BAB I PENDAHULUAN Antrian yang panjang sering kali kita lihat di bank saat nasabah mengantri di teller untuk melakukan transaksi, airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil : mobil antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Di sektor jasa, bagi sebagian orang antri merupakan hal yang membosankan dan sebagai akibatnya terlalu lama antri, akan menyebabkan pelanggan kabur. Hal ini merupakan kerugian bagi organisasi tersebut. Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, layanan yang cepat akan sangat membantu untuk mempertahankan pelanggan, yang dalam jangka panjang tentu saja akan meningkatkan keuntungan perusahaan. 1.1 Karakteristik Sistem Antrian Ada tiga komponen dalam sistem antrian yaitu : 1. Kedatangan, populasi yang akan dilayani (calling population) 2. Antrian 3. Fasilitas pelayanan Masing-masing komponen dalam sistem antrian tersebut mempunyai karakteristik sendirisendiri. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah : Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1.1.1 Kedatangan Populasi yang akan Dilayani (calling population) Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte). Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan. 1.1.2 Antrian Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain. 1.1.3 Fasilitas Pelayanan Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.
1.2 Tata letak Tata letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan. 1.3 Disiplin antrian Ada dua klasifikasi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari kedua jenis disiplin antrian tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri. 1.4 Waktu Pelayanan Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi poisson & eksponensial 2.1.1 Distribusi Poisson Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari, minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi, maupun sebuah material.(dimyati, 1999:309) Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai berikut. 1. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang tertentu bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah tertentu yang lain. 2. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut. 3. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan. Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut. (Djauhari, 1997:163-164) Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X. 2.1.2 Disribusi Eksponensial Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang
tidak tergantung pada pada banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang menunggu untuk dilayani. jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut. (Djauhari, 1997:175-176 ) disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan. 2.2 Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang timbul selama satu interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut ini. Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt, yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t). Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu. Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat kecil h Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah kejadian selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial. Dengan kasus demikian, dapat dikatakan bahwa kondisikondisi tersebut mewakili proses Poisson. Definisikan P n (t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang timbul selama t + h adalah
(Taha, 1999:179) Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P 0 (h) < 1. Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai berikut. dimana α adalah konstanta positif. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan P n (t), interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial. Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara Eksponensial dan Poisson, kemudian dapat disimpulkan bahwa P n (t) pastilah poisson. Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar pemunculan kejadian yang berturut-turut, t 0 Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir, maka pernyataan berikut ini berlaku Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan diperoleh atau dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada persamaan 2.5, diperoleh yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan mean unit waktu. Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi Eksponensial, teori peluang dapat menjelaskan bahwa P n (t) adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson,yaitu:
Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n t} = α t kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian. Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan mean unit waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah Poisson dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan sebaliknya. Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak (completely random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak bergantung pada interval waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan pembuktian pernyataan probabilitas berikut ini. P (t > T + S t > S) = P (t > T) (2.8 ) Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir. Karena t bersifat Eksponensial, maka ( 2.9 ) Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari distribusi eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa distribusi poisson sepenuhnya bersifat acak. Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini kadang-kadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data ditarik dari sebuah distribusi poisson. (Taha, 1999: 178-180)
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Pelayanan Tunggal Untuk menguraikan model pelayanan tunggal (single server), lebih dahulu perlu dibahas distribusi dari kedatangan (proses arrival) yang pada umumnya sudah dibentuk secara teratur dalam proses poisson. Dengan demikian distribusinya akan mempunyai nilai parameter dari distribusi poisson. Kadangkala proses poisson juga ditemukan pada proses pelayanan, yang demikian juga berarti bahwa proses poisson juga berlak pada pelayanan sehingga dapat dikodekan : (M/M/1) (GD/ / ) Dimana: Untuk M = Distribusi poisson Untuk M = Distribusi poisson/eksponensial Untuk 1 = 1 (single server) Untuk GD = General Discipline FCFS Untuk = Antrian tak terhingga Sering juga ditemukan bahwa proses pelayanan ini dalam parameter-parameter dari distribusi eksponensial. Dalam membentuk rumus-rumus untuk single server dari populasi yang tidak terbatas perlu digunakan notasi-notasi parameter, antara lain : Notasi λ = Arrival Rate (jumlah unit per periode waktu) = Unit/time periode (lamda) Notasi μ = Service Rate (jumlah pelayanan per periode waktu)
= Service/time periode (miu) Notasi ρ = System Utilization = Busy System = Sistem pelayanan (rho) Probabilitas dari Sistem Pelayanan (Busy System) ini adalah : 3.2 Penguraian dari (M/M/1):(GD/ / ) Pertama-tama, pada penguraian ini selalu dapat diasumsikan bahwa proses kedatangan dengan pelaksanaan pelayanan adalah independence (tidak ada kaitan dalam perhitungannya). Ini berarti rata-rata kedatangan tidak akan bervariasi/berubah-ubah dalam waktu tertentu dan tidak mempengaruhi jumlah satuan dalam antrian pertama dalam penguraian pelayanan. Dengan demikian probabilitas dari satu kedatangan selama periode waktu t=h ini bersifat konstan, dan juga = hλ (ini untuk satu kedatangan). Sedangkan conditional probability untuk melengkapi service pelayanan adalah μ t = μh pelanggan yang masuk dilayani. Asumsi yang terakhir, harus dapat dianalisis dari periode waktu t yang sangat kecil, yang akan mencapai ( t 2 ) 2 = h 2 0 berarti h 2 = 0. Ini berarti yang tidak memenuhi syarat tidak akan digunakan. Selanjutnya untuk penguraian single server ini perlu diperhatikan langkah-langkah yang dipergunakan, yaitu: Diberikan n = jumlah unit/satuan dalam system Berarti P n (t) adalah probabilitas dari n unit dalam system periode waktu = t, maka perlu diperhatikan bahwa:
1. Pertama-tama ditentukan besarnya P n (t) dalam parameter λ dan μ. 2. Menggunakan hasil (I) ini untuk mencari expected number atau jumlah ekspektasi dari unit atau satuan-satuan system untuk parameter-parameter λ dan μ. 3. Terakhir, menggunakan hasil-hasil (II) ini untuk mendapatkan perumusan dari lamanya waktu (time) di dalam system dan juga rumus-rumus lainnya. Berarti probabilitas dari n unit dalam system dapat dianalisis dengan menjumlahkan probabilitas dari semua cara yang membuat event-event dapat muncul. 3.3 Notasi dalam Teori Antrian Untuk: (M/M/1):(GD/ / ) M K ρ Pr : Jumlah pelanggan(customer) : Jumlah chanel : Sistem pelayanan (busy system) : Probabilitas dari busy system = ρ λ μ : Jumlah rata-rata pelanggan tiba per unit waktu (arrival rate per unit time) : Jumlah rata-rata pelayanan per unit waktu (service rate per unit time) P 0 : Probabilitas dari empty/kosong atau dalam ideal system, dengan ketentuan : P n : Probabilitas dari n pelanggan (customer) dalam system L s : Expected number (jumlah yang diharapkan) dalam system (queue dan service) : L s = L q : Expected number dalam antrian : L q =
W s : Expected time dalam system (Queue dan service) : W s = W q : Expected time dalam Queue : W q = L n : Expected number dalam Queue : L n = W n : Expected time dalam Queue untuk non empty queues : W n = 3.4 Model Antrian Populasi Terbatas dengan Pelayanan Tunggal Model Antrian Keempat model antrian pada tabel diatas menggunakan asumsi sebagai berikut : - Kedatangan berdistribusi poisson - Penggunaan aturan FIFO - Pelayanan satu tahap
Namun, yang akan dibahas adalah Model D (limited population atau populasi terbatas) Notasi : D F = Probabilitas sebuah unit harus menunggu didalam antrian = Faktor efisiensi H J L M N T = Rata-rata jumlah unit yang sedang dilayani = Rata-rata jumlah unit yang tidak berada dalam antrian = Rata-rata jumlah unit yang menunggu untuk dilayani = Jumlah jalur pelayanan = Jumlah pelanggan potensial = Waktu pelayanan rata-rata U W X = Waktu rata-rata antara unit yang membutuhkan pelayanan = Waktu rata-rata sebuah unit menunggu dalam antrian = Faktor pelayanan Rumus Matematis antrian untuk model di atas sebagai berikut : A.
B. C. D.
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan 1. Ada tiga komponen dalam sistem antrian yaitu : Kedatangan, populasi yang akan dilayani (calling population) Antrian Fasilitas pelayanan 1. Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan. 2. Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. 1. Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada pada banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang menunggu untuk dilayani. 2. Untuk menguraikan model pelayanan tunggal (single server), lebih dahulu perlu dibahas distribusi dari kedatangan (proses arrival) yang pada umumnya sudah dibentuk secara teratur dalam proses poisson. Dengan demikian distribusinya akan mempunyai nilai parameter dari distribusi poisson.
DAFTAR PUSTAKA Anonymous. Bab 10-Teori Antrian. STEKPI Puspitasari, Diah. 2005. Aplikasi Sistem Antrian Dengan Saluran Tungaal Pada Unit Pelaksana Tekniks (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang. Semarang: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Wahyujati, Aji. 2006. Riset Operasional 2 Model Antrian. Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB. Wiweko, Hidayat. 2008. Modul 2 Analisa dan Perancangan Proses. Jakarta: Pusat Pengembangan Bahan Ajar, UMB