatu jaringan ANP seperti Gambar 2. Gambar 2. Jaringan ANP yang terbentuk Hubungan inner dependence dan outer dependence pada jaringan yang terdapat dalam Gambar 2 akan di ilustrasikan dalam matriks pada Gambar 3. 10

19 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: Alternatif Manajemen Rasio Regulasi JK A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKU JP D PP P A A A A A A MJ MP JKP JKU JP D PP Gambar 3. Tabel yang Berisi Matriks Ketergantungan Dari matriks pada Gambar 3 akan dibentuk sebuah angket perbandingan. Angket tersebut digunakan sebagai alat bantu melakukan wawancara untuk memperoleh bobot dari setiap perbandingan. Bobot-bobot tersebut kemudian disusun menjadi matriks-matriks perbandingan berpasangan sesuai dengan item pertanyaan yang terdapat pada angket. Setiap bobot dimasukkan ke dalam matriks perbandingan berpasangan dengan prinsip resiprokal yang kemudian dicari vektor prioritasnya. Vektor-vektor prioritas tersebut kemudian disusun menjadi sebuah supermatriks. Dalam hal ini terdapat tiga buah supermatriks yang akan terbentuk yaitu: unweighted supermatrix, weighted supermatrix, dan limiting supermatrix. Unweighted supermatrix merupakan supermatriks yang dibuat dengan menyusun setiap vektor prioritas pada kolom yang sesuai, seperti Gambar 4. A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP A A A A A A MJ MP JKP JKU JP D PP Gambar 4. Unwiehted Supermatrix Tabel ini menunjukan prioritas tiap alternatif terhadap masing masing faktor. Dari tabel pada Gambar 4 diperoleh bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,267, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu 0,308 dan 0,355. Gambar 4 ini hanya berisikan bobot perbandingan antar elemen, belum mencangkup perbandingan antar cluster (komponen). Oleh karena itu nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 4 harus dikalikan dengan nilai-nilai pada perbandingan cluster untuk membentuk supermatiks baru yang disebut weighted supermatrix. 11

20 Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP A A A A A A MJ MP JKP JKU JP D PP Gambar 5. Weighted Supermatrix Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 merupakan nilai prioritas yang diperoleh dengan menggabungkan hasil perbandingan elemen dan perbandingan clutser. Gambar 5 memperlihatkan bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,041, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu 0,029 dan 0,128. Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 digunakan untuk memeperoleh sepermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. Pada weighted supermatrix yang terdapat pada Gambar 5, alternatif yang mendapat prioritas tertinggi pada setiap faktor masih berbeda beda. Oleh karena itu supermatriks ini terus dipangkatkan sampai setiap kolom yang terdapat pada satu baris yang sama memiliki nilai yang sama dan membentuk supermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. Supermatriks pada Gambar 5 dipangkatkan dengan tujuan untuk mencangkup semua hubungan saling memengaruhi yang mungkin terjadi pada setiap elemen dan alternatif, baik itu pengaruh langsung maupun pengaruh tak langsung. A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP A A A A A A MJ MP JKP JKU JP D PP Gambar 6. Limiting Supermatrix Limiting supermatrix akan memperlihatkan prioritas dari masing-masing alternatif beradasarkan seluruh kriteria yang ada. Langkah selanjutnya adalah menyusun alternatif-alternatif tersebut beradasarkan prioritas yang diperoleh dari limiting supermatrix, seperti Tabel 3. 12

21 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: Keterangan: Tabel 3. Prioritas Alternatif Alternatif Nilai Prioritas Alternatif 1 0,091 1 Alternatif 6 0,044 2 Alternatif 4 0,037 3 Alternatif 5 0,035 4 Alternatif 2 0,027 5 Alternatif 3 0,023 6 Alternatif 1: Memperbaiki sistem angkutan umum Alternatif 2: Menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan Alternatif 3: Membuat aturan Alternatif 4: Membuat aturan road pricing Alternatif 5: Mengoptimalkan manajemen jalan Alternatif 6: membuat aturan zonasi jalan 4. KESIMPULAN DAN SARAN Beradasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulan bahwa alternatif-alternatif solusi yang dapat digunakan dalam menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah memperbaiki sistem angkutan umum, menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan, membuat aturan 3 in 1, membuat aturan road pricing, mengoptimalkan manajemen jalan, membuat aturan zonasi jalan. Berdasarkan perhitungan menggunakan Metode ANP, dari keenam alternatif tersebut, alternatif terbaik yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah alternatif memperbaiki sistem angkutan umum. Dalam penelitian ini masih terdapat beberapa kekurangan salah satunya adalah analisis yang digunakan hanya menggunakan aspek traffic management analysis. Oleh karena itu pada penelitian selanjutnya bisa ditambahkan aspek-aspek lain dalam melakukan analisisnya misalnya aspek sosial dan budaya. DAFTAR PUSTAKA [1] Saaty Fundamental of The Analytic Network Process Dependence and Feedback in Decision Making With a Singel Network. Journal of System Science and System Engineering, [2] Saaty, T.L., & Vargas, L. G Models, Methods, Concepts and Applications of the Analytic Hierarchy Process. New York: Springer Science+Business Media New York. [3] Saaty, T.L., & Vargas, L. G Decision Making With The Analytic Network Process Economic Political, Social and Technological Applications with Benefits, Opportunities, Cost and Risk (2 ed.). New York: Springer Science+Business Media, LLC. [4] Santoso, Leo Willyanto, Alexander Setiawan & Januar R. Stanley Pembuatan Aplikasi Sistem Seleksi Calon Pegawai dengan Metode Analytic Network Process (ANP) di PT X. Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri Universitas Kristen Petra. 13

22 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA PENSIUN Lia Jenita 1, I Nyoman Widana 2, Desak Putu Eka Nilakusmawati 3 1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [ liajenitat@gmail.com] 2 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [ nwidana@yahoo.com] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [ nilakusmawati@unud.ac.id] Corresponding Author ABSTRACT Pension plan is an effort to anticipate the life of old on the day. In the pension program, there are two methods of normal due s calculation to be paid by the insured each year, the Entry Age Normal method, namely calculation of normal dues with constant premiums and projected unit credit method, namely calculation of normal dues with Premium Increases Each year or is not constant. This paper wants to develop an inconstant premium calculation method with constant premium increase annually. Where the pension plan participants age when he joined the pension plan is 19 years and the retirement age on this contract is 55 years, with premium increases of 5% of the normal dues early. The large ratio of premiums is, for dues normal at the age of 19 years until the age of 28 years, but for dues normal at the age of 29 years to the age of 33 years and to normal dues at the age of 34 years old until the age of one year before retirement. Keyword: Entry Age Normal, futures contract, Premium Increases Each, constant premium increase annually 1. PENDAHULUAN Asuransi dana pensiun merupakan salah satu bentuk upaya perencanaan masa tua dengan tujuan menjamin kesejahteraan hidup pada saat memasuki usia pensiun. Program Asuransi adalah suatu program yang mengupayakan sejumlah pertanggungan dengan pihak-pihak yang terlibat, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan pihak tertanggung (individual atau kelompok sebagai pemegang polis). Pihak penanggung memberikan jaminan suatu pengganti kerugian yang dialami atau diderita tertanggung sesuai perjanjian dan kesepakatan kedua belah pihak. Pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayarkan sejumlah uang yang disebut dengan premi sesuai polis yang disepakati kedua belah pihak pada awal perjanjian asuransi. Oleh karena itu, Dana pensiun atau sering disebut asuransi hari tua adalah asuransi yang mengupayakan sejumlah nilai manfaat (benefit) pensiun bagi pesertanya yang bertujuan membentuk sejumlah dana untuk dapat dipergunakan nantinya di hari tua setelah mereka tidak bekerja lagi. Menurut UU No.11 Tahun 1992 yang berisikan tentang hal-hal yang menyangkut tentang dana pensiun. Selain sebagai bentuk jaminan masa tua para pegawai yang bekerja di perusahaannya, dana pensiun juga merupakan salah satu tanggung jawab perusahaan terhadap semua pegawai yang telah bekerja keras selama masa kerjanya di perusahaan itu. Pada asuransi dana pensiun, ada beberapa kesepakatan yang harus disetujui oleh pihak tertanggung dan pihak penanggung. Kesepakatan itu adalah premi dan aktuaria, dimana besar premi yang akan dibayarkan oleh pihak tertanggung (pegawai) asuransi dana pensiun harus disesuaikan dengan penghasilan yang didapatkan, sehingga besar iuran premi yang akan dibayarkan tidak membebani tertanggung. Pembayaran premi akan dilakukan 14

23 Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E. Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun dalam bentuk pembayaran iuran normal dilakukan dalam bentuk pemotongan gaji pegawai. Gaji yang dipotong menjadi investasi selama masa kerja dan akumulasi dana untuk pembayaran manfaat pensiun dalam memelihara kesinambungan penghasilan peserta pada hari tua (Futami [2]). Dalam melakukan perhitungan premi, penulis menggunakan formula baru yaitu perhitungan premi tidak konstan dengan kenaikan premi tiap tahunnya konstan. Metode ini adalah metode perhitungan normal cost dengan mengalokasikan total manfaat pensiun secara merata sejak tanggal perhitungan aktuaria. Metode tersebut menggunakan asumsi skala gaji yang akan diestimasi pada masa depan (future value) dan diasumsikan bahwa gaji mengalami peningkatan. Menurut Futami [3], jika seseorang berinvestasi sebesar Rp.1,- pada saat sekarang dan tingkat bunga yang berlaku sebesar maka total pokok besar bunga sebesar bunga setelah tahun adalah:. (1) Besar total manfaat yang didapatkan selama tertanggung aktif bekerja dari umur tahun sampai dengan tahun, dinotasikan sehingga besar manfaat yang akan diterima oleh tertanggung pada tahun dinotasikan (Sembiring [5]). [ ] * + [ ] (4) Nilai akhir anuitas yang dilakukan selama tahun dengan peningkatan sebesar dinotasikan dengan sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi:. (5) Sehingga diperoleh manfaat pensiun tertanggung sampai berusia tahun adalah [ ] (6) Present Value of Future Benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan diterima oleh tertanggung saat memasuki usia pensiunnya atau tahun. Sistem pembayaran manfaat pensiun yang dilakukan tiap tahun sampai tertanggung meninggal. r r-x [6] (7) (2) Manfaat yang didapatkan oleh peserta pensiun merupakan proporsi gaji sebesar persen yang kemudian diakumulasikan sesuai waktu yang telah ditentukan selama dan berdasarkan skala gaji berikut: a. Asumsi Gaji Terakhir Gaji terakhir pada usia diharapkan dinotasikan dengan tahun yang. (3) b. Asumsi Rata-Rata Gaji Selama Bekerja Rata-rata gaji yang diharapkan selama bekerja adalah Gambar 1. Skema Pembayaran Keterangan: r = nilai sekarang dari manfaat pensiun normal di usia x tahun; = besar manfaat pensiun normal; = nilai sekarang dari anuitas seumur hidup di usia pensiun tahun; = faktor diskonto selama tahun; dan r-x = tingkat penyusutan aktuaria total di usia x tahun hingga usia tahun 15

24 E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran normal yang dibayarkan secara berkala oleh peserta dimulai dari peserta berusia tahun sampai memasuki usia pensiun berusia tahun, yang dinotasikan dengan r. Besar pembayaran berkala iuran normal yang dilakukan setiap awal tahun sebesar dimulai dari peserta masuk program pensiun (usia tahun) sampai memasuki usia pensiun selang waktu usia tahun dapat dijelaskan dengan skema pembayaran tampak pada Gambar 2. peserta berusia tahun adalah r sedangkan nilainya akan sama dengan nilai sekarang manfaat pensiun saat tertanggung berusia tahun yaitu r (Nurcahyani & Endang [4]), sehingga diperoleh persamaan: r r Sehingga berdasarkan persamaan (7) dan (8), maka nilai NC dapat dirumuskan sebagai berikut: r-x r-x r-x EAN Gambar 2. Skema Pembayaran Iuran Normal Selama Masa Kerja Berdasarkan skema pada Gambar 2 pembayaran iuran normal selama masa kerja tertanggung selang waktu usia tahun sampai dengan berusia tahun adalah 2 r-1-a. Sehingga nilai sekarang iuran normal pada saat tertanggung berusia tahun yang dinotasikan dengan r dan dirumuskan sebagai berikut r (8) 2. Metode Perhitungan Premi Metode Entry Age Normal adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang akan sama dengan nilai sekarang iuran normal (premi) yang akan datang pada saat berusia pensiun. Pada dasarnya, iuran normal yang akan dibayarkan oleh tertanggung secara berkala (PVFNC) pada selang usia tahun sampai tahun, dipergunakan untuk melakukan pembayaran manfaat (PVFB) yang nantinya akan diberikan kepada tertanggung pada saat pensiun. Nilai sekarang dari iuran normal saat EAN Metode Projected Unit Credit (9) Metode Projected Unit Credit (PUC) adalah merupakan metode perhitungan iuran normal yang membagi total manfaat pensiun pada saat usia pensiun. Dimana total dari masa kerja peserta pensiun menjadi suatu unit manfaat pensiun yang kemudian dialokasikan pada setiap tahun pada masa kerja (Bower,et al. [7]). Iuran normal (NC) seorang peserta yang berusia dan pensiun pada usia didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan terima peserta pensiun dimasa yang akan datang dan akan menyebar secara merata setiap tahunnya selama masa kerja (Futami [3]). Sehingga iuran normal untuk metode ini dapat dirumuskan sebagai berikut: PUC r-x 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Model (formula) Premi Tidak Konstan Pada tahapan ini akan dicari formula premi tidak konstan dengan kenaikan yang konstan setiap tahunnya sebesar. Adapun rincian kontrak dalam program asuransi adalah sebagai berikut, mulai menjadi peserta program pensiun 16

25 Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E. Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun saat berusia tahun dan akan terhitung pensiun pada usia tahun. Misalkan adalah nilai tunai yang harus di bayarkan tertanggung setiap tahunnya. Pada tahun pertama tertanggung membayarkan iuran sebasar dan tahun kedua sebesar dan seterusnya mengalami peningkatan sebesar setiap tahunnya sampai mencapai usia pensiun satu tahun sebelum. Sehingga besar iuran terakhir yang akan dibayarkan tertangngung adalah. Sebaliknya sebagai hak yang akan didapatkan peserta pensiun bila hidup sampai usia, akan mendapatkan tanggungan (uang pensiun) mulai usia tahun sebesar seumur hidup. Apabila peserta pensiun meninggal sebelum mencapai usia, maka peserta pensiun tidak mendapatkan uang tanggungan apapun. Dari kontrak ini maka nilai tunai dari premi yang akan dibayarkan peserta pensiun adalah: [ ] [ ] Berdasarkan prinsip ekuivalensi yang telah dijelaskan terlebih dahulu pada persamaan (9) dimana nilai uang yang masuk kedalam perusahaan harus sama dengan nilai uang yang dikeluarkan perusahaan. Sehingga dengan mengunakan persamaan ekuivalensi dari persamaan (11) dan (12) maka akan diperoleh persamaan: [ ] [ ] [ ] [ ] Dimana [ ] menyatakan besar iuran normal pada tahun pertama, sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah: [ ] [ [ [ [ [ ] { } ] Sehingga diperoleh nilai sekarang dari iuran normal (premi) yang dibayarkan peserta pensiun adalah : [ ] (11) Sedangkan untuk nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi pensiun bagi peserta pensiun adalah: ] ] ] Contoh Kasus Penerapan Berdasarkan rumusan masalah yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka akan diberikan contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan pada penelitian ini (Nurcahyani & Endang [4]). Dalam hal ini, bila seorang karyawan mulai menjadi peserta pensiun semenjak berusia 19 tahun dan akan terhitung pensiun pada usia 56 tahun, dengan gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yang diakumulasikan dalam satu tahun adalah sebesar -. Perhitungan (valuasi) dilakukan pada saat peserta berusia 24 tahun. Kemudian untuk tahun berikutnya iuran normal yang akan dibayar ditambahkan dengan sebesar 5% dari besar manfaat pensiun dengan tingkat suku bunga sebesar 11% dan sebesar 2,5% adalah: a. Perhitungan Manfaat Pensiun Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, pada penelitian ini perhitungan 17