25 BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DAN FUNGSI STOK UANG 3.1 Asumsi dan Notasi Dalam proses pertukaran dan pembagian kerja, uang memainkan peranan penting di dalam ekonomi modern. Fungsi produksi yang digunakan adalah model one-sector growth (OSG) yang memanfaatkan dua faktor produksi, yaitu modal dan tenaga kerja. Misalkan diasumsikan bahwa permintaan uang per kapita adalah suatu fungsi dari pendapatan uang per kapita, kekayaan uang per kapita, dan tingkat suku bunga. Uang yang dimaksud adalah uang yang dikeluarkan pemerintah yang berbentuk uang giral atau kartal. Pasar uang diasumsikan terjadi pada keadaan ekuilibrium, yaitu permintaan uang per kapita selalu sama dengan uang yang beredar per kapita, yang dinotasikan:, dengan, (dengan adalah stok uang dan adalah banyaknya tenaga kerja) adalah persediaan stok uang per kapita, G suatu fungsi kontinu, y output per kapita, w kekayaan uang per kapita, r tingkat suku bunga (Zhang 2005). Diasumsikan bahwa seluruh penduduk dalam negara tersebut adalah tenaga kerja. Model berikut adalah model pertumbuhan ekonomi berdasarkan stok uang yang dikembangkan oleh Zhang (2005), dengan beberapa modifikasi yang dilakukan untuk menyempurnakan model tersebut. Untuk menggambarkan model tersebut, berikut ini diberikan beberapa definisi umum yang digunakan dalam model: = kekayaan pada waktu t; = total cadangan modal pada waktu t; = banyaknya tenaga kerja pada waktu t; = tingkat output sektor produksi pada waktu t; = pendapatan bersih pada waktu t;
26 = pendapatan bersih yang siap dibelanjakan pada waktu t; = banyak uang yang beredar pada waktu t; = total stok uang pada waktu t; = tingkat konsumsi pada waktu t; = tingkat harga atau nilai uang pada waktu t; = depresiasi kapital, dengan 0 < 1. 3.2 Perumusan Model dan Fungsi Produksi Misalkan fungsi produksi F didefinisikan dengan fungsi produksi Cobb- Douglas sebagai berikut: (3.1) dengan, menyatakan modal, adalah banyaknya tenaga kerja, dan adalah ah besaran elastisitas terhadap produksi. Output produksi per kapita didefinisikan sebagai berikut: dengan. (3.2) Pada sistem ini, tingkat suku bunga r dan tingkat upah z ditentukan oleh pasar. Berdasarkan persamaan (2.11), diperoleh hasil sebagai berikut:. (3.3) Analog dengan model sebelumnya pada persamaan (2.13), pendapatan bersih Y adalah sama dengan fungsi produksi F merupakan penjumlahan dari faktor-faktor f produksi dalam perekonomian yaitu dari pembayaran bunga dan pembayaran upah, yang dinyatakan dengan:. (3.4) Pendapatan kotor merupakan penjumlahan dari pendapatan bersih dan modal yakni. Kemudian diberikan batasan anggaran belanja a yaitu:
27 (3.5) dengan adalah rasio depresiasi kapital, 0. Persamaan (3.5) menjelaskan bahwa pendapatan kotor biasanya digunakan untuk konsumsi, membayar depresiasi kapital dan tabungan atau menambah kekayaan. Kekayaan diperoleh dari modal dan peredaran uang, yaitu: (3.6) dengan nilai uang., adalah total stok uang dan tingkat harga atau Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan didefinisikan sebagai berikut:. (3.7) Menurut David Ricardo, kuat atau lemahnya nilai uang sangat bergantung pada jumlah uang yang beredar. Apabila jumlah uang yang beredar berubah menjadi dua kali lipat, maka nilai uang akan menurun menjadi setengah dari semula, dan juga sebaliknya. Berdasarkan teori tersebut, peredaran uang sangat berpengaruh terhadap kekayaan dan pendapatan bersih yang siap dibelanjakan. Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan digunakan untuk konsumsi dan menambah kekayaan (semakin banyak simpanan atau tabungan, maka kekayaan juga akan bertambah karena mendapat bunga). Pada setiap titik waktu, seseorang mendistribusikan seluruh anggaran untuk konsumsi dan menambah kekayaan. Kendala pembiayaan adalah:. (3.8) Utilitas untuk seseorang, bergantung pada tingkat konsumsi dan laju pertumbuhan kekayaan, yaitu memenuhi: (3.9)
28 dengan adalah kecenderungan untuk mengonsumsi barang-barang dan adalah kecenderungan untuk menambah kekayaan. Solusi dari optimasi fungsi utilitas pada persamaan (3.9) dengan kendala pembiayaan pada persamaan (3.8) adalah tunggal, yaitu:. (3.10) (bukti: lihat Lampiran 4) Menurut definisi, akumulasi modal dinyatakan dengan:. (3.11) Dari persamaan (3.4), (3.5), dan (3.11), maka fungsi produksi dinyatakan: (3.12) (bukti: lihat Lampiran 5). Terlihat bahwa nilai output produksi digunakan untuk konsumsi, membayar depresiasi esia kapital, dan menambah modal. Dari persamaan (3.4), (3.7), (3.10) dan (3.12) didapatkan laju pertumbuhan modal yang dianggap merupakan persamaan dari model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang sebagai berikut:. (3.13) (bukti: lihat Lampiran 6). Model dari (3.13) menunjukkan bahwa akumulasi modal bergantung pada pendapatan, modal awal dan laju peredaran uang. Modal awal biasanya cenderung sama atau tetap dan depresiasi kapital cenderung turun. Jadi semakin banyak pendapatan dan laju peredaran uang semakin kecil, maka akumulasi modal semakin banyak atau sebaliknya. Stok uang bergantung pada laju peredaran uang, serta semakin banyak uang yang beredar maka stok uang juga akan bertambah banyak ak dengan asumsi tingkat harga tetap.
29 Dari model (3.13), laju pertumbuhan modal selanjutnya dibuat dalam per kapita, karena fungsi masih mengandung variabel (banyaknya tenaga kerja). Padahal angkatan tenaga kerja setiap waktu berbeda. Persamaan (3.3) disubstitusikan ke persamaan (3.4), maka pendapatan bersih per kapita y adalah sebagai berikut:,, (3.14) Dari persamaan (3.13) dan (3.14), maka laju pertumbuhan modal dari model (3.13) dalam per kapita sebagai berikut: dengan. (3.15) Persamaan (3.15) dapat dibuat menjadi sistem persamaan diferensial taklinear yaitu: (3.16). (3.17) Penyelesaian analitik sistem persamaan diferensial taklinear dari persamaan (3.16) dan (3.17) tidaklah mudah, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan pendekatan secara numerik yaitu menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. 3.33 Kondisi Ekuilibrium Selanjutnya akan ditentukan variabel-variabel pada saat ekuilibrium, yaitu pada saat dan. Kondisi ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial taklinear persamaan (3.16) dan (3.17) adalah sebagai berikut:
30 (3.18) Persamaan (3.18) disubstitusikan ke,. (3.19) Dari persamaan (3.18) dan (3.19), dapat ditentukan nilai-nilai variabel pada saat ekuilibrium. i Apabila nilai,, dan diketahui, maka nilai dan akan diperoleh. Pembahasan selanjutnya dalam Bab IV adalah simulasi model. Dengan simulasi s akan diketahui model mana yang sesuai dengan fenomena pada pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang.