Seminar Nasional Statistika IX Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009 PERBANDINGAN SENSITIVITAS MODEL MARKOWITZ, EWMA, DAN GARCH TERHADAP PERUBAHAN NILAI VOLATILITAS DALAM PEMBETUKAN PORTOFOLIO INVESTASI Komang Dharmawan Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana, Bali Email: Komang_Dharmawan@yahoo.com.au Abstrak Dalam teori portofolio mean-variance yang dikembangkan oleh Markowitz, portofolio disusun berdasarkan asumsi bahwa harga saham tidak bergerak secara dinamis selama investasi, atau pergerakan harga saham memiliki nilai volatilitas yang sama dengan situasi pasar modal yang terjadi saat ini maupun dimasa yang akan datang. Ini berarti portofolio yang disusun tidak merefleksikan keadaan pasar yang sesungguhnya. Model lain yang dianggap lebih dapat menjelaskan keadaan pasar yang bergerak secara dinamis, yaitu model EWMA (exponentially weighted moving average), model ini memberikan bobot yang lebih besar pada data paling baru. Jadi kodisi pasar terakhir akan dilibatkan dengan bobot yang lebih besar dalam memprediksi matriks varians-kovarians. Model lain yang dapat menangani berfluktuasinya nilai volatilitas suatu harga saham adalah model GARCH. Kedua model ini dipakai untuk memprediksi matrik varians-kovarians dengan asumsi bahwa volatilitas yang diwakili oleh varians dari harga saham berubah secara dinamis. Makalah ini membahas sensitifitas model Markowitz, EWMA, dan GARCH dalam pemilihan portofolio terhadap perubahan nilai volatilitas. Portofolio akan dibentuk menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu Exelcomindo, Aneka Tambang, Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008. Dari hasil studi empiris ditemukan bahwa metode EWMA yang paling sensitif terhadap perubahan volatilitas dibandingkan dengan metode GARCH dan Markowitz Keywords: Teori Portofolio Markowitz, Pemilihan Portofolio mean-variance, exponentially weighted moving average (EWMA), generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH). 1. Pendahuluan Setiap investor mengetahui bahwa akan ada suatu risk-return tradeoff atau pertukaran antara resiko dan imbal hasil (return), yaitu apabila investor bersedia menanggung resiko, maka akan mendapatkan imbalan berupa imbal hasil yang lebih tinggi. Jadi jika seorang inverstor ingin mendapatkan imbal hasil yang lebih besar maka investor harus bersedia menanggung resiko yang lebih tinggi (high risk high return). Adanya resiko ini telah membuat manajer investasi lebih bijak dalam mengelola dana dalam arti, penggunaan teori-teori ekonomi atau matematika akan menjadi landasan utama dalam pengambilan keputusan investasi. 1
Salah satu teori investasi yang banyak digunakan dalam pengelolaan portfolio adalah teori Markowitz. Memanfaatkan teori ini dalam praktek memerlukan beberapa asumsi, salah satunya adalah asumsi data bersifat normal dan stasioner dalam rataan atau varians. Atau lebih tegasnya teori Markowitz mengasumsikan bahwa eror data harus mengikuti pola homoskedastik (atau varian eror besifat stasioner). Menurut penelitaian yang dilakukan oleh Mandeibrot (1963), data finansial seperti harga saham memiliki ekor yang lebih gemuk dari distribusi normal dan perubahan harga cendrung bersifat cluster artinya perubahan harga saham yang besar cendrung diikuti oleh perubahan yang besar juga. Sebaliknya perubahan yang kecil pada harga saham akan diikuti oleh perubahan yang kecil pula. Dengan demikian penggunaan teori Markowitz untuk data finasial mengakibatkan terjadinya pelanggaran asumsi-asumsi tersebut di atas. Horasanh dan Fidan (2006) dalam papernya mengusulkan penggunaan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) dan Generelised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) untuk mengekspresikan dinamika harga saham dan dapat mengurangi estimation errors. Penggunaan EWMA lebih merefleksikan kondisi riil dinamika harga saham karena memberikan bobot yang lebih besar pada data harga saham yang terbaru sedangkan metode GARCH dapat mengatasi dinamika volatilitas harga saham yang nonstasioner. Dalam makalah ini model Markowitz, model EWMA, dan model GARCH dibahas, kurva efficient frontier untuk ketiga metode juga disajikan, kemudian sensitifitas ketiga model tersebut terhadap perubahan volalititasnya juga diamati. Portofolio akan dibentuk menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu Exelcomindo, Aneka Tambang, Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008. 2. Model Portofolio Mean-Variance (M-V) Portofolio mean-variance yang efisien bisa dicapai dengan dua cara yaitu; meminimumkan risiko (variance) untuk keuntungan (mean return) tertentu atau memaksimalkan rata-rata keuntungan (mean return) dengan menanggung risiko (variance) tertentu. Menurut teori portofolio M-V, distribusi peluang dari harga saham diasumsikan diketahui, dan nilai imbal hasil dari setiap portofolio dihitung menggunakan nilai ekspektasi dari portofolio tersebut dan resiko dihitung menggunakan varians dari portofolionya. Menurut Markowitz, teori M-V dapat dijabarkan sebagai berikut. Misalkan seseorang ingin menginvestsikan modalnya pada sejumlah n saham yang berbeda, misalkan juga nilai ekspektasi keuntungan masing-masing saham adalah maka 2
dimana, adalah proporsi modal yang diinvestasikan pada saham ke-i, dan adalah nilai ekspektasi keuntungan portofolio. Misalkan varians dari masing-masing kuntungan dari masing saham adalah dan varians dari portofolio adalah, dan misalkan covariansi dari saham i dan saham j adalah, maka dengan portofolio, saham dan, saham i dan j (dalam hal ini Menggunakan cara penulisan yang standar, masalah optimasi dapat dituliskan dalam bentuk Masalah optimasi di atas adalah masalah optimasi quadratic programming yang diselesaikan dengan menggunakan fungsi QUADPROG pada MATLAB. 3. Exponentially Weighted Moving Average Metode ini memberikan bobot yang lebih besar untuk data yang terbaru dalam menaksir matrik varians-covarians. Penggunaan model ini untuk peramalan beberapa tipe data ekonomi yang bersifat tak stasioner akan memberikan hasil yang lebih tepat, walaupun metoda tersebut tidak mampu untuk memberikan hasil yang efisien untuk semua deret waktu. Proses EWMA didefinisikan dengan parameter peluruhan dan nilai adalah data return saham. Model EWMA mengasumsikan bahwa volatilitas tidak konstan selama investasi berlangsung. Oleh karena itu teknik EWMA menyediakan model volatilitas yang lebih akurat untuk hubungan antara keuntungan harga saham. Observasi data yang baru didapat 3
denga memberikan bobot data sebelumnya dan mengalikan masing-masing suku dengan kemudian hasil kalinya dibagi dengan suku berikut Misalkan adalah standar deviasi dari data runtun waktu pada waktu t+1 dan adalah return pada waktu t maka: Persamaan (7) menekankan bahwa pada setiap observasi data yang baru volatilitas dari saham berubah. Oleh karena itu menurut Engle s (1982), data terbaru akan memberikan informasi tentang peramalan varians satu periode. Model EWMA adalah bentuk khusus dari tipe GARCH (1,1) yang dimodelkan oleh Bollerslev (1986). EWMA didapat dengan mengasumsikan bahwa salah satu dari parameter model GARCH sama dengan nol. Oleh karena itu EWMA dapat dikatakan sebagai model GARCH yang lebih sederhana karena hanya satu parameter yang digunakan sebagai input. Taksiran kovarian dapat dihitung dengan menggunakan rumus Model di atas mengasumsikan suatu hubungan linear antara dua saham. RiskMetrics menggunakan model di atas untuk menghitung volatilitas. Model ini bergantung pada parameter yang dikenal dengan nama factor peluruhan. Faktor ini secara langsung mempengaruhi hasil perhitungan volatilitas. Dengan memilih nilai factor ini mendekati 1, biasanya dipilih 0,94 atau 0,095, maka pengaruh data terbaru akan lebih kuat dibandingkan data yang lebih lama. 4. Generalised Autoregresif Conditional Heterokedastik (GARCH) GARCH merupakan bentuk yang lebih umum dari ARCH. Model ARCH pertama kali diperkenalkan oleh Nobelis Ekonomi 2003, F. Engle pada tahun 1982 dengan mengenalkan konsep Conditional Heterokedastik, sebuah konsep tentang ketidakkonstanan varians dari data acak, dan perubahan varians ini dipengaruhi oleh data acak sebelumnya yang tersusun dalam urutan waktu. 4
Model ARCH derajad q dari data acak didefinisikan ARCH(q) dengan data historis dengan K > 0, Terlihat bahwa dalam model ARCH(q) perubahan varians dipengaruhi oleh sejumlah q data acak sebelumnya. Hal ini yang akan menjadi dasar dari pengembangan model GARCH. Dalam model GARCH perubahan varians selain dipengaruhi oleh beberapa data acak sebelumnya, juga dipengaruhi oleh sejumlah varians dari data acak sebelumnya. Model umum GARCH(p,q) didefinisikan sebagai: dengan K > 0,, Masalah yang dihadapi dalam memodelkan data acak melalui model GARCH adalah menentukan koefisien, berdasarkan data acak yang sudah ada. Jika koefisien ini telah diperoleh maka nilai bisa diramalkan dengan tingkat kesalahan tertentu. GARCH cukup baik digunakan untuk memodelkan data yang berubah standar deviasinya, namun tidak untuk data yang benar-benar acak, sehingga perlu dilakukan uji terhadap korelasi data. 5. Studi empiris Portofolio yang akan dibentuk menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu Exelcomindo, Aneka Tambang, Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008. Setelah tingkat keuntungan R, dihitung kemudian dilakukan uji autokorelasi, yaitu dengan memplot fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Tujuan dari langkah ini adalah untuk melihat pola alternating (tanda dan nilai autokorelasi berubah secara acak sesuai dengan berjalannya nilai lag). Dari keempat data return yang diuji, keempatnya data menunjukan sifat tidak stasioner dalam varians, dan stasioner lemah dalam rata-rata hitung. Selanjutnya, Uji Ljung-Box digunakan, untuk mengetahui apakah data sudah bersifat acak. Berdasarkan uji Ljung Box terhadap nilai dugaan residual kuadrat dari 5
keempat data return menunjukkan bahwa nilai Q lebih besar dari CV (Critical Value) atau nilai P lebih kecil dari = 0.05. Ini berarti bahwa nilai dugaan residual kuadrat dari keempat saham berkorelasi yang juga berarti varians keempat saham tidak stasioner (Tabel 1). Berdasarkan uji ARCH LM terhadap nilai dugaan residual juga diperoleh nilai Q lebih besar dari CV (Critical Value) atau nilai P lebih kecil dari = 0.05 yang artinya nilai dugaan residual dari keempat saham menunjukkan adanya efek ARCH-GARCH pada data return sehingga memungkinkan peramalan menggunakan metode GARCH. Tabel 1 Uji Efek ARCH-GARCH Keempat Saham Saham Excelcomindo Uji Ljung Box 0 48.5786 7.8147 0 100.2971 12.5916 0 139.5197 16.9190 0 157.8284 21.0261 0 169.7181 24.9958 0 176.6085 28.8693 0 180.5722 32.6706 Uji Ljung Box 0.0001 20.6114 7.8147 0.0020 20.7651 12.5916 0.0001 35.2226 16.9190 0.0000 51.7220 21.0261 0.0000 58.2855 24.9958 0.0000 61.1139 28.8693 0.0000 62.5245 32.6706 Saham Aneka Tambang Uji ARCH LM 0.0 48.5786 7.8147 0.0 100.2971 12.5916 0.0 139.5197 16.9190 0.0 157.8284 21.0261 0.0 169.7181 24.9958 0.0 176.6085 28.8693 0.0 180.5722 32.6706 Uji ARCH LM 0.0004 20.6114 7.8147 0.0049 20.7651 12.5916 0.0002 35.2226 16.9190 0.0004 51.7220 21.0261 0.0005 58.2855 24.9958 0.0009 61.1139 28.8693 0.0010 62.5245 32.6706 Uji Ljung Box 0.00 77.2401 7.8147 0.00 81.7634 12.5916 0.00 94.8563 16.9190 0.00 99.0328 21.0261 0.00 101.1070 24.9958 0.00 102.5395 28.8693 0.00 103.5900 32.6706 Uji Ljung Box 0.0000 41.1626 7.8147 0.0000 41.3239 12.5916 0.0000 42.7104 16.9190 0.0000 43.1657 21.0261 0.0001 44.0286 24.9958 0.0004 44.8946 28.8693 0.0012 46.2549 32.6706 Saham Gudang Garam Saham Indosat Uji ARCH LM 0 77.2401 7.8147 0.00 81.7634 12.5916 0.00 94.8563 16.9190 0.00 99.0328 21.0261 0.00 101.1070 24.9958 0.00 102.5395 28.8693 0.00 103.5900 32.6706 Uji ARCH LM P Q Stat C 0.0000 41.1626 7.8147 0.0000 41.3239 12.5916 0.0002 42.7104 16.9190 0.0008 43.1657 21.0261 0.0068 44.0286 24.9958 0.0234 44.8946 28.8693 0.0344 46.2549 32.6706 Penentuan orde GARCH dapat dilihat dari plot ACF dan PACF residual kuadrat (plot ACF dan PACF). Beberapa model GARCH yang bisa dibentuk berdasarkan plot ACF dan PACF residual kuadrat keempat saham dapat dilihat pada Tabel 2 - Tabel 5 Tabel 2 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Excelcomindo Model GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,1) GARCH(2,2) K 6.6064 [2.2213]* 6.6028 [1.8588] 9.111 [2.2107]* 9.1119 [1.2860] G1 0.78858 [14.9598]* 0.7886 [11.0386]* 0.22018 [0.8653] 0.22016 [0.3417] G2 0.4814 [2.1404]* 0.48141 [0.9992] A1 0.14966 [3.1114]* 0.14967 [2.0891]* 0.21195 [3.1073]* 0.21195 [2.4039]* A2 0 [0.0000] 0 [0.0000] AIC -966.63-964.63-966.5-964.5 BIC -952.79-947.33-949.2-943.74 Keterangan: tanda [ ]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada. 6
Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham excelcomindo yang terlihat pada tabel 2 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk = 0.05. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham excelcomindo: Tabel 3 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Aneka Tambang Model GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,1) GARCH(2,2) K 7.497 [2.7717]* 7.4964 [1.8382] 9.6971 [2.1713]* 0.00011175 [1.9481] G1 0.84346 [28.4643]* 0.84347 [20.0623]* 0.20425 [1.4545] 0 [0.0000] G2 0.5421 [4.4150]* 0.71725 7.9423]* A1 0.1452 [3.7152]* 0.1452 [1.7091] 0.25312 [4.0187]* 0.21978 [3.3703]* A2 0 [0.0000] 0.057126 [1.1634] AIC -741.16-739.16-741.41-739.78 BIC -727.33-721.87-724.11-719.02 Keterangan: tanda [ ]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada. Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Aneka Tambang yang terlihat pada tabel 3 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk = 0.05. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Aneka Tambang: Tabel 4 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Gudang Garam Model GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,1) GARCH(2,2) K 0.00019098 [6.5614]* 0.00019087 [3.0020]* 0.0001762 [6.3293]* 0.0003549 [1.6961] G1 0.50959 [9.7322]* 0.50985 [3.6750]* 0.27335 [1.0661] 0 [0.0000] G2 0.23037 [0.9985] 0.13688 [0.4322] A1 0.45197 [4.4399]* 0.45172 [3.7888]* 0.44604 [4.3211]* 0.50769 [3.6393]* A2 0 [0.0000] 0.31884 [0.7615] AIC -913.02-911.02-913.18-909.11 BIC -899.18-893.72-895.88-888.36 Keterangan: tanda [ ]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada. Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Gudang Garam yang terlihat pada tabel 4 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Gudang Garam: 7
Tabel 5 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Indosat Model GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(2,1) GARCH(2,2) K 0.00052044 [4.8274]* 0.00077298 [5.0747]* 0.0005204 [4.2119]* 0.00077299 [5.0545]* G1 0.31507 [2.7753]* 0 [0.0000] 0.31511 0 [0.0000] [2.4157]* G2 0 [0.0000] 0 [0.0000] A1 0.43836 [4.2876]* 0.26522 [2.7339]* 0.43833 [4.1180]* 0.26534 [2.5280]* A2 0.31545 [4.0042]* 0.31545 [3.5074]* AIC -887.5675-892.4988-885.5675-890.4988 BIC -873.7292-871.2009-868.2696-869.7413 Keterangan: tanda [ ]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada. Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Indosat yang terlihat pada tabel 4.9 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk = 0.05. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Indosat: Tahap selanjutnya adalah perhitunga matrik varians-kovarian yang hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 6 Varians - Kovarians Metode Markowitz: Saham Excelcomindo Aneka Tambang Gudang Garam Indosat Excelcomindo 0.0011 0.0002 0.0004 0.0007 Aneka Tambang 0.0002 0.0031 0.0006 0.0018 Gudang Garam 0.0004 0.0006 0.0020 0.0012 Indosat 0.0007 0.0018 0.0012 0.0017 Tabel 7 Varians - Kovarians Metode EWMA: Saham Excelcomindo Aneka Tambang Gudang Garam Indosat Excelcomindo 0.0015 0.0003 0.0006 0.0008 Aneka Tambang 0.0003 0.0034 0.0009 0.0019 Gudang Garam 0.0006 0.0009 0.0040 0.0017 Indosat 0.0008 0.0019 0.0017 0.0018 Tabel 8 Varians - Kovarians Metode GARCH Saham Excelcomindo Aneka Tambang Gudang Garam Indosat Excelcomindo 0.0011 0.0003 0.0005 0.0007 Aneka Tambang 0.0003 0.0051 0.0012 0.0025 Gudang Garam 0.0005 0.0012 0.0049 0.0021 Indosat 0.0007 0.0025 0.0021 0.0021 Matrik varians-kovarian (Tabel 6- Tabel 8) dipakai sebagai masukan untuk fungsi QUADPROG pada MATLAB, yang hasilnya dapat disajikan dalam bentuk grafik efficient frontier seperti Gambar 1 8
Gambar 1. Efficient frontier Gambar 1 menggambarkan pada risiko 0.038 tingkat kerugian yang diperoleh menggunakan metode Markowitz memberikan nilai terkecil dibandingkan dengan menggunakan metode EWMA dan GARCH. Jika dilihat dari nilai tingkat kerugian pada 2.5 10-3 risiko terkecil diperoleh dengan menggunakan metode Markowitz dibandingkan metode EWMA dan GARCH. Jadi dapat disimpulkan bahwa jika dilihat dari level tingkat kerugian dan risiko portofolio, metode Markowitz memberikan risiko yang lebih kecil dibandingkan dengan metode EWMA dan GARCH ini terlihat dari garis efficient frontier metode Markowitz terletak di sebelah kiri garis efficient frontier metode GARCH dan EWMA. Sedangkan jika dilihat dari level sensitivitas metode EWMA dan GARCH terihat lebih curam dibandingkan dengan metode Markowitz yang mengindikasikan bahwa adanya sedikit perubahan pada risiko portofolio akan memberikan perubahan yang cukup besar pada return portofolio. Slope masing-masing grafik efficient frontier, pada selang tingkat kerugian 3,5 10-3 sampai 3 10-3 untuk metode Markowitz, GARCH dan EWMA berturut-turut adalah 0,3; 0,5; 0,7. Ini berarti metode EWMA yang paling sensitif terhadap perubahan volatilitas dibandingkan dengan metode GARCH dan Markowitz. Hasil yang berbeda diperoleh oleh Horasanli dan Fidan (2006) yang menyatakan metode EWMA pada pembentukan portofolio memberikan risiko yang paling kecil dan paling sensitif. Perbedaan ini disebabkan karena perbedaan banyaknya jenis saham yang digunakan dalam pembentukan portofolio serta perbedaan banyaknya data yang digunakan, dimana pada penelitian ini menggunakan empat jenis saham berbeda dan sebanyak 235 data untuk masing-masing saham sedangkan pada penelitian yang dilakukan oleh Horasanli dan Fidan 9
(2006) menggunakan lima belas jenis saham berbeda dengan 100 data untuk masingmasing saham. Selain itu pada penelitian ini pergerakan harga saham sedang kacau karena adanya krisis global. DAFTAR PUSTAKA Bollerslev,T. Generalised Autoregresif Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics. 1986. Box, G.E.P., G.M. Jenkins, and G.C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Third edition, Prentice Hall, 1994. Capiński, Marek and Tomasz Zastawniak, Mathematics for Finance An Introduction to Financial Engineering, Springer, United States of Amerika, 2004. Engle F.R. Autoregresif Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation,1982. Hillier, Frederick S. and Gerald J.Lieberman, Introduction to Operation Research, Fifth Edition, McGraw Hill International Edition, Singapura, 1990. Horasanli,M and Neslihan F. Portofolio Selection by Using Time Varying Covariance Matrices. Faculty of business Administration. 1998. Luenberger, David G., Investment Science, Stanford University, New York, 1998. Scherer, Bernd and Martin. Introduction to Modern Portfolio Optimization With NUOPT and S-PLUS, Springer, United State of Amerika, 2005. Surya,Y dan Yun H. Garch (2,1) pada LQ45. Bandung Fe Institute. 2004. Tsay, R.S. (2002). Analysis of Financial Time Series: Financial Econometrics. John Wiley & Sons, Inc. New York. Wei, W.W.S. (1990). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Canada. Winston, Wayne L. Operation Research Application and Algorithms, Third Edition, International Thomson Publishing, Belmont: California, 1994. 10